1、1九年一貫數學領域綱要研習九年一貫數學領域綱要研習國中階段的幾何國中階段的幾何2 幾何課程幾何課程 第一階段第一階段小一到小三小一到小三較強調幾何形體的認識、探索與操作較強調幾何形體的認識、探索與操作學生對幾何形體中的幾何要素，也許能指認，學生對幾何形體中的幾何要素，也許能指認，但尚不清楚其結構意義但尚不清楚其結構意義3 幾何課程幾何課程 第二階段第二階段小四到小五小四到小五由於數與量的發展逐漸成熟，學生開始結合由於數與量的發展逐漸成熟，學生開始結合數與形兩大主題數與形兩大主題學習運用幾何形體的構成要素（如角、邊、面）學習運用幾何形體的構成要素（如角、邊、面）及其數量性質（如角度、邊長、面積）
2、及其數量性質（如角度、邊長、面積）4 幾何課程幾何課程 第三階段第三階段小六小六透過形體的分割、拼合、截補、變形及變換等透過形體的分割、拼合、截補、變形及變換等操作，來了解形體的性質與幾何量的計算及非操作，來了解形體的性質與幾何量的計算及非形式化推理形式化推理透過方位描述及立體模型的展開與組合以培養透過方位描述及立體模型的展開與組合以培養空間能力及視覺推理空間能力及視覺推理5 幾何課程幾何課程(國中階段國中階段)輔助數與量輔助數與量、代數的學習、代數的學習國一國一透過數線的輔助來學習負數的運算、直線上兩點間透過數線的輔助來學習負數的運算、直線上兩點間的距離與絕對值、數的大小關係的距離與絕對值、
3、數的大小關係透過數線的輔助來學習一元一次不等式的所有解，透過數線的輔助來學習一元一次不等式的所有解，並舖陳交集與聯集的概念並舖陳交集與聯集的概念藉由直角坐標平面來連結點坐標與數對、直線與二藉由直角坐標平面來連結點坐標與數對、直線與二元一次方程式的所有解、平面上兩直線的位置與二元一次方程式的所有解、平面上兩直線的位置與二元一次方程組解的關係元一次方程組解的關係6 幾何課程幾何課程(國中階段國中階段)輔助數與量輔助數與量、代數的學習、代數的學習國二國二以正方形的面積與其邊長間的關係來學習平方根以正方形的面積與其邊長間的關係來學習平方根透過數線來理解十分逼近法的幾何意義透過數線來理解十分逼近法的幾何
4、意義透過長方形或正方形組合來輔助學習多項式的意義透過長方形或正方形組合來輔助學習多項式的意義及其運算及其運算國三國三在平面上透過拋物線的圖形來輔助二次函數的學習在平面上透過拋物線的圖形來輔助二次函數的學習7幾何課程幾何課程(國中階段國中階段)推理幾何的學習推理幾何的學習開始由具體操作情境進入推理幾何情境中，開始由具體操作情境進入推理幾何情境中，最終目標是學會推理幾何證明最終目標是學會推理幾何證明學習內容採漸進式安排，由基本幾何概念學習內容採漸進式安排，由基本幾何概念 進入較深入的幾何推理領域中進入較深入的幾何推理領域中學習方式最開始可由填充式推理幾何，學習方式最開始可由填充式推理幾何，慢慢養成
5、完整能力，讓學生有能力及信心，慢慢養成完整能力，讓學生有能力及信心，快樂地學習幾何學領域的知識快樂地學習幾何學領域的知識8幾何課程幾何課程(國中階段國中階段)推理幾何的學習推理幾何的學習教材內含有認識生活中的平面圖形，教材內含有認識生活中的平面圖形，如三角形、四邊形、多邊形、圓形如三角形、四邊形、多邊形、圓形認識點、線、角、符號及幾何相關名詞認識點、線、角、符號及幾何相關名詞使用基本性質描述某一類形體使用基本性質描述某一類形體能以最少性質對幾何圖形下定義能以最少性質對幾何圖形下定義，並熟練並熟練 定義的相關操作定義的相關操作9幾何課程幾何課程(國中階段國中階段)推理幾何的學習推理幾何的學習體會
