1、第第7章章 岩石力学在地下工程中的应用岩石力学在地下工程中的应用 地下工程是岩石工程中建造最多的地下构造地下工程是岩石工程中建造最多的地下构造物，如公路和铁路的隧道、地下厂房等。如何解物，如公路和铁路的隧道、地下厂房等。如何解决在建造地下洞室时所遇到的各种岩石力学问题，决在建造地下洞室时所遇到的各种岩石力学问题，包括岩体的二次应力分布，围岩压力的计算、节包括岩体的二次应力分布，围岩压力的计算、节理等不连续面对围岩二次应力状态和围岩压力的理等不连续面对围岩二次应力状态和围岩压力的影响以及开挖洞室后围岩的稳定性评价等问题，影响以及开挖洞室后围岩的稳定性评价等问题，将直接指导地下洞室的施工、设计工作
2、。如同其将直接指导地下洞室的施工、设计工作。如同其他学科一样，岩体力学在洞室工程中的应用也经他学科一样，岩体力学在洞室工程中的应用也经历了一个发展的过程。本章就各时期各阶段具有历了一个发展的过程。本章就各时期各阶段具有代表性的内容，包括应用极为广泛的新奥法作一代表性的内容，包括应用极为广泛的新奥法作一介绍。介绍。岩石地下工程在力学上和结构上有如下主要特点：岩石地下工程在力学上和结构上有如下主要特点：(1)岩石在组构与力学性质上与其它材料存在不同点，如具有节理和岩石在组构与力学性质上与其它材料存在不同点，如具有节理和塑性段的扩容（剪胀）现象等；塑性段的扩容（剪胀）现象等；(2)地下工程是先受力（
3、原岩应力）即先加荷，后开挖（开巷）即后地下工程是先受力（原岩应力）即先加荷，后开挖（开巷）即后卸荷；卸荷；(3)深埋巷道属于无限域问题，影响圈内自重可以忽略；深埋巷道属于无限域问题，影响圈内自重可以忽略；(4)大部分较长巷道可作为平面应变问题处理；大部分较长巷道可作为平面应变问题处理；(5)围岩与支护相互作用，共同决定着围岩的变形及支护所受的荷载围岩与支护相互作用，共同决定着围岩的变形及支护所受的荷载与位移；与位移；(6)地下工程结构容许超负荷时具有可缩性；地下工程结构容许超负荷时具有可缩性；(7)地下工程结构在一定条件下出现周岩抗力；地下工程结构在一定条件下出现周岩抗力；(8)几何不稳定结构
4、在地下可以是稳定的；几何不稳定结构在地下可以是稳定的；7.1 围岩二次应力状态的基本概念围岩二次应力状态的基本概念 所谓所谓围岩围岩是指由于人工开挖使岩体的应力状态发生了变是指由于人工开挖使岩体的应力状态发生了变化，而这部分被改变了应力状态的岩体称作围岩。围岩化，而这部分被改变了应力状态的岩体称作围岩。围岩范围的大小与岩体的自身特性有关。那么，范围的大小与岩体的自身特性有关。那么，围岩的二次围岩的二次应力状态应力状态就是指经开挖后岩体在无支护条件下岩体经应就是指经开挖后岩体在无支护条件下岩体经应力调整后的应力状态。顾名思义，若将初始应力看作是力调整后的应力状态。顾名思义，若将初始应力看作是一次
5、应力状态，那么二次应力状态其特点是经人工开挖一次应力状态，那么二次应力状态其特点是经人工开挖而引起的、在无支护的条件下，经应力重新分布后的应而引起的、在无支护的条件下，经应力重新分布后的应力状态。显然，力状态。显然，分析围岩的二次应力状态，必须掌握两分析围岩的二次应力状态，必须掌握两个条件：个条件：一是岩体自身的力学性质；二是岩体的初始应一是岩体自身的力学性质；二是岩体的初始应力状态。力状态。7.2 深埋圆形洞室围岩二次应力状态的弹性分析深埋圆形洞室围岩二次应力状态的弹性分析 7.2.1 侧压力系数侧压力系数 时的深埋圆形洞室围岩的二次应时的深埋圆形洞室围岩的二次应力状态力状态 7.2.2 侧
6、压力系数侧压力系数 时的深埋圆形洞室围岩的二次应时的深埋圆形洞室围岩的二次应力状态力状态 7.2.3 深埋椭圆形洞室的二次应力状态深埋椭圆形洞室的二次应力状态 7.2.4 深埋矩形洞室的二次应力状态深埋矩形洞室的二次应力状态 7.2.5 群洞围岩的弹性应力计算群洞围岩的弹性应力计算117.2.1 侧压力系数侧压力系数 时的深埋圆形洞室围岩的二次应力状态时的深埋圆形洞室围岩的二次应力状态1.基本假设基本假设 在深埋岩体中，开挖一圆形洞室，可利用弹性力学的理论分析该在深埋岩体中，开挖一圆形洞室，可利用弹性力学的理论分析该洞室围岩二次应力的弹性应力分布状态。对于岩体这一介质而言，洞室围岩二次应力的弹
