1、差分方程初步差分方程初步第一节第一节 差分方程的基本概念差分方程的基本概念一、一、差分的概念差分的概念定义定义1 设函数设函数yt=f(t)在在t=,-2,-1,0,1,2,处有定义处有定义,对对应的函数值为应的函数值为,y-2,y-1,y0,y1,y2,则函数则函数yt=f(t)在时在时间间t的的一阶差分一阶差分定义为定义为D Dyt=yt+1-yt=f(t+1)-f(t)依此定义类推依此定义类推,有有D Dyt+1=yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1),D Dyt+2=yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2),一阶差分的性质一阶差分的性质(1)若若yt=C(C为常数为常数)
2、,则则D Dyt=0;(2)对于任意常数对于任意常数k,D D(kyt)=kD Dyt;(3)D D(yt+zt)=D Dyt+D+Dzt定义定义2 函数函数yt=f(t)在时刻在时刻t的的二阶差分二阶差分定义为一阶差分的定义为一阶差分的差分差分,即即 D D2yt=D=D(D D yt)=D=D yt+1-D-D yt =(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt依此定义类推依此定义类推,有有D D2yt+1=D=Dyt+2-D-Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1,D D2yt+2=D=Dyt+3-D-Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2,类推类推,
3、计算两个相继的二阶差分之差计算两个相继的二阶差分之差,便得到便得到三阶差分三阶差分D D3yt=D=D2yt+1-D-D2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt,D D3yt+1=D=D2yt+2-D-D2yt+1=yt+4-3yt+3+3yt+2-yt+1,一般地一般地,k阶差分阶差分(k为正整数为正整数)定义为定义为 这里这里 ),3,2,1()1()(01111=-=D D-D D=D DD D=D D=-+-+-kyCyyyykiiktikitktktktk)!(!ikikCik-=二、二、差分方程差分方程定义定义3 含有未知函数含有未知函数yt=f(t)以及以及yt的差分的差分
4、D Dyt,D D2yt,的函的函数方程数方程,称为称为常差分方程常差分方程(简称差分方程简称差分方程);出现在差分方出现在差分方程中的差分的最高阶数程中的差分的最高阶数,称为称为差分方程的阶差分方程的阶.n阶差分方程的一般形式为阶差分方程的一般形式为F(t,yt,D Dyt,D Dnyt)=0,其中其中F是是t,yt,D Dyt,D Dnyt的已知函数的已知函数,且且D Dnyt一定要在方一定要在方程中出现程中出现 定义定义3 含有两个或两个以上函数值含有两个或两个以上函数值yt,yt+1,的函数方的函数方程程,称为称为(常常)差分方程差分方程,出现在差分方程中未知函数下出现在差分方程中未知
5、函数下标的最大差标的最大差,称为称为差分方程的阶差分方程的阶 n阶差分方程的一般形式为阶差分方程的一般形式为F(t,yt,yt+1,，yt+n)=0,其中其中F为为t,yt,yt+1,，yt+n的已知函数的已知函数,且且yt和和yt+n一定一定要在差分方程中出现要在差分方程中出现.三、三、差分方程的解差分方程的解定义定义4 如果将已知函数如果将已知函数yt=j j(t)代入方程代入方程F(t,yt,yt+1,，yt+n)=0,使其对使其对t=,-2,-1,0,1,2,成为恒等式成为恒等式,则称则称yt=j j(t)为方程的解为方程的解.含有含有n个任意个任意(独立独立)常数常数C1,C2,Cn
6、的解的解yt=j j(t,C1,C2,Cn)称为称为n阶差分方程的通解阶差分方程的通解.在通解中给任意常数在通解中给任意常数C1,C2,Cn以确定的值所得的解以确定的值所得的解,称为称为n阶差分方程的阶差分方程的特解特解.例如例如,函数函数yt=at+C(a为已知常数为已知常数,C为任意常数为任意常数)是差是差分方程分方程yt+1-yt=a的通解的通解.而函数而函数yt=at,yt=at-1,均是这个均是这个差分方程的特解差分方程的特解.由差分方程的通解来确定它的特解由差分方程的通解来确定它的特解,需要给出确定需要给出确定特解的定解条件特解的定解条件.n阶差分方程阶差分方程F(t,yt,yt+