6、邏輯概念：包含關係、敘述及逆敘述、體會邏輯概念：包含關係、敘述及逆敘述、推理幾何推理幾何求角度問題、長度問題、求角度問題、長度問題、面積（表面積）問面積（表面積）問 題、體積問題題、體積問題尺規作圖、全等性質、相似性質、尺規作圖、全等性質、相似性質、平行性質的應用、圓的相關性質、推理證明平行性質的應用、圓的相關性質、推理證明10認識、理解、熟練認識、理解、熟練認識強調的是觀察、個例、經驗、歸納認識強調的是觀察、個例、經驗、歸納 的學習初期階段的學習初期階段理解強調的是概念形成、練習、驗證、理解強調的是概念形成、練習、驗證、推廣的中期階段推廣的中期階段熟練則在於形式與解題程序之流暢熟練則在於形式
7、與解題程序之流暢11綱要第四階段幾何課程綱要第四階段幾何課程內容說明內容說明12簡單的幾何圖形簡單的幾何圖形 生活中的平面圖形生活中的平面圖形 點、線、線段、疊合法比較大小、射線點、線、線段、疊合法比較大小、射線 角、互餘、同角的餘角必相等角、互餘、同角的餘角必相等 互補、同角的補角必相等互補、同角的補角必相等 對頂角、對頂角必相等對頂角、對頂角必相等 圓、圓心、半徑、直徑、圓心角圓、圓心、半徑、直徑、圓心角 弦、直徑是圓中最長的弦弦、直徑是圓中最長的弦 弧、半圓、優弧、劣弧弧、半圓、優弧、劣弧 扇形、弓形扇形、弓形13簡單的幾何圖形簡單的幾何圖形認識三角形的基本名稱認識三角形的基本名稱邊邊邊
8、頂點頂點頂點?A A?B B?C C不等邊 三角形頂角底角底角底邊腰腰等腰三 角形兩腰等 長正三角 形三邊等 長14認識三角形的基本名稱認識三角形的基本名稱直角直角三角形有一個角為鈍角三角形有一個角大於且小於銳角三角形三個角都小於鈍角銳角銳角銳角15認識四邊形的基本名稱認識四邊形的基本名稱16認識多邊形的基本名稱認識多邊形的基本名稱圖形全等圖形全等 如果兩個圖形，經過平移、旋轉或翻轉後，可以完如果兩個圖形，經過平移、旋轉或翻轉後，可以完全疊合，我們就稱這兩個圖形為全等全疊合，我們就稱這兩個圖形為全等正方形正三角 形正六邊 形正十二 邊形正八邊 形正五邊 形17圖形的摺疊與線對稱圖形、角平分線意
9、義圖形的摺疊與線對稱圖形、角平分線意義 線對稱圖形線對稱圖形的對稱軸會垂直平分兩對稱點連線段的對稱軸會垂直平分兩對稱點連線段對 稱 點 如 點和 點點和 點點和 點對 稱 邊 如和和對 稱 角 如 和 和 和?A?E?G?DD?B B?F F?C C?HH?B B?NN?C C?AA?HH?F F?DD?MM?GG?E E18 尺規作圖尺規作圖 等線段作圖、等角作圖等線段作圖、等角作圖 菱形對角線互相垂直平分菱形對角線互相垂直平分 角平分線作圖角平分線作圖 作線段中點、中垂線、認識三角形的中線作線段中點、中垂線、認識三角形的中線 過線上一點作垂線、過線外一點作垂線過線上一點作垂線、過線外一點作
10、垂線 認識三角形的高認識三角形的高 例如：複製三角形（例如：複製三角形（SSS）複製三角形複製三角形（SAS）認識平行定義、三角形的內角和認識平行定義、三角形的內角和19三角形的全等三角形的全等 全等的意義、全等的記法全等的意義、全等的記法 SSS三角形作圖與全等性質三角形作圖與全等性質 SAS三角形作圖與全等性質三角形作圖與全等性質 角平分線性質、中垂線性質角平分線性質、中垂線性質 ASA三角形作圖與全等性質三角形作圖與全等性質 AAS三角形全等性質三角形全等性質 RHS作圖與全等性質作圖與全等性質 SSA不一定全等不一定全等、AAA不一定全等的說明不一定全等的說明20三角形的內角與外角三角
