1、1 1第四章第四章 代数系统代数系统 本章在集合、关系和函数等概念基础上，研究更为复本章在集合、关系和函数等概念基础上，研究更为复杂的对象杂的对象代数系统，研究代数系统的性质和特殊的元代数系统，研究代数系统的性质和特殊的元素，代数系统与代数系统之间的关系。如代数系统的同态、素，代数系统与代数系统之间的关系。如代数系统的同态、满同态和同构，这些概念较为复杂也较为抽象，是本课程满同态和同构，这些概念较为复杂也较为抽象，是本课程中的难点。它们将集合、集合上的运算以及集合间的函数中的难点。它们将集合、集合上的运算以及集合间的函数关系结合在一起进行研究。关系结合在一起进行研究。前三章内容是本章的基础，熟
2、练地掌握集合、关系、前三章内容是本章的基础，熟练地掌握集合、关系、函数等概念和性质是理解本章内容的关键。函数等概念和性质是理解本章内容的关键。主要内容如下：主要内容如下：4.14.1运算运算 4.34.3代数系统的同态和同构代数系统的同态和同构 4.24.2代数系统代数系统 4.44.4代数系统的积代数代数系统的积代数*2 2AAAAnnAA,2,1,|),(21niAaaaaAinn4.1 4.1 运算运算一、一、运算运算 讨论从集合讨论从集合 到到 的这一类函数。的这一类函数。在这里是笛卡尔积，即在这里是笛卡尔积，即例例1 设设A=a,b,c,则则,|),(2AaAaaaAAAjiji),
3、(),(),(),(),(),(),(),(),(2ccbcaccbbbabcabaaaA 例例2 设设A=a,b,A=a,b,则则,3bababaA),(),(),(),(3bbaababaaaaaA),(),(),(),(bbbabbbabaab3 3 设有集合设有集合 和函数和函数 ，于是对于，于是对于 中的每一个有序中的每一个有序 元组元组 ，,在在 中必有中必有唯一个元素唯一个元素 与之对应，即与之对应，即 nAAAAAfn:n),(21naaaaaaaafn),(21 定义定义 设有非空集合设有非空集合A，函数，函数称为称为A上的一个上的一个 n 元运算。特别，函数元运算。特别，函
4、数 称称为为A上的二元运算，称为上的二元运算，称为A上的一元运算上的一元运算.。AAfn:AAf2:AAf:例如例如abaafaaaf),(),(babbfabaf),(),(例如例如 对例对例2 2定义函数定义函数 ，使得对任意的使得对任意的AAf3:3),(Aaaakjijkjiaaaaf),(，4 4例例 设有函数设有函数 ，对于任意，对于任意 NNf2:221),(Nnn2121),(nnnnf例如，例如，12)9,3(,8)3,5(,8)5,3(fff例例 设有函数设有函数 ，对于任意，对于任意 ，IIg2:221),(Iii2121),(iiiig例如例如，,2)5,3(g2)3,
5、5(g11)2,9(g但减法运算不是正整数集但减法运算不是正整数集N N上的二元运算上的二元运算.5 5例例3 定义函数定义函数 为为 。00:RRrr1)(例如例如 ，2)21(83)38(但求倒数的运算不能看作实数集上的一元运算。但求倒数的运算不能看作实数集上的一元运算。例例 集合的并、交运算可以看作是全集合集合的并、交运算可以看作是全集合U的幂集的幂集 上的二元运算。求补集的运算可看作是上的二元运算。求补集的运算可看作是 上的一元运上的一元运算。算。U2U2对任意对任意 ，UiS2iiSS)(UUjiSS22),(jijiSSSS),(对任意对任意 ,jijiSSSS),(6 6二、一元
6、运算和二元运算的表示方法二、一元运算和二元运算的表示方法A A是有限集时，是有限集时，A A上的一元运算和二元运算有时采用上的一元运算和二元运算有时采用运算表的方式来定义运算表的方式来定义 。naaa21)()()(21naaaia)(ia),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111nnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaanaaa 21naaa21例如例如 设上的一元运算设上的一元运算和二元运算和二元运算*用运算表定义如下：用运算表定义如下：75311357ia)(ia753173717535753375317531AA,7,5,3,17 7三、运算的