7、1,，yt+n)=0常常见的定解条件为初始条件见的定解条件为初始条件.y0=a0,y1=a1，,yn-1=an-1，这里这里a0,a1,a2,，an-1均为已知常数均为已知常数 只要保持差分方程中的时间滞后结构不变只要保持差分方程中的时间滞后结构不变,无论对无论对t提前或推后一个相同的等间隔值提前或推后一个相同的等间隔值,所得新方程与原方程所得新方程与原方程是等价的是等价的,即二者有相同的解即二者有相同的解.例如例如,方程方程ayt+1-byt=0与方程与方程ayt+2-byt+1=0都是相互等价的都是相互等价的 四、四、线性差分方程及其基本定理线性差分方程及其基本定理 形如形如yt+n+a1
8、(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2+an-1(t)yt1+an(t)yt=f(t)的差分方程的差分方程,称为称为n阶非齐次线性差分方程阶非齐次线性差分方程.其中其中a1(t),a2(t),an-1(t),an(t)和和f(t)都是都是t的已知函数的已知函数,且且an(t)0,f(t)0.而形如而形如yt+n+a1(t)yt+n-1+an-1(t)yt+1+an(t)yt=0 的 差 分 方 程的 差 分 方 程,称 为称 为 n 阶 齐 次 线 性 差 分 方 程阶 齐 次 线 性 差 分 方 程.其 中其 中ai(t)(i=1,2,，n)为为t的已知函数的已知函数,且且an(t)0.
9、如果如果ai(t)=ai(i=1,2,n)均为常数均为常数(an0),则有则有yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+an-1yt+1+anyt=f(t)，yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+an-1yt+1+anyt=0 分别称为分别称为n阶常系数非齐次线性差分方程阶常系数非齐次线性差分方程和和n阶常系阶常系数齐次线性差分方程数齐次线性差分方程.定理定理1(齐次线性差分方程解的叠加原理齐次线性差分方程解的叠加原理)若若y1(t),y2(t),ym(t)是齐次线性差分方程是齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+an-1yt+1+anyt=0的的m个特解个
10、特解(m2),则其线性组则其线性组合合y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+Amym(t)也是方程也是方程 的解的解,其中其中A1，A2，Am为任意常数为任意常数定理定理2 n阶齐次线性差分方程阶齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+an-1yt+1+anyt=0一定存在一定存在n个线性无关的特解个线性无关的特解定理定理3(齐次线性差分方程通解结构定理齐次线性差分方程通解结构定理)如果如果y1(t),y2(t),yn(t)是齐次线性差分方程是齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+an-1yt+1+anyt=0的的n个线性无关的个线性无关的特解
11、特解,则方程则方程 的通解为：的通解为：yA(t)A1y1(t)+A2y2(t)+Anyn(t)，其中其中A1，A2，An为为n个任意个任意(独立独立)常数常数 定理定理4(非齐次线性差分方程通解结构定理非齐次线性差分方程通解结构定理)如果如果 (t)是非齐次线性方程是非齐次线性方程yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2+an-1(t)yt1+an(t)yt=f(t)的一个特解的一个特解,yA(t)是其对应的是其对应的齐次线性方程齐次线性方程yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+an-1yt+1+anyt=0的的通解通解,那么那么,非齐次线性差分方程的通解为：非齐次线
