1、本讲内容本讲内容一、环的定义一、环的定义二、环内特殊元素二、环内特殊元素三、环的分类三、环的分类四、子环、理想和商环四、子环、理想和商环一、环的定义（1 1）（）（R R，）是一个可换群；，）是一个可换群；（2 2）（）（R R，）是一个半群；）是一个半群；（3 3）左、右分配律成立：对任何）左、右分配律成立：对任何a，b，c R R，有：，有：a(bc)=)=abac，(ab)c=acbc；则称代数系统（则称代数系统（R R，）是一个）是一个环环。（R R，）是一个交换群，称为环，）是一个交换群，称为环R R的加法群。的加法群。如果环如果环R R的乘法还满足交换律，则称的乘法还满足交换律，则
2、称R R为交换环。为交换环。定义定义1：设：设R是一个非空集合，在是一个非空集合，在R中定义两种二元运算，中定义两种二元运算，一种叫加法，记做，另一种叫乘法，记做一种叫加法，记做，另一种叫乘法，记做；且满足：；且满足：（Z Z，）是一个交换环。）是一个交换环。（Z Z，）称为整数环。）称为整数环。有理数集有理数集Q Q、实数集、实数集R R、复数集、复数集C C对于通常数的加法与乘对于通常数的加法与乘法构成交换环。法构成交换环。把数集关于数的加法、乘法做成的环，称为数环。把数集关于数的加法、乘法做成的环，称为数环。Z Z，Q Q，R R，C C都是数环。都是数环。例例1：全体整数所成集合：全体
3、整数所成集合Z对于通常数的加法与乘法构成对于通常数的加法与乘法构成一个环（一个环（Z，）。）。一般地，设一般地，设A是一个数环，是一个数环，Ax表示系数属于表示系数属于A的一切的一切x的多项式所成集合，则的多项式所成集合，则Ax关于多项式的加法与乘法构成关于多项式的加法与乘法构成一个环。一个环。例例2：设：设Zx=a0a1xa2x2anxn|ai Z，n0为为整数整数，则，则Zx是系数为整数的一切是系数为整数的一切x的多项式所组成的集合，的多项式所组成的集合，Zx关于多项式的加法与乘法构成一个环。关于多项式的加法与乘法构成一个环。二、环内特殊元素环环R R的元素的元素a的加法逆元称为的加法逆元
4、称为a的负元，记做的负元，记做a。R R的零元及每个元素的负元都是唯一的。的零元及每个元素的负元都是唯一的。如果环如果环R R中存在元素中存在元素e，使对任意的，使对任意的a R R，有，有ae=ea=a，则，则称称R R是一个有单位元的环，并称是一个有单位元的环，并称e为为R R的单位元。的单位元。常把环常把环R R的单位元的单位元e记为记为1 1。如果环如果环R R有单位元，则单位元是唯一的。有单位元，则单位元是唯一的。1 1环内一些特殊元素环内一些特殊元素环环R的加法单位元常用的加法单位元常用0表示，称为环表示，称为环R的零元。的零元。如果如果a可逆，则可逆，则a的逆元是唯一的；可逆元的
5、逆元是唯一的；可逆元a的逆元记做的逆元记做a1 1。对于一个有单位元的环对于一个有单位元的环R R，其所有可逆元组成的集合关，其所有可逆元组成的集合关于环于环R R的乘法构成群。这个群称为环的乘法构成群。这个群称为环R R的的单位群或可逆元群单位群或可逆元群，记做记做U(R)U(R)。设环设环R是有单位元是有单位元1的环，的环，a R，如果存在，如果存在b R，使，使ab=ba=1，则称，则称a是是R的一个可逆元，并称的一个可逆元，并称b为为a的逆元。的逆元。0 11.nnZnnZnababa bab 例3：设，是整数模 的同余类集合，在中定义加法和乘法分别为模 的加法和乘法：，则(Zn，)是
6、有单位元的交换环，称为整数模n的同余类（或剩余类）环。(Zn，)的单位群是Zn*。倍数法则：对任意的倍数法则：对任意的m，n Z Z，a，b R R，（1 1）mana=(=(mn)a；（2 2）m(ab)=)=mamb；（3 3）m(na)=()=(mn)a=n(ma)；（4 4）m(ab)=()=(ma)b=a(mb)。指数法则：对任意的指数法则：对任意的m，n Z Z，a，b R R，（1 1）(am)n=amn；（2 2）aman=amn。利用负元的概念，定义环利用负元的概念，定义环R的减法的减法“”为：为：对任意的对任意的a，b R，令，令ab=a(b)。2 2性质性质若一个元素既是
7、左零因子，又是右零因子，则称它为零因子。若一个元素既是左零因子，又是右零因子，则称它为零因子。R R是无零因子环充要条件是：是无零因子环充要条件是：a，b R R，ab=0=0a=0=0或或b=0=0。3 3无零因子环无零因子环定义定义3 3：设环：设环R R不含左、右零因子，则称不含左、右零因子，则称R R为无零因子环。为无零因子环。例例7 7：求模：求模6 6的同余类环的同余类环Z Z6 6的所有零因子和单位。的所有零因子和单位。定义定义2：设：设R是一个环，是一个环，a，b R，若，若ab=0，且，且a0和和b0，则称则称a为为R的一个左零因子，的一个左零因子，b为为R的一个右零因子。的