7、性应力分布状态。对于岩体这一介质而言，除了要满足弹性力学中的基本假设条件（即视围岩为均质、各向同除了要满足弹性力学中的基本假设条件（即视围岩为均质、各向同性、线弹性，无流变行为）以外，就侧压力系数性、线弹性，无流变行为）以外，就侧压力系数 =1时深埋圆形时深埋圆形洞室的二次应力分析，还必须作一些补充的假设条件：洞室的二次应力分析，还必须作一些补充的假设条件：(1)对于深埋（对于深埋（）洞室，取计算单元为一无自重的单元）洞室，取计算单元为一无自重的单元体，不计由于洞室开挖而产生的重力变化，并将岩体的自重作为作体，不计由于洞室开挖而产生的重力变化，并将岩体的自重作为作用在无穷远处的初始应力状态，见
8、图用在无穷远处的初始应力状态，见图7.1。(2)对于深埋（对于深埋（）洞室，岩体的初始应力状态在不作特）洞室，岩体的初始应力状态在不作特殊说明时，仅考虑岩体的自重应力。且侧压力系数按弹性力学中殊说明时，仅考虑岩体的自重应力。且侧压力系数按弹性力学中 计算，本小节取计算，本小节取 =1。这样，原问题就简化为荷载与结构都是轴对称的平面应变圆孔问这样，原问题就简化为荷载与结构都是轴对称的平面应变圆孔问题，见图题，见图7.2。020ZR020ZR1(1)0rrddrr 图图7.1 深埋巷道的力学特点深埋巷道的力学特点图图7.2 轴对称圆巷的条件轴对称圆巷的条件7.2.1 侧压力系数侧压力系数 时的深埋
9、圆形洞室围岩的二次应力状态时的深埋圆形洞室围岩的二次应力状态2.基本方程基本方程 用弹性力学求解上述问题时，通常先根据计算简图（图用弹性力学求解上述问题时，通常先根据计算简图（图7.3和图和图7.4）建立反映简图中单元体的静力平衡方程和位移的几何方程，通）建立反映简图中单元体的静力平衡方程和位移的几何方程，通过本构方程建立应力与应变之间的关系式，求得用应变表示过本构方程建立应力与应变之间的关系式，求得用应变表示(或应力或应力表示表示)的微分方程，在求得该微分方程的通解之后，再利用洞室开挖的微分方程，在求得该微分方程的通解之后，再利用洞室开挖后的圆形边界条件确定其积分常数，求出最终的位移、应力、
10、应变后的圆形边界条件确定其积分常数，求出最终的位移、应力、应变的表示式。的表示式。1图7.3 微元体受力状态 图7.4 微元体位移图静静力力平平衡衡方方程程：0rrddrr (7.1)几几何何方方程程：rdudr (7.2)ur (7.3)式式中中，r分分别别为为洞洞室室围围岩岩的的切切向向应应变变和和径径向向应应变变。本构方程本构方程(平面应变问题平面应变问题)：211rrvvEv (7.4)211rvvEv (7.5)5 个未知数，即个未知数，即r、r、v，5 个方程，故问题可解。个方程，故问题可解。7.2.1 侧压力系数侧压力系数 时的深埋圆形洞室围岩的二次应力状态时的深埋圆形洞室围岩的
11、二次应力状态3.边边界界条条件件 0rR，0r（不支护）(7.6)0rR，0rp (7.7)式式中中，0p为为原原岩岩应应力力。17.2.1 侧压力系数侧压力系数 时的深埋圆形洞室围岩的二次应力状态时的深埋圆形洞室围岩的二次应力状态由由式式(7.1)式式(7.5)联联立立可可解解得得方方程程组组的的通通解解为为 2BAr (7.8a)2rBAr (7.8b)根根据据边边界界条条件件(7.6)式式、(7.7)式式确确定定积积分分常常数数，得得 0Ap，200Bp R 将将A、B代代入入(7.8)式式，得得切切向向应应力力与与径径向向应应力力的的解解析析表表达达式式为为 20021rRpr (7.
