1、2.1微分方程的建立与求解微分方程的建立与求解 1.微分方程的建立微分方程的建立 设系统的激励信号为设系统的激励信号为 ，响应为，响应为 ，则，则系统的特性可用一微分方程来描述系统的特性可用一微分方程来描述 对于线性时不变系统，该式为一非齐次的常系对于线性时不变系统，该式为一非齐次的常系数线性微分方程式数线性微分方程式)(te)(tr)()()()()()()()1(1)(0)1(1)1(1)(0teEteEteEtrCtrCtrCtrCmmmnnnna.a.电阻电阻:b.b.电容电容:c.c.电感电感:tcd)(ic1)t(ud.d.耦耦合电感合电感v vI I 的关系的关系依据依据 系统微
2、分方程的建立依据是构成系统的各部件的系统微分方程的建立依据是构成系统的各部件的特性以及各部件之间的连接方式。具体到电路中，微特性以及各部件之间的连接方式。具体到电路中，微分方程的列写依据是分方程的列写依据是VARVAR，KCLKCL和和KVLKVL三条规律。三条规律。)()(tutqC dttducti)()(cc)()(tituR RRuipui22ildttdiltul)()(ldLttllui)(1)(dtdimdtdildtdtv12222)(dtdimdtdildtdtv21111)(C1R2RL tis tiL tiC电路如右图所示，列写 的方程。tiL121RtidttiCRti
3、dttdiLtititiCCLLCLs titidtdRtitiCRdttdidttidLLsLsLL12221 tidttdiCRtidttdiCRCRdttidLCssLLL12122举例 描述LTI连续系统的微分方程是一线性常系数常微分方程，一般形式如下：其中 为激励信号，有时称为输入信号。为响应信号，也称为输出信号。为微分方程的阶次，或系统的阶次。由于系统是线性时不变的，所以上述微分方程中的所有系数 都是常数。n te 0101nmd r tdr td e tde tCCC r tEEE e tnnmmnmdtdtdtdt trmjbniaji,2,1,0,2,1,0二二.微分方程的求
4、解微分方程的求解(经典法经典法)齐次解：由特征方程求出特征根写出齐次解形式注意重根、复根情况处理方法。特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数 的 特 解 函 数 式 代 入 原 方 程，比 较 系 数 定出特解。kA 全 解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解系数 。求解的一般步骤求解的一般步骤nktkkA1ekA（一）、微分方程的齐次解（一）、微分方程的齐次解齐次方程：001nd r tdr tCCC r tnnndtdt特征方程：10011nnCCCCnn特征方程的 个根称为特征根：nnii,2,11）特征根无重根：即 个特征根各不相等，则齐次解为：n2）特征根有重根：设 有
5、重根，则齐次解中相应于 的部分有 项，即：微分方程的齐次解的形式取决于特征根的不同情况。12121ninttttrtA eA eA eA ehnii1k1tkkkeAtAtA12211其中 为待定系数。由给定的系统初始条件确定。,2,1iAik写成复根因子的形式（复函数的形式）：写成实函数解的形式：3）特征根为共轭复根时，齐次解可有两种选择形式，设一对共轭复根为tjtjeAeA21j这时，为一对共轭复数。21,AAtetAtAsincos21这时，为两实数。21,AA1）2）【例题】写出微分方程的齐次解的形式 06852233trdttdrdttrddttrd 02322trdttdrdttr
6、d【解】1）特征方程：，特征根：02322,12,1齐次解的形 为待定系数。tteAeA22121,AA2）特征方程：，特征根：0685233,13,2,1j齐次解的形式：其中 为待定系数。tteAetAtA3321sincos321,AAA（二）、微分方程的特解（二）、微分方程的特解 将 代入微分方程右边，化简得到的项称为自由项。特解即可根据自由项的函数形式来选择，如下表所示。te【解】1）自由项：，设特解：【例题】已知微分方程：1）2）求两种情况下微分方程的特解。tedttdetrdttdrdttrd3222 2tte 2te tett22 CBtAttrp2 AdttrdBAtdttdr