12、性差分方程的通解为：y(t)=yA(t)+(t)即即y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+Anyn(t)+(t)，这里这里A1，A2,An为为n个任意个任意(独立独立)常数常数yyy第二节第二节 一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程 一阶常系数线性差分方程的一般形式为一阶常系数线性差分方程的一般形式为yt+1+ayt=f(t)和和yt+1+ayt=0,其中其中f(t)为为t的已知函数的已知函数,a0为常数为常数.分别称为分别称为一阶常一阶常系数非齐次线性差分方程系数非齐次线性差分方程和其对应的和其对应的齐次差分方程齐次差分方程.一、一、齐次差分方程的通解齐次差分方程的通解将方程将方
13、程yt+1+ayt=0改写为改写为:yt+1=-=-ayt,t=0,1,2,假定在初始时刻假定在初始时刻(即即t=0)时时,函数函数yt取任意值取任意值A,那么由那么由上式逐次迭代上式逐次迭代,算得算得y1=-=-ay0=-=-aA,y2=-=-ay1=(-a)2A,方程的通解为方程的通解为yt=A(-a)t,t=0,1,2,如果给定初始条件如果给定初始条件t=0时时yt=y0,则则A=y0,此时特解为：此时特解为：yt=y0(-a)t 二、二、非齐次方程的通解与特解非齐次方程的通解与特解1.迭代法求通解迭代法求通解将方程改写为将方程改写为 yt+1=(-a)yt+f(t),t=0,1,2,逐
14、步迭代逐步迭代,则有则有y1=(-a)y0+f(0),y2=(-a)2y0+(-a)f(0)+f(1),y3=(-a)3y0+(-a)2f(0)+(-a)f(1)+f(2),由数学归纳法由数学归纳法,可得可得 yt=(-a)ty0+(-a)t-1f(0)+(-a)t-2f(1)+f(t-1)=(-a)ty0+,(t=0,1,2,)，ty.)1()()1()1()()0()(1021为为方方程程的的特特解解其其中中-=-=-+-+-=tiitttitfatffafayyA(t)=(-a)ty0为为 对应的齐次方程对应的齐次方程 的通解的通解.解解例例.2211的的通通解解求求差差分分方方程程tt
15、tyy=-+ttfa2)(,21=)12()21(31411)41(12)41(22)21(22)21(211101101101-=-=-=-=-=-tttttiittiiittiitity121231)21()12()21(31)21(+-+=-+=ttttttAAy方程的通解方程的通解.32为为任任意意常常数数-=AA2.待定系数法求特解待定系数法求特解情形情形 f(t)为常数为常数方程变为方程变为yt+1+ayt=b,a,b均为非零常数均为非零常数试以试以 (为待定常数为待定常数)形式的特解代入方程得形式的特解代入方程得 +a =(1+a)=b=ty当当a-1时时,可求得特解可求得特解a
16、byt+=1当当a=-=-1时时,改设特解改设特解 (为待定系数为待定系数),将其代将其代入方程得入方程得 (t+1)+a t=(1+a)t+=b tyt=求得特解求得特解btyt=方程的通解为方程的通解为.1 ,1,1)()(为为任任意意常常数数其其中中AabtAaabaAytyyttAt -=+-+-=+=解解例例.521的的通通解解求求差差分分方方程程=-+ttyy5,12-=-=ba.,52为为任任意意常常数数AAytt-=情形情形 f(t)为为t的多项式的多项式不妨设不妨设f(t)=b0+b1t(t的一次多项式的一次多项式),即即 yt+1+ayt=b0+b1t,t=1,2,，其中其
17、中a,b0,b1均为常数均为常数,且且a0,b10试以特解试以特解 =a a+b bt,(a a,b b为待定系数为待定系数)代入方程得代入方程得a a+b b(t+1)+a(a a+b bt)=b0+b1t，ty上式对一切上式对一切t值均成立值均成立,其充分必要条件是：其充分必要条件是：=+=+10)1()1(babab bb ba a当当1+a0时时,即即a-1时，时，ababab+=+-+=1)1(11210b ba a方程的特解为方程的特解为 tabababy+-+=1)1(11210当当a=-1时时,改设特解改设特解 =(a a+b bt)t=a at+b bt2 ty将其代入方程可
18、求得特解将其代入方程可求得特解211021)21(tbtbby+-=方程的通解为方程的通解为 -=+-+-+-=.1,21)21(,1,1)1(1)(21101210atbtbbAatabababaAytt解解例例.231的的通通解解求求差差分分方方程程tyytt+=-+2,3,110=-=bba.,22为为任任意意常常数数AttAyt+=情形情形 f(t)为指数函数为指数函数 不妨设不妨设f(t)=bdt,b,d均为非零常数均为非零常数,方程变为方程变为 yt+1+ayt=bdt,t=0,1,2,求得特解求得特解ttddaby+=当当a+d0时时,设方程有特解设方程有特解 =dt,为为待定系