12、9)4.结果结果1根据广义根据广义 Hooke 定律有定律有)(1rzzE 在此，在此，0z，则有，则有 0()2zrvp (7.10)式中，式中，z为洞室围岩弹性区的沿巷道轴向方向的应力。为洞室围岩弹性区的沿巷道轴向方向的应力。对于理想弹塑性体，对于理想弹塑性体，5.0，则有，则有002zvpp。应当指出，几乎所有的文献都将洞室围岩弹性区的沿巷道轴应当指出，几乎所有的文献都将洞室围岩弹性区的沿巷道轴向方向的应力向方向的应力z忽略了，甚至认为忽略了，甚至认为z=0，这是错误的。，这是错误的。7.2.1 侧压力系数侧压力系数 时的深埋圆形洞室围岩的二次应力状态时的深埋圆形洞室围岩的二次应力状态（
13、1）巷道围岩的二次应力分布规律）巷道围岩的二次应力分布规律（2）巷道围岩的径向位移）巷道围岩的径向位移（3）巷道围岩的应变）巷道围岩的应变（4）洞室围岩的稳定性评价）洞室围岩的稳定性评价 5.讨论讨论17.2.2 侧压力系数侧压力系数 时的深埋圆形洞室围岩的二次应力状态时的深埋圆形洞室围岩的二次应力状态 当侧压力系数当侧压力系数 时，深埋圆形洞室的二次应力计算，通常将时，深埋圆形洞室的二次应力计算，通常将其计算简图分解成两个较为简单的计算模式，然后将两者叠加而求其计算简图分解成两个较为简单的计算模式，然后将两者叠加而求得。其计算简图如图得。其计算简图如图7.5所示。情况所示。情况作用着作用着
14、的初始应的初始应力，并且垂直应力与水平应力相等。而情况力，并且垂直应力与水平应力相等。而情况作用着作用着 的初始应力，其中垂直应力是压应力，而水平应力是拉应力。若将的初始应力，其中垂直应力是压应力，而水平应力是拉应力。若将两种情况作用的外荷载相加，其外荷载为垂直应力两种情况作用的外荷载相加，其外荷载为垂直应力 ，水平应力，水平应力为为 。根据弹性学的解将两者叠加而求得任意一点的应力状态为。根据弹性学的解将两者叠加而求得任意一点的应力状态为 图图7.5 时圆形洞室二次应力的计算见图时圆形洞室二次应力的计算见图110(1)2Pp0(1)2Qp0p0p(7.20)224000022424000242
15、4000241111 43cos221111 3cos221123sin22rrpRRRrrrpRRrrpRRrr 2200022200021112 1 2cos22112 1 2sin22rv pRRuvErrv pRRuvErr(7.21)而其位移计算公式为而其位移计算公式为当0rR时，应力公式可简化为 0(1 2cos2)(1 2cos2)p 0r，0r 若设12cos2zK，1 2cos2xK，则上式可改写成 0000zxrrKKpKp；(7.22)由公式(7.22)可知，围岩的总应力集中系数 是 角、初始应力 以及侧压力系数 的函数，将受到这三个因素的影响。图7.6表示了洞壁应力 的
16、总应力集中系数K，受 角以及不同 的变化状态。K0p图7.6 洞壁应力总应力集中系数变化图位移状态的表达式要比应力复杂得多。在此仅讨论当位移状态的表达式要比应力复杂得多。在此仅讨论当0rR时，洞壁的位移、位移公式经简化后，表示如下：时，洞壁的位移、位移公式经简化后，表示如下：000011134cos221134sin22rvup RvEvup RvE(7.23)7.2.3 深埋椭圆形洞室的二次应力状态深埋椭圆形洞室的二次应力状态1.洞壁应力计算公式洞壁应力计算公式 图7.7 椭圆洞室单向受力计算简图 地下工程中经常采用椭圆形的洞室截面。图地下工程中经常采用椭圆形的洞室截面。图 7.7 是在单向
17、应是在单向应力作用时椭圆形洞室的计算简图。按此计算简图的求解结果，当力作用时椭圆形洞室的计算简图。按此计算简图的求解结果，当0rR时，洞壁的应力为时，洞壁的应力为 222202221sinsincossincos00rrKKpK (7.24)若将岩体所受的初始应力分解成若将岩体所受的初始应力分解成0(0Pp)和和90(0Pp)两种状态，按上述计算模式求得的应力后叠两种状态，按上述计算模式求得的应力后叠加，即可求得椭圆洞室的二次应力分布状态，洞壁的应力计算公加，即可求得椭圆洞室的二次应力分布状态，洞壁的应力计算公式为式为 222220222(1)cos1(1)sinsincos00rrKKKpK
18、(7.25)7.2.3 深埋椭圆形洞室的二次应力状态深埋椭圆形洞室的二次应力状态2.洞壁应力分布特点分析洞壁应力分布特点分析 洞壁的切向应力不仅与初始应力洞壁的切向应力不仅与初始应力 与与 有关，而且还取决于任有关，而且还取决于任意点与意点与x轴的夹角轴的夹角 和半轴比和半轴比K的大小。表的大小。表7.1列出了几种特殊条件组列出了几种特殊条件组合情况下的结果。合情况下的结果。0p表表7.1 切向应力的变化特征切向应力的变化特征7.2.3 深埋椭圆形洞室的二次应力状态深埋椭圆形洞室的二次应力状态3.最佳椭圆截面尺寸最佳椭圆截面尺寸 所谓所谓洞室的最佳截面尺寸洞室的最佳截面尺寸，通常应满足三个条件
