1、 岳阳市岳阳市 2020 届高三教学质量检测试卷（二）届高三教学质量检测试卷（二） 文科文科数学数学 分值：150 分 时量：120 分钟 第第卷（选择题，共卷（选择题，共 60 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的，把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效目要求的，把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效 1已知复数(1)(3)zii（i为虚数单位） ，则z的虚部为（ ） A2 B2i C4 D4i 2已
2、知集合 |10Ax x ， |Bx xa，若ABR，则实数a的值可以为（ ） A2 B1 C0 D2 3命题:2p m ，命题:q直线(1)120mxym与直线230mxym垂直，则p是q成立 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4若 4 24 log 3,log 7,0.7abc，则实数, ,a b c的大小关系为（ ） Aabc Bcab Cbac Dcba 5已知数列 n a为等差数列， n S为其前n项和， 635 3aaa，则 7 S （ ） A42 B21 C7 D3 6已知向量 1 | 1, 2 abm ，若()()abab，则实数m
3、的值为（ ） A 1 2 B 3 2 C 1 2 D 3 2 7在正方体 1111 ABCDABC D中，E为 1 BC的中点，则异面直线DE与 11 AB所成角的正切值为（ ） A 6 2 B 6 3 C 2 2 D2 8若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ） A5 B4 C3 D2 9 设F为 抛 物 线 2 2yx的 焦 点 ，, ,A B C为 该 抛 物 线 上 三 点 ， 若0FAFBFC， 则 |F AF BF C（ ） A9 B6 C4 D3 10三国时代吴国数学家赵爽所注周髀算经中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文： 弦图是一个以勾股形之弦为边的正
4、方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形， 分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实及黄实，利用 2勾股+（股-勾） 2 4朱实+黄实=弦实， 化简得：勾 2+股2=弦2设勾股中勾股比为1: 3，若向弦图内随机抛掷 1000 颗图钉（大小忽略不计） ，则 落在黄色图形内的图钉数大约为（ ） A866 B500 C300 D134 11已知函数 3 ( )f xxx，则曲线( )yf x过点(1,0)的切线条数为（ ） A3 B2 C1 D0 12关于函( )cos|sin|f xxx有下述四个结论： ( )f x的图象关于y轴对称；( )f x在, 有 3 个零点； ( )
5、f x的最小值为2；( )f x在区间, 4 单调递减 其中所有正确结论的序号是（ ） A B C D 第卷（非选择题，共第卷（非选择题，共 90 分）分） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分请将答案填在答题卡对应题号位置上，答错位置，分请将答案填在答题卡对应题号位置上，答错位置， 书写不清，模棱两可均不得分书写不清，模棱两可均不得分 13在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若60A， 2 abc，则sinsinBC _ 14已知实数x，y满足 3, 220, 1. xy xy y ，则目标函数31zxy的最大值为
6、_ 15直三棱柱 111 ABCABC的顶点都在同一球面上，若2ABAC， 1 3AA ，90BAC，则此 球的表面积等于_ 16如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点(0,0),( 4,0),(4,0), (0, 2),(0,2),(4,2)OMNPQH线段 OM上的动点A满足(0,1)OAOM； 线段HN上的动点B满足HBHN 直线PA与直线QB 交于点L，设直线PA的斜率为k，直线QB的斜率为 k ，则k k的值为_；当变化时，动点L 一定在_（填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个）上 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明
7、、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题每个试题考生题为必考题每个试题考生 都必须作答第都必须作答第 22、23 为选考题，考生根据要求作答为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题（一）必考题 17如图，在三棱锥PABC中，PAC为正三角形，M为棱PA的中点，ABAC， 1 2 ACBC， 平面PAB 平面PAC （1）求证：AB 平面PAC； （2）若2AC ，求三棱锥PBMC的体积 18等差数列 n a的公差为 2， 2 a、 4 a、 8 a分别等于等比数列 n b的第 2 项、第 3 项、第 4 项 （1）求数列 n a和 n b的通项公式； （2）若数列 n c满足 12 1 1