19、数待定系数.将其代将其代入方程得入方程得 dt+1+a dt=bdt,ty当当a+d=0时时,改设改设方程方程的特解的特解 =tdt,为待定系数为待定系数,将将其代入方程可求得特解其代入方程可求得特解=btdt tyty方程的通解为方程的通解为 =+-+-=+=.0,)(,0,)(dabtdaAdaddabaAyyytttttAt解解例例.21的的通通解解求求差差分分方方程程tttyy=-+01,2,1,1=+=-=dadba.,2为为任任意意常常数数AAytt+=情形情形 f(t)为正弦、余弦型三角函数为正弦、余弦型三角函数 设设f(t)=b1cos t+b2sin t,其中其中b1,b2,
20、均为常数均为常数,且且 0,b1与与b2不同时为零不同时为零.于是非齐次方程变为于是非齐次方程变为yt+1+ayt=b1cos t+b2sin t,a0,t=0,1,2,设方程有特解设方程有特解 =a acos t+b bsin t,a a,b b均为待定系数均为待定系数.ty将其代入方程得将其代入方程得a acos(t+1)+b bsin(t+1)+aa acos t+ab bsin t =b1cos t+b2sin t,(a acos+b bsin +aa a)cos t+(-a asin +b bcos +ab b)sin t=b1cos t+b2sin t(a acos+b bsin
21、+aa a)cos t+(-a asin +b bcos +ab b)sin t=b1cos t+b2sin t 上式对上式对t=0,1,2,恒成立的充分必要条件是恒成立的充分必要条件是 =+-=+.)cos(sin,sin)cos(21babab b a a b b a a 其系数行列式其系数行列式 22sin)cos(cossinsincos+=+-+=aaaD当当D0时时,则可求得其解则可求得其解 +=-+=;sin)cos(1,sin)cos(11221 b b a ababDbabD当当D=(a+cos)2sin2=0时时,则有则有 )(.1,12.1,2为整数为整数或或kakak
22、=+=-=改设特解改设特解.,),sincos(为待定系数为待定系数b ba a b b a atttyt+=代入方程并整理可得代入方程并整理可得 -=-=.,2121bbbbb ba ab ba a或或方程的通解为方程的通解为 =+=+-=+-=.1,)12(,)12sin()12cos()1(,1,2),2sin2cos(,0,sincos)(2121aktkbtkbtAaktkbtkbtADttaAyttt b b a a例例 求差分方程求差分方程yt+1-2yt=cost的通解的通解解解 对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为 yA(t)=A2t设非齐次方程的特解为设非齐次方程的特解
23、为 =a acost+b bsint,其中其中a a,b b为待定系数为待定系数 ty将其代入原方程将其代入原方程,并利用三角函数的和角公式并利用三角函数的和角公式,得得 =-+-=+-.0)21(cos1sin,11sin)21(cosb ba ab ba a1cos451sin,1cos4521cos-=-=b ba a所给方程的通解为所给方程的通解为 ttAyttsin1cos451sincos1cos451cos22-+-=第三节第三节 二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程 二阶常系数线性差分方程的一般形式为二阶常系数线性差分方程的一般形式为yt+2+a1yt+1+a2yt=f
24、(t)，t=0,1,2,，其中其中f(t)为为t的已知函数的已知函数,a1,a2为已知常数为已知常数,且且a20,称为称为二二阶常系数非齐次线性差分方程阶常系数非齐次线性差分方程 特别地特别地,当当f(t)0时时,方程变为方程变为yt+2+a1yt+1+a2yt=0 称为称为对应的齐次差分方程对应的齐次差分方程一、一、齐次差分方程的通解齐次差分方程的通解 称称 2a1+a2=0为为二阶常系数非齐次线性差分方二阶常系数非齐次线性差分方程程或其或其对应的齐次差分方程对应的齐次差分方程的的特征方程特征方程它的解它的解(或或根根)称为方程的称为方程的特征根特征根(值值)特征方程的两个根为特征方程的两个