19、。首先，洞室，通常应满足三个条件。首先，洞室周边的应力分布应该是均匀应力，且在同一半径上其应力相等；第周边的应力分布应该是均匀应力，且在同一半径上其应力相等；第二，洞室周边的应力应该都为压应力，在洞壁处不出现拉应力；第二，洞室周边的应力应该都为压应力，在洞壁处不出现拉应力；第三，其应力值应该是各种截面中最小的。椭圆洞室可求得满足上述三，其应力值应该是各种截面中最小的。椭圆洞室可求得满足上述条件的洞截面尺寸，被称作条件的洞截面尺寸，被称作谐洞谐洞。若已知侧压力系数。若已知侧压力系数 ，设半轴，设半轴比比 ，并将此假设条件代人公式，并将此假设条件代人公式(7.25)，即，即222220222(1)
20、cos1(1)sinsincosKKKpK 1Kb a2222202221111cos11sin1sincosp 3222220222sinsincoscossincosp 2222220222(sincos)sincossincosp 0(1)p (7.26)得出的结果很为理想。其洞室周边的切向应力得出的结果很为理想。其洞室周边的切向应力 的值与的值与 角无关，并且在角无关，并且在 时时 也为均匀的压应力，且其应力值小于圆形洞室也为均匀的压应力，且其应力值小于圆形洞室 时的洞室周边切向应力值。时的洞室周边切向应力值。117.2.4 深埋矩形洞室的二次应力状态深埋矩形洞室的二次应力状态 矩形洞
21、室一般采用旋轮线代替矩形洞室一般采用旋轮线代替4个直角，利用级数求解其应力个直角，利用级数求解其应力状态。其结果可简化成下式状态。其结果可简化成下式(，洞室周边应力，洞室周边应力)表表7.2列出了洞壁不同角所对应的应力集中系数。列出了洞壁不同角所对应的应力集中系数。图图7.8是这一计算的实例。是这一计算的实例。0rR0()00zxrrKKp(7.27)表表7.2 矩形洞室周边应力的数值矩形洞室周边应力的数值图图7.8 矩形洞室（矩形洞室（）周边应力分布图）周边应力分布图 1.8a b 7.2.5 群洞围岩的弹性应力计算群洞围岩的弹性应力计算 Howland于于1934年给出了无限介质中一排平行
22、等间隔的圆孔的年给出了无限介质中一排平行等间隔的圆孔的应力分布，图应力分布，图7.9为其中的两个圆孔。为其中的两个圆孔。图图7.9 无限介质中的等间距圆孔无限介质中的等间距圆孔 在竖向在竖向(与圆孔圆点连线垂直与圆孔圆点连线垂直)虚力作用下，巷道间距与直径相虚力作用下，巷道间距与直径相等时，巷道围岩的应力集中系数分布如图等时，巷道围岩的应力集中系数分布如图7.10所示，图中应力分布所示，图中应力分布曲线分别为：曲线分别为：A表示洞周；表示洞周；B表示沿水平中线；表示沿水平中线；C表示两条巷道中间表示两条巷道中间岩柱的铅垂线。岩柱的铅垂线。图图7.10 隧道围岩集中系数分布隧道围岩集中系数分布
23、图图7.11为外加应力沿着水平方向时的应力分布，其他条件与上为外加应力沿着水平方向时的应力分布，其他条件与上图相同，图中曲线为沿着水平中线巷间岩柱的切向应力分布。图相同，图中曲线为沿着水平中线巷间岩柱的切向应力分布。图图7.11 水平方向加载时的围岩应力分布水平方向加载时的围岩应力分布 由此可见，沿着水平方向加载，巷道之间存在由此可见，沿着水平方向加载，巷道之间存在“屏蔽屏蔽”作用作用，即巷道之问的岩柱应力明显降低。从图中还可以推断，相邻巷道的即巷道之问的岩柱应力明显降低。从图中还可以推断，相邻巷道的影响范围仅为一倍巷道直径的范围。巷道间岩柱的形状和尺寸对于影响范围仅为一倍巷道直径的范围。巷道
24、间岩柱的形状和尺寸对于岩柱中的应力分布有直接的影响。岩柱中的应力分布有直接的影响。Obert和和Duvall用光弹试验的方法研究了巷道间岩柱尺寸对应力用光弹试验的方法研究了巷道间岩柱尺寸对应力分布的影响，图分布的影响，图7.12给出了岩柱应力分布特征。图中，给出了岩柱应力分布特征。图中，为平均应为平均应力，力，为洞壁切向应力，为洞壁切向应力，。从图中可以看出，岩柱的平。从图中可以看出，岩柱的平均应力随着岩柱宽度的减小而增加，但均应力随着岩柱宽度的减小而增加，但 却降低了。却降低了。pb0zppbp巷道间岩柱尺寸和形状对岩柱应力分布的影响巷道间岩柱尺寸和形状对岩柱应力分布的影响图图7.127.3