7、pp2,222代入原微分方程得：2710,92,31CBAttCBtAtBAtA233324222解得：271092312tttrp【解】2）自由项：，设特解：te23 tpDetr2 tptpDedttrdDedttdr22224,2代入原微分方程得：311D22224433ttttDeDeDee解得：3211trtep微分方程的完全解由齐次解与特解相加得到。其中特解是一确定函数，而齐次解中有 个未知系数，这 个未知系数或待定系数必须由系统给定的初始条件来确定。即：nn trtrtrph其中 中有 个待定系数。它们由下面 个初始条件来确定：n trhn 110,0,0nndtrddtdrr例
8、 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0)=1,y(0)=2,输入信号f(t)=et u(t)，求系统的完全响应y(t)。0),()(8)(6)(ttftytyty08624221，ttheKeKty4221)(特征根为齐次解yh(t)解:(1)求齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t)=0的齐次解yh(t)特征方程为将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。由输入f(t)的形式，设方程的特解为2)求非齐次方程 的特解yp(t)解得 A=5/2，B=11/6 yp(t)=Ce-t3)求方程的全解tttpheBeAetytyty31)()()(42131)0(BAy23142
9、)0(BAy0,3161125)(42teeetyttt)(自由响应通解)(强迫响应特解y(t)+6y(t)+8y(t)=f(t)电容的起始电压为零。信号求输出号电路如图所示，激励信例).t(v),t(uEe)t(e:20t)(te1RC2R)(0tv解:)()()()(01020tvRdttdvcRtvte)(1)()(1021210tecRtvcRRRRdttdv0cRRRR2121齐次解:tCRRRRAe2121tBetB)(:特解为t1t2121tecREBecRRRRBecRRRRERB21212(0)(0)0vv)()(tuEetet 若 因激励信号为cRRRR2121CRRRRE
10、RACRRRRERAv212122121200)0(ttCRRRRecRRRRERAetv2121202121)(cRRRR2121若:则特解为:tBtetB)(将B(t)代入微分方程,并用初始条件求出待定系数：tcRRRRtecREtv212110)()()(2121212120tCRRRRteeCRRRRERtv【注意】1）求待定系数用到的是 的初始值，而不是 的初始值。2）从信号与系统分析的角度来说，初始条件用的是 时刻的值，但一般给定的已知条件是 时刻的值，它们在一般情况下是不同的。tr trh003.微分方程的算子表示微分方程的算子表示 引入算子引入算子 ，并令，并令 于是有于是有p
11、tdtpdtdp)(;1xdtdxpxdtdpxnnn ;txdxp1微分方程的算子表示微分方程的算子表示(续续)令令 高阶微分方程的算子表示高阶微分方程的算子表示 传输算子传输算子mmmmnnnnEpEpEpEpNCpCpCpCpD11101110)()()()()()(tepNtrpD)()()()()()(tepHtepDpNtr)(pH算子的运算算子的运算 如果如果 则有则有 ，为常数为常数(不可约不可约)算子可相约算子可相约 算子不可相约算子不可相约txxddtdxpp1ttxxddtdpxp1pypx cyxcp三、起始点的跳变三、起始点的跳变从从 到到 状态的转换状态的转换00如
12、上所述，在确定完全解中齐次解部分中的待定系数时，我们要有 个初始条件。从信号与系统分析的角度来说，这 个初始条件指的是 时刻，因为激励接入后的瞬时是 时刻，或微分方程描述的是 时间区间。但在实际问题中，我们知道的是 时刻的起始状态。与 时刻系统的状态一般是不同的，所以有下面两个概念：nn000 0t00起始状态：在激励接入系统之前的瞬（）系统的状态称为起始状态，它总结了为计算未来响应所需要的过去的全部“信息”。0t初始状态：在激励接入系统之后的瞬时（）系统的状态为初始状态，它用于求系统响应中齐次解部分的待定系数。0t求起始点的跳变一般有两种方法：1、对于具体的电网络，首先求出 ，一般情况下，换