11、形的內角與外角 三角形的內角和性質三角形的內角和性質 三角形的外角意義三角形的外角意義 三角形的性質三角形的性質 三角形的外角和性質三角形的外角和性質21 三角形內角和（利用第五公設：平行公設）三角形內角和（利用第五公設：平行公設）銳角三角形銳角三角形 直角三角形直角三角形 鈍角三角形鈍角三角形三角形的基本性質三角形的基本性質 22多邊形的內角與外角多邊形的內角與外角 認識三角形、四邊形、五邊形、認識三角形、四邊形、五邊形、六邊形內角和與外角和六邊形內角和與外角和 n邊形內角和定理邊形內角和定理?n邊形外角和定理邊形外角和定理23180360540720(2)180n6090108120(2)
12、180nn1209072603 6 0n正三正三角形角形正四正四邊形邊形正五正五邊形邊形正六正六邊形邊形正正n邊形邊形內角內角和和每個每個內角內角每個每個外角外角24正三角形正三角形直角三角形斜邊中點直角三角形斜邊中點?a?3?a?2a?2?3?125等腰直角三角形等腰直角三角形?45?45?a?a?2?a?2?1?1?45?4526等腰三角形等腰三角形 等腰三角形，必為兩底角相等的三角形等腰三角形，必為兩底角相等的三角形 兩內角相等的三角形，必為等腰三角形兩內角相等的三角形，必為等腰三角形 等腰三角形頂角平分線垂直平分其底邊等腰三角形頂角平分線垂直平分其底邊 等腰三角形頂角平分線和底邊的中垂
13、線都在等腰三角形頂角平分線和底邊的中垂線都在 同一直線同一直線27兩邊和大於第三邊兩邊和大於第三邊 兩邊的差第三邊兩邊的和兩邊的差第三邊兩邊的和 28等邊對等角等邊對等角29大邊對大角大邊對大角30大角對大邊大角對大邊31 平平 行行生活中的平行生活中的平行垂直於同一直線定義兩直線互相平行垂直於同一直線定義兩直線互相平行過線外一點作平行線、截線、截角過線外一點作平行線、截線、截角平行線與同位角相等、同側內角互補、內錯角相等平行線與同位角相等、同側內角互補、內錯角相等利用平行線的截線性質判別平行線利用平行線的截線性質判別平行線 垂直於同一直線定義兩直線互相平行垂直於同一直線定義兩直線互相平行 尺
14、規作圖：過線外一點作平行線尺規作圖：過線外一點作平行線 32.平行四邊形性質平行四邊形性質 任一對角線可將其分割成兩個全等三角形任一對角線可將其分割成兩個全等三角形 兩雙對邊相等兩雙對邊相等 兩組對角相等兩組對角相等 兩對角線互相平分兩對角線互相平分33平行四邊形判別性質平行四邊形判別性質 兩雙對邊相等的四邊形，必為一平行四邊形兩雙對邊相等的四邊形，必為一平行四邊形 兩組對角相等的四邊形，必為一平行四邊形兩組對角相等的四邊形，必為一平行四邊形 兩對角線互相平分的四邊形，必為一平行四邊形兩對角線互相平分的四邊形，必為一平行四邊形 一雙對邊平行且相等的四邊形，必為一平行四邊形一雙對邊平行且相等的四