7、封闭性三、运算的封闭性定义在集合定义在集合A A上的运算在上的运算在A A上一定是封闭的上一定是封闭的.定义在集合定义在集合A A上的运算在上的运算在A A的子集上是否封闭呢？的子集上是否封闭呢？定义定义 设设 是集合是集合 A 上的一个二元（或一元）上的一个二元（或一元）运算，运算，若对于每一个序偶，若对于每一个序偶 ，（或对于每一（或对于每一 ），都有），都有 则称运算则称运算 在在S上上 是封闭的。是封闭的。2),(SaajiAS Sai)(),(SaSaaiji或8 8例例 定义函数，使定义函数，使NN2:2121),(nnnn,2,2,2,2,2|254321NkSkNS 1221N
8、S令令 显然，于是，显然，于是，若，则，若，则，但但 是否属于呢？是否属于呢？2121),(Snn221),(NnnNnnnn2121),(1S),(21nn对于任意对于任意 ，,，,这意味着正整数集这意味着正整数集N上的运算上的运算*在在N的子集的子集 上也是封闭的上也是封闭的.21)2,2(Sjijiji222Nji12Sji1S9 9令令 ，显然，显然 ，10,3,2,12SNS 2,222NSNjiji),(任 取任 取 ，且，且*是是 N N 上 的 二 元 运 算，因上 的 二 元 运 算，因此此 ，但，但 是否属于是否属于 呢？呢？22),(Sji),(ji2S我们取我们取 ，则
9、，则 ，22)5,4(S2)5,4(NN2054)5,4(因此因此 运算在的子集运算在的子集 上不封闭。上不封闭。2S但但220s1010四、二元运算的一些常见的性质四、二元运算的一些常见的性质 定义定义-设是非空集合，设是非空集合，和和 是是A A上的二元运算。上的二元运算。（）若对于任意（）若对于任意 ，有，有 ，则称，则称 在在 A A 上是可交换的。上是可交换的。（）若对于任意（）若对于任意 ，有，有 则则称称 在在A A上是可结合的。上是可结合的。（）若对于任意的（）若对于任意的 有有 则称运算则称运算 对运算对运算 是可分配的。是可分配的。Aba,abba),()(cbacbaAc
10、ba,Acba)()()(cabacba)()()(acabacb1111例例 实数集实数集R R上的二元运算上的二元运算 定义为定义为:212121rrrrrr因为因为所以所以 满足交换律。满足交换律。121212212121rrrrrrr rrrrr32121)(rrrrr32121)(rrrrr321323121321rrrrrrrrrrrr)(32321rrrrr)(32321rrrrr321312132321rrrrrrrrrrrr所以所以 满足结合律。满足结合律。,)()(321321rrrrrr32121)(rr rrr321)(rrr)(32321rrrrr)(321rrr12
11、12 例例 全集合全集合 U U 的幂集的幂集 上的上的“”“”运运算和算和“”“”运算都是可交换、可结合的运算、运算都是可交换、可结合的运算、“”“”对对“”“”,“”,“”对对“”“”均是可均是可分配的。分配的。例例 设设 是集合是集合A A上的关系上的关系，对于任意对于任意 ，仍是仍是A A上的上的关系，所以关系的复合运算是关系，所以关系的复合运算是S S上的二元上的二元运算。运算。该运算不满足交换律，但满足结合律该运算不满足交换律，但满足结合律.|S21S21,U21313 五、集合中与二元运算相关的一些特殊的元素五、集合中与二元运算相关的一些特殊的元素 单位元单位元 定义定义 设设
12、是集合是集合A A上的二元运算，若存在一元上的二元运算，若存在一元素素 ，使得对于任意的，使得对于任意的 ，有，有则称则称 是是A A中运算中运算 的左单位元；的左单位元；AelAaaaelle 若存在一元素若存在一元素 ，使得对于任意，使得对于任意 ，有有 ，则称，则称 是是A A中运算中运算 的右单位元；的右单位元；AareaearAer 若存在一元素若存在一元素 ，使得对于任意，使得对于任意 ，有有 ，则称，则称 是是A中运算中运算 的单位元。的单位元。AaAeaeaaee1414是运算是运算 的右单位元。的右单位元。ab b和和d d都是运算都是运算 的左单位元，的左单位元，*例例 设