8、一个右零因子。定理定理1 1：环中无左（右）零因子的充要条件是乘法消去：环中无左（右）零因子的充要条件是乘法消去律成立，即：律成立，即：a00，ab=acb=c；a00，ba=cab=c。三环的分类1 1整环整环 定义定义5 5：一个有单位元，无零因子的交换环称为：一个有单位元，无零因子的交换环称为整环整环。所有数环都是交换环，同时也是整环。所有数环都是交换环，同时也是整环。(1)|d dZdab d abZ命题：对任一无平方因子的整数，数集 ，是整环。2.2.除环除环 定义定义6 6：若含有单位元和零的环：若含有单位元和零的环R R中每个非零元都可逆，中每个非零元都可逆，则称则称R R为除环
9、。为除环。模模6 6的同余类环的同余类环Z Z6 6不是整环。不是整环。3 3域域定义定义7 7：若：若R R是一个可交换的除环，则称是一个可交换的除环，则称R R为为域域。注：域一定是整环，但整环却不一定是域。注：域一定是整环，但整环却不一定是域。整数环整数环Z Z不是域。不是域。有理数集有理数集Q Q、实数集、实数集R R、复数集、复数集C C对于通常数的加法与乘对于通常数的加法与乘法构成域，分别称为有理数域、实数域、复数域。法构成域，分别称为有理数域、实数域、复数域。具有有限个元素的域，称为有限域。具有有限个元素的域，称为有限域。定理定理2 2：（：（Z Zn，）是域的充要条件是）是域的
10、充要条件是n是素数。是素数。具有有限个元素的整环是域具有有限个元素的整环是域。四、子环、理想和商环四、子环、理想和商环 定义定义8 8：设（：设（R R，）是一个环，）是一个环，S S是是R R的一个非空子集；的一个非空子集；如果如果S S关于关于R R的运算构成环，则称的运算构成环，则称S S为为R R的一个子环，的一个子环，R R为为S S的一个的一个扩环。扩环。定理定理3 3：设（：设（R R，）是一个环，）是一个环，S S是是R R的一个非空子的一个非空子集；则集；则S S是是R R的子环的充要条件是：的子环的充要条件是：（1 1）对任意的）对任意的a，b S S，有，有ab S S；
11、（2 2）对任意的）对任意的a，b S S，有，有ab S S。对于任意一个环对于任意一个环R R，都有两个子环：，都有两个子环：00与与R R。这两个子环。这两个子环称为称为R R的平凡子环。的平凡子环。21212282()|0|0000()RabMRabcdRcdabaSabRSaRSSMR例：在实数域 上的 阶全矩阵环，中，令，则，是的子环。定义定义9：设：设R为环，为环，I为为R的非空子集，如果的非空子集，如果I满足：满足：（1）对任意的）对任意的r1，r2 I，r1r2 I；（2）对任意的）对任意的r I，s R，rs，sr I；则称则称I为环为环R的一个的一个理想理想。例9：整数环
12、Z中，任取mZ，则I=mn|nZ是Z的理想。例10：在数环R上多项式环Rx中，令I表示一切常数项为零的多项式全体，即I=a1xa2x2anxn|aiR，nN，则I是多项式环Rx的一个理想。定理4：设R是一个环，I是环R的一个理想，|/|aaIax xIR Ia aR记，；/R IabababR定义的加法运算为：，；/R IabababR定义的乘法为：，；则（R/I，）是一个环。定义10：称环R/I为环R关于理想I的商环，或称为R模I的同余类环。定理5：设R为环，I是R的理想，则：10/IRI（）为的零元；2/ReeIeeIR I（）若 有单位元，且，则为的单位元；（3）如果R是交换环，则R/I
13、也是交换环。111()|/()()|0 1 210 11.nnZnnnr rZZnaanannZ例：设，则，（2 2）同一个记号）同一个记号Z Zn表示不同的意义：表示不同的意义：(i)(i)当当Z Zn看作是整数看作是整数n的商群时，的商群时，Z Zn中只有加法一种运算；中只有加法一种运算；(ii)(ii)当当Z Zn看作是整数看作是整数n的商环时，的商环时，Z Zn中有加法和乘法两种运算。中有加法和乘法两种运算。例例12：做出环：做出环Z关于关于(3)=3r|r Z的商环的商环Z/(3)的加法和乘法的加法和乘法运算表。运算表。注注：（：（1 1）Z/(Z/(n)为域的充要条件是为域的充要条件是n为素数。为素数。1、求模、求模12的同余类环的同余类环Z12的所有零因子和单位。的所有零因子和单位。作业：作业：2、做出环、做出环Z关于关于(5)=5r|r Z的商环的商环Z/(5)的加法和乘法的加法和乘法运算表。运算表。课后作业课后作业 （1 1）习题）习题1/10/141/10/14 （2 2）预习多项式环）预习多项式环