15、邊形，必為一平行四邊形34?平行四邊形?一內角為直角的?平行四邊形為矩形?鄰邊等長的?平行四邊形為菱形?鄰邊等長的?矩形為正方形?一內角為直角的?菱形為正方形 35其他四邊形其他四邊形 矩形矩形：兩對角線等長兩對角線等長 具有一內角為直角的的平行四邊形，必為一矩形具有一內角為直角的的平行四邊形，必為一矩形 菱形菱形：兩對角線互相垂直平分兩對角線互相垂直平分 具有一組鄰邊相等的平行四邊形，必為一菱形具有一組鄰邊相等的平行四邊形，必為一菱形 正方形正方形：兩對角線互相垂直平分且相等兩對角線互相垂直平分且相等 具有一組鄰邊相等的矩形，必為一正方形具有一組鄰邊相等的矩形，必為一正方形 具有一內角為直角
16、的菱形，必為一正方形具有一內角為直角的菱形，必為一正方形36其他四邊形其他四邊形 等腰梯形的兩底角相等等腰梯形的兩底角相等 等腰梯形的兩對角線等長等腰梯形的兩對角線等長 對角線等長的梯形為一等腰梯形對角線等長的梯形為一等腰梯形 梯形中線與上底、下底均平行梯形中線與上底、下底均平行 梯形中線長等於上底、下底和的一半梯形中線長等於上底、下底和的一半 梯形面積為中線與高的乘積梯形面積為中線與高的乘積37周長與面積周長與面積 平面圖形的性質解決周長平面圖形的性質解決周長圓的性質解決扇形周長與面積圓的性質解決扇形周長與面積複合平面圖形的周長及面積複合平面圖形的周長及面積 長方形面積公式長方形面積公式、平
17、行四邊形面積公式平行四邊形面積公式 三角形面積公式三角形面積公式、梯形面積梯形面積 菱形面積菱形面積、圓面積公式圓面積公式 扇形弧長與面積公式扇形弧長與面積公式38生活中的立體圖形生活中的立體圖形 認識重要的立體圖形：直角柱、直角錐、直圓柱、認識重要的立體圖形：直角柱、直角錐、直圓柱、直圓錐及直立柱體的邊、角、面直圓錐及直立柱體的邊、角、面能計算直立柱體柱體的體積、表面積及能計算直立柱體柱體的體積、表面積及 直立圓錐的表面積、複合立體圖形直立圓錐的表面積、複合立體圖形39線與面的垂直線與面的垂直AB 垂直平面 B AAB 不垂直平面 B A40,兩平面與正方體間 有空隙 所以 兩平面不垂直,兩
18、平面與正方體間 有空隙 所以 兩平面不垂直,兩平面與正方體間 沒有空隙 所以 兩平面垂直面與面垂直：面與面垂直：若一正方體放在兩個平面之間，正方體的相鄰兩邊和平面若一正方體放在兩個平面之間，正方體的相鄰兩邊和平面 交接處完全密合，如交接處完全密合，如(圖一圖一)，就說兩平面互相垂直。，就說兩平面互相垂直。若正方體和兩平面交接處無法密合，而產生如圖若正方體和兩平面交接處無法密合，而產生如圖(二二)、圖圖(三三)的空隙，的空隙，我們就說此兩平面不垂直。我們就說此兩平面不垂直。41平行與比例平行與比例 四個全等三角形拼圖實驗：四個全等三角形拼圖實驗：（一）（一）1.1.經過三角形一邊的中點且平行於另
19、一邊經過三角形一邊的中點且平行於另一邊 的直線，的直線，一定通過第三邊中點，且此線段長為底邊長度的一定通過第三邊中點，且此線段長為底邊長度的 一半。一半。2.2.平行線截等線段性質、尺規作圖截等線段、平行線截等線段性質、尺規作圖截等線段、平行線截比例線段性質。平行線截比例線段性質。（二）（二）連接三角形兩邊中點的線段必平行於第三邊，連接三角形兩邊中點的線段必平行於第三邊，且長度等於第三邊的一半。且長度等於第三邊的一半。42圓的性質圓的性質 直線與圓及兩圓的關係直線與圓及兩圓的關係 理解點與圓的位置關係、直線與圓的位置關係理解點與圓的位置關係、直線與圓的位置關係 切線性質：圓心與切點的連線必垂直
