1、 2023年中考数学复习二次函数与动态几何问题专项刷题练习题1如图，抛物线 y=x2+x2 与 x 轴交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于点 C . （1）求点 A ，点 B 和点 C 的坐标；（2）在抛物线的对称轴上有一动点 P ，求 PB+PC 的值最小时的点 P 的坐标；（3）若点 M 是直线 AC 下方抛物线上一动点， M 运动到何处时四边形 ABCM 面积最大，最大值面积是多少？2如图，直线y=13x+b和抛物线y=ax53x+2都经过A（0，n）和B（m，4）两点，抛物线y=ax53x+2与x轴交于C、D两点（点C在点D右侧）（1）求直线和抛物线的函数表达式；（2）求四边形ABC
2、D的面积S；（3）在x轴上是否存在点P，使得PAB是以AP为直角边的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由3在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y= 14x2+mx+n 的图象经过点A（2，0）和点B（1， 34 ），直线l经过抛物线的顶点且与y轴垂直，垂足为Q（1）求该二次函数的表达式；（2）设抛物线上有一动点P从点B处出发沿抛物线向上运动，其纵坐标y1随时间t（t0）的变化规律为y1= 34 +2t现以线段OP为直径作C当点P在起始位置点B处时，试判断直线l与C的位置关系，并说明理由；在点P运动的过程中，直线l与C是否始终保持这种位置关系？请说明你的理由若在点P开始运动
3、的同时，直线l也向上平行移动，且垂足Q的纵坐标y2随时间t的变化规律为y2=1+3t，则当t在什么范围内变化时，直线l与C相交？此时，若直线l被C所截得的弦长为a，试求a2的最大值4如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线
4、段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由5如图，在RtABC中，B=90，AB= 3 cm，BC= 4 cm点P从点A出发，以1 cms的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2 cms的速度沿BC运动当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动（1）试写出PBQ的面积 S （cm2）与动点运动时间 t （s）之间的函数表达式； （2）运动时间 t 为何值时，PBQ的面积最大？最大值是多少？ 6如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx 顶点坐标为 (2,4) ，图象交x轴正半轴于点A. （1）求二次函数的表达式和点A的坐
5、标. （2）点 P 是抛物线上的点，它在对称轴右侧且在第一象限内.将点P向左平移 2n (n0) 个单位，将与该二次函数图象上的点Q重合，若 OAQ 的面积为 6n ，求n的值. 7如图，抛物线经过点A(1，0)，B(5，0)，C(0， 103 )三点，顶点为D，设点E(x，y)是抛物线上一动点，且在x轴下方 （1）求抛物线的解析式； （2）当点E(x，y)运动时，试求三角形OEB的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值？ （3）在y轴上确定一点M，使点M到D、B两点距离之和dMD+MB最小，求点M的坐标 8在平面直角坐标系xOy中，抛物线 y=ax23ax+1 与y轴交于点A（1）
6、求抛物线的对称轴；（2）点B是点A关于对称轴的对称点，求点B的坐标；（3）已知点P(0，2)，Q(a+1,1) ，若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围 9如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2+bx+c的图象与x轴，y轴分别交于A、B、C三点，点D是其顶点，若C（0，2），D（2，4）（1）求抛物线解析式；（2）在对称轴上找一点P，使AP+CP最小，求出点P的坐标10如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c (a0) 的对称轴为直线 x=1 ，且抛物线与 x 轴交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于 C 点，其中 A(1，0) ， C(0，3) （1）若直线 y=
7、mx+n 经过 B 、 C 两点，求直线 BC 和抛物的解析式； （2）在抛物线的对称轴 x=1 上找一点 M ，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，求出点 M 的坐标； （3）点 Q 为 BC 上一动点，过 Q 作 x 轴垂线交抛物线于点 P （点 P 在第二象限），求线段 PQ 长度最大值 11如图，在平面直角坐标系中，直线yx+5与y轴交于点A，与x轴交于点B抛物线yx2+bx+c过A、B两点（1）点A，B的坐标分别是A ，B ； （2）求抛物线的解析式；（3）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一动点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D
