1、1第四节第四节 高阶线性微分方程高阶线性微分方程二、常系数二、常系数齐次线性齐次线性微分方程微分方程三、二阶常系数三、二阶常系数非齐次线性非齐次线性微分方程微分方程一、高阶线性微分方程一、高阶线性微分方程2一、高阶线性微分方程一、高阶线性微分方程1、二阶线性微分方程、二阶线性微分方程2、线性微分方程的解的结构、线性微分方程的解的结构3通解通解为为)()()(CdxexQeydxxPdxxP dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(对应对应齐次齐次方方程通解程通解Y非齐次非齐次方程特解方程特解一阶线性方程解的一阶线性方程解的结构结构及解非齐次方程及解非齐次方程的的常数变易法常数
2、变易法对高阶线性方程也适用对高阶线性方程也适用.注注 y)()(xQyxPy 一阶线性方程一阶线性方程 复习复习4二阶二阶)()(dd)(dd22xfyxQxyxPxy 时，时，当当0)(xf二阶线性二阶线性齐次齐次微分方程微分方程.二阶线性二阶线性非齐次非齐次微分方程微分方程.形如形如1、二阶线性微分方程、二阶线性微分方程线性线性微分方程微分方程)(xf时，时，当当0)(xf5)()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn n阶线性阶线性微分方程的一般形式为微分方程的一般形式为,)(,),(),(21为线性微分方程的系数为线性微分方程的系数其中其中xpxpxpn.)(项项为为
3、线线性性微微分分方方程程的的自自由由xf时，时，当当0)(xfn阶线性阶线性齐次齐次微分方程微分方程.n阶线性阶线性非齐次非齐次微分方程微分方程.时，时，当当0)(xf6)()(2211xyCxyCy yxQyxPy)()(定理定理,)1()()(21的的两两个个解解是是方方程程与与如如果果函函数数xyxy的的也也是是那那末末)1()()(2211xyCxyCy ).,(21是是常常数数CC证证 2211yCyC)(2211yCyCxP )(2211yCyCxQ )()(1111yxQyxPyC )()(2222yxQyxPyC 0 叠加原理叠加原理0一定是通解一定是通解(1)解解,(1)二阶
4、二阶齐次齐次方程解的结构方程解的结构齐次齐次2、线性微分方程的解的结构、线性微分方程的解的结构0 0 7线性无关线性无关定义定义nyyy,21设设02211 nnykykyk线性相关线性相关.否则称否则称 线性无关线性无关.如如),(sin,cos122 xxx，),(,2 xeeexxx，线性相关线性相关有恒等式有恒等式取取,1,1321 kkk0sincos122 xx恒等式成立恒等式成立如果存在如果存在n个个不全为零不全为零的常数的常数,使得当使得当x在该区间内在该区间内那末称这那末称这n个函数在区间个函数在区间I内内为定义在区间为定义在区间I内的内的n个函数个函数.8特别地特别地上上在
5、在与与则则函函数数Ixyxy)()(21线性无关线性无关.)()(21xyxy,常常数数 若在若在I上有上有如如,0 yy,cos1xy xyytan12 且且.sincos21xCxCy 定理定理的两个的两个是方程是方程与与如果函数如果函数)1()()(21xyxy)()(2211xyCxyCy 通解通解,常常数数为了求为了求只要求它的只要求它的两个两个线性无关线性无关的特解的特解.,sin2xy 线性无关线性无关的特解的特解,那末那末也是也是(1)的的齐次齐次线性方程的通解线性方程的通解,通解通解.)1(0)()(yxQyxPy9推论推论是是n 阶齐次阶齐次线性方程线性方程0)()()(1
6、)1(1)(yxPyxPyxPynnnn的的n 个个线性无关线性无关的解的解,那么那么,此方程的通解为此方程的通解为),()()(2211xyCxyCxyCynn 其中其中nCCC,21为任意常数为任意常数.可推广到可推广到n阶阶齐次线性方程齐次线性方程.)(,),(),(21xyxyxyn如果函数如果函数10(2)二阶非齐次线性方程的解的结构二阶非齐次线性方程的解的结构定理定理 yxQyxPy)()(y设设 的一个的一个特解特解,yYy那么那么 为了求为了求非齐次线性方程的非齐次线性方程的一个特解一个特解和对应和对应齐次齐次线性方程线性方程只要求得只要求得:的的通解通解.)1(0)()(yx
7、QyxPy非齐次非齐次)(xf(2)非齐次非齐次线性方程的通解线性方程的通解,Y 是与是与(2)对应的齐次方程对应的齐次方程(1)的的通解通解,是二阶非齐次线性微分方程是二阶非齐次线性微分方程(2)的的通解通解.是二阶非齐次线性微分方程是二阶非齐次线性微分方程112xyy 方程方程已知已知xCxCYsincos21 0 yy的通解的通解.又容易验证又容易验证22 xy是所给方程的一个特解是所给方程的一个特解.是是非齐次非齐次方程的通解方程的通解.yYy如如是二阶是二阶非齐次非齐次线性方程线性方程xCxCsincos21 22 x是对应齐次方程是对应齐次方程定理定理 如果如果21,yy21yy