25、根为)4(),4(2122122112,1aaaaa-=D D-=(1)特征根为相异的两实根特征根为相异的两实根当当D D0时时,1,2为两相异的实根为两相异的实根.y1(t)=1t与与y2(t)=2t是齐次差分方程的两个线性无关的特解是齐次差分方程的两个线性无关的特解.齐次差分方程的通解齐次差分方程的通解 ttAAAty2211)(+=1,2由特征方程确定由特征方程确定,A1,A2为两任意为两任意(独立独立)常数常数 例例 求差分方程求差分方程yt+2-7yt+1+12yt=0的通解的通解解解 特征方程为特征方程为 2-7+12=(-3)(-4)=0,有两相异实特征根有两相异实特征根 1=3
26、,2=4 原方程的通解为原方程的通解为.,43)(2121为为任任意意常常数数AAAAtyttA+=(2)特征根为两相等的实根特征根为两相等的实根当当D D=0时时,=1=2=为两相等的实根为两相等的实根.21a-方程的一个特解：方程的一个特解：yt(t)=t 方程的另一个特解为方程的另一个特解为y(t)=t t，且与且与 t线性无关线性无关.方程的通解为方程的通解为.,2)()()()(2112121为为任任意意常常数数其其中中或或AAatAAtytAAtytAtA -+=+=例例 求差分方程求差分方程yt+2-4yt+1+4yt=0的通解的通解.解解 特征方程为特征方程为 2-4+4=(-
27、2)2=0，方程有重特征根方程有重特征根 =1=2=2 原方程的通解为原方程的通解为yA(t)=(A1+A2t)2t,A1,A2为任意常数为任意常数(3)特征根为一对共轭复根特征根为一对共轭复根当当D D0时时,1,2为一对共轭复根为一对共轭复根.1,2=a aib b=r(cos isin).,20,tan,21sin,2cos2221为为复复特特征征根根的的辐辐角角为为复复特特征征根根的的模模 a ab b b ba a b b a ararrar =+=D D=-=y1(t)=rtcos t,y2(t)=rtsin t是方程的两个线性无关特解是方程的两个线性无关特解.方程的通解为方程的通
28、解为yA(t)=rt(A1cos t+A2sin t)其中其中 A1，A2为任意常数为任意常数.例例 求差分方程求差分方程yt+2-2yt+1+2yt=0的通解的通解解解 特征方程特征方程 2-2+2=(-1)21=0 特征根为一对共轭复根特征根为一对共轭复根 1,2=1i 方程的通解为方程的通解为 4,1tan,2 =r.,)4sin4cos(2)(21212为为任任意意常常数数其其中中AAtAtAtytA +=二、二、非齐次方程的特解与通解非齐次方程的特解与通解例例 求差分方程求差分方程yt+2-7yt+1+12yt=6的通解的通解解解 对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为 yA(
29、t)=A13t+A24t，原方程的通解为原方程的通解为yt=yA(t)+=A13t+A24t+1，这里这里A1,A2为任意常数为任意常数 由于由于1+a1+a2=1-7+120,设特解设特解 =B,B为待定常为待定常数数,将其代入原方程将其代入原方程,求得求得B=1.ty例例 求差分方程求差分方程yt+2-3yt+1+2yt=4的通解的通解解解 特征方程为特征方程为 2-3+2=(-1)(-2)=0,特征根特征根 1=1,2=2.对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为 yA(t)=A1+A22t因因1+a1+a2=1-3+2=0,故应设非齐次方程的特解为故应设非齐次方程的特解为 =Bt,B为
30、待定系数为待定系数,将其代入原方程将其代入原方程,求得求得B=-4 ty原方程的通解为原方程的通解为yt=yA(t)+=A1+A22t-4t，这里这里A1,A2为任意常数为任意常数ty例例 求差分方程求差分方程yt+2-4yt+1+4yt=3+2t的通解的通解.解解 对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为yA(t)=(A1+A2t)2t此式对此式对t=0,1,2,恒成立的充要条件是恒成立的充要条件是B0-2B1=3,B1=2.由此解得：由此解得：B0=7，B1=2 设非齐次方程有特解设非齐次方程有特解 =B0+B1t,B0,B1为待定系数为待定系数.将其代入原方程中将其代入原方程中,得得(B