8、，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积12如图，一次函数y=4x4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y= 43 x2+bx+c的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B（1）求抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的顶点为D，求四边形ABDC的面积；（3）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N问在x轴上是否存在点P，使得PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由13先让我们一起来学习方程m2+1= m2+3 的解法：解：令m2=a，则a+1= a+3 ，方程两边平方可得，（a+1）2=a+3解得a1=1，a2=
9、2，m20m2=1m=1点评：类似的方程可以用“整体换元”的思想解决不妨一试：如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+1经过点A（4，3），顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点（0，2）且垂直于y轴的直线，过P作PHl，垂足为H，连接PO（1）求抛物线的解析式；（2）当P点运动到A点处时，通过计算发现：PO PH（填“”、“”或“=”）；（3）当PHO为等边三角形时，求点P坐标；（4）如图2，设点C（1，2），问是否存在点P，使得以P、O、H为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由14在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（4，0），B（0，
10、4），C（2，0）三点（1）求抛物线的解析式； （2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，AMB的面积为S求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值 （3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线yx上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、 O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标 15如图，抛物线y=ax2+bx3经过A（1，0）B（4，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线解析式；（2）点N是x轴下方抛物线上的一点，连接AN，若tanBAN=2，求点N的纵坐标；（3）点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接AD，在x轴上是否存在E，使AED=CAD？如果存在，请
11、直接写出点E坐标，如果不存在，请说明理由；（4）连接AC、BC，ABC的中线BM交y轴于点H，过点A作AGBC，垂足为G，点F是线段BH上的一个动点（不与B、H重合），点F沿线段BH从点B向H移动，移动后的点记作点F，连接FC、FA，FAC的FC、FA两边上的高交于点P，连接AP，CP，FAC与PAC的面积分别记为S1，S2，S1和S2的乘积记为m，在点F的移动过程中，探究m的值变化情况，若变化，请直接写出m的变化范围，若不变，直接写出这个m值16已知抛物线E1：y=x2经过点A（1，m），以原点为顶点的抛物线E2经过点B（2，2），点A、B关于y 轴的对称点分别为点A，B（1）求m的值及抛物
12、线E2所表示的二次函数的表达式;（2）如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由;（3）如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连接OP并延长与抛物线E2相交于点P，求PAA与PBB的面积之比答案解析部分1【答案】（1）由y=0，得x2+x2=0 解得 x1=2，x2=l， A（2，0），B（l，0），由x=0，得y=2，C（0，2）.（2）连接AC与对称轴的交点即为点P. 设直线AC为y=kx+b，则 2k+b=0b=2 ，得 k=l，y=x2.对称轴为x= 12 ，当 x= 12
