1、第五节第五节 有理函数积分有理函数积分一一.有理函数有理函数设设)(xPn与与)(xQm分别为分别为n次与次与m次次多项式多项式,则形如则形如)()(xQxPmn的函数的函数,称为有理函数称为有理函数.注注mn )()(xQxPmn)()(xQxPmn称为假分式称为假分式mn 称为真分式称为真分式(1)定义定义(2)任何一个假分式都可以通过多项式除法任何一个假分式都可以通过多项式除法化为一个化为一个多项式多项式与一个与一个真分式真分式之和之和.例如例如 143xx)14()444(2 xxx 135223xxxx13812)3(2 xxxx 135223xxxx521332xxxxxxxx23
2、35332xx33932xx812 x)3(x132 xx812 x二二.真分式分解为简单分式真分式分解为简单分式定理定理:在实数范围内在实数范围内,任意一个多项式都可任意一个多项式都可分解为一次因子与二次因子的乘积分解为一次因子与二次因子的乘积.若 mmmmmbxbxbxbxQ1110 lkmbxaxbxQ0srxxqpxx22则对真分式对真分式)()(xQxPmn有如下结论有如下结论:1.如果如果)(xQm含有因子含有因子,)(kax 则则)()(xQxPmn分解分解式中必含有下述分式式中必含有下述分式:kkaxAaxAaxA)()(221 2.如果如果)(xQm含有因子含有因子,)(2k
3、qpxx 则则)()(xQxPmn分解分解式中必含有下述分式式中必含有下述分式:kkkqpxxCxBqpxxCxBqpxxCxB)()(22222211 即真分式 mmmmnnnnomnbxbxbxbaxaxaxaxQxP1110111若 lkmbxaxbxQ0srxxqpxx22qpxxQxpqpxxQxPqpxxQxP22222211srxxSxRsrxxSxRsrxxSxR22222211llbxBbxBbxB221 xQxPmn则则kkaxAaxAaxA221)(例例1将将2)2)(1(12 xxx分解为简单分式分解为简单分式.解解 2)2)(1(12xxx2)2(21 xCxBxA2
4、2)2)(1(24)4()(xxCBAxBACxBA2)2)(1(12 xxx 0 BA24 BAC124 CBA91 A91 B35 C 2)2)(1(12xxx.)2(35)2(91)1(912 xxx例例2将将313xx 分解为简单分式分解为简单分式.解解 313xx211xxCBxxA 0 BA3 ACB0 CA1 A1 B1 C )1)(1(32xxxx313xx 321)()()(xCAxACBxBA 313xx.11112xxxx 例例3将将222)1(1 xxx分解为简单分式分解为简单分式.解解222)1(1xDCxxBAx 2223)1()()(xDBxCABxAx 0 A1
5、 B1 CA0 A1 B1 C 222)1(1xxx222)1(1 xxx1 DB2 D 222)1(1xxx222)1(211xxx 三三.简单分式的积分简单分式的积分类型类型1类型类型3类型类型4类型类型2dxax 1dxaxn )(1dxqpxxBAx 2dxqpxxBAxn )(2类型类型1 dxax1 )(1axdax.lncax 类型类型2dxaxn )(1 )()(1axdaxn.)(1111caxnn 例例 求求dxxxx32232解解dxxx322dxxxx3223214 x4323)14(43xkx)23(4)14(3xkx311k311dxxxx321443222423)
6、41(811x32)32(4322xxxxddxxx3214112)41(xd22423)41(811x32)32(4322xxxxd)41(xd42341arctan234811x)32ln(432xxC)32ln(432xx2314arctan23211xC类型类型3dxqpxxBAx 2dxqpxxBdxqpxxAx 22dxqpxxBdxqpxxppxA 2222dxqpxxApBdxqpxxpxA 221)2(2222222)24()2()2()2()(2pqpxpxdApBqpxxqpxxdAcpqpxpqApBqpxxA242arctan242)ln(222222222)24()
7、2()2()2()(2pqpxpxdApBqpxxqpxxdAcpqpxpqpABqpxxA22242arctan42)ln(2类型类型4dxqpxxBAxn )(2dxqpxxBdxqpxxAxnn )()(22dxqpxxBdxqpxxppxAnn )()(2222dxqpxxApBdxqpxxpxAnn )(1)2()(2222nnpqpxpxdApBqpxxqpxxdA)24()2()2()2()()(22222212)(1112nqpxxnAnnpqpxpxdApBqpxxqpxxdA)24()2()2()2()()(222222npqpxpxdApB)24()2()2()2(222
8、例例4 求求dxxx 313解解 dxxx313dxxxxx)1111(2 dxxxxx 2111lndxxxxx 213)12(211lndxxxdxxxxx 221123112211ln)21()23()21(1231ln211ln222 xdxxxx.312arctan31ln211ln2cxxxx 例例5 求求 dxxxx222)1(1解解 dxxxx222)1(1dxxxx)1(211222 dxxxdxx 222)1(2)11(dxxxxdx 22222)1(2)1()1(21arctandxxxx 222)1(121121arctandxxxx 222)1(121121arctan dxxxx222)1(1令令txtan 则则tdtdx2sec dxx22)1(1dttt 222sec)tan1(1dtt 2cosdtt )2cos1(21ctt )2sin21(21cttt )cossin(21cxxx )1(arctan212.)1(2212cxx dxxxx222)1(1故故