8、则则是对应齐次方程是对应齐次方程(1)的解的解.是非齐次方程是非齐次方程(2)的两个解，的两个解，12解的叠加原理解的叠加原理定理定理是是几几个个函函数数的的右右端端设设非非齐齐次次方方程程)()2(xf yxQyxPy)()(如如分别是分别是与与而而 21yy)()()(1xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy 21yy)2()()()(xfyxQyxPy )(xf)(1xf)(2xf之和之和,的特解的特解,那么那么就是原方程的特解就是原方程的特解.定理定理也可推广到也可推广到n 阶非齐次线性方程阶非齐次线性方程.13 求解求解xexyy 解解 yy的通解是的通解是xCxCYs
9、incos21 再考虑两个方程再考虑两个方程,xyy y例例xeyy xCxCsincos21 0 x.21xe yY,xyy 对对于于,*1xy 其特解为其特解为,xeyy 对于对于,21*2xey 其特解为其特解为.是是原原方方程程的的特特解解原方程通解为原方程通解为xexyyy21*2*1*14常数常数,则该方程的通解是则该方程的通解是().321,yyy设线性无关函数设线性无关函数都是二阶非齐次线都是二阶非齐次线性方程性方程)()()(xfyxQyxPy 的解的解,21,CC是任意是任意;)(32211yyCyCA ;)()(3212211yCCyCyCB ;)1()(3212211y
10、CCyCyCC .)1()(3212211yCCyCyCD D提示提示3231,yyyy 是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解,二者线性无关二者线性无关.(解的叠加原理解的叠加原理可证可证)3322311)()()(yyyCyyCC (89考研考研)3322311)()()(yyyCyyCD 例例15 已知微分方程已知微分方程)()()(xfyxqyxpy 个解个解,2321xxeyeyxy 求此方程满足初始条件求此方程满足初始条件3)0(,1)0(yy的特解的特解.解解1312yyyy 与与是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解,且且 xexeyyyyxx21312常数常数因而线性无关因而线性
11、无关,故原方程通解为故原方程通解为 )()(221xeCxeCyxxx代入初始条件代入初始条件,3)0(,1)0(yy,2,121 CC得得.22xxeey 故所求特解为故所求特解为有三有三 16定理定理 yxQyxPy)()()()()(1xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy )(1xf)(2xif是方程是方程如果如果)()(21xiyxyy 的解的解(复值解复值解)，其中其中),(),(),(),(21xfxfxQxP)(),(21xyxy是实值函数，是实值函数，)()(21xyxy和和则则分别是方程分别是方程的解的解.17解二阶线性解二阶线性非齐次非齐次微分方程微分方程)
12、1(0)(dd)(dd22 yxQxyxPxy解二阶线性解二阶线性齐次齐次微分方程微分方程)2()()(dd)(dd22xfyxQxyxPxy 只要求两个线性无关的解只要求两个线性无关的解2,1yy则方程的通解为则方程的通解为2211yCyCy 先求先求（1）的两个线性无关的解的两个线性无关的解2,1yy则方程的通解为则方程的通解为*2211yyCyCy 再求再求（2）的一个特解的一个特解 y*18基本思路基本思路 求解常系数线性齐次微分方程求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程求特征方程(代数方程代数方程)之根之根转化转化二、常系数二、常系数齐次齐次线性方程解法线性方程解法19n阶阶0 qy
13、ypy方程方程)(xfqyypy 二阶常系数二阶常系数非齐次非齐次线性方程线性方程)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn 线性微分方程线性微分方程常系数常系数二阶二阶常系数常系数齐次齐次线性线性形如形如1.定义定义20rxey 将其代入方程将其代入方程,0)(2 rxeqprr,0 rxe故有故有02 qprr2422,1qppr 特征根特征根0 qyypy二阶二阶设设解解得得特征方程特征方程常系数常系数齐次齐次线性方程线性方程其中其中r为待定常数为待定常数.2.二阶常系数线性二阶常系数线性齐次齐次微分方程解法微分方程解法-特征方程法特征方程法21,2421qppr ,2422qppr