13、设 ,和和 是是A上的两上的两个二元运算个二元运算.,dcbaA*1515e定理定理 设设 是集合是集合A上的二元运算，上的二元运算，和和 分别是分别是 的左单位元和右单位元，则的左单位元和右单位元，则 ，且，且 是是 的唯一的唯一的单位元。的单位元。lereeeerl 例例1010 在例中，对任意关系在例中，对任意关系 ，有，有 ，所以恒等关系所以恒等关系 是集合是集合 上关系复合运算的单位元。上关系复合运算的单位元。SAAIIAIS证明证明 因为因为 和和 分别是分别是 的左、右单位元，的左、右单位元，lere因此，因此，lrrleeee 令令 ，则，则 是是 的单位元。的单位元。rlee
14、ee设设 也是也是 的单位元，的单位元，e则则 eeee因此因此 是是 的唯一的单位元。的唯一的单位元。e16162 2 零元零元定义定义5 5 设设 是集合是集合A A上的二元运算，若存在一上的二元运算，若存在一元素元素 ，使得对于任意的，使得对于任意的 ,若存在若存在Zl有有 ，则称，则称 是是A A中运算中运算 的左零元；若存在的左零元；若存在一元素一元素 ，使得对于任意，使得对于任意 ,则称则称 是是A A中运算中运算 的右零元，若存在一元素的右零元，若存在一元素 ，使得对于任意的使得对于任意的 ,则称则称Z Z是是A A中运算中运算 的零元。的零元。AzlAallzazlzAzrAa
15、rrzzarzAzzzaazAa 例例1111 设设 定义定义A上的二元上的二元运算运算“”为为 与与b中之小者。中之小者。,22,17,9,6,4,3Aminaba),min(对于任意对于任意 ，Aa),min(),min(33aa=3=3对于任意的对于任意的 ，Aa),min(),min(2222aa a1717例例1212 对于全集合对于全集合U的幂集的幂集 上上“”运算和运算和“”运算，运算，对任意对任意 U2UA2,AAAAA,UUAAUAUAAUz定理定理 设设 是上的二元运算，是上的二元运算，和和 分别分别是是 的左零元和右零元，则的左零元和右零元，则 ,且且 是是 唯唯一的零元
16、。一的零元。zzzrlrzlz1818幂等元幂等元定义定义-设设 是集合是集合A A中的二元运算，若中的二元运算，若 且且 ，则称，则称 是是A A中关于运算中关于运算 的幂等元。的幂等元。Aaaaaa例例1313 通常数的乘法运算是实数集通常数的乘法运算是实数集R R上的二元运算上的二元运算,其中和均是幂等元。其中和均是幂等元。例例1414 对于全集合对于全集合U U的幂集的幂集 上的并运算和交运上的并运算和交运算算,中的每一个元素都是幂等元。中的每一个元素都是幂等元。U2U2即对任意即对任意 ,均有均有 ,。US2SSSSSS1919 元素的逆元元素的逆元 定义定义 设设 是集合是集合 上
17、具有单位元上具有单位元 的的二元运算，对于元素二元运算，对于元素 ，若存在一元素，若存在一元素 使得使得 ，则称，则称 关于关于 是左可逆的，称是左可逆的，称 是是 的左逆元；的左逆元；AeAaeaal1aAal11laa1ra 若存在若存在 ，使得，使得 ，则称，则称 关于关于 是右可逆的，称是右可逆的，称 是是 的右逆元；的右逆元；Aar1eaar1aa 若存在一元素若存在一元素 ，使得，使得 ，则称则称 关于关于 是可逆的，称是可逆的，称 是是 的逆元。的逆元。Aa1eaaaa111aaa2020 例例1515 在例中曾定义实数集在例中曾定义实数集 上的二元运上的二元运算算 ：，考虑它是
18、否存在在单位元。，考虑它是否存在在单位元。R212121r rrrrr0)1(rrlRrlrrrrrrrrlll 若若 是左单位元，则对任意是左单位元，则对任意 ，应，应有有 ，,0 r rrll于是于是由于由于 是任意的，只有是任意的，只有 ，rlr因此，是运算因此，是运算 的单位元。的单位元。中的元素是否有逆元呢？中的元素是否有逆元呢？设设 是是 的左逆元，则应有的左逆元，则应有 ，sr0srrsrs于是于是 ，rssr 即即 ，rrs)1(1rrs 因此，只要因此，只要 ，中任意元素中任意元素 均有逆元，均有逆元，其逆元是其逆元是 。例如，。例如，5 5的逆元是的逆元是1rRr1rr05
19、45545545,452121定理定理 设设 是集合是集合 上具有单位元上具有单位元 且且可结合的二元运算，若元素可结合的二元运算，若元素 有左逆元有左逆元 和右逆元和右逆元 ，则，则 且且 是是 唯一的逆元。唯一的逆元。AeAa1la1ra,111aaarl1aa证明：证明：因为因为 和和 分别是分别是 的左逆元和右逆元，的左逆元和右逆元，所以所以 1laa1raeaaaarl11因此因此 11rlaaa1la111rrraaeaa1la111)(llraeaaa于是于是 ，令，令 则则 是是 的逆元。的逆元。a1la1ra,111aaarl1a设设 还有逆元还有逆元 ，则，则 abebaa