13、路期间电容两端电压和流过电感中的电流不会发生跳变，然后根据元件特性约束和网络拓扑约束求得 时刻其他电流或电压值。0(0),(0)vicL2、冲激函数匹配法：当系统用微分方程表示时，系统的 到 状态有无跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 及其各阶导数。若包含，则发生跳变。原理为根据微分方程两边奇异函数 和 项平衡相等来求。00()t t tk冲激函数匹配法：举例说明其原理。例：系统的微分方程为：，给定 ，求 。()3()3()dr tr ttdt(0)r(0)r解：()3()3()3()3()39()9()9()rtrttttttut 方程右边有所以 包含3()t()r t即 在 时刻有 存在
14、，其中 表示 到 相对单位跳变函数，因而 即()r t0t 9()u t()u t00(0)(0)9rr(0)(0)9rr数学方法描述为：()()()()()()()r tatbtc u tr tatb u t 设 代入原方程得()()()3()()3()atbtc u tatb u tt 得出3,30,30abacb解得3,9,27abc 所以得：或 (0)(0)9rrb(0)(0)9rr例：给定电路如图示，开关S处于1的位置而且已经达到稳态；当 时，S由1转向2。建立电流 的微分方程并求解 在 时的变化。0t 0t()i t()i t0t+-()4e tV21S()i t+-()2e tV
15、11R 322R 14LH1CF()itc()itL解：（1）列写微分方程列回路方程：12()()()()()()CCLLRi tv te tdv tLi ti t Rdt列节点方程：()()()di tCvtitCLdt图1整理得：22()7()10()()6()4()22ddddi ti ti te te te tdtdtdtdt（2）求完全响应的形式齐次解：特征方程：27100特征根：2,512 齐次解形式：25()(0)12ttitA eA eth特解：0t 时，自由项为16，所以设 代入原方程，解得()4e tV()itBp85B 完全解的形式：825()(0)125tti tA e
16、A et（3）确定换路后的(0),(0)diidt方法一：换路前 24(0)(0)512436(0)0,(0)(0)2525iiALRRdiviRCLdt换路后11614(0)(0)(0)(4)155111(0)(0)(0)(0)11111 144(0)(0)0()211 55ievACRddddieveCdtRdtdtRdtAiiLsC 方法二：由题意知，的波形如图：即 。当 时微分方程为()e t2V4V0t()e t()2 2()e tu t 0t 2()7()10()2()12()16()2ddi ti ti tttu tdtdt所以可设：22()()()()()()()()()di
17、tatbtc u tdtdi tatb u tdti ta u t 代入上方程求得：解得2,712,71016abacba2,2,10abc 所以414(0)(0)255(0)(0)202iaiAddAibisdtdt （4）求完全响应由完全响应的表达式得：12128 14(0)55(0)252iAAdiAAdt 解得：42,12315AA 所以完全响应为：42825()(0)3155tti teeA t经典法求解微分方程的流程将元件电压电流关系、基尔霍夫定律用于给定电系统列写微分方程齐次解 （系 数A待定）tAe特解查表完全解=齐次解+特解（A待定）已定系数A的完全解系统的响应给定系统 状态