13、 时，y=-（ 12 ）2= 32 ，P（ 12 ， 32 ）.（3）过点M作MN丄x轴与点N， 设点M（x，x2+x2），则OA=2，ON=x，OB=1，OC=2，MN=（x2+x2）=x2x+2，S四边形ABCM=SAOM+SOCM+SBOC= 12 2（x2x+2）+ 12 2（x）+ 12 12=x22x+3=（x+1）2+4.a=10，当x=1时，S四边形ABCM的最大值为4.点M坐标为（1，2）时，S四边形ABCM的最大值为4.2【答案】（1）解：抛物线y=ax53x+2经过A（0，n），将x=0代入，解得n=2A（0，2），A（0，2）在直线y=13x+b上，将x=0代入，解得b
14、=2直线解析式为：y=13x+2B（m，4）在直线y=13x+2上，4=13m+2m=6B（6，4）将点B（6，4）代入y=ax53x+2，即4=36a10+2解得a=13抛物线的解析式为y=13x253x+2（2）解：由抛物线的解析式为y=13x253x+2，令y=0，即13x253x+2=0解得x1=2，x2=3D(2，0)，C(3，0)如图，过点B作BEx于点E，则E(6，0)A(0，2)，B(6，4)，C(3，0)，D(2，0)AO=2，DO=2，CE=3，BE=4，OE=6四边形ABCD的面积S=S梯形AOEBSAODSBCE=12(AO+BE)OE12AOOD12BECE=12(2
15、+4)612221234=1826=10（3）解：如图，分别过点A、B作AP1AB，BP2AB，过点B作BEx于点E，连接AP1，BP2设P1(x1，0)，P2(x2，0)，则AP12=x12+AO2=4+x12，AB2=62+(42)2=40，BP22=BE2+P2E2=42+(x26)2=x2212x2+52，AP22=AO2+OP22=4+x22，BP12=(6x)2+42=x1212x1+52，在RtABP1和RtABP2中，AB2=AP12+BP12，AB2=AP22+BP22，40+4+x12=x1212x1+52，40=x2212x2+52+4+x22解得x1=23，x2=4或x
16、2=2OP=23或4或23【答案】（1）解：将点A（2，0）和点B（1， 34 ）分别代入y= 14 x2+mx+n中，得：144+2m+n=014+m+n=34 ，解得： m=0n=1 ，抛物线的解析式：y= 14 x21（2）解：将P点纵坐标代入（1）的解析式，得：14 x21= 34 +2t，x= 8t+1 ，P（ 8t+1 ， 34 +2t），圆心C（ 8t+12 ， 38 +t），点C到直线l的距离： 38 +t（1）=t+ 58 ；而OP2=8t+1+（ 34 +2t）2，得OP=2t+ 54 ，半径OC=t+ 58 ；直线l与C始终保持相切、由可知，若直线l与C相切，则：2t 5
17、8 =t+ 58 ，t= 54 ；当0t 54 时，直线l与C相交；、0t 54 时，圆心C到直线l的距离为d=|2t 58 |，又半径为r=t+ 58 ，a2=4（r2d2）=4（t+ 58 ）2|2t 58 |2=12t2+15t，t= 58 时，a的平方取得最大值为 75164【答案】（1）解：点A（3，4）在直线y=x+m上，4=3+mm=1设所求二次函数的关系式为y=a（x1）2点A（3，4）在二次函数y=a（x1）2的图象上，4=a（31）2，a=1所求二次函数的关系式为y=（x1）2即y=x22x+1（2）解：设P、E两点的纵坐标分别为yP和yEPE=h=yPyE=（x+1）（x
18、22x+1）=x2+3x即h=x2+3x（0x3）（3）解：存在解法1：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC点D在直线y=x+1上，点D的坐标为（1，2），x2+3x=2即x23x+2=0解之，得x1=2，x2=1（不合题意，舍去）当P点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP是平行四边形解法2：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有BPCE设直线CE的函数关系式为y=x+b直线CE经过点C（1，0），0=1+b，b=1直线CE的函数关系式为y=x1y=x1y=x22x+1得x23x+2=0解之，得x1=2，x2=1（不合题意，舍去）当P点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP是平行四边
19、形5【答案】（1）解：SPBQ=12BQPB =122t(3t) =t2+3t（2）解：S=t2+3t=(t32)2+94 且0t2 当 t=32 s时，PBQ的面积最大，最大值是 94 cm26【答案】（1）解：设二次函数表达式为 y=a(x2)2+4 ，由题意得； 把 (0,0) 代入，得 a=1二次函数表达式为： y=(x2)2+4对称轴是直线 x=2 ， O(0,0)所以 A(4,0)（2）解：设 Q(x,y)A(4,0)又124y=6ny=3nPQ=2nx=2nQ(2n,3n)把 Q(2n,3n) 代入 y=(x2)2+4 得： (2n2)2+4=3n解得： n1=1 ， n2=4
