1、第第五五节节 线性方程组解的结构线性方程组解的结构设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组111122121122221122000nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xaxaxax 若记若记（1 1）111212122212,nnmmmnaaaaaaAaaa nxxxx21则上述方程组（则上述方程组（1 1）可写成向量方程）可写成向量方程.Ax0 12,s 基础解系，基础解系，则方程组的则方程组的通解通解可表示为：可表示为：0Ax 方程组方程组 解空间解空间V V的一组基称为齐次线性方程组的的一组基称为齐次线性方程组的一组一组基础解系基础解系,即解空间的某一个部分组即解空间的某一
2、个部分组0Ax 12,可由线性表出sV 线性无关；线性无关；12,s 为齐次线性方程组的一组为齐次线性方程组的一组基础解系基础解系.12,s 满足：满足：如果为齐次线性方程组的如果为齐次线性方程组的12,s 0Ax 1122,ssxkkk其中为任意实数其中为任意实数.12,sk kk线性方程组基础解系的求法线性方程组基础解系的求法 00001001,1,111rnrrrnbbbbA设齐次线性方程组的系数矩阵为设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，并不妨并不妨设设 的前的前 个列向量线性无关个列向量线性无关r于是于是 可化为可化为AAA00000100121,1,111 nrnrrrnxxxbbbb
3、nrn,rrrrnrn,rxbxbxxbxbx11111110 Ax现对现对 取下列取下列 组数：组数：nrx,x1 rn nrrxxx21 nrn,rrrrnrn,rxbxbxxbxbx1111111分别代入分别代入.,100,010,001依次得依次得 rxx1,bbr 0011111,0102122 rbb.bbrn,rrn,rn 1001 从而求得原方程组的从而求得原方程组的 个解：个解：rn.bb,rn,rrn,1,bbr 212,bbr 111,（）（）1122n rn rkkk则方程组的则方程组的通解通解0Ax 如果如果12,n r 为齐次线性方程组的为齐次线性方程组的一个一个基
4、础解系基础解系.、证明、证明12,n r 线性无关线性无关.由于由于-个个-维列向量维列向量100010,001 线性无关，线性无关，所以所以-个维向量个维向量12,n r 、证明解空间的任一解都可由、证明解空间的任一解都可由12,n r 线性表示线性表示.设设 11Trrnx 为某一解向量，为某一解向量，1122rrnn r 再构造再构造12,n r 的一个线性组合：的一个线性组合：rn,210 Ax0 Ax由于由于 是是 的解，故的解，故也是的解也是的解.亦线性无关亦线性无关.下证下证12,n r 是线性方程组的一组基础解系是线性方程组的一组基础解系.1122rrnn r 122rrrnc
5、cc 易知：方程组的前个未知量可由后个未知量易知：方程组的前个未知量可由后个未知量唯一确定唯一确定.112111100rrbbb 122222010rrbbb 1,2,001n rn rr n rnbbb 112.rrrncc .c,crr 11112rrrn 而而；.故故1122.rrnn r 即即所以所以 是齐次线性方程组解空间的一个基是齐次线性方程组解空间的一个基.12,n r 说明说明、解空间的基不是唯一的、解空间的基不是唯一的、解空间的基又称为方程组的基础解系、解空间的基又称为方程组的基础解系、任、任-个线性无关的个线性无关的解向量构成基础解系解向量构成基础解系元齐次线性方程组的全体
6、解所构成的元齐次线性方程组的全体解所构成的0m nAx 集合是一个向量空间，当系数矩阵的秩为时，解空集合是一个向量空间，当系数矩阵的秩为时，解空间间的维数为的维数为-.当当 时，线性方程组必有含时，线性方程组必有含-个向量的个向量的基基()rank An 解系（此时解空间只含有零向量，称为维向量空间）解系（此时解空间只含有零向量，称为维向量空间）当当 时，线性方程组只有零解，故时，线性方程组只有零解，故没有基础没有基础()rank An 础础解系，此时线性方程组的解可以表示为解系，此时线性方程组的解可以表示为12,n r 1122n rn rkkk其中其中为任意实数，解空间可以表示为为任意实数