25、 深埋圆形洞室围岩二次应力状态的弹塑性分析深埋圆形洞室围岩二次应力状态的弹塑性分析 岩体经开挖，破坏了原有岩体自身的应力平衡，促使岩体进行岩体经开挖，破坏了原有岩体自身的应力平衡，促使岩体进行应力调整。经重新分布的应力往往会出现超出岩体屈服强度的现象，应力调整。经重新分布的应力往往会出现超出岩体屈服强度的现象，这时接近洞壁的部分岩体将进入塑性状态，随着距洞轴中心的距离这时接近洞壁的部分岩体将进入塑性状态，随着距洞轴中心的距离r的增大，二次应力逐渐向弹性状态过渡，使得二次应力状态将出现的增大，二次应力逐渐向弹性状态过渡，使得二次应力状态将出现弹、塑性状态并存的应力分布特点。弹、塑性状态并存的应力
26、分布特点。本小节着重介绍本小节着重介绍 条件下的应力状态，由于这是个轴对称条件下的应力状态，由于这是个轴对称问题，且应力与问题，且应力与 角无关，使得弹、塑性区都成为一个圆环状，应角无关，使得弹、塑性区都成为一个圆环状，应力随着力随着r的变化而变化。由于塑性区域的存在，计算公式比较复杂，的变化而变化。由于塑性区域的存在，计算公式比较复杂，因此有关其他条件因此有关其他条件(包括包括 以及各种洞截面形状以及各种洞截面形状)的应力分析，不的应力分析，不作进一步讨论。作进一步讨论。117.3.1 轴对称圆巷的理想弹塑性分析轴对称圆巷的理想弹塑性分析卡斯特纳求解卡斯特纳求解1.基本假设和解题条件基本假设
27、和解题条件 （1）深埋圆形平巷、无限长；）深埋圆形平巷、无限长；（2）原岩应力各向等压；）原岩应力各向等压；（3）原岩为理想弹塑性体，本构关系见图）原岩为理想弹塑性体，本构关系见图7.13；（4）原岩为不可压缩材料；）原岩为不可压缩材料；（5）巷道埋深）巷道埋深 。020Rz 0s图图7.13 理想弹塑性材料的本构关系理想弹塑性材料的本构关系 侯公羽侯公羽(2008)对围岩对围岩支护相互作用发生的起因进行的详细分支护相互作用发生的起因进行的详细分析表明，在卡斯特纳方程求解中，对支护反力进行的力学简化处理析表明，在卡斯特纳方程求解中，对支护反力进行的力学简化处理没有真实地反映出支护反力的产生及其
28、支护时机、加载路径等物理没有真实地反映出支护反力的产生及其支护时机、加载路径等物理意义，虽然从纯粹的数学意义和纯粹的力学意义上看是正确的，但意义，虽然从纯粹的数学意义和纯粹的力学意义上看是正确的，但从工程实际角度看却存在严重的错误，即弹塑性变形阶段考虑支护从工程实际角度看却存在严重的错误，即弹塑性变形阶段考虑支护反力不具有工程实践意义。因此，本书的求解不予考虑支护反力的反力不具有工程实践意义。因此，本书的求解不予考虑支护反力的作用。作用。当洞室周边的二次应力超出岩体的屈服应力，则洞室周边围岩当洞室周边的二次应力超出岩体的屈服应力，则洞室周边围岩将产生塑性区。就岩石的力学特性而言，多数的岩石属脆
29、性材料，将产生塑性区。就岩石的力学特性而言，多数的岩石属脆性材料，其屈服应力的大小不太容易求得。因此，近似地采用莫尔其屈服应力的大小不太容易求得。因此，近似地采用莫尔-库伦准则库伦准则作为进入塑性状态的判据。作为进入塑性状态的判据。轴对称圆巷的力学模型如图轴对称圆巷的力学模型如图7.14所示。所示。zp00RpRr 弹性区原岩应力区塑性区图图7.14 力学模型力学模型2.基本方程基本方程弹性区：积分常数待定的弹性应力解为弹性区：积分常数待定的弹性应力解为 2rBAr (7.28)塑性区：轴对称问题的平衡方程为塑性区：轴对称问题的平衡方程为 0rrddrr (7.29)强度准则方程强度准则方程M
30、-C 准则：准则：1 sin2cos1 sin1 sinrC (7.30)塑性区内有塑性区内有 2 个未知应力个未知应力、r，2 个方程即式个方程即式(7.29)和和(7.30)，故不必借用几何方程就可以解题。这类方程又称为，故不必借用几何方程就可以解题。这类方程又称为刚塑性或极限平衡方程。刚塑性或极限平衡方程。3.边界条件边界条件弹性区：弹性区：外边界：外边界：r ，0rp 内边界（与塑性区的交界面）：内边界（与塑性区的交界面）：prR（塑性区半径）（塑性区半径）2erepBAR (7.31)塑性区：塑性区：外边界（弹塑性区的交界面）：外边界（弹塑性区的交界面）：prR perrpe（上角标
31、（上角标“e”、“p”分别表示弹、塑性区的量）分别表示弹、塑性区的量）内边界（周边）内边界（周边）：0rR 0r 4.解题解题由式由式(7.29)和和(7.30)联解，并用塑性区的内边界条件，得联解，并用塑性区的内边界条件，得 2sin1 sin0cot1prrCR (7.32)(7.32)代入代入(7.30)，整理得，整理得 2sin1 sin01 sincot11 sinprCR (7.33)由 式由 式(7.32)和和(7.33)可 知，当可 知，当0rR，则，则0r，2cos(1 sin)cCS，即恰好等于岩石的单轴抗压强度。并且，即恰好等于岩石的单轴抗压强度。并且，r、与与0p无关，