14、,11xrey ,22xrey 两个两个 特解特解 y)0(0 qyypy的通解的不同形式的通解的不同形式.(1)有两个不相等的实根有两个不相等的实根特征根特征根r的不同情况决定了方程的不同情况决定了方程02 qprr特征方程特征方程xre12Cxre2 1C21yy常数常数线性无关线性无关的的 得得齐次齐次方程的通解为方程的通解为rxey 设设解解22(2)有两个相等的实根有两个相等的实根,11xrey ,221prr )0(一特解为一特解为xrexCCy1)(21 代代入入到到，将将222yyy ,0)()2(1211 uqprrupru,0 u,)(xxu,12xrxey 2y常数常数
15、12yy.0 qyypy化简得化简得.)(为为待待定定函函数数其其中中xu0 0 设设)(xu,1xre取取则则知知 yxre1xrxe1 1C2C得齐次方程的通解得齐次方程的通解为为rxey 设设解解23(3)有一对共轭复根有一对共轭复根,1 ir ,2 ir )0(rxey 设设解解这时原方程有两个复数解这时原方程有两个复数解xiey)(1 )sin(cosxixex xiey)(2 )sin(cosxixex 为了得到实数形式的为了得到实数形式的线性无关线性无关解解,利用解的叠利用解的叠加原理加原理)(21211yyy )(21212yyyi xex cos xex sin)sincos
16、(21xCxCeyx 得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为常数常数 12yy24综上综上，),(0为常数为常数qpyqypy ,02 qrpr特征方程特征方程21,rr特征根特征根由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为确定其通解的方法称为特征方程法特征方程法.特征方程特征方程02 qprr的根的根方程方程0 qyypy的通解的通解两个不相等的实根两个不相等的实根21,rr两个相等的实根两个相等的实根rrr 21一对共轭复根一对共轭复根 ir 2,1rxexCCy)(21 xrxreCeCy2121 )sincos(21xCxCeyx 25(3)
17、根据特征根的不同情况根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解 (1)写出相应的特征方程写出相应的特征方程(2)求出特征根求出特征根二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程02 qprr0 qyypy特征根的情况特征根的情况通解的表达式通解的表达式实根实根21rr xrxreCeCy2121 实根实根21rr xrexCCy2)(21 复根复根)sincos(21xCxCeyx 求通解的步骤求通解的步骤:ir 21，26032 yyy求方程求方程的通解的通解.特征方程特征方程,0322 rr特征根特征根,3,121 rr因此原方程的通解为因此原方程的通解为.321xxeCeCy 解
18、解例例27例例 解初值问题解初值问题 .2,4,09241600 xxyyyyy解解 特征方程特征方程0924162 rr特征根特征根432,1 r所以方程的通解为所以方程的通解为41 CxexCy432)4(xexCCy4322433 4(2(2重根重根)00 12 C特解特解.)4(43xexy 002xexCC4321)(y28.052的的通通解解求求方方程程 yyy解解 特征方程特征方程0522 rr故所求通解为故所求通解为 y例例特征根特征根).2sin2cos(21xCxCex ,2121ir ，29(1)若特征方程含若特征方程含 k 重实根重实根 r,xre)(01)1(1)(均
19、为常数均为常数knnnnayayayay 特征方程特征方程 0111 nnnnararar3.n阶常系数线性齐次微分方程阶常系数线性齐次微分方程xrkkexCxCC)(121 ,xrxe,2xrex可得原方程可得原方程k个线性无关解个线性无关解,.1xrkex 则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项xrkkxrxrexCxeCeC121 30(2)若特征方程含若特征方程含 k 重复根重复根,ir xxCxCCekkx cos)(121xxDxDDekkx sin)(121 ),(均为任意常数均为任意常数以上以上iiDC)(01)1(1)(均为常数均为常数knnnnayayayay 特征方程特
20、征方程 0111 nnnnararar可得原方程可得原方程2k个线性无关解个线性无关解,cosxex ,cosxxex ;cos,1xexxk ,sinxex ,sinxxex ;sin,1xexxk 则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项31注意注意一个根一个根都对应着都对应着通解通解中的中的一项一项,nnyCyCyCy 2211n次代数方程有次代数方程有n个根个根,而特征方程的而特征方程的每每且每一项各且每一项各有一个任意常数有一个任意常数.32例例求方程求方程解解052)4(yyy的通解的通解.特征方程特征方程,052234 rrr021 rr故所求通解为故所求通解为特征根特征根xCC
21、y21 .0)52(22 rrr即即和和.214,3ir ).2sin2cos(43xCxCex 可得原方程可得原方程4个线性无关解个线性无关解,0 xe;0 xxexexexx2sin,2cos即即xexexxx2sin,2cos,133特征根特征根),(11单根单根 r故所求通解故所求通解 xeCy1解解01222345 rrrrr特征方程特征方程0)1)(1(22 rr.022)4()5(的通解的通解求方程求方程 yyyyyy例例,)(32,共轭复根共轭复根二重二重ir 对应的特解对应的特解,1xey ,cos2xy ,sin4xy ,cos3xxy xxysin5 xxCCcos)(3
22、2xxCCsin)(54 34,2cos,2,321xyexyeyxx 求一个以求一个以xy2sin34 为特解的为特解的4阶阶常系数常系数线性线性齐次齐次微分方程微分方程,并求其通解并求其通解.根据给定的特解知特征方程有根根据给定的特解知特征方程有根,121 rrir24,3 因此特征方程为因此特征方程为2)1(r0)2)(2(irir即即04852234 rrrr04852)4(yyyyy故所求方程为故所求方程为其通解为其通解为.2sin2cos)(4321xCxCexCCyx 例例解解35内容小结内容小结),(0为常数为常数qpyqypy ,02 qrpr特征方程特征方程xrxreCeC
23、y2121 21,rr特征根特征根21rr 实根实根 221prr xrexCCy1)(21 ir,21)sincos(21xCxCeyx 特特 征征 根根通通 解解1.二二阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法3601)1(1)(yPyPyPynnnn特征方程特征方程0111 nnnnPrPrPr特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项重重根根是是krrxkkexCxCC)(1110 jkr 复复根根重重共共轭轭是是sin)(cos)(11101110 xxDxDDxxCxCCekkkkx 2.n阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法37都连续，都连续，设函数
24、设函数)(),(),(.1xfxqxp,0)(xf的解，的解，都是都是)()()(,321xfyxqyxpyyyy 则它必定有解（则它必定有解（）;)(321yyyA ;)(321yyyB ;)(321yyyC .)(321yyyD C选择题选择题38)()()()()()()()(),(),(.232211的的通通解解，则则是是非非齐齐次次线线性性微微分分方方程程都都连连续续，且且设设函函数数xfyxqyxpyxyxycxycyxfxqxp ;)(321是是方方程程的的解解yyyA ;,)(321线线性性无无关关yyyB;,)(321线性相关线性相关yyyC.,)(321也也可可能能线线性性
25、无无关关可可能能线线性性相相关关yyyDB39.)()()(,0)()()(),(.32121其其充充分分条条件件为为能能构构成成该该方方程程的的通通解解，与与则则由由的的两两个个特特解解程程是是二二阶阶齐齐次次线线性性微微分分方方设设xyxyyxqyxpyxyxy ;0)()()()()(1221 xyxyxyxyA;0)()()()()(1221 xyxyxyxyB;0)()()()()(1221 xyxyxyxyC.0)()()()()(1221 xyxyxyxyDB404.在下列微分方程中，以在下列微分方程中，以),(2sin2cos321321为为任任意意常常数数cccxcxcecy
26、x 为通解的是（为通解的是（）;044)(yyyyA;044)(yyyyB;044)(yyyyC.044)(yyyyDD41三、常系数非齐次线性微分方程三、常系数非齐次线性微分方程解二阶常系数线性微分方程解二阶常系数线性微分方程)2()(dddd22xfqyxypxy 先求（先求（1）的两个线性无关的解）的两个线性无关的解2,1yy则方程的通解为则方程的通解为*2211yycycy 再求（再求（2）的一个特解）的一个特解 y*)1(0dddd22 qyxypxy42)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程常见类型常见类型)(xf,)(.1型型xmexP,cos)(:
27、xexPxm 特别特别.sin)(xexPxm (1)对其对应的齐次方程的通解，利用对其对应的齐次方程的通解，利用*常数变易常数变易法可求通解，但较繁法可求通解，但较繁.难点：难点：如何求特解如何求特解y*？(2)对常见的对常见的 ，用，用待定系数法待定系数法求特解求特解.)(xf).(:xPm特别特别型型sin)(cos)()(.2xxPxxPexfnlx 43次次多多项项式式是是mxPm)(,)()(.1型型xPexfmx xmexPqyypy)(设非齐方程特解为设非齐方程特解为)(xQy 求导代入原方程求导代入原方程)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 不是特征方程的根不
28、是特征方程的根若若)1(可可设设xmexQy)(xe)(xQm)(xQ)(xQm0 是是特特征征方方程程的的单单根根若若)2()(xQ可可设设xmexxQy)(),(xQmx)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 0 0,02 qrpr44是是特特征征方方程程的的重重根根若若)3()(xQ可可设设综上讨论综上讨论,)(xQexymxk 设设 kxmexQxy)(2 注注),(xQm2x)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 1020 0 上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性阶常系数非齐次线性微分方程微分方程(k是重根次数是重根次数).不是根不是根是单
29、根是单根是重根是重根xmexPqyypy)(02 qrpr45.232的的通通解解求求方方程程xexyyy 解解对应对应齐次齐次方程通解方程通解特征方程特征方程0232 rr特征根特征根2121 rr，xxeCeCY221 是单根，是单根，2 y设设例例(1)求对应求对应齐次齐次方程的通解方程的通解(2)求求非齐次非齐次方程的特解方程的特解此题此题.)()(2型型属属于于xmxexPxexf 其中其中,1 m2 )(BAx 1xxe2?46xeBAxxy2)(对应对应齐次齐次方程通解方程通解xxeCeCY221 .232的的通通解解求求方方程程xexyyy xeBxAx22)(xeBxAxBA
30、xy22)222(*xeBxAxBAxBAxAy22)4424242(*xeBxAxAxBA22)44842(代入方程代入方程,得得xABAx 22 yyy,将将47xABAx 22 121BAxexxy2)121(于是于是原方程通解为原方程通解为 xxeCeC221.232的的通通解解求求方方程程xxeyyy xeBAxxy2)(yYy.)121(2xexx 对应对应齐次齐次方程通解方程通解xxeCeCY221 0,21,2ABA48.1332的的通通解解求求方方程程 xyyy解解对应对应齐次齐次方程通解方程通解特征方程特征方程0322 rr特征根特征根1321 rr，xxeCeCY 231
31、不是单根，不是单根，0 y设设例例(1)求对应求对应齐次齐次方程的通解方程的通解(2)求求非齐次非齐次方程的特解方程的特解此题此题.)()13()(0型型属属于于xmxexPexxf 其中其中,1 m0 )(BAx 0 xxe0?BAx 49代入方程代入方程,得得13)(32 xBAxA,13233 BAA31 xy于是于是原方程通解为原方程通解为xxeCeC 231.1332的通解的通解求方程求方程 xyyyBAxy yyy,将将 yYy.31 x对应对应齐次齐次方程通解方程通解xxeCeCY 23113)32(3 xBAAx 311BA50求微分方程求微分方程xeyyy 44的通解的通解
32、(其中其中 为实数为实数).特征方程特征方程,0442 rr特征根特征根221 rr对应齐次方程通解对应齐次方程通解xexCCY221)(2 时时,xeAy 令令代入原方程得代入原方程得,)2(12 A故故原方程原方程通解通解为为xexCCy221)(.2)2(1xe 2 时时,2xexBy 令令代入原方程得代入原方程得,21 B故故原方程原方程通解通解为为xexCCy221)(.212xex 解解51,223)(xeyyyxyy 满足微分方程满足微分方程设函数设函数在在处的切线与曲线处的切线与曲线其图形在点其图形在点1)1,0(2 xxy,该该点点处处的的切切线线重重合合.的的解解析析表表达
33、达式式求求函函数数y解解对应对应齐次齐次方程通解方程通解特征方程特征方程,0232 rr特征根特征根，2121 rrxxeCeCY221 (1)求对应求对应齐次齐次方程的通解方程的通解此题此题.)(2)(型型属属于于xmxexPexf )1,0(m二阶二阶常系数常系数线性线性非齐次非齐次方程方程例例52)1(是是单单根根 y设设(2)求求非齐次非齐次方程的特解方程的特解Axex1解得解得2 A所以所以xxey2 xxeCeCy221 (3)求求原方程原方程的特解的特解得得由由,12 xxy,1)0(y得得的的坐坐标标代代入入通通解解将将点点,)1,0(211CC 即即11 r1 特征根特征根原
