1、第11.2节一、第一型（对坐标的）曲线积分的一、第一型（对坐标的）曲线积分的概念与性质概念与性质二、第一型（对坐标的）曲线积分的二、第一型（对坐标的）曲线积分的计算法计算法 三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系 第二型（对坐标的）曲线积分 第十一章 一、一、第二型（对坐标的）曲线积分的概念与性质第二型（对坐标的）曲线积分的概念与性质1.引例引例:变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,ABLxy求移cosABFW“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.ABF ABF
2、),(,),(),(yxQyxPyxF1kMkMABxy1)“大化大化小小”.2)“常代变常代变”L把L分成 n 个小弧段,有向小弧段kkMM1),(kkyx近似代替,),(kk则有kkkkyQxP),(),(kk所做的功为,kWF 沿kkMM1kkkkMMFW1),(k),(kkFnkkWW1则用有向线段 kkMM1kkMM1上任取一点在kykx3)“近似和近似和”4)“取极限取极限”nkW1kkkkkkyQxP),(),(nkW10limkkkkkky)Q(x)P,(1kMkMABxyL),(kkFkykx(其中 为 n 个小弧段的 最大长度)2.定义定义.设 L 为xoy 平面内从 A
3、到B 的一条有向光滑有向光滑弧弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分坐标的曲线积分,LyyxQxyxPd),(d),(kkkxP),(kkkyQ),(nk 10lim则称此极限为函数或第二型曲线积分第二型曲线积分.其中,),(yxPL 称为积分弧段积分弧段 或 积分曲线积分曲线.称为被积函数被积函数,在L 上定义了一个向量函数极限),(,),(),(yxQyxPyxF记作),(yxF),(yxQLxyxPd),(,),(lim10nkkkkxPLyyxQd),(,),(lim10nkkkkyQ若 为空间曲线弧,记称为对 x 的曲线积分;称为
4、对 y 的曲线积分.若记,对坐标的曲线积分也可写作)d,(ddyxs LLyyxQxyxPsFd),(d),(d),(,),(,),(),(zyxRzyxQzyxPzyxFzzyxRyzyxQxzyxPsFd),(d),(d),(d)d,d,(ddzyxs 类似地,3.性质性质(1)若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧),1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(kiLiyyxQxyxP1d),(d),(2)用L 表示 L 的反向弧,则LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(则 定积分是第二类曲线积分的特例.说明说明:对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向!
5、二、第二型（对坐标的）曲线积分的计算法二、第二型（对坐标的）曲线积分的计算法定理定理:),(,),(yxQyxP设在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为)()(tytx,:t则曲线积分LyyxQxyxPd),(d),()(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ连续,证明证明:下面先证LxyxPd),(tttPd )(),()(t存在,且有对应参数设分点根据定义ix,it),(ii点,i由于1iiixxx)()(1iittiit)(LxyxPd),(tttPd )(),(niiiP10)(,)(limiit)(niiiP10)(,)(limiit)()(tLxyxPd),(niiii
6、xP10),(lim对应参数连续所以)(t因为L 为光滑弧,同理可证LyyxQd),(tttQd )(),()(t特别是,如果 L 的方程为,:),(baxxy则xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(对空间光滑曲线弧:类似有zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),()(t)(t)(ttd)(,)(),(tttP,:)()()(ttztytx(),(),()Qttt(),(),()Rttt例例1.计算,dLxyx其中L 为沿抛物线xy 2解法解法1 取 x 为参数,则OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxd
7、ddxxxd)(0154d21023xxyyyyxyxLd)(d2112xyxy 解法解法2 取 y 为参数,则11:,:2yyxL54d2114yy从点xxxd10的一段.)1,1()1,1(BA到)1,1(B)1,1(Aoyx例例2.计算其中 L 为,:,0aaxyyBAoaa x(1)半径为 a 圆心在原点的 上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点 A(a,0)沿 x 轴到点 B(a,0).解解:(1)取L的参数方程为,d2xyL0:,sin,costtaytaxxyLd2ttadsin2203332a(2)取 L 的方程为xyLd2ta202sinttad)sin(132334aaax
8、d00则则yxo例例3.计算,dd22yxxyxL其中L为(1)抛物线 ;10:,:2xxyL(2)抛物线 ;10:,:2yyxL(3)有向折线.:ABOAL解解:(1)原式22xxxx d4103(2)原式yyy222yy d5104(3)原式yxxyxOAdd22102d)002(xxx1)0,1(A)1,1(B2yx 2xy 10(xxxd)2210(yyd)4yxxyxABdd2210d)102(yy11例例4.设在力场作用下,质点由沿移动到),2,0,(kRB)0,0,(RA.)2(AB解解:(1)zzyxxydddttkR2022d)(2)的参数方程为kttzyRx20:,0,AB
9、zzyxxydddktt20dBAzyx试求力场对质点所作的功.;,sin,cos)1(tkztRytRx)(222Rk 222k其中为),(zxyFsFWdsFWdozyx例例5.求,d)(d)(d)(zyxyzxxyzI其中,2122zyxyx从 z 轴正向看为顺时针方向.解解:取 的参数方程,sin,costytx)02:(sincos2tttz20Itttcos)sincos22(tttttd)sin)(cossin(costt d)cos41(220)sin)(cos2(tt 2三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为)0()(
10、,)(lssyysxx已知L切向量的方向余弦为sysxddcos,ddcos则两类曲线积分有如下联系LyyxQxyxPd),(d),(ssysysxQsxsysxPlddd)(),(dd)(),(0ssysxQsysxPldcos)(),(cos)(),(0LsyxQyxPdcos),(cos),(类似地,在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是zRyQxPdddsRQPdcoscoscos令tAsAtd,),(RQPA)d,d,(ddzyxs)cos,cos,(cost sA d sA dstAd记 A 在 t 上的投影为d(d,d,d)d (cos,cos,cos)sxyzs二者夹角为 例例6
11、.设,max22QPM曲线段 L 的长度为s,证明),(,),(yxQyxP续,sMyQxPLdd证证:LyQxPddsQPLdcoscos设sMsQPLdcoscos说明说明:上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在L上连)cos,(cos,),(tQPAstALdsALdcos例例7.将积分yyxQxyxPLd),(d),(化为对弧长的积分,0222xyx).0,2()0,0(BO到从解：解：oyxB,22xxyxxxxyd21d2sdxyd12xxxd212sxddcos,22xx syddcosx1yyxQxyxPLd),(d),(syxQyxPLd),(),(22xx)1(x其中L
12、沿上半圆周1.定义kkkknkyQxP),(),(limkk10LyyxQxyxPd),(d),(2.性质(1)L可分成 k 条有向光滑曲线弧),1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2)L 表示 L 的反向弧LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向!内容小结内容小结3.计算,)()(:tytxL:tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),()(),()(t)(t 对有向光滑弧 对有向光滑弧baxxyL:,)(:xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(:,)()()(ttztytx)(,)(),(tttP)(t)(t)(t4.两类曲线积分的联系LyQxPddsQPLdcoscoszRyQxPdddsRQPdcoscoscos)(,)(),(tttQ)(,)(),(tttRtd 对空间有向光滑弧:
