1、第第7讲分式方程及其应用讲分式方程及其应用考点考点1 分式方程的有关分式方程的有关概念概念 未知数未知数温馨提示温馨提示增增根和无解的区别根和无解的区别:(1)分式方程有增根分式方程有增根分母分母=0;考点考点2 分式方程的解法分式方程的解法(一化一化,二解二解,三检验三检验)温馨提示温馨提示(1)解分式方程一定要验根解分式方程一定要验根;(2)在去分母前在去分母前,需确定分式方程的最简公分母需确定分式方程的最简公分母,若分母是多项若分母是多项式式,应先将分母因式分解应先将分母因式分解,再确定最简公分母再确定最简公分母;(3)去分母时把分式方程两边的式子作为一个整体去分母时把分式方程两边的式子
2、作为一个整体,不要漏乘不要漏乘常数项常数项.考点考点3 分式方程的实际应用分式方程的实际应用1.步骤步骤审题审题设未知数设未知数列方程列方程解方程解方程检验检验(要注意从方程本要注意从方程本身和实际问题两个方面进行检验身和实际问题两个方面进行检验)作答作答.2.应用题基本应用题基本类型类型 温馨提示温馨提示在在利用分式方程解实际问题时利用分式方程解实际问题时,必须进行必须进行“双检验双检验”,既要检验既要检验去分母化成整式方程的解是否为分式方程的解去分母化成整式方程的解是否为分式方程的解,又要检验分又要检验分式方程的解是否符合实际意义式方程的解是否符合实际意义.1.在求在求3x的倒数的值时的倒
3、数的值时,嘉淇同学误将嘉淇同学误将3x看成了看成了8x,她求得的她求得的值比正确答案小值比正确答案小5.依上述情形依上述情形,所列关系式成立的是所列关系式成立的是()B2.某市需要铺设一条长某市需要铺设一条长660米的管道米的管道,为了尽量减少施工对城为了尽量减少施工对城市交通造成的影响市交通造成的影响,实际施工时实际施工时,每天铺设管道的长度比原计每天铺设管道的长度比原计划增加划增加10%,结果提前结果提前6天完成天完成.求实际每天铺设管道的长度与求实际每天铺设管道的长度与实际施工天数实际施工天数.小王同学根据题意列出小王同学根据题意列出方程方程 =6.则方程中未知数则方程中未知数x所表示的
4、量是所表示的量是()A.实际每天铺设管道的长度实际每天铺设管道的长度B.实际施工的天数实际施工的天数C.原计划施工的天数原计划施工的天数D.原计划每天铺设管道的长度原计划每天铺设管道的长度D3.斑马线前斑马线前“车让人车让人”,不仅体现着一座城市对生命的尊重不仅体现着一座城市对生命的尊重,也也直接反映着城市的文明程度直接反映着城市的文明程度.如图如图,某路口的斑马线路段某路口的斑马线路段A-B-C横穿双向行驶车道横穿双向行驶车道,其中其中AB=BC=6米米,在绿灯亮时在绿灯亮时,小明共用小明共用11秒通过秒通过AC,其中通过其中通过BC的速度是通过的速度是通过AB速度的速度的1.2倍倍,求小求
5、小明通过明通过AB时的速度时的速度.设小明通过设小明通过AB时的速度是时的速度是x米米/秒秒,根据题根据题意列方程得意列方程得_.4.某书店积极响应政府某书店积极响应政府“改革创新改革创新,奋发有为奋发有为”的号召的号召,举办举办“读读书节书节”系列活动系列活动.活动中故事类图书的标价是典籍类图书标价活动中故事类图书的标价是典籍类图书标价的的1.5倍倍,若顾客用若顾客用540元购买图书元购买图书,能单独购买故事类图书的能单独购买故事类图书的数量恰好比单独购买典籍类图书的数量少数量恰好比单独购买典籍类图书的数量少10本本.(1)求活动中典籍类图书的标价求活动中典籍类图书的标价;(2)该店经理为鼓
6、励广大该店经理为鼓励广大读者读者购书购书,免费为购买故事类的免费为购买故事类的读读者者赠送图赠送图所示的精致所示的精致矩形矩形包书包书纸纸,在图在图的包书纸的包书纸示意示意图图中中,虚线是折痕虚线是折痕,阴影是裁剪掉的部分阴影是裁剪掉的部分,四角均为大小相同的四角均为大小相同的正方形正方形,正方形的边长为折叠进去的宽度正方形的边长为折叠进去的宽度.已知该包书纸的面已知该包书纸的面积为积为875 cm2(含阴影部分含阴影部分),且正好可以包好图且正好可以包好图中的中国中的中国故事这本书故事这本书,该书的长为该书的长为21 cm,宽为宽为15 cm,厚为厚为1 cm,请直请直接写出该包书纸包这本书
7、时折叠进去的宽度接写出该包书纸包这本书时折叠进去的宽度.解解:(1)设典籍类图书的标价为设典籍类图书的标价为x元元.解得解得x=18.经检验经检验:x=18是原分式方程的解是原分式方程的解,且符合题意且符合题意.答答:典籍类图书的标价为典籍类图书的标价为18元元.(2)设折叠进去的宽度为设折叠进去的宽度为y cm,则则(2y+152+1)(2y+21)=875,化化简得简得y2+26y-56=0,解得解得y=2或或-28(舍去舍去).答答:该包书纸包这本书时折叠进去的宽度为该包书纸包这本书时折叠进去的宽度为2 cm.经检验,x=80是原方程的解,且符合题意.在求3x的倒数的值时,嘉淇同学误将3
8、x看成了8x,她求得的值比正确答案小5.原分式方程的解是x=3.(1)当m=4时,(4+1)x=-5,解得x=-1,正整数m的所有个数为()已知该包书纸的面积为875 cm2(含阴影部分),且正好可以包好图中的中国故事这本书,该书的长为21 cm,宽为15 cm,厚为1 cm,请直接写出该包书纸包这本书时折叠进去的宽度.解析:方程两边同乘(x+4)(x-4),得x+4+m(x-4)=m+3,化简,得(m+1)x=5m-1.【思路导引】(1)设A种茶叶每盒进价为x元,则B种茶叶每盒进价为1.如图,某路口的斑马线路段A-B-C横穿双向行驶车道,其中AB=BC=6米,在绿灯亮时,小明共用11秒通过A
9、C,其中通过BC的速度是通过AB速度的1.某书店积极响应政府“改革创新,奋发有为”的号召,举办“读书节”系列活动.经检验,x=-1是原分式方程的解.答:该包书纸包这本书时折叠进去的宽度为2 cm.解:设计划平均每天修建步行道的长度为x m,则采用新的施工方式后平均每天修建步行道的长度为1.小王同学根据题意列出方程 =6.求计划平均每天修建步行道的长度.当(x+2)(x-1)=0时,x=-2或x=1.【思路导引】先用含k的式子表示出分式方程的解,再由解为非正数得出关于k的不等式,求出k的范围.原分式方程的解是x=3.(2)第一次所购茶叶全部售完后,第二次购进A,B两种茶叶共100盒(进价不变),
10、A种茶叶的售价是每盒300元,B种茶叶的售价是每盒400元.某茶店用4 000元购进了A种茶叶若干盒,用8 400元购进B种茶叶若干盒,所购B种茶叶比A种茶叶多10盒,且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.经检验:x=18是原分式方程的解,且符合题意.经检验,x=200是原方程的解,且符合题意,命题命题1 解解分式方程分式方程【思路导引】【思路导引】先确定最简公分母并去分母先确定最简公分母并去分母,再解整式方程即再解整式方程即可可,注意最后必须进行检验注意最后必须进行检验.解解:方程两边同乘方程两边同乘(x-1)(x+1),得得x(x+1)=4+(x-1)(x+1),去括号去括号,得得x2
11、+x=4+x2-1,解得解得x=3.检验检验:当当x=3时时,(x-1)(x+1)=80,原分式方程的解是原分式方程的解是x=3.【变式训练】【变式训练】x=9去分母去分母,得得3+2(x-1)=x,解得解得x=-1,经检验经检验,x=-1是原方程的解是原方程的解.原方程的解是原方程的解是x=-1.命题命题2 分式方程的增根和无解分式方程的增根和无解【典例【典例2】已知关于已知关于x的分式方程的分式方程(1)若若m=4,求方程的解求方程的解;(2)若该分式方程有增根若该分式方程有增根,试求试求m的值的值;(3)若该分式方程无解若该分式方程无解,试求试求m的值的值.【思路导引】【思路导引】先将分
12、式方程转化为整式方程先将分式方程转化为整式方程,然后找出使公然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根分母为零的未知数的值即为增根,最后将增根代入转化得到最后将增根代入转化得到的整式方程中的整式方程中,求出原方程中所含字母的值求出原方程中所含字母的值;若原方程无解若原方程无解,则则有两种情形有两种情形:(1)增根增根,(2)转化后的整式方程转化后的整式方程(m+1)x=-5本身无本身无解解,即即(m+1)=0.解解:方程两边同乘方程两边同乘(x-1)(x+2)得得2(x+2)+mx=x-1,整理整理,得得(m+1)x=-5.(1)当当m=4时时,(4+1)x=-5,解得解得x=-1,经检验经检验
13、,x=-1是原分式方程的解是原分式方程的解.(2)当当(x+2)(x-1)=0时时,x=-2或或x=1.(3)分式方程无解分式方程无解,m+1=0或或(x+2)(x-1)=0,当当m+1=0时时,m=-1;当当(x+2)(x-1)=0时时,x=-2或或x=1.【变式训练】【变式训练】A.m=2B.m=1C.m=3D.m=-3 D3解析解析:方程两边同乘方程两边同乘(x+4)(x-4),得得x+4+m(x-4)=m+3,化简化简,得得(m+1)x=5m-1.当当m+1=0,即即m=-1时时,整式方程无解整式方程无解,故原分式故原分式方程无解方程无解;(2)当(x+2)(x-1)=0时,x=-2或
14、x=1.(2)当(x+2)(x-1)=0时,x=-2或x=1.5倍,结果提前5天完成任务.2020年5月21日以“茶和世界,共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开.(2020威海)在“旅游示范公路”建设的过程中,工程队计划在海边某路段修建一条长1 200 m的步行道.【典例4】(2020泰安)中国是最早发现并利用茶的国家,形成了具有独特魅力的茶文化.解:方程两边同乘(x-1)(x+2)得2(x+2)+mx=x-1,求计划平均每天修建步行道的长度.活动中故事类图书的标价是典籍类图书标价的1.原分式方程的解是x=3.经检验,x=80是原方程的解,且符合题意.第7讲分式方程及其应用设小明通过AB
15、时的速度是x米/秒,根据题意列方程得_.答:该包书纸包这本书时折叠进去的宽度为2 cm.(2)当(x+2)(x-1)=0时,x=-2或x=1.经检验:x=18是原分式方程的解,且符合题意.活动中故事类图书的标价是典籍类图书标价的1.(2)第一次所购茶叶全部售完后,第二次购进A,B两种茶叶共100盒(进价不变),A种茶叶的售价是每盒300元,B种茶叶的售价是每盒400元.(2)第一次所购茶叶全部售完后,第二次购进A,B两种茶叶共100盒(进价不变),A种茶叶的售价是每盒300元,B种茶叶的售价是每盒400元.经检验:x=18是原分式方程的解,且符合题意.某书店积极响应政府“改革创新,奋发有为”的
16、号召,举办“读书节”系列活动.活动中故事类图书的标价是典籍类图书标价的1.命题命题3 根据分式方程解的情况确定未知根据分式方程解的情况确定未知字母字母 的解为非正数的解为非正数,则则k的取值范围是的取值范围是()A.k-12 B.k-12C.k-12D.k-12【思路导引】【思路导引】先用含先用含k的式子表示出分式方程的解的式子表示出分式方程的解,再由解为再由解为非正数得出关于非正数得出关于k的不等式的不等式,求出求出k的范围的范围.A【典例4】(2020泰安)中国是最早发现并利用茶的国家,形成了具有独特魅力的茶文化.某书店积极响应政府“改革创新,奋发有为”的号召,举办“读书节”系列活动.解:
17、方程两边同乘(x-1)(x+1),得图中,虚线是折痕,阴影是裁剪掉的部分,四角均为大小相同的正方形,正方形的边长为折叠进去的宽度.原分式方程的解是x=3.正整数m的所有个数为()经检验,x=-1是原分式方程的解.经检验:x=18是原分式方程的解,且符合题意.活动中故事类图书的标价是典籍类图书标价的1.经检验,x=80是原方程的解,且符合题意.经检验:x=18是原分式方程的解,且符合题意.购书,免费为购买故事类的读解析:方程两边同乘(x+4)(x-4),得x+4+m(x-4)=m+3,化简,得(m+1)x=5m-1.当(x+2)(x-1)=0时,x=-2或x=1.2020年5月21日以“茶和世界
18、,共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开.【思路导引】(1)设A种茶叶每盒进价为x元,则B种茶叶每盒进价为1.(2)当(x+2)(x-1)=0时,x=-2或x=1.经检验,x=-1是原分式方程的解.依上述情形,所列关系式成立的是()解:方程两边同乘(x-1)(x+2)得2(x+2)+mx=x-1,5 800元(不考虑其他因素),求本次购进A,B两种茶叶各多少盒?(3)去分母时把分式方程两边的式子作为一个整体,不要漏乘常数项.【变式训练】【变式训练】正整数正整数m的所有个数为的所有个数为()A.3B则则m的取值范围为的取值范围为()A.m-10且且m-6D命题命题4 分式方程的应用分式方程的
19、应用【典例【典例4】(2020泰安泰安)中国是最早发现并利用茶的国家中国是最早发现并利用茶的国家,形成形成了具有独特魅力的茶文化了具有独特魅力的茶文化.2020年年5月月21日以日以“茶和世界茶和世界,共品共品共享共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开为主题的第一届国际茶日在中国召开.某茶店用某茶店用4 000元元购进了购进了A种茶叶若干盒种茶叶若干盒,用用8 400元购进元购进B种茶叶若干盒种茶叶若干盒,所购所购B种茶叶比种茶叶比A种茶叶多种茶叶多10盒盒,且且B种茶叶每盒进价是种茶叶每盒进价是A种茶叶每种茶叶每盒进价的盒进价的1.4倍倍.(1)A,B两种茶叶每盒进价分别为多少元两种茶叶每盒
20、进价分别为多少元?(2)第一次所购茶叶全部售完后,第二次购进A,B两种茶叶共100盒(进价不变),A种茶叶的售价是每盒300元,B种茶叶的售价是每盒400元.经检验:x=18是原分式方程的解,且符合题意.经检验,x=80是原方程的解,且符合题意.m-10且m-6D.解析:方程两边同乘(x+4)(x-4),得x+4+m(x-4)=m+3,化简,得(m+1)x=5m-1.2020年5月21日以“茶和世界,共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开.则m的取值范围为()(2)第一次所购茶叶全部售完后,第二次购进A,B两种茶叶共100盒(进价不变),A种茶叶的售价是每盒300元,B种茶叶的售价是每盒4
21、00元.考点3 分式方程的实际应用解:方程两边同乘(x-1)(x+2)得2(x+2)+mx=x-1,(3)分式方程无解,m+1=0或(x+2)(x-1)=0,正整数m的所有个数为()经检验:x=18是原分式方程的解,且符合题意.(3)去分母时把分式方程两边的式子作为一个整体,不要漏乘常数项.解析:方程两边同乘(x+4)(x-4),得x+4+m(x-4)=m+3,化简,得(m+1)x=5m-1.5 800元(不考虑其他因素),求本次购进A,B两种茶叶各多少盒?求计划平均每天修建步行道的长度.(1)当m=4时,(4+1)x=-5,解得x=-1,(2)在去分母前,需确定分式方程的最简公分母,若分母是
22、多项式,应先将分母因式分解,再确定最简公分母;考点1 分式方程的有关概念2倍,求小明通过AB时的速度.解:方程两边同乘(x-1)(x+2)得2(x+2)+mx=x-1,(2)第一次所购茶叶全部售完后第一次所购茶叶全部售完后,第二次购进第二次购进A,B两种茶叶共两种茶叶共100盒盒(进价不变进价不变),A种茶叶的售价是每盒种茶叶的售价是每盒300元元,B种茶叶的售种茶叶的售价是每盒价是每盒400元元.两种茶叶各售出一半后两种茶叶各售出一半后,为庆祝国际茶日为庆祝国际茶日,两两种茶叶均打七折销售种茶叶均打七折销售,全部售出后全部售出后,第二次所购茶叶的利润为第二次所购茶叶的利润为5 800元元(不
23、考虑其他因素不考虑其他因素),求本次购进求本次购进A,B两种茶叶各多少盒两种茶叶各多少盒?【思路导引】【思路导引】(1)设设A种茶叶每盒进价为种茶叶每盒进价为x元元,则则B种茶叶每盒种茶叶每盒进价为进价为1.4x元元,根据根据“用用8 400元购买的元购买的B种茶叶比用种茶叶比用4 000元购元购买的买的A种茶叶多种茶叶多10盒盒”即可得出关于即可得出关于x的分式方程的分式方程,解之即可得解之即可得出结果出结果;(2)设第二次购进设第二次购进A种茶叶种茶叶m盒盒,则购进则购进B种茶叶种茶叶(100-m)盒盒,根根据据“总利润总利润=每盒的利润每盒的利润销售数量销售数量”得出关于得出关于m的一元
24、一次的一元一次方程方程,解之得出结果解之得出结果.解解:(1)设设A种茶叶每盒进价为种茶叶每盒进价为x元元,则则B种茶叶每盒进价为种茶叶每盒进价为1.4x元元,解得解得x=200,经检验经检验,x=200是原方程的解是原方程的解,且符合题意且符合题意,1.4x=280.A种茶叶每盒进价为种茶叶每盒进价为200元元,B种茶叶每盒进价为种茶叶每盒进价为280元元.(2)设第二次购进设第二次购进A种茶叶种茶叶m盒盒,则购进则购进B种茶叶种茶叶(100-m)盒盒,解得解得m=40,100-m=60.第二次购进第二次购进A种茶叶种茶叶40盒盒,B种茶叶种茶叶60盒盒.【变式训练】【变式训练】8.(202
25、0威海威海)在在“旅游示范公路旅游示范公路”建设的过程中建设的过程中,工程队计划在工程队计划在海边某路段修建一条长海边某路段修建一条长1 200 m的步行道的步行道.由于采用新的施工由于采用新的施工方式方式,平均每天修建步行道的长度是计划的平均每天修建步行道的长度是计划的1.5倍倍,结果提前结果提前5天完成任务天完成任务.求计划平均每天修建步行道的长度求计划平均每天修建步行道的长度.解解:设计划平均每天修建步行道的长度为设计划平均每天修建步行道的长度为x m,则采用新的施则采用新的施工方式后平均每天修建步行道的长度为工方式后平均每天修建步行道的长度为1.5x m,解得解得x=80,经检验经检验,x=80是原方程的解是原方程的解,且符合题意且符合题意.计划平均每天修建步行道的长度为计划平均每天修建步行道的长度为80 m.9.(2020襄阳襄阳)在襄阳市创建全国文明城市的工作中在襄阳市创建全国文明城市的工作中,市政部门市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式.改进后改进后,现在每天用水现在每天用水量是原来每天用水量量是原来每天用水量的的 ,这样这样120吨水可多用吨水可多用3天天,求现在每求现在每天用水量是多少吨天用水量是多少吨?现在每天用水量是现在每天用水量是8 t.