20、b于是于是 1111)()(aaeaabaabebb2222 例例1616 设设 ，函数的复合运算是，函数的复合运算是 上上的二元运算，对任意的二元运算，对任意 ，使得使得 ，所以所以 是是 上运算上运算 的单位元。的单位元。:|NNffFFNIfIffINN NIFFf 解解即问是否存即问是否存在函数在函数 ，使，使得得？NNg:NIhg 因此因此,)(nnhgNIhgNNg:偶数为为奇数 2n 3nnng可以如下定义函数可以如下定义函数 现有函数现有函数 ，定义为对任意，定义为对任意 ，试，试问问 h 是否有左逆元？右逆元或逆元？是否有左逆元？右逆元或逆元？NNh:nnhNn2)(,hgh
21、g2323 无论如何定义函数无论如何定义函数 ，均无法使得，均无法使得 是满射。是满射。因此因此 没有右逆元。没有右逆元。ghNNg:hh但但 没有右逆元。没有右逆元。2424 定理定理4 44 4 设设 是集合是集合A上的二元运算，且上的二元运算，且 。若运算若运算 有单位元有单位元 和零元和零元 ，则，则1#Aeze z 证明证明（反证法）设（反证法）设 ，因为，因为 ，所以至少还有一，所以至少还有一元素元素 ，但，但 矛盾。故必有矛盾。故必有 。1#AzaAa,zaeazeze 2525练习练习 4-1 4-1 在相应的括号中键入在相应的括号中键入“Y”Y”或或“N”N”分别表示肯定和否
22、定。分别表示肯定和否定。1 1 通常数的乘法运算是否可看作下列集合上的二元运算？通常数的乘法运算是否可看作下列集合上的二元运算？,211A,112B NnnC123NY YY YYYYY且且e2YYN N()()()2baba 2 设有整数集设有整数集I，对，对I中任意元素，定义运算为：中任意元素，定义运算为：（1）运算）运算 在在I上是否封闭？上是否封闭？（2）运算）运算 是否可交换？是否可交换？（3）运算）运算 是否可结合？是否可结合？（4）运算）运算 在在I中是否有单位元？中是否有单位元？（5）对运算对运算 是否所有的元素都有逆元？是否所有的元素都有逆元？（6）运算）运算 在在I中是否有
23、幂等元？中是否有幂等元？（7）运算）运算 在在I中是否有零元？中是否有零元？()()()()()()()()()()()()()()26264 42 2 代数系统代数系统一、一、代数系统代数系统 定义定义4-84-8 一个非空集合一个非空集合S和定义在该集合上的一个或和定义在该集合上的一个或多个运算多个运算 所组成的系统称为代数系统。用记所组成的系统称为代数系统。用记号号 表示，其中表示，其中S称为该代数系统的域。称为该代数系统的域。n,21nS,;21 例例1 1 通常数的加法运算、乘法运算和减法通常数的加法运算、乘法运算和减法运算都可看作是实数集运算都可看作是实数集R R上的二元运算，它们
24、上的二元运算，它们构成代数系统构成代数系统 。,;R 例例2 2 设设 是集合是集合A A上的关系上的关系，是求复是求复合关系的运算。它们构成代数系统合关系的运算。它们构成代数系统 。|AS;AS 例例 3 全集合全集合 的幂集的幂集 和集合的并、交以及补和集合的并、交以及补运算构成代数系统运算构成代数系统 UU2 2，；U2727 例例4 4 整数集整数集I I和定义在和定义在I I上的通常数的加法和乘法运算组上的通常数的加法和乘法运算组成一个代数系统，记作成一个代数系统，记作 ，这两个运算具有如，这两个运算具有如下一些性质：下一些性质：；,Ii jjiijji ,kjikjikjikji)
25、()(,)()(kijikji)(iiiiii1100 ,0)()(iiii 对任意对任意i,j,ki,j,kI,I,有有 （1 1）交换律）交换律 （2 2）结合律）结合律 （3 3）分配律）分配律 （4 4）单位元）单位元 （5 5）加法的可逆性）加法的可逆性 （6 6）乘法的相约性）乘法的相约性则则由由若若,0ikjkiji可得2828二、二、子代数子代数 定义定义4-94-9 设设 是一个代数系统，其中是一个代数系统，其中运算运算 均是一元或二元运算，均是一元或二元运算，H是是S的一个的一个非空子集，如果非空子集，如果S上的这三个上的这三个运算在运算在H H上也都是封闭的，上也都是封闭