20、（舍去）n的值为17【答案】（1）解：设抛物线解析式为yax2+bx+c，则 0=a+b+c0=25a+5b+c103=c ，解得： a=23b=4c=103 故抛物线解析式为y 23 x24x+ 103 （2）解：过点E作EFx轴，垂足为点F，如图1所示 E点坐标为(x， 23 x24x+ 103 )，F点的坐标为(x，0)，EF0( 23 x24x+ 103 ) 23 x2+4x 103 点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方，1x5三角形OEB的面积S 12 OBEF 12 5( 23 x2+4x 103 ) 53 (x3)2+ 203 (1x5当x3时，S有最大值 203 （3）
21、解：作点D关于y轴的对称点D，连接BD，如图2所示 抛物线解析式为y 23 x24x+ 103 23 (x3)2 83 ，D点的坐标为(3， 83 )，D点的坐标为(3， 83 )由对称的特性可知，MDMD，MB+MDMB+MD，当B、M、D三点共线时，MB+MD最小设直线BD的解析式为ykx+b，则0=5k+b83=3k+b ，解得： k=13b=53 ，直线BD的解析式为y 13 x 53 当x0时，y 53 ，点M的坐标为(0， 53 )8【答案】（1）解：由抛物线 y=ax23ax+1 ，可知 x=3a2a=32 抛物线的对称轴为直线 x=32（2）解：抛物线 y=ax23ax+1 与
22、y轴交于点A， 令x=0，y=1点A的坐标为 (0,1) 点B是点A关于直线 x=32 的对称点， 点B的坐标为 (3,1)（3）解：点A (0,1) ，点B (3,1) ，点 P (0,2) ，点Q (a+1,1) ， 点 P在点A 的上方，点Q在直线 y=1 上 当 a0 时， a+11 ，点Q在点A的右侧（i）如图1，当 a+13 ，即 a2 时，点Q在点B的左侧，结合函数图象，可知线段PQ与抛物线没有公共点；（ii）如图2，当 a+13 ，即 a2 时，点Q在点B的右侧，或与点B重合，结合函数图象，可知线段PQ与抛物线恰有一个公共点当 a0 时， a+11 ，点Q在点B的左侧（i）如图
23、3，当 0a+11 ，即 1a0 时，点Q在点A的右侧，或与点A重合，结合函数图象，可知线段PQ与抛物线恰有一个公共点；（ii）如图4，当 a+10 ，即 a1 时，点Q在点A的左侧，结合函数图象，可知线段PQ与抛物线没有公共点综上所述，a的取值范围是 1ayQPQ=t22t+3(t+3)=t23t=(t23t+94)+94=(t32)2+94 94 线段 PQ 长度最大值 94 11【答案】（1）（0，5）；（5，0）（2）解：将点A、B的坐标代入二次函数表达式得： 25+5b+c=0c=5 ， 解得： b=4c=5 ，即抛物线的表达式为：yx2+4x+5；（3）解：抛物线的对称轴为x b2
24、a 2，则点C的坐标为（4，5）， 设点P的坐标为（x，x2+4x+5），则点D坐标为（x，x+5）ACPD，S四边形APCD 12 ACPD2（x2+4x+5+x5）2x2+10x，a20，S四边形APCD有最大值，当x 52 时，其最大值为： 252 ，此时点P的坐标（ 52 ， 252 ）12【答案】（1）解：一次函数y=4x4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，A （1，0），C （0，4），把A （1，0），C （0，4）代入y= 43 x2+bx+c得43b+c=0c=4 ，解得 b=83c=4 ，y= 43 x2 83 x4；（2）解：y= 43 x2 83 x4= 43 （
25、x1）2 163 ，顶点为D（1， 163 ），设直线DC交x轴于点E，由D（1， 163 ），C （0，4），易求直线CD的解析式为y= 43 x4，易求E（3，0），B（3，0），SEDB= 12 6 163 =16，SECA= 12 24=4，S四边形ABDC=SEDBSECA=12；（3）解：设M、N的纵坐标为a，由B和C点的坐标可知BC所在直线的解析式为：y= 43x4 ，则M（ 4a4 ，a），N（ 3a+124 ，a）， 当PMN=90，MN=a+4，PM=a，因为是等腰直角三角形，则a=a+4，则a=2，则P的横坐标为 12 ，即P点坐标为（ 12 ，0）； 当PNM=90，P
26、N=MN，同上，a=2，则P的横坐标为 3(2)+124 = 32 ，即P点坐标为（ 32 ，0）；当MPN=90，作MN的中点Q，连接PQ，则PQ=a，又PM=PN，PQMN，则MN=2PQ，即：a+4=2a，解得：a= 43 ，点P的横坐标为： 4a+3a+1242 = a+44 = 23 ，即P点的坐标为（ 23 ，0）13【答案】（1）解：抛物线y=ax2+1经过点A（4，3），3=16a+1，a= 14 ，抛物线解析式为y= 14 x2+1，顶点B（0，1）（2）=当P点在抛物线上运动时，猜想PO与PH有何数量关系，并证明你的猜想；解：结论：PO=PH理由：设点P坐标（m， 14 m