18、求出对应 状态00经典法不足之处 若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。若激励信号发生变化，则须全部重新求解。若初始条件发生变化，则须全部重新求解。这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。由0时刻的起始条件求 时刻的初始条件一般是很困难的，所以求系统响应时，一般绕开初始状态跳变的问题，而用别的方法来求系统的响应。详见后面章节内容，如零状态响应的求解内容00四、零输入响应和零状态响应四、零输入响应和零状态响应1.零输入响应零输入响应 对于线性时不变系统，对于线性时不变系统，零输入响应零输入响应 是满足是满足 及起始状态及起始状态 的解的解 )()()()0()(trtrteHxH
19、trzszi0)()()()()1(1)1(1)(0trCtrCtrCtrCzinzinnzinzi)(trzi)1,1,0(),0()(nkrk2.零状态响应零状态响应 零状态响应零状态响应 是满足方程是满足方程及起始状态及起始状态 的解的解)(trzs)()()()()()()()1(1)(0)1(1)1(1)(0teEteEteEtrCtrCtrCtrCmmmnnnn)1,1,0(),0()(nkrk3.响应的表达式响应的表达式 零输入响应零输入响应 零状态响应零状态响应 完全响应完全响应nktzikzikeAtr1)(nktzskzstBeAtrk1)()(nktzsknktziktB
20、eAeAtrkk11)()(2.2 冲激响应与阶跃响应冲激响应与阶跃响应 二者都是零状态响应。二者都是零状态响应。1、单位冲激响应：单位冲激响应：以单位冲激信号以单位冲激信号(t)作激励作激励 时，系统产生的零状态响应，以时，系统产生的零状态响应，以h(t)表示。表示。2、单位阶跃响应单位阶跃响应：以单位阶跃信号以单位阶跃信号u(t)作激作激 励，系统产生的零状态响应，以励，系统产生的零状态响应，以g(t)表示。表示。h(t)与与g(t)的关系：的关系：dttdgth)()(tdhtg0)()(用冲激响应分析线性系统的方法更常用。用冲激响应分析线性系统的方法更常用。冲激响应冲激响应h(t)的求
21、法：的求法：)()()()()()()()(0111101111tebdttdebdttedbdttedbtradttdradttrdadttrdammmmmmnnnnnn系统方程为：系统方程为：一、确定一、确定h(t)中的冲激函数及导数项中的冲激函数及导数项 当激励当激励e(t)=(t)时，系统的零状态响应为时，系统的零状态响应为h(t)，则系，则系统微分方程为：统微分方程为：)()()()()()()()(0111101111tbdttdbdttdbdttdbthadttdhadtthdadtthdammmmmmnnnnnn)()()()()()()()(0111101111tbdttdb
22、dttdbdttdbthadttdhadtthdadtthdammmmmmnnnnnn 用方程左右两端奇异函数平衡的原则，左边最高阶用方程左右两端奇异函数平衡的原则，左边最高阶对应右边最高阶。对应右边最高阶。第一、第一、h(t)的形式将与的形式将与m,n值的相对大小密值的相对大小密 切相关切相关1、n=m+1，则，则dttdh)(对应对应),(t而而h(t)不包含不包含(t)及其各级导数及其各级导数2、n=m，则，则h(t)包含包含(t)项项3、n0时，时，(t)及其各级导数均为及其各级导数均为0，方程，方程 右端恒右端恒为为0。）。）二、确定冲激响应二、确定冲激响应h(t)的函数形式的函数形
23、式当当nm时，时，nitituekthi1)()(当当nm时，时，)()()(11tktuekthnnitii当当n0时向右平移，时向右平移，t0时向左平移时向左平移c-1 f2(t-)0tt-1)()(22tftf随随t取值不同，取值不同，f2(t-)出现在不同位置出现在不同位置4、相乘：将、相乘：将f1()和和 f2(t-)相乘相乘12 f1()c f1()f2(t-)0tt-15、积分、积分c f2(t-)0tt-1c f1()f2(t-)0tt-1阴影的面积，即阴影的面积，即g(t)的值，的值，是是t时刻的卷积结果。时刻的卷积结果。12 f1()f1()f2(-)012 f1()c-1