8、2 n n n ccc b aaa ，求数列 n c的前 2020 项的和 19新型冠状病毒肺炎疫情爆发以来，疫情防控牵挂着所有人的心某市积极响应上级部门的号召，通过沿 街电子屏、微信公众号等各种渠道对此次战“疫”进行了持续、深入的宣传，帮助全体市民深入了解新冠 病毒，增强战胜疫情的信心 为了检验大家对新冠病毒及防控知识的了解程度， 该市推出了相关知识问卷， 随机抽取了年龄在 1575 岁之间的 200 人进行调查，并按年龄绘制频率分布直方图如图所示，把年龄落在 区间15,35)和35,75内的人分别称为“青少年人和中老年人”经统计“青少年人”和中老年人的人数之 比为 1921其中“青少年人”
9、中有 40 人对防控的相关知识了解全面， “中老年人”中对防控的相关知识 了解全面和不够全面的人数之比是 21 （1）求图中a，b的值； （2）现采用分层抽样在25,35)和45,55)中随机抽取 8 名市民，从 8 人中任选 2 人，求 2 人中至少有 1 人是“中老年人”的概率是多少？ （3） 根据已知条件完成下面的22列联表， 并根据此统计结果判断： 能否有 99.9%的把握认为 “中老年人” 比“青少年人”更加全面了解防控的相关知识？ 了解全面 了解不够全面 合计 青少年人 中老年人 合计 附表及公式 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ，其中nab
10、cd 2 P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左，右点分别是 1 F、 2 F，P是椭圆上一点，I为 12 PFF的内 切圆圆心， 11 22 2 PIFIF FPIF SSS ，且 12 PFF的周长为 6 （1）求椭圆C的方程； （2）已知过点(0,1)的直线与椭圆C交于A，B两点，若23()OPOAOB求四边形OAPB面积的最 大值 21已知函数( )ln x e f xxx x （1）求
11、( )f x的最大值； （2）若 1 ( )1 x f xxebx x 恒成立，求实数b的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 22选修 4-4：坐标系与参数方程 在新中国成立 70 周年国庆阅兵典礼中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情在数学 中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线如图，在直角坐标系中，以原点O为 极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为 1sin (02
12、,0) ，M为该曲线上的任意一点 （1）当 3 | 2 OM 时，求M点的极坐标； （2）将射线OM绕原点O逆时针旋转 2 与该曲线相交于点N，求|MN的最大值 23选修 4-5：不等式选讲 函数 2 1 ( )(1) 4 f xx （1）证明：( ) |( )2| 2f xf x； （2）若存在xR，且1x ，使得 2 1 ( )1 4 ( ) f xmm f x 成立，求m的取值范围 岳阳市岳阳市 2020 届高三教学质量检测试卷（二）届高三教学质量检测试卷（二） 数学（文科）参考答案与评分标准数学（文科）参考答案与评分标准 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题
13、，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的，把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效目要求的，把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效 1 【答案】A 【解析】因为(1)(3)42ziii，所以z的虚部为 2 2 【答案】D 【解析】 |1Ax x ， |Bx xa，且ABR，1a ，a的值可为2 3 【答案】A 【解析】 若两直线垂直， 则(1)( 1)20mm ， 解得2m或1， 所以p是q的充分不必要条件 4 【答案】A 【解析】依题意，由对数函数的性质可得 244 log 3l
14、og 9log 7ab，由指数函数的性质及对数的性 质，可得 40 44 0.70.71log 4log 7cb ，故abc 5 【答案】B 【解析】 635 3aaa， 4 3a ， 74 721Sa 6【答案】D 【解析】()()abab，() ()0abab，即 22 |0ab，将| 1a 和 2 22 1 | 2 bm 代入，得出 2 3 4 m ，所以 3 2 m 7 【答案】C 【解析】 11 ABCD， 则C D E就是异面直线DE与 11 AB所成角 （或其补角） ， 设正方体棱长为 1，E为 1 BC 的中点，就是 1 BC与 1 BC的交点，则 2 2 CE ，由正方体知D
15、CCE， 2 tan 2 CE CDE CD 8 【答案】B 【解析】模拟执行循环结构的程序框图，可得：6,1ni， 第 1 次循环：3,2ni； 第 2 次循环：4,3ni； 第 3 次循环：2,4ni， 此时满足判断框的条件，输出4i 9 【答案】D 【解析】设 11 ,A x y， 22 ,B xy， 33 ,C x y抛物线焦点坐标 1 ,0 2 F ，准线方程： 1 2 x ， 0FAFBFC，点F是ABC重心，则 123123 3 ,0 2 xxxyyy 而 11 11 | 22 FAxx ， 22 11 | 22 FBxx ， 33 11 | 22 FCxx 123123 111