31、0-2B1)+B1t=3+2t,ty所求非齐次方程的特解为所求非齐次方程的特解为 tyt27+=原方程的通解为原方程的通解为 ttAAytytyttA272)()()(21+=+=A1,A2为任意常数为任意常数 例例 求差分方程求差分方程yt+2-4yt+1+4yt=5t的通解的通解解解 对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为yA(t)=(A1+A2t)2t设所给非齐次方程的特特为设所给非齐次方程的特特为 =B5t,B为待定系数为待定系数.ty将其代入所给方程将其代入所给方程,可得可得 B5t+2-4B5t+1+4B5t=5t91=B非齐次方程的特解为非齐次方程的特解为 tty591=所给方
32、程的通解为所给方程的通解为 其中其中A1,A2为任意常数为任意常数tttAtAAytyty5912)()()(21+=+=第四节第四节 差分方程在经济学中的应用差分方程在经济学中的应用一、一、存款模型存款模型 设设St为为t期存款总额期存款总额,i为存款利率为存款利率,则则St与与i有如下关有如下关系式：系式：St+1=St+iSt=(1+i)Si,t=0,1,2,，其中其中S0为初始存款总额为初始存款总额 二、二、动态供需均衡模型动态供需均衡模型(蛛网定理蛛网定理)设设Dt表示表示t期的需求量期的需求量,St表示表示t期的供给量期的供给量,Pt表示表示商品商品t期价格期价格,则传统的动态供需
33、均衡模型为：则传统的动态供需均衡模型为：=+=+=-)3(,)2()1(,111ttttttSDPbaSbPaD其中其中a,b,a1,b1均为已知常数均为已知常数.(1)式表示式表示t期期(现期现期)需求依赖于同期价格；需求依赖于同期价格；(2)式表示式表示t期期(现期现期)供给依赖于供给依赖于(t-1)期期(前期前期)价格价格(3)式为供需均衡条件式为供需均衡条件 若在供需平衡的条件下若在供需平衡的条件下,而且价格保持不变而且价格保持不变,即即 Pt=Pt-1=Pe，静态均衡价格静态均衡价格 bbaaPe-=11需求曲线与供给曲线的交点需求曲线与供给曲线的交点(Pe,Qe)即为该种商品的即为
34、该种商品的静态均衡点静态均衡点动态供需均衡模型的等价差分方程动态供需均衡模型的等价差分方程 baaPbbPtt-=-111方程的一个特解方程的一个特解 etPbbaaP=-=11方程的通解为方程的通解为 ettPbbAP+=1若初始价格若初始价格P0已知时已知时,将其代入通解将其代入通解,可求得任意常数可求得任意常数A=P0-Pe,此时此时,通解改写为通解改写为 etetPbbPPP+-=10)(如果初始价格如果初始价格P0=Pe,那么那么Pt=Pe,这表明没有外部干扰这表明没有外部干扰发生发生,价格将固定在常数值价格将固定在常数值Pe上上,即静态均衡即静态均衡如果初始价格如果初始价格P0Pe
35、,那么价格那么价格Pt将随将随t的变化而变化的变化而变化.,11时时 bbeetetttPPbbPPP=+-=+)(limlim10动态价格动态价格Pt随着随着t的无限增大逐渐地的无限增大逐渐地振荡趋近于静态均衡价格振荡趋近于静态均衡价格Pe.普通商品的价格与供需关系图普通商品的价格与供需关系图三、三、凯恩斯凯恩斯(Keynes.J.M)乘数动力学模型乘数动力学模型 设设Yt表示表示t期国民收入期国民收入,Ct为为t期消费期消费,It为为t期投资期投资,I0为自发为自发(固定固定)投资投资,D DI为周期固定投资增量为周期固定投资增量.凯恩斯国民凯恩斯国民经济收支动态均衡模型为：经济收支动态均
36、衡模型为：D D+=+=+=-)3(,)2()1(,0,1IIIbYaCICYtttttt(1)式为均衡条件式为均衡条件,即国民收入等于同期消费与同期投即国民收入等于同期消费与同期投资之和资之和;(2)式为消费函数式为消费函数,即现期消费水平依赖于前期即现期消费水平依赖于前期国民收入国民收入(消费滞后于收入一个周期消费滞后于收入一个周期),a(0)为基本消为基本消费水平费水平,b为边际消费倾向为边际消费倾向(0b1);(3)式为投资函数式为投资函数,这里仅考虑为固定投资这里仅考虑为固定投资 在在(1)(2)(3)式中消去式中消去Ct和和It,得到一阶常系数非齐次线得到一阶常系数非齐次线性差分方