27、2+1），PH=2（ 14 m2+1）= 14 m2+1PO= m2+(14m2+1)2 = 14 m2+1，PO=PH（3）解：PHO为等边三角，OP=OH由两点间的距离公式可知：OH= m2+22 14 m2+1= m2+4 ，解得：m=2 3 ，P（2 3 ，2）、（2 3 ，2）（4）解：BC= 12+32 = 10 ，AC= 12+32 = 10 ，AB= 42+42 =4 2 BC=AC，PO=PH，以P，O，H为顶点的三角形与ABC相似，PH与BC，PO与AC是对应边，PHHO=BCAB ，设点P（m， 14 m2+1），14m2+1m2+4 = 1042 ，解得m=1点P坐标（
28、1， 34 ）或（1， 34 ）14【答案】（1）解：设此抛物线的函数解析式为： y=ax2+bx+c(a0) ， 将 A(4，0) ， B(0，4) ， C(2，0) 三点代入函数解析式得：16a4b+c=0c=44a+2b+c=0 ，解得 a=12b=1c=4 ，所以此函数解析式为： y=12x2+x4 ；（2）解：M 点的横坐标为 m ，且点 M 在这条抛物线上， M 点的坐标为： (m，12m2+m4) ， S=SAOM+SOBMSAOB=124(12m2m+4)+124(m)1244=m22m+82m8=m24m=(m+2)2+44m0 ，当 m=2 时， S 有最大值为： S=4+
29、8=4 答： m=2 时 S 有最大值 S=4 （3）解：设 P(x，12x2+x4) 当 OB 为边时，根据平行四边形的性质知 PQOB ，且 PQ=OB ，Q 的横坐标等于 P 的横坐标，又直线的解析式为 y=x ，则 Q(x，x) 由 PQ=OB ，得 |x(12x2+x4)|=4 ，解得 x=0 ， 4 ， 225 （ x=0 不合题意，舍去）如图，当 BO 为对角线时，知 A 与 P 应该重合， OP=4 四边形 PBQO 为平行四边形则 BQ=OP=4 ， Q 横坐标为4，代入 y=x 得出 Q 为 (4，4) 由此可得 Q(4，4) 或 (2+25，225) 或 (225，2+2
30、5) 或 (4，4) 15【答案】（1）解：将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得： ab3=016a+4b3=0 ，解得： a=34b=94 抛物线的解析式为y= 34 x2 94 x3（2）如图1所示：过点N作NMx轴点M，则AMN=90设点N的坐标为（x， 34 x2 94 x3），则AM=x+1，MN= 34 x2+ 94 x+3tanBAN=2，34x2+94x+3x+1 =2，解得：x= 43 或x=1（舍去）MN=2AM=3（ 43 +1）= 143 ，点N的坐标为（ 43 ， 143 ）（3）如图2所示：连接CD，过点C作CGAD，垂足为G，过点D作DFx轴，垂足为F点C与点D
31、关于对称轴直线x= 32 对称，D（3，3）DF=3，CD=3依据两点间的距离公式可知AD=5，AC= 10 SACD= 12 CDOC= 12 ADCG，CG= 95 AG= AC2CG2 = 135 tanCAD= 913 AED=CAD，tanAED= DFEF = DFEF = 913 ，即 3EF = 3EF = 913 ，解得EF=EF= 133 E（ 43 ，0），E（ 223 ，0）点E的坐标为（ 43 ，0）或（ 223 ，0）（4）如图3所示：A（1，0），（4，0），C（0，3），AB=BC=5，AC= 10 MB为ABC的中线，MBAC，MC= 102 MB为AC的垂直
32、平分线，AFM=CFM点P为AF与CF的高线的交点，CAQ+ACQ=90，CAQ+MFA=90，ACQ=AFMACQ=CFM又CMP=CMF，CMPFMCMPMC = MCFM ，即MPMF= 52 m=S1S2= 12 ACPM 12 ACMF= 14 （ 10 ）2 52 = 254 16【答案】（1）解：抛物线E1经过点A（1，m），m=12=1抛物线E2的顶点在原点，可设它对应的函数表达式为y=ax2（a0），又点B（2，2）在抛物线E2上，2=a22，解得：a=12，抛物线E2所对应的二次函数表达式为y=12x2（2）解：如图1，假设在第一象限内，抛物线E1上存在点Q，使得QBB为直
33、角三角形，由图象可知直角顶点只能为点B或点Q当点B为直角顶点时，过B作QBBB交抛物线E1于Q，则点Q与B的横坐标相等且为2，将x=2代入y=x2得y=4，点Q的坐标为（2，4）当点Q为直角顶点时，则有QB2+QB2=BB2，过点Q作GQBB于G，设点Q的坐标为（t，t2）（t0），则有（t+2）2+（t22）2+（2t）2+（t22）2=4，整理得：t43t2=0，t0，t23=0，解得t1=3，t2=3（舍去），点Q的坐标为（3，3），综合，存在符合条件的点Q坐标为（2，4）与（3，3）（3）解：如图2，过点P作PCx轴，垂足为点C，PC交直线AA于点E，过点P作PDx轴，垂足为点D，PD交直线BB于点F，依题意可设P（c，c2）、P（d，12d2） （c0，cq），tanPOC=tanPOD，c2c=12d2d，d=2cAA=2，BB=4，第 27 页 共 27 页