32、只取决于强度准则。这是极限平衡问题的特点。无关，只取决于强度准则。这是极限平衡问题的特点。由式由式(7.28)与塑性区外边界条件，可得与塑性区外边界条件，可得 02ereBpr (7.34)由式由式(7.32)、式、式(7.34)和塑性内边界条件，解得和塑性内边界条件，解得 B，将其代入，将其代入式式(7.28)，整理得弹性区应力为，整理得弹性区应力为 2sin2221 sin02221cot1erpppeRRRpCrrr(7.35)由式由式(7.33)、式、式(7.34)和弹、塑性边界关于和弹、塑性边界关于相等条件，得塑相等条件，得塑性区半径为性区半径为 1 sin2sin00(cot)(1
33、 sin)cotppCRRC (7.36)5.结果结果（1）弹性区应力）弹性区应力 1 sin2sin00000(cot)(1 sin)(cos)cot0.5()eereeezrpCRpCpCrp(7.37)（2）塑性区应力）塑性区应力 2sin1 sin02sin1 sin02sin1 sin0cot11 sincot11 sin10.5()cot11 sinpprpppzrrCRrCRrCR (7.38)（3）塑性区半径）塑性区半径 1 sin2sin00(cot)(1 sin)cotppCRRC(7.39)弹塑性区的应力分布如图弹塑性区的应力分布如图 7.15 所示。塑性区的径向应所示。
34、塑性区的径向应力和切向应力都随着力和切向应力都随着r的增大而增大，并且二者是极限状态的增大而增大，并且二者是极限状态应力，只与围岩的强度参数（应力，只与围岩的强度参数（C、cS）有关，而与原）有关，而与原岩应力岩应力0p无关。无关。图图7.15 弹塑性应力分布弹塑性应力分布 6.关于有支护反力情况下的弹塑性求解的概念澄清关于有支护反力情况下的弹塑性求解的概念澄清众多文献在讨论到此问题时，都会考虑用塑性区边界有支护的众多文献在讨论到此问题时，都会考虑用塑性区边界有支护的边界条件来决定积分常数，仿前求得有支护反力情况下的弹塑性区边界条件来决定积分常数，仿前求得有支护反力情况下的弹塑性区应力、塑性区
35、半径应力、塑性区半径即著名的卡斯特纳即著名的卡斯特纳(H.Kastner，1951)方程。方程。侯公羽（侯公羽（2008）详细地分析了卡斯特纳方程求解的力学模型的）详细地分析了卡斯特纳方程求解的力学模型的错误和缺陷，认为：（错误和缺陷，认为：（1）模型视支护力）模型视支护力1p与原岩应力与原岩应力0p是同时作是同时作用的，即开挖体被取出后立即有用的，即开挖体被取出后立即有1p作用到巷道周边上，作用到巷道周边上，1p与与0p是是同步加载的，这与工程实际不符。（同步加载的，这与工程实际不符。（2）模型视支护力）模型视支护力1p为主动支护为主动支护力、一次性加载，与工程实际不符。（力、一次性加载，与
36、工程实际不符。（3）主动支护力与被动支护反）主动支护力与被动支护反力的区别是显著的，区分两者在物理和力学意义上的不同之处非常力的区别是显著的，区分两者在物理和力学意义上的不同之处非常重要。（重要。（4）从弹塑性变形经历的时间历程上看，因为巷道围岩弹塑）从弹塑性变形经历的时间历程上看，因为巷道围岩弹塑性变形是立即发生并完成的，支护反力根本赶不上围岩弹塑性变形。性变形是立即发生并完成的，支护反力根本赶不上围岩弹塑性变形。因此，在围岩的弹塑性求解中不应考虑支护力因此，在围岩的弹塑性求解中不应考虑支护力1p的作用。的作用。7.讨论讨论（1）pR与与0R成正比，与成正比，与0p成正变关系，与成正变关系，
37、与C、成反变成反变关系。关系。（2）塑性区内各应力点与原岩应力）塑性区内各应力点与原岩应力0p 无关，且其应力圆均无关，且其应力圆均与强度曲线相切（此为联立方程求解时应用屈服准则即极限平衡与强度曲线相切（此为联立方程求解时应用屈服准则即极限平衡问题的特点之一）。问题的特点之一）。（3）指数）指数(1 sin)2sin的物理意义，可以近似理解为的物理意义，可以近似理解为“拉拉压强度比压强度比”。如图如图 7.16 所示，斜直线与横轴交点为莫尔圆的点圆，代表所示，斜直线与横轴交点为莫尔圆的点圆，代表三 轴 等 拉 抗 压 强 度，即三 轴 等 拉 抗 压 强 度，即cotC；而 单 轴 抗 压 强