7、，解空间可以表示为12,n rk kk 112212,n rn rn rVkkkxk kkR2(1)r 132220150213 例求下列齐次线性方程组例求下列齐次线性方程组的基础解系与通解的基础解系与通解.12341342343220250230 xxxxxxxxxx 解解方程组的系数矩阵方程组的系数矩阵212rr 0639 0213 0639 00000213122rr 23rr1104313rr 1242232444423xxxxxxxxxx 所以所以121410,;2301 从而基础解系为从而基础解系为通解为通解为1122.xkk132220150213A 解解124123451345
8、1234532503236025306440 xxxxxxxxxxxxxxxxx 把系数矩阵把系数矩阵用初等行变换变成为用初等行变换变成为171002231010440001200000 例求下列齐次线性方程组例求下列齐次线性方程组的基础解系与通解的基础解系与通解.32050323612015316414A 135235334555172231442xxxxxxxxxxxx 所以所以1217223144,;100201 基础解系为基础解系为所以线性方程组的通解为所以线性方程组的通解为 112212,.xkkk kR例齐次线性方程组例齐次线性方程组123123123000 xxxxxxxxx 只
9、有零解，只有零解，则则满足（）满足（）.1 、非齐次线性方程组非齐次线性方程组11112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xbaxaxaxb 若记若记（1 1）111212122212,nnmmmnaaaaaaAaaa 12,nxxxx 则上述方程组（则上述方程组（1 1）可写成向量方程）可写成向量方程.Axb 12mbbbb （2 2）若）若 为为 的解，的解，x 0 Axx Axb 为为 的解，的解，1122.nnxxxb又可记又可记（1 1）若）若 为为 的解，则的解，则1122,xxAxb 12x是其导出组是其导出组 的解的解.0 A
10、x（）（）与非齐次方程组与非齐次方程组称为该称为该非齐次方程组的非齐次方程组的导出组导出组.Axb 0Ax 也是也是 的解的解xAxb 则则也是也是 的解的解Axb（3 3）若）若 12,s 都为都为 的解，的解，则则12ssAxb 对应的齐次方程组对应的齐次方程组其中为其导出组的通解，其中为其导出组的通解，1122n rn rkkk 非非齐次线性方程组的通解为齐次线性方程组的通解为Axb 1122.n rn rxkkk 为非齐次线性方程组的任意一个特解为非齐次线性方程组的任意一个特解.1212,nnrankrankb 线性方程组线性方程组 有解，则以下命题等价：有解，则以下命题等价：bAx
11、12,n 向量向量可由向量组可由向量组线性表示线性表示.12,n 向量组向量组等价等价.与向量组与向量组12,nb 设元非齐次线性方程组的系数矩阵为设元非齐次线性方程组的系数矩阵为，增广，增广 rank Arank Bn）线性方程组）线性方程组 有唯一解有唯一解bAx 矩阵矩阵为为，则，则 rank Arank Bn）线性方程组）线性方程组 有无穷解有无穷解bAx rank Arank B）线性方程组）线性方程组 无解无解bAx 12:,nA 设设12:,nBb 由向量组由向量组线性表示，但线性表示，但表达式不表达式不唯一唯一；时，向量时，向量可由向量组可由向量组线性线性 rank Arank
12、 Bn表示，且表达式表示，且表达式唯一唯一；时，向量时，向量不不可可由向量组由向量组线性表示线性表示.rank Arank Bn 时，向量时，向量可可 R AR B 当当例例6 6求解下列非齐次线性方程组求解下列非齐次线性方程组123412312341242212482242333664xxxxxxxxxxxxxx 12211248022423336064B 解解方程组的增广矩阵为方程组的增广矩阵为12211002100000100000()(),R AR B 所以线性方程组无解所以线性方程组无解.34,R AR B因因所以线性方程组有无穷多解所以线性方程组有无穷多解.123412341234