16、333 |3 222222 FAFBFCxxxxxx 10 【答案】D 【解析】如图，设勾为a，则股为3a，弦为2a，则图中大四边形的面积为 2 4a，小四边形的面积为 222 ( 31)(42 3)aa， 则 由 测 度 比 为 面 积 比 ， 可 得 图 钉 落 在 黄 色 图 形 内 的 概 率 为 2 2 (42 3)3 1 42 a a 落在黄色图形内的图钉数大约为 3 1000 1134 2 11 【答案】B 【解析】设切点坐标 3 000 ,P x xx， 由 3 ( )f xxx，得 2 ( )31fxx，切线斜率 2 0 31kx， 所以过 2 000 ,P x xx的切线方
17、程为 32 0000 31yxxxxx，即 22 00 312yxxx， 切线过点(1,0)， 故 32 00 2310xx ， 令 3 0 2 00 231h xxx， 则 2 000 66h xxx， 由 0 0h x， 解得 0 0x 或 0 1x ， 当 0 (,0)x ，(2,)时， 0 0h x；当 0 (0,2)x 时， 0 0h x， 所以 0 h x的极大值极小值分别为(0)10h ，(1)0h， 故其图像与x轴交点 2 个，也就是切线条数为 2 12 【答案】C 【解析】()cos|sin| cos|sin|( )fxxxxxf x， 则函数( )f x为R上的偶函数， 故
18、正确； 当0, x时，( )cossin2sin 4 f xxxx ， 令( ) 0 4 f xx k ， 则( )f x在区间0, 的零点只有一个，所以( )f x在, 有 2 个零点，故错误； ( )f x在0, 的最小值为： 52 ( )2sin21 42 f ， 因为函数(2)cos | 2|sin(2) | cos |sin|( )fxxxxxf x，所以函数( )f x的周期为 2由对称性以及周期性可知，函数( )f x的最小值为：1，故错误； 当0, x时， 5 , 444 x ，函数sinyx在区间, 4 2 上单调递增，在区间 5 , 24 上单调递 减，即( )f x在区间
19、0, 4 上单调递增，在区间, 4 上单调递减，故正确 二、 填空题： 本大题共二、 填空题： 本大题共 4 小题， 每小题小题， 每小题 5 分， 共分， 共 20 分 请将答案填在答题卡对应题号的位置上， 答错位置，分 请将答案填在答题卡对应题号的位置上， 答错位置， 书写不清，模棱两可均不得分书写不清，模棱两可均不得分 13 【答案】 3 4 【解析】因为60A， 2 abc，所以 2 sinsinsinABC，所以 2 33 sinsin 24 BC 14 【答案】6 【解析】作出可行域，如图所示：由图可知最优解为(2,1)M， 所以 max 3 21 16z 15 【答案】17 【解
20、析】如图，取BC， 11 BC的中点 1 O， 2 O，由条件可知， 1 O， 2 O是ABC和 111 ABC的外接圆的圆 心，连接 12 OO，取 12 OO的中点O，连接OB，O是直三棱柱 111 ABCABC外接球的球心， 22 222 2BC ， 1 2O B ， 22 11 917 2 42 OBO BOO， 17 2 R ， 此球的表面积等于 2 417SR 16 【答案】 1 4 ；双曲线 【解析】(0,1)OAOM；( 4 ,0)A，又(0, 2)P， 21 42 k ； HBHN(4,22 )B， 22( 2) 402 k ， 1 4 kk 设( , )L x y，则 2
21、0 y k x ， 2 0 y k x ， 2 2 224yyy kk xxx ， 2 2 41 4 y x ，即 22 1 416 yx 故答案为 1 4 ，双曲线 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考题为必考题，每个试题考 生都必须作答第生都必须作答第 22、23 为选考题，考生根据要求作答为选考题，考生根据要求作答 17 【解析】 （1）PAC为等边三角形，且M为PA的中点，CMPA 平面PAB 平面PAC，平面PAB平面PACPA，CM 平面PAC， CM 平面PAB，
22、AB 平面PAB，ABCM， 又ABAC，CMACC，AC、CM 平面PAC， AB 平面PAC； （2）ABAC，且2AC ，24BCAC， 22 2 3ABBCAC 又PAC是边长为 2 的等边三角形，且M为PA的中点，则CMPA，且sin603CMPC ， PMC的面积为 113 13 222 PMC SPM CM 因此，三棱锥PBMC的体积为 113 2 31 332 P BMCB PMCPMC VVSAB 18 【解析】 （1）依题意得： 324 bb b ，所以 2 111 6214aaa， 所以 22 1111 12361628aaaa，解得 1 2a 2 n an 设等比数列
23、n b的公比为q，所以 34 22 8 2 4 ba q ba ， 又 22 4ba， 2 422 nn n b （2）由（1）知，2 n an，2n n b 因为 1 121 121 2n nn nn cccc aaaa 当2n时， 121 121 2n n n ccc aaa 由-得，2n n n c a ，即 1 2n n cn ， 又当1n 时， 3 11 2 2ca b不满足上式， 1 8,1, 2,2. nn n c nn 数列 n c的前 2020 项的和 342021 2020 8223 220202S 2342021 41 2223 220202 设 23420202021