26、的，则称则称 是是 的子代数或子系统。的子代数或子系统。321,;oooS)3,2,1(ioi321,;oooH321,;oooS 如果如果 是一元运算，所谓是一元运算，所谓 在子集在子集H上封闭，意上封闭，意味着在味着在H中任取一元素中任取一元素 b b，其运算结果，其运算结果 .iiHbi)(若若 是二元运算，所谓是二元运算，所谓 在子集在子集H上封闭，意上封闭，意味着在味着在H中任取两元素中任取两元素 ，其运算结果，其运算结果 仍属于仍属于H.ba,iibai2929 对于任意对于任意 AzzzzAzz)(,21212166666Azzzz)6(6662121 是代数系统是代数系统 的子
27、代数。的子代数。,;A，;Z 但但 不一定在不一定在 B 中，例如中，例如 ，只能得出只能得出 是代数系统是代数系统 的子代数。的子代数。而而 却不是却不是 的子代数。的子代数。2221zzB133222;B;Z,;B,;Z 例例5 5 设有代数系统设有代数系统 ，其中，其中Z表示非表示非负整数集，和负整数集，和 是通常数的运算。是通常数的运算。,;Z,18,12,6,0|6ZzzA,222321022 ZzzBBzzzzBzz22122212221)(,对于任意对于任意3030练习练习 4 42 21通常数的减法运算能否和下列集合构成一个代数系统通常数的减法运算能否和下列集合构成一个代数系统
28、.（2）非负整数集）非负整数集Z ()（3）整数集）整数集I （）（4）有理数集）有理数集Q （）N N Y YY Y2 2设代数系统设代数系统 ，其中，其中I I表示整数集，表示整数集，和和分别表示通常的加法和乘法运算，下面的各个子集，分别表示通常的加法和乘法运算，下面的各个子集，它是否能构成它是否能构成V V的子代数？的子代数？（1）（2）,;IV|121InnH|23InnH()()()3设代数系统设代数系统 ，其中二元运算，其中二元运算 定义定义为为 中较大的数中较大的数,则则 有有 个子代数。个子代数。A3 B6 C7 D8yxyx与与V;3,2,1 VN N Y YC31314.3
29、 4.3 代数系统的同态与同构代数系统的同态与同构 一、一、代数系统的同态代数系统的同态 1同态的概念同态的概念 定义定义4-1 设设 是两个代数系统，是两个代数系统，是从是从 的一个函数，若对于任意的一个函数，若对于任意的的 ，有，有对任意对任意 ，有，有 则称则称 是从代数系统是从代数系统 的一个同态。的一个同态。2222211111,;；和SVSVh21SS 到1,Syx)()()(,)()()(yhxhyxhyhxhyxh21211Sx)()(21xhxh21VV 到h3232先运算后取象等同于先取象后运算先运算后取象等同于先取象后运算.两集合中两集合中“对应元素的运算结果仍然对应对应
30、元素的运算结果仍然对应”。1s2sxyh(x)h(y)yx1)()()(21yhxhyxh1s2sh(x)x)(1x)(2xh3333V 定义定义 上的二元运算上的二元运算 ，对任意，对任意 ，是把行是把行 链接在行链接在行 的后面，例如，设的后面，例如，设 则则构成代数系统构成代数系统 。V,abggfcdshe,cdsheabggf;VV例例1 1 设设 是字母的集合，称为字母表。是字母的集合，称为字母表。由由 中有限个字母组成的序列称为字母表中有限个字母组成的序列称为字母表 上的句子或上的句子或行。例如行。例如 等等.对任意行对任意行 ，中字母的个数称为中字母的个数称为 的长度，记的长度
31、，记作作 。不包含任何字母的行称作空行，记作不包含任何字母的行称作空行，记作 。字母表字母表 上所有行的集合用上所有行的集合用 表示。表示。,zyxcbaVVVbcdbaa,|0|,V3434 对于代数系统对于代数系统 和和 ，定义函数，定义函数 ，对任意对任意 ，则则 是是 到到 的一个同态。的一个同态。;V;ZZVf:|)(,fV;Vf;Z因为对于任意因为对于任意)()(|)(,fffV 对于任意整数对于任意整数 i 和正整数和正整数 m ，我们用记号，我们用记号 表示表示 i 被被 m 除后所得的非负余数。除后所得的非负余数。例如例如 对于给定的对于给定的 i i和和 m m，是唯一确定