13、123422244622436979xxxxxxxxxxxxxxxx 例例7 7求解下列非齐次线性方程组求解下列非齐次线性方程组解解方程组的增广矩阵为方程组的增广矩阵为21112112144622436979B 10104011030001300000 1323334433xxxxxxx 1234xxxxx 即即14131003c 其中为任意常数其中为任意常数.例例8 8向量组向量组12,10a 221,5 311,4 1,bc 试问，当试问，当,a b c满足什么条件时满足什么条件时线性表示，且表达式唯一？线性表示，且表达式唯一？（）（）可由可由123,线性表示，且表达式不唯一？线性表示，且
14、表达式不唯一？（）（）可由可由123,线性表示？线性表示？（）（）不能由不能由123,解解 123B 40a 线性表示，且表达式唯一线性表示，且表达式唯一.时时,可由可由123,线性表示线性表示.时，时，不能由不能由123,2112111054abc 2112101410304aabac 211210140031aabacb 当当40a 当当310cb且且时时,可由可由123,线性表示，线性表示，但表达式不唯一；但表达式不唯一；40a 当当310cb且且.)()(,6nBRAROBAlnnm 证明证明设设例例700.m nl nABAxBx例证明矩阵与的行向量组等价的充分必要条件是齐次方程组与
15、同解)()(8ARAART 证明证明例例 000010011111rn,rrrn,bbbbA四、小结四、小结、对系数矩阵、对系数矩阵进行初等变换，将其化为最简形进行初等变换，将其化为最简形 rAR、得出，同时也可知方程组的一个基础解、得出，同时也可知方程组的一个基础解系含有个线性无关的解向量系含有个线性无关的解向量,bbr 0011111,bbr 0102122.bb,rn,rrn,rn 1001 故故为齐次线性方程组的一个基础解系为齐次线性方程组的一个基础解系.1122n rn rkkk就为方程组的就为方程组的通解通解.,bbr 0011111,bbr 0102122.bb,rn,rrn,r
16、n 1001 故故为齐次线性方程组的一个基础解系为齐次线性方程组的一个基础解系.1122n rn rkkk就为方程组的就为方程组的通解通解.设元非齐次线性方程组的系数矩阵为设元非齐次线性方程组的系数矩阵为，增广，增广 R AR Bn）线性方程组）线性方程组 有唯一解有唯一解bAx 矩阵矩阵为为，则，则 R AR Bn）线性方程组）线性方程组 有无穷解有无穷解bAx R AR B）线性方程组）线性方程组 无解无解bAx 作业作业:P102,11(1),12,16,20,24:P102,11(1),12,16,20,24 思考题思考题1 1设阶矩阵设阶矩阵的各行元素之和为的各行元素之和为0 0，且
17、秩为，且秩为0Ax 的通解为的通解为_._.，则线性方程组，则线性方程组 111Tk分析：分析：()1,R An0Ax 则则的基础解系只有一个向量的基础解系只有一个向量.0Ax 设设的第个方程的第个方程为为11220,iiinna xa xa x120,iiinaaa又矩阵又矩阵的各行元素之和为的各行元素之和为0 0，即，即121nxxx为它的一个解向量为它的一个解向量.0Ax 的通解为的通解为 111.Tk思考题思考题2 2设三阶矩阵设三阶矩阵，且，且的每一列均为方程的每一列均为方程的解，的解，1231231232202030 xxxxxxxxx （）求（）求.（）证明（）证明0.B 解解（）（）因为因为，且，且的每一列均为方程的解，的每一列均为方程的解，所以方程组有非零的解，即方程组的系数行列式等于零所以方程组有非零的解，即方程组的系数行列式等于零.12221311D 10.R BB122001055 0 1.（）当时，（）当时，方程组的矩阵为方程组的矩阵为1 122211311A 100011000 所以所以 2R A 则线性方程组基础解系所含向量的个数为则线性方程组基础解系所含向量的个数为3 32 21 1个，个，