38、 度；而 单 轴 抗 压 强 度2cos(1 sin)cSC；二者之比即为；二者之比即为(1sin)2sin。图图7.16 莫尔莫尔-库仑准则库仑准则7.3.2 塑性区半径处的应力塑性区半径处的应力将塑性区半径将塑性区半径pR的表达式的表达式(7.39)代人塑性区内应力代人塑性区内应力的计算公式的计算公式(7.38)，即可求得塑性区边界上的应力计算式，即可求得塑性区边界上的应力计算式，经整理后其式为经整理后其式为 00(1 sin)cos(1 sin)cospprpCpC，当当prR时时(7.40)上述公式上述公式(7.40)是一个特定的值，它的大小将影响弹性区是一个特定的值，它的大小将影响弹
39、性区内应力和位移。内应力和位移。7.3.3 塑性区的位移塑性区的位移井巷围岩的弹塑性位移，量级较大，通常以厘米计，这是支护应予以井巷围岩的弹塑性位移，量级较大，通常以厘米计，这是支护应予以重点解决的问题。重点解决的问题。（1）基本假设）基本假设 基本假设与上述轴对称弹塑性应力问题相同，符合一般理想塑性材料基本假设与上述轴对称弹塑性应力问题相同，符合一般理想塑性材料的体积应变为零的假设，不考虑剪涨效应。的体积应变为零的假设，不考虑剪涨效应。（2）弹塑性边界位移）弹塑性边界位移 弹塑性边界的位移由弹性区的岩体变形引起。弹性区的变形可按外弹塑性边界的位移由弹性区的岩体变形引起。弹性区的变形可按外边界
40、趋于无穷、内边界为边界趋于无穷、内边界为pR的厚壁圆筒处理。根据式的厚壁圆筒处理。根据式(7.37)，可写出弹塑，可写出弹塑性边界的位移公式性边界的位移公式 01()pRpprvuRpE (7.41)其中，其中，pRr为弹塑性边界上的径向应力，可用式为弹塑性边界上的径向应力，可用式(7.38)并令其中并令其中prR。也可以注意到在弹塑性边界上有：也可以注意到在弹塑性边界上有：02eepprrp，且且 2 个应力满足强度条件，即个应力满足强度条件，即 1 sin2cos1 sin1 sinppRRrC 所以，可得所以，可得 0(1 sin)cospRrpC (7.42)将式将式(7.42)代入式
41、代入式(7.41)，即可得，即可得 0sin(cos)2ppRupCG (7.43)根据塑性区体积不变的假设，有（图根据塑性区体积不变的假设，有（图 7.17）2222000()()pppRRuRRu (7.44)图图7.17 塑性区体积不变假设条件下的轴对称圆巷周边位移塑性区体积不变假设条件下的轴对称圆巷周边位移 于是，可以写出于是，可以写出 00()ppuRR u 最终，可以得到巷道周边的位移公式最终，可以得到巷道周边的位移公式 2000sin(cot)2pupCRGR (7.45)式中式中，2(1)EGv。巷道围岩弹塑性位移也可以通过塑性力学中弹塑性小变形理巷道围岩弹塑性位移也可以通过塑
42、性力学中弹塑性小变形理论获得。因为，假设条件是一样的，所以结论也相同。论获得。因为，假设条件是一样的，所以结论也相同。7.3.4 深埋圆形洞室二次应力状态的弹塑性分布特性小结深埋圆形洞室二次应力状态的弹塑性分布特性小结（1）在）在1的条件下，塑性区是一个圆环。塑性区内的应力的条件下，塑性区是一个圆环。塑性区内的应力pr，p将随将随r的增大而增大，且塑性区内的应力的增大而增大，且塑性区内的应力pr，p应该满足应该满足 M-C 准准则。则。（2）在）在prR处为塑性区的边界，塑性区边界上的径向应力将影处为塑性区的边界，塑性区边界上的径向应力将影响弹性区的应力、位移、应变的计算。响弹性区的应力、位移
43、、应变的计算。（3）当）当prR时，围岩进入弹性区。由于塑性区的存在将限制弹时，围岩进入弹性区。由于塑性区的存在将限制弹性区内的应力、位移、应变的发生，因此，与无塑性区的二次应力状态性区内的应力、位移、应变的发生，因此，与无塑性区的二次应力状态相比较，各计算式中增加了由于塑性区边界上的径向应力相比较，各计算式中增加了由于塑性区边界上的径向应力pRr的作用所的作用所引起的增量。但是，其分布规律与纯弹性分布大致相同，而仍可用引起的增量。但是，其分布规律与纯弹性分布大致相同，而仍可用02eerp来校核计算结果。来校核计算结果。7.4 节理岩体中深埋圆形洞室的剪裂区及应力分析节理岩体中深埋圆形洞室的剪
44、裂区及应力分析 在以上几节中所讨论的二次应力都是以连续、均质、各向在以上几节中所讨论的二次应力都是以连续、均质、各向同性的介质这一假设条件为基础。当岩体在某些特殊的条件下同性的介质这一假设条件为基础。当岩体在某些特殊的条件下(例如层状岩体例如层状岩体)，则与这些假设条件有着很大的差别。就岩体的，则与这些假设条件有着很大的差别。就岩体的强度而言，由于这些不连续面的存在，往往会出现由节理强度控强度而言，由于这些不连续面的存在，往往会出现由节理强度控制岩体的强度，最终产生岩体剪切滑移破坏的现象，这时的二次制岩体的强度，最终产生岩体剪切滑移破坏的现象，这时的二次应力分布状态将出现剪裂区。所谓剪裂区，是