32、的，且是唯一确定的，且,)(,)(,)(222122018333resresres)(iresm)(iresmmiresm)(03535 例例2 2 设有代数系统设有代数系统 和代数系统和代数系统 6 6,和和 6分别表示模分别表示模 6 的加法和模的加法和模6的乘法的乘法 例如例如 4 6,;1IV,;662ZV66,5,4,3,2,1,0Z),(216261zzreszz1z6)(2162zzresz,1)7(3466res0)12(36res 定义函数定义函数 ，对于任意，对于任意 ，有，有 例如例如 可以证明可以证明 是从是从 到到 的一个同态。的一个同态。Ii6:ZIh2)20()2
33、0(6 resh3)15()15(6resh)()(6iresih1V2Vh3636必须证明如下两个等式：必须证明如下两个等式：对于任意的对于任意的 ，有，有 6Iii21,)()()(26121ihihiih)()(121ihiih)(2ih即对任意的即对任意的 ，有，有 6 6 (2)(2)1()()()(26616216iresiresiiresIii21,)()(16216iresiires)(26ires为此，设为此，设 ，则则 ，因此，因此另一方面另一方面因此因此 )60(61111rrqi)60(62222rrqi)()(6212121rrqqii)()(216216rrresi
34、ires)()()(21626126616rrresrriresires)()()(26616216iresiresiires3737对于等式（对于等式（2 2），因为），因为 21122121221121666)6()6(rrrqrqqqrqrqii所以所以 )()(216216rrresiires另一方面另一方面 6 6)(16ires126)(rires)(2162rrresr因此因此 6)()(16216iresiires)(26ires由此可知由此可知 是从是从 到到 的一个同态。的一个同态。h21VV38382 由特殊函数定义的特殊的同态。由特殊函数定义的特殊的同态。定义定义4-1
35、1 设设 是从代数系统是从代数系统 到到 的同态。的同态。(1)如果如果 h 是内射，则称是内射，则称 h 是从是从 V1 到到 V2 的的单一同单一同态态。(2)如果如果 h 是满射，则称是满射，则称 h 是从是从 V1 到到 V2 的的满同态满同态 (3)如果如果 h 是双射，则称是双射，则称 h 是从是从 V1 到到 V2 的的同构同构。21:SSh1111,;SV22222,;SV3939 例例3 3 对于代数系统对于代数系统 ，定义函数，定义函数 对于任意的对于任意的 ，;IVIIh:iihIi3)(,对于任意的对于任意的,21Iii)()(33)(3)(21212121ihihii
36、iiiih因此因此 是从是从 到到 的同态。的同态。hVV 是单一同态，但不是满同态。是单一同态，但不是满同态。h 例例4 例例1中从中从 的同态的同态 是满同态，是满同态，但不是单一同态。例如但不是单一同态。例如 例如例如;,;ZV到到h,3)(,2)(,1)(,0)(abahabhahh3)()()(bcchbachabch4040 例例5 对于代数系统对于代数系统 ，即即 ;,;321AVIVZV和和|2ZxxA,16,9,4,1,04,3,2,1,022222 A 定义函数定义函数 ，对任意，对任意AZf:,)(,2zzfZz定义函数定义函数 ，对任意，对任意AIg:2)(,iigIi
37、)()()()(21222122121zfzfzzzzzzf因为对任意因为对任意 ，有，有对任意对任意 ，有，有 Zzz21,Iii21,)()()()(21222122121igigiiiiiig 所以所以 是由是由 到到 的同态，的同态，是由是由 到到 的同态。的同态。f;Z;Ag;I;Af 是从是从 V1 到到 V3 的同构。的同构。不是不是 到到 的同构。的同构。g2V3V4141 二、二、满同态的性质满同态的性质 定理定理4-5 设设 h 是从代数系统是从代数系统 到到 的一个满同态，则的一个满同态，则 （1）若）若 是可交换的，则是可交换的，则 也是可交换的；也是可交换的；（2）若