24、 f2(-)0c1 f2(1-)0f1()f2(1-)0112 f1()c1 f2(2-)0f1()f2(2-)0212 f1()c3 f2(3-)0f1()f2(3-)0g(t)t21c（二）、卷积的解析计算（二）、卷积的解析计算 dtfftftf)()()()(21211、积分限的确定：、积分限的确定：A、设、设f1(t)是有始函数，是有始函数，当当t0时，时，f1(t)=0，f2(t)不受此限不受此限)()()(11 uff dtfuftg)()()()(21 021)()(dtff积分下限为积分下限为0B、tt时，时，f2(t-)=0，tdtfftg )()()(21C、将、将A、B两
25、个条件合并：两个条件合并：t0时，时，f1(t)=0，f2(t)=0 dtutfuftg)()()()()(21 tdtff021)()(积分上限为积分上限为 t积分上限为积分上限为 t，下限为下限为0 0)()()(021tdtfftg 0 t0 t)()()(021tudtfft 卷积的被积函数卷积的被积函数是是有始函数有始函数，卷积也是，卷积也是有始函数有始函数2、起始时刻的确定：、起始时刻的确定：若若f1(t)从从t1时刻起始，时刻起始，f2(t)从从t2时刻起始，即：时刻起始，即：)()()()(2211ttutfttutf dttutftuftg)()()()()(2211 21)
26、()(21tttdtff 积分限是积分限是：21ttt 起始时刻是起始时刻是：当当t-t2t1时，时，g(t)=0当当t-t2 t1时，时，g(t)不为不为0起始时刻：起始时刻：tt1 t2)()()()(212121tttudtfftgttt 所以，所以，g(t)可表示为：可表示为：具体计算方法：具体计算方法：将两个阶跃函数的时间相加将两个阶跃函数的时间相加。u(-t1)与与u(t-t2)中：中：-t1+t-t2=t-t1-t2起始时刻：起始时刻：tt1 t2 dttutftuftg)()()()()(2211 例：例：)(2)(1tuetft )2()()(2 tututf求 dtfftg
27、)()()(212f1()20f2()210（1）、图解法）、图解法2f1()20f2()210f2(-)210首先将首先将f2()反褶反褶再将再将f2(-)沿沿 轴平移轴平移tf2(t-)t10t-2用图解法进行分段积分，求出用图解法进行分段积分，求出g(t)2f1()20f2(-)210f1()f2(-)02f1()20f2(1-)1102f1()201f1()f2(1-)02 f2(2-)2102f1()202f1()f2(2-)02 f2(3-)31031f1()f2(3-)0g(t)t0当当t0时，时，f1()f2(t-)=0，所以，所以g1(t)=0当当0 t 2时，时，f1()与
28、与f2(t-)有部分重迭，有部分重迭，积分限积分限 0t，g2(t)为：为：dtfftgt)()()(2012 tde012 )1(2te 当当2 t 时，时，f2(t-)完全落在完全落在f1()上，积上，积分限分限 t-2t，g3(t)为：为：ttdetg2312)()1(22 eet对以上结果用一个函数表达对以上结果用一个函数表达：)2()()1(2)(tutuetgt)2()1(22 tueet（2）、解析法）、解析法 dtfftg)()()(21 dtutuue)2()()(2 dtuue)()(2 dtuue)2()(2 dtuue)()(2对式对式)(2)(1tuetft 和和)(
29、)(2tutf 都是有始函数。所以下限为都是有始函数。所以下限为0，上限为，上限为t，即，即 dtuue)()(2起始时刻为起始时刻为t=0)(20tudet 将两个阶跃函将两个阶跃函数时间相加，数时间相加，即即+t-=t为阶为阶跃函数所应具跃函数所应具有的起始时刻有的起始时刻 dtuue)2()(2对式对式)(2)(1tuetft 和和)2()(2 tutf下限为下限为0，上限为，上限为t-2 dtuue)2()(2)2(220 tudet 起始时刻：t=2将两个阶跃函将两个阶跃函数时间相加，数时间相加，即即+t-2-=t-2为为阶跃函数所应阶跃函数所应具有的起始时具有的起始时刻刻)2()1