20、此切線切線性質：圓心與切點的連線必垂直此切線 圓心到弦的線段垂直平分此弦圓心到弦的線段垂直平分此弦 兩圓的位置關係及公切線兩圓的位置關係及公切線 圓的相關性質圓的相關性質 圓心角、圓周角、弦切角等定義圓心角、圓周角、弦切角等定義 圓內接四邊形的對角互補圓內接四邊形的對角互補 圓內接三角形的一邊為直徑時，此三角形必為直角三角形圓內接三角形的一邊為直徑時，此三角形必為直角三角形43幾何推理證明幾何推理證明幾何推理：幾何推理：以已知條件及已知為正確的幾何性質，以已知條件及已知為正確的幾何性質，推導出結論，這個過程稱為證明推導出結論，這個過程稱為證明 教學時可利用填充證明題開始，進而慢慢可獨立教學時可
21、利用填充證明題開始，進而慢慢可獨立 完成推理幾何證明的寫作，但推理步驟不宜過多完成推理幾何證明的寫作，但推理步驟不宜過多44三角形外心的定義和相關性質三角形外心的定義和相關性質 證明證明（1 1）中垂線上任一點到此線段兩端等距離）中垂線上任一點到此線段兩端等距離 （2 2）到線段兩端等距離的點必在此線段的）到線段兩端等距離的點必在此線段的 中垂線上中垂線上過三角形三頂點的外接圓圓心稱為三角形的外心過三角形三頂點的外接圓圓心稱為三角形的外心推論推論：1.1.三角形三條中垂線交於一點三角形三條中垂線交於一點 2.2.三角形的外心至三頂點等距離三角形的外心至三頂點等距離 3.3.直角三角形斜邊中點到
22、三頂點等距離直角三角形斜邊中點到三頂點等距離 4.4.推導三內角分別為推導三內角分別為3030度、度、6060度、度、9090度及度及 45 45度、度、4545度、度、9090度的直角三角形邊角關係度的直角三角形邊角關係45三角形內心的定義和相關性質三角形內心的定義和相關性質證明證明：(1)(1)角平分線上任一點到此角兩邊等距離角平分線上任一點到此角兩邊等距離 (2)(2)到角兩邊等距離的點必在此角的平分線上到角兩邊等距離的點必在此角的平分線上三角形內切圓的圓心稱為內心三角形內切圓的圓心稱為內心推論推論：1.?三角形三條角平分線交於一點三角形三條角平分線交於一點?2.?三角形的內心至三邊等距
23、離三角形的內心至三邊等距離?3.?設設ABC周長周長s，內切圓半徑內切圓半徑r，則則ABC的面積的面積=sr/2?4.?直角三角形中，內切圓半徑直角三角形中，內切圓半徑?=(兩股和斜邊兩股和斜邊)?246三角形重心的定義和相關性質三角形重心的定義和相關性質 三角形三條中線必相交於一點，這個點稱為三角形三角形三條中線必相交於一點，這個點稱為三角形的重心的重心推論推論：1.1.三角形的重心到一頂點距離等於它到對邊中點三角形的重心到一頂點距離等於它到對邊中點 距離的兩倍距離的兩倍 2.2.三角形三條中線將三角形面積六等份三角形三條中線將三角形面積六等份 3.3.正三角形的高與面積公式正三角形的高與面積公式47平行與比例平行與比例 證明證明(推論推論)：1.1.兩個等高的三角形面積比，等於其底的比兩個等高的三角形面積比，等於其底的比 2.2.經過三角形一邊的中點且平行於另一邊（底邊）經過三角形一邊的中點且平行於另一邊（底邊）的直線，一定通過第三邊中點，且此線段長為底邊長度的直線，一定通過第三邊中點，且此線段長為底邊長度 的一半的一半 3.3.連接三角形兩邊中點的線段必平行於第三邊，且長度等於連接三角形兩邊中點的線段必平行於第三邊，且長度等於 第三邊的一半第三邊的一半