38、）若 是可结合的，则是可结合的，则 也是可结合的；也是可结合的；（3）若）若 对对 是可分配的，则是可分配的，则 对对 也是可分配的；也是可分配的；（4）在）在 中若中若 具有单位元具有单位元 ，则，则 中中 也也 具有具有 单位元单位元 ；（5）在）在 中若中若 具有零元具有零元 ，则，则 中中 也具有零元也具有零元 ；11111,SV22222,SV)(11)(22)(11)(221211V22V)(eh1V2V)(22)(22)(11)(11ez)(zh（6）若对于，元素）若对于，元素 x 具有逆元具有逆元 ，则对于，则对于 x 的像的像 也具有逆元也具有逆元 。)(11)(221x)(
39、1xh1S)(xh4242关于（关于（1），已知对于任意），已知对于任意 ，有有 ，112211xxxx121,Sxx要证明对于任意要证明对于任意 ，有，有 221,Syy122221yyyyh 证明证明 任取任取 ，因为，因为 是满射，所以必是满射，所以必存在存在 ，使得，使得 221,Syy121,Sxx2211)(,)(yxhyxh因为因为 可交换可交换所以所以 1112211xxxx于是于是 )()(112211xxhxxh因为因为 是同态，所以是同态，所以 )()()()(122221xhxhxhxhh此即此即 122221yyyy4343 关于（关于（4），已知），已知 有单位元有
40、单位元 ，对于任意的，对于任意的 ，有有1e1Sx xexxe112Sy要证明对于任意的要证明对于任意的 ，有，有yehyyeh)()(22 证明证明 对任意对任意 ，因为，因为 h h 是满射，所以必存是满射，所以必存在在 ，使得，使得 ，2Sy1Sxyxh)(又因为又因为xexxe11所以所以)()()(11xhexhxeh由由 是同态，于是有是同态，于是有 h)()()()()(22xhehxhxheh即即 yehyyeh)()(224444 要证明要证明 中中 的像的像 对于对于 也存在逆元，也存在逆元，且其逆元是且其逆元是 ，即要证明，即要证明2Sx)(xh)(1xh2)()()()
41、()(2112ehxhxhxhxh证明证明 因为因为 exxxx1111所以所以)()()(1111ehxxhxxh由同态的定义有由同态的定义有)()()()()(2112ehxhxhxhxh1s1sxh(x)h(x)1x11)()(xhxhh h 关于（关于（6），已知），已知 中某一元素中某一元素 对于对于 存在存在逆元逆元 ，1Sx1x14545h三、三、关于同构关于同构 设设 是从代数系统是从代数系统 ,到到的同构，那么的同构，那么 是从是从 到到 的双射，此时的双射，此时 存在有逆存在有逆函数函数 ，11111,;SV1S22222,;SV2Shh121:SSh 从抽象的观点来看，两
42、个同构的代数系统可以看作同一从抽象的观点来看，两个同构的代数系统可以看作同一个代数系统来加以研究。个代数系统来加以研究。)()()(),()()(211112211211112211yhyhyyhyhyhyyh1V2V1h1V2V 可以证明（证明略可以证明（证明略,可参见参考书籍可参见参考书籍1。）。）也必是也必是从从 到到 的同构的同构.即对于任意即对于任意 对于任意的对于任意的 ,这样一来，代数系统这样一来，代数系统 和和 彼此同构。彼此同构。2221),(syy2sy)()(1121yhyh4646 例例6 6 设设 ,现定义函数（现定义函数（1）（2）（3）试问，以上这些函数是否试问，
43、以上这些函数是否 到到 的同构或的同构或 到到 的自同构？的自同构？;,;21RVRV|)(,:11xxfRRf|)(,:22xxfRRfxxfRRf2)(,:331V2V2V2VRRf:1Ryx,解解 （1）关于）关于 ，对任意，对任意 所以所以 是由是由 到到 的同态，的同态，)()(|)(111yfxfyxyxyxf1f1V2V但但 不是内射不是内射,因为因为 ，例如例如故故 不是由不是由 到到 的同构。的同构。1f1V2V1f|)()(11xxfxf5.2)5.2()5.2(11 ff4747 （2 2）关于关于 ，是由是由 到到的同态，的同态，RRf:22f2V2V 对于任意对于任意
44、 ，所所以以 ，它是双射，因此，它是双射，因此 是由是由 到到的自同构。的自同构。Rx,|)(xxxf2RIf22f2V2V (3 (3）关于关于 ，对任意，对任意 ，RRf:3 Ryx,xyyxf2)(3 因此因此 ，故，故 不是由不是由到到 的自同态，也不是同构。的自同态，也不是同构。xyyxyfxf422)()(332V2V3f)()()(333yfxfyxf4848 例例 代数系统代数系统 与与 是是否同构否同构？;R;R 解解 如果如果 与与 同构，则这同构，则这两个代数系统应具有完全相同的性质，但事两个代数系统应具有完全相同的性质，但事实上实上,中运算中运算有零元，使得任有零元，使