37、程：性差分方程：Yt-bYt-1=a+I0+D DI 方程的一个特解方程的一个特解 bIIaYt-D D+=10方程的通解为方程的通解为 bIIabAYtt-D D+=10其中其中A为任意常数为任意常数.称系数称系数 为凯恩斯乘数为凯恩斯乘数.b-11四、四、哈罗德哈罗德(Harrod.R.H)经济增长模型经济增长模型 设设St为为t期储蓄期储蓄,Yt为为t期国民收入期国民收入,It为为t期投资期投资,s称为称为边际储蓄倾向边际储蓄倾向(即平均储蓄倾向即平均储蓄倾向),0s1,k为加速系数为加速系数.哈罗德宏观经济增长模型为：哈罗德宏观经济增长模型为：其中其中s,k为已知常数为已知常数 =-=
38、-)3()2(0)()1(10,11tttttttISkYYkIssYS(1)式表示式表示t期储蓄依赖于前期的国民收入期储蓄依赖于前期的国民收入;(2)式表示式表示t期投资为前两期国民收入差的加速期投资为前两期国民收入差的加速,且预期资本加速且预期资本加速系数系数k为常数为常数;(3)式为均衡条件式为均衡条件.经整理后得齐次差分方程经整理后得齐次差分方程01=+-ttYkskY其通解为其通解为ttksAY)1(+=其中其中A为任意常数为任意常数,哈罗德称之为哈罗德称之为“保证增长率保证增长率”0 ks其经济意义就是：如果国民收入其经济意义就是：如果国民收入Yt按保证增长率按保证增长率 增长增长
39、,那么就能保证那么就能保证t期储蓄与期储蓄与t期投资达到动态均衡期投资达到动态均衡,即即It=St,t=0,1,2,ks假定假定t-1期收入期收入Yt-1满足于通解满足于通解,而而t期收入期收入Yt由于某种由于某种外部干扰满足外部干扰满足),0()1(称称为为外外部部干干扰扰+=BBksAYtt设设B0,那么有那么有 kBSkBsYkBkssABksAkskYYkIttttttt+=+=+=+=-=-1111)1()1()(因因kB0,故故ItSt.表示表示:总投资将大于总供给总投资将大于总供给(由储蓄由储蓄提供提供),从而对收入产生一个向上的压力从而对收入产生一个向上的压力,迫使收入较以迫使
40、收入较以前增加得更多前增加得更多.充分地说明了充分地说明了,“保证增长率保证增长率”保证了保证了国民收入的增长国民收入的增长.五、五、萨缪尔森萨缪尔森(Samuelson P.A)乘数加速数模型乘数加速数模型 设设Yt为为t期国民收入期国民收入,Ct为为t期消费期消费,It为为t期投资期投资,G为为政府支出政府支出(各期均相同各期均相同).萨缪尔森将乘数和加速数两萨缪尔森将乘数和加速数两个参数同时引进而得到国民经济收支均衡模型个参数同时引进而得到国民经济收支均衡模型(也称也称为乘数为乘数-加速数模型加速数模型)：-=+=-)3(,0),()2(,10,)1(,11kCCkIbbYCGICYtt
41、tttttt其中其中G0为常数为常数,b称为边际消费倾向称为边际消费倾向(常数常数),k为加速数为加速数.将将(2)(3)两式代入两式代入(1)并经整理后得：并经整理后得：Yt-b(1+k)Yt-1+bkYt-2G 其特解其特解 bGYt-=1其经济意义为：国民收入的均衡值等于凯恩斯乘数其经济意义为：国民收入的均衡值等于凯恩斯乘数与政府支出自发投资与政府支出自发投资G的乘积的乘积.b-11对应的齐次方程为对应的齐次方程为 Yt-b(1+k)Yt-1+bkYt-2=0，其特征方程为其特征方程为 2-b(1+k)+bk=0，特征方程的判别式特征方程的判别式 D D=b2(1k)2-4bk=bb(1
42、+k)2-4k 当当D D0时时,特征方程有两相异实根特征方程有两相异实根)1(21)1(2121D D+=D D-+=kbkb 齐次方程的通解为：齐次方程的通解为：YA(t)=A1 1t+A2 2t(A1,A2为任意常数为任意常数)当当D D=0时时,特征方程有一对相等实特征根特征方程有一对相等实特征根)1(21kb+=齐次齐次方程的通解为：方程的通解为：(A1,A2为任意常数为任意常数)tAtAAtY +=)()(21当当D D0时时,特征方程有一对共轭复根：特征方程有一对共轭复根：i)1(21i)1(2121D D-+=D D+=kbkb 齐次齐次方程的通解为：方程的通解为：Y(t)=t(A1cos t+A2sin t),A1,A2为任意常数为任意常数.+D D=),0(,)1(arctan,kbbk方程方程Yt-b(1+k)Yt-1+bkYt-2G的通解的通解 D D-+=D D-+D D-+=.0,1sincos(,0,1)(,0,121212211当当当当当当bGtAtAbGtAAbGAAYttttt