45、指节理岩体由于开应力分布状态将出现剪裂区。所谓剪裂区，是指节理岩体由于开挖产生沿节理剪切滑移破坏的区域。由于节理岩体的强度随节理挖产生沿节理剪切滑移破坏的区域。由于节理岩体的强度随节理的产状明显地呈各向异性。因此，剪裂区并不像前两节所讨论的的产状明显地呈各向异性。因此，剪裂区并不像前两节所讨论的结果那样呈环状分布，而是在洞周呈类似猫耳状的分布形态。本结果那样呈环状分布，而是在洞周呈类似猫耳状的分布形态。本节主要介绍剪裂区范围以及剪裂区内应力分析等内容。节主要介绍剪裂区范围以及剪裂区内应力分析等内容。7.4.1 剪裂区分析的基本假设剪裂区分析的基本假设剪裂区的计算分析仍然采用前述的弹性力学的分析
46、方法。由于要表剪裂区的计算分析仍然采用前述的弹性力学的分析方法。由于要表征剪裂区沿节理面发生剪切滑移破坏，在整个计算过程中，除了必须要征剪裂区沿节理面发生剪切滑移破坏，在整个计算过程中，除了必须要满足以前所介绍的当满足以前所介绍的当1时圆形洞室二次应力计算的基本假设条件以时圆形洞室二次应力计算的基本假设条件以外，还必须按以下的假设条件去分析剪裂区的应力以及范围等状态。外，还必须按以下的假设条件去分析剪裂区的应力以及范围等状态。（1）岩体中仅具有单组节理，并不计节理间距所给予的影响。）岩体中仅具有单组节理，并不计节理间距所给予的影响。（2）剪裂区内的径向应力）剪裂区内的径向应力pr与与1条件下纯
47、弹性分布的条件下纯弹性分布的r相相等，且可按公式等，且可按公式2200(1)prpRr进行计算。这一假设条件的成立，进行计算。这一假设条件的成立，可从图可从图 7.15 作出验证。由图作出验证。由图 7.15 可知，塑性区内的可知，塑性区内的pr随随r的变化曲线的变化曲线与纯弹性应力分布曲线与纯弹性应力分布曲线(图中的虚线图中的虚线)非常接近。因此，为了简化计算，非常接近。因此，为了简化计算，而设此条件。而设此条件。（3）剪裂区内的切向应力受节理面的强度控制。即，在剪裂区内，）剪裂区内的切向应力受节理面的强度控制。即，在剪裂区内，岩体的二次应力都满足节理面的强度公式岩体的二次应力都满足节理面的
48、强度公式(4.19)。剪裂区外的应力可由剪裂区外的应力可由1时纯弹性分布的计算公式确定。时纯弹性分布的计算公式确定。7.4.2 剪裂区内的应力剪裂区内的应力图图7.18为剪裂区应力分析的计算简图。为剪裂区应力分析的计算简图。0为层状节理与为层状节理与 x 轴的夹角。轴的夹角。为任意一点的单元体径向线与为任意一点的单元体径向线与 x 轴轴的角。的角。为节理与单元体径向线的夹角为节理与单元体径向线的夹角(即即为单元体的破坏角为单元体的破坏角)。根据几何关。根据几何关系可知，系可知，0，r分别为作用在单元体上的切分别为作用在单元体上的切向应力和径向应力。向应力和径向应力。图图7.18 剪裂区应力计算
49、简图剪裂区应力计算简图 根据假设条件可知，剪裂区内的应力应满足节理面的强度条件根据假设条件可知，剪裂区内的应力应满足节理面的强度条件(由于剪裂区已发生沿节理的剪切滑移破坏，因此，应力符号采用由于剪裂区已发生沿节理的剪切滑移破坏，因此，应力符号采用 和和 以区别于弹性区内的应力，即以区别于弹性区内的应力，即prp3002200211cos()sincossin()cosprjjjpjRprRpcr(7.46)7.4.3 剪裂区范围的计算剪裂区范围的计算 如前所述，所谓的剪裂区是指岩体将沿节理面产生剪切滑移破坏如前所述，所谓的剪裂区是指岩体将沿节理面产生剪切滑移破坏的区域。的区域。当当prr时，时
50、，pe；rpre。根据式。根据式(7.9)和式和式(7.46)可求得剪裂区半径为可求得剪裂区半径为 000sin(2)sincosjpjjjprRpc (7.47)只有按公式只有按公式(7.47)求得的求得的0prR时，才可能存在着剪裂区。时，才可能存在着剪裂区。由此可推得，当由此可推得，当 0cossin(2)sinjjjjcp (7.48)时，开挖洞室的周边才会出现剪裂区。时，开挖洞室的周边才会出现剪裂区。经分析发现，公式中经分析发现，公式中jsin 2是一个小于或等于是一个小于或等于 1 的数值，的数值，要取最大值，令其为要取最大值，令其为 1 即可。即可。令令 sin(2)1j，可得，