45、得任意意 ，但，但 中运算中运算没有零元，因此没有零元，因此 与与 不同构。不同构。;R;R ;R000 ,xxRx ;R ;R;R49495)()(,yxyxfIyx解解对任意对任意1055)()()()()(yxyxyfxf)()()()(ygxgyxyxyxg888)()()()()(yhxhyxyxyxh)由上可知由上可知g g和和h h是是V V上的自同态上的自同态.设设 ，令，令 ，这些函数中这些函数中,哪些是哪些是 上的自同态？上的自同态？；IV,:IIf5)(xxf,:IIgxxg8)(IIh:xxh)(V练习练习4 43 3)()()(yfxfyxf50504 44 4 代数
46、系统的积代数代数系统的积代数*定义定义412 设代数系统设代数系统 和和 ，其中其中 和和 都是二元运算。都是二元运算。和和 的积代数是一个代数的积代数是一个代数系统系统 ，即，即 ，其中，其中 是二元运算，定义为对任意的是二元运算，定义为对任意的 ;11SV;22SV1V21VV 2V;21SVV,|),(22112121SxSxxxSSSSyyxx),(),(2121),(),(),(22112121yxyxyyxx5151 例如例如 设有代数系统设有代数系统 其中其中 ，和和 分别是模分别是模2和模和模3的加法，即的加法，即运算表如下：运算表如下：,;,;332221ZVZV,1,02Z
47、2,1,03Z23)(212221zzreszz)(213231zzreszz2011010102101020212102103;3221ZZVV根据定义根据定义412，积代数，积代数其中其中对于任意，对于任意，)2,1(),1,1(),0,1(),2,0(),1,0(),0,0(32ZZ),(),(),(2321212121yxyxyyxx322121),(),(ZZyyxx5252)1,0()0,0()2,0()1,1()0,1()2,1()0,0()2,0()1,0()0,1()2,1()1,1()2,0()1,0()0,0()2,1()1,1()0,1()1,1()0,1()2,1()
48、1,0()0,0()2,0()0,1()2,1()1,1()0,0()2,0()1,0()2,1()1,1()0,1()2,0()1,0()0,0()2,1()1,1()0,1()2,0()1,0()0,0()2,1()1,1()0,1()2,0()1,0()0,0(运算运算 的运算表如下的运算表如下:5353习题习题1 1在下列在下列N N的子集中，哪些在加法下是封闭的？证明你的回答：的子集中，哪些在加法下是封闭的？证明你的回答：（1 1）n|nn|n与与5 5互素互素；（2 2）n|6n|6整除整除n n，而，而2424整除整除 .2n解解 （1 1）令令A=n|nA=n|n和和5 5互质
49、互质，则，则A A在加法下不是封闭的，在加法下不是封闭的，例如例如 但但A523,2,3AA 也能被也能被2424整除整除,因此因此 能被能被2424整除整除,由此可知由此可知 .)3(246622212121kkkknn221)(nn Ann212n（2 2）令）令A=n|6A=n|6整除整除n,n,而而2424整除整除 。集合。集合A A在加法下是封闭的，在加法下是封闭的，Ann21,),(6,6212211Nkkknkn)(62121kknn2122212212)(nnnnnn21n22n因为若设因为若设 ，则，则 所所以以 能被能被6 6整除。整除。因为因为 能被能被2424整除，整除
50、，能被能被2424整除，整除，54542 2证明在减法下封闭的整数的集合在加法下一定证明在减法下封闭的整数的集合在加法下一定也是封闭的。也是封闭的。证明：证明：设设 J J 是在减法下封闭的整数集。并设是在减法下封闭的整数集。并设 则因为则因为J J 在减法下封闭。所以在减法下封闭。所以 又又 因此因此 。故故J J 在加法下也是封闭的。在加法下也是封闭的。例如例如 就是本题一例。就是本题一例。,Jba,0JbbJbb0Jbaba)(IiiI|4455553 3下面是实数集合下面是实数集合R R上的二元运算上的二元运算*的不同定义。在每一情的不同定义。在每一情况下，判定况下，判定*是否是可交换