30、(2)()1(2)2(tuetuett 200)2(2)(2)(tttudetudetg )2(2)(2|200 tuetuett （三）、卷积的性质（三）、卷积的性质1、交换率：、交换率：)()()()(1221tftftftf 2、分配率：、分配率：)()()()()()()(3121321tftftftftftftf 3、结合率：、结合率：)()()()()()(321321tftftftftftf 5、卷积的积分：、卷积的积分：ttdftfdff )()()()(2121)()(21 fdft 4、卷积的微分：、卷积的微分：)()()()()()(212121tfdttdfdttdft
31、ftftfdtd （四）、函数（四）、函数f(t)与与冲激函数冲激函数或或阶跃函数阶跃函数的卷积的卷积1、f(t)与与冲激函数冲激函数卷积，结果是卷积，结果是f(t)本身本身)()()(tfttf 证明：根据卷积定义和冲激函数的抽样性质证明：根据卷积定义和冲激函数的抽样性质 dtfttf)()()()()()()(tfdttf )()()(00ttftttf 类似有：类似有：2、f(t)与与冲激偶冲激偶的卷积的卷积)()()(tfttf (t)称为称为微分器微分器3、f(t)与与阶跃函数阶跃函数的卷积的卷积 tdftutf )()()(u(t)称为称为积分器积分器推广：推广：)()()()()
32、(tfttfkk )()()(0)(0)(ttftttfkk （五）、卷积积分的数值计算（五）、卷积积分的数值计算e(t)0kTT2Tt2h(t)t20用数值计算法求用数值计算法求e(t)*h(t)步骤：步骤：1、将、将e()和和h(-)分解成若干宽度为分解成若干宽度为T的矩形脉的矩形脉冲，得到近似函数冲，得到近似函数ea()和和ha(-)ea()0kTT2T e3e1e0ha(-)0h3h2h12、将、将ha(-)自左向右移动自左向右移动，并在，并在T的整数倍的的整数倍的位置上位置上计算计算ea()和和ha(nT-)对应项乘积对应项乘积之和之和e0e1e3e2h4h3h2h1e2Te1ea(
33、)0 e0ha(-)0h3h2h1e0e1e3e2h4h3h2h1e1ea()0 e0e1ea()0 e0ha(-)0h3h2h1e0e1e3e2h4h3h2h1t=0,ra(0)=0t=T,ra(T)=Te0h1t=2T,ra(2T)=T(e0h2+e1h1)ha(-)0h3h2h1推广到一般情况，即推广到一般情况，即t=nT时，时，nkkknaheTnTr1)(总结：卷积是本门课中十分关键的概念。着重掌握：1.图解法图解法2.解析法解析法3.卷积的性质卷积的性质4、交换率：、交换率：)()()()(1221tftftftf 证明：利用卷积定义证明：利用卷积定义 dtfftftf)()()(
34、)(2121用积分换元法：令用积分换元法：令=t-，则，则d=-d)()()()(2121 dftftftf dftf)()(21)()(12tftf 返回返回5、卷积的微分：、卷积的微分：)()()()()()(212121tfdttdfdttdftftftfdtd dtffdtdtftfdtd)()()()(2121证明：证明：对上式右侧的定积分，可将对上式右侧的定积分，可将对对t的微分移至积分内的微分移至积分内，是参变量是参变量。ddttdff)()(21dttdftf)()(21 返回返回6、卷积的积分：、卷积的积分：ttdftfdff )()()()(2121)()(21 fdft
35、ttddffdff )()()()(2121证明：证明：变换积分次序变换积分次序 ddfft)()(21 ddfft)()(21 tdftf )()(21返回返回第二章第二章 小结小结时域分析法：时域分析法：直接在时间域内对系统进行分析的方法。直接在时间域内对系统进行分析的方法。其方法有两种：其方法有两种：经典法经典法零输入和零状态法零输入和零状态法特解（受迫响应）：特解（受迫响应）：特解的形式特解的形式由激励决定，由激励决定，特解的系数特解的系数是由激励与系统共同决定的。是由激励与系统共同决定的。齐次解（自然响应）：齐次解（自然响应）：齐次解的形式齐次解的形式只与系统本身的特性有关，只与系统本身的特性有关，但其但其待定系数待定系数的确定是由激励和系统的的确定是由激励和系统的 初始状态共同决定的。初始状态共同决定的。1 1、时域经典法：、时域经典法：求冲激响应零状态响应建立系统微分方程求特征方程的根求零输入响应 系 统 全响应