24、2020 1 2223 22019220202T ， 则 34520212022 2020 21 2223 22019220202T ， 由-得： 23420212022 2020 222220202T 22020 2022 212 20202 12 2022 420192 所以 2022 2020 201924T， 所以 2022 20202020 4201928ST 19 【解析】 （1）由题意得 19 (0.03) 10 40 21 (0.02) 10 40 b a ，解得 0.0325 0.0175 a b （2）由题意得在25,35)中抽取 6 人，记为A，B，C，D，E，F，在45
25、,55)中抽取 2 人，记为 1， 2 则从 8 人中任取 2 人的全部基本事件（共 28 种）列举如下： , 1, 2, 1, 2, 1, 2,AB AC AD AE AF A ABC BD BE BF B BCD CE CF C CDE， , 1,2, 1,2, 1,2,12DF D DEF E EF F 记 2 人中至少有 1 个是“中老年人”的概率是P，则 13 28 P （3）22列联表如下： 了解全面 了解不够全面 合计 青少年人 40 55 95 中老年人 70 35 105 合计 110 90 200 2 2 200(40 3555 70) 12.15710.828 95 10
26、5 110 90 K 所以有 99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加非常全面了解防控的相关知识 20 【解析】 （1） 11 22 2 PIFIF FPIF SSS ， 1212 2PFPFFF，即2ac 又 12 PFF的周长为 6 1212| 6 PFPFFF，即226ac 由可得2,1ac，则3b ，椭圆方程为 22 1 43 xy （2）设直线AB的方程为1ykx， 11 ,A x y， 22 ,B xy，则由 22 1 1 43 ykx xy 联立消y可得， 22 34880kxkx， 12 2 12 2 0 8 34 8 34 k xx k xx k 23()OPOAO
27、B，3 OABOAPB SS 四边形 2 2 12 22 16 126 336 6 21 223434 OAPB k k Sxx kk 四边形 ，令 2 211kt 2 2 1 2 t k ， 2 6 66 6 1 21 2 OAPB t S t t t 四边形 ，又 1 2yt t 在区间1,)上单调递增， 3y ，2 6 OAPB S 四边形 ，四边形OAPB的面积最大值为2 6 21 【解析】 （1）( )ln x e f xxx x ，定义域(0,)， 22 (1) 1(1) ( )1 x x xxe ex fx xxx ， 由1 x exx ，( )f x在(0,1增，在(1,)减，
28、 max ( )(1)1f xfe （2） 1 ( )1 x f xxebx x ln1 xx x ee xxxebx xx ln10 x xxxebx min ln1ln1 xx xexxxexx bb xx ， 令 ln1 ( ) x xexx x x ， 2 ln ( ) x x ex x x 令 2 ( )ln x h xx ex，( )h x在(0,)单调递增，0, ( )xh x ，(1)0he ( )h x在(0,1)存在零点 0 x，即 0 2 000 ln0 x h xx ex 000 1 ln 2 0 000 00 ln1 ln0ln xxx x x exx ee xx 由
29、于 x yxe在(0,)单调递增，故 00 0 1 lnlnxx x ，即 0 0 1 x e x ( )x在 0 0,x减，在 0, x 增， 0 00000 min 00 ln111 ( )2 x x exxxx x xx 所以2b 22 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 【解析】 （1）有 3 | 2 OM ，即 3 1sin 2 ， 1 sin 2 ，02，0， 7 6 或 11 6 M点的极坐标为 3 7 , 26 或 3 11 , 26 （2）设射线OM的极角为， 1, M ， 2, 2 N ，02 即 2 222 12 |(1sin )1sin 2 MN 32(sincos )
30、32 2sin 4 32 212 |MN的最大值为12 23 【选修 4-5：不等式选讲】 【解析】 （1） （法 1） 2 1 ( )(1)0 4 f xx， ( ) |( )2| |( )|2( )|( )2( )| |2| 2f xf xf xf xf xf x （法 2） 2 1 ( )(1)0 4 f xx， 当( )2f x 时，( ) |( )2| 2 ( )22f xf xf x； 当0( )2f x时，( ) |( )2|( )2( )2f xf xf xf x 综上，( ) |( )2| 2f xf x （2）当1x 时， 2 1 ( )(1)0 4 f xx， 所以 11 ( )2( )1 4 ( )4 ( ) yf xf x f xf x ， 当且仅当 1 ( ) 4 ( ) f x f x ，12x 时，取等号， 因为存在xR，1x ，使得 2 1 ( )1 4 ( ) f xmm f x 成立， 所以 2 11mm， 所以13m 或02m或13m