34、方程通解为原方程通解为(求函数求函数y的解析表达式的解析表达式),223)(xeyyyxyy 满足微分方程满足微分方程设函数设函数在在处处的的切切线线与与曲曲线线其其图图形形在在点点1)1,0(2 xxy,该该点点处处的的切切线线重重合合.的的解解析析表表达达式式求求函函数数y且且xxe2 12 xy53得得求导求导将通解将通解,2221xxxxeeCeCy xxxxxeeeCeCy222221 由题意由题意,得得 )0(y即即1221 CC联立联立 1212121CCCC 0121CC将之代入通解得将之代入通解得xxxeey2 .)21(xexy 211CC 1)0(y 2221CC1 所以
35、所以,函数函数y的解析表达式为的解析表达式为54微分方程微分方程 的特解的特解 y的形式为的形式为).(yxxebaeA)(.xcebaxC )(.xcxebaxD )(.xxxebaeB)(.D解解特征方程特征方程0232 rr特征根特征根对应的对应的齐次齐次微分方程微分方程2,1 rrbaxy 1xcxey 2023 yyy,323xyyy ,223xeyyy xexyyy2323 ,0不是特征根不是特征根 ,1是特征单根是特征单根 55是二阶常系数微分方程是二阶常系数微分方程满足初始条件满足初始条件的特解的特解,0时时则当则当 x函数函数)()1ln(2xyx 的极限的极限(A)不存在不
36、存在.(B)等于等于1.(C)等于等于2.(D)等于等于3.解解 )()1ln(lim20 xyxx 00)(lim20 xyxx)(2lim0 xyxx 00)(2lim0 xyx 1)0(y.2 xeqyypy3)0()0()0(xeqyypy3 )(xyy 设设0)0()0(yy例例56.)1,0(2的通解的通解求方程求方程 aaaeyyyxx解解对应齐方通解对应齐方通解)1(ln)(axexf不是特征根，不是特征根，1ln a，求求得得2)(ln1aA 故原方程的故原方程的通解通解为为,0122 rr)1(lnln2 axaxxeeeyyy方程变为方程变为,121 rr,)(21xex
37、CCY ,*)1(ln axAey设设,)(ln1*)1(ln2 axeay.)(ln1)()1(ln221 axxeaexCCy57sincos)(xPxPexfnlx 22ieePeePexixinxixilx xinlxinleiPPeiPP)()()22()22(ximexP)()(型型sin)(cos)()(.2xxPxxPexfnlx 欧拉公式欧拉公式ximexP)()(nlm,max 58,)()()()()(ximximexPexPxf ,)()(ximexPqyypy ,)(1ximkeQxy ,)()(ximexPqyypy 1y11*yyy ximximxkeQeQex
38、sin)(cos)()2()1(xxRxxRexmmxk 欧拉公式欧拉公式 )sin(cosxixQexmxk )sin(cosxixQm 是是其其中中)(),()2()1(xRxRmm,次多项式次多项式m nlm,max,)(ximkeQx 59型型sin)(cos)()(xxPxxPexfnlx nlm,max,1,0 是单根是单根不是根不是根 iik注注 上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微阶常系数非齐次线性微分方程分方程.sin)(cos)()2()1(*xxRxxRexymmxk 是是其其中中)(),()2()1(xRxRmm,次多项式次多项式m),(xfqyypy
39、 02 qrpr60.sin4的通解的通解求方程求方程xyy 解解xCxCYsincos21 例例(1)求求对应对应齐次齐次方程方程 0 yy012 r特征根特征根ir 其通解其通解 .sin)(cos)(型型属于属于xxPxxPenlx ,0(其中其中特征方程特征方程,1 ,0 l)0 n的通解的通解xxfsin4)()sin4cos0(0 xxex 61(2)求求非非齐次齐次方程的特解方程的特解.i设设代入方程代入方程,整理得整理得i 0Asin x?1 yx,0 1 特征根特征根ir 是特征根是特征根.B xcos)cossin()sincos(*xBxAxxBxAy )sincos()
40、cossin(2*xBxAxxBxAy xxBxA4sincos2sin2 02BA 0,24,2BAxxycos2 0 nl)sin4cos0()(0 xxexfx )sincos(xBxAx 62xCxCysincos21 xxycos2 .cos2xx 原方程通解为原方程通解为xCxCYsincos21 齐次方程的通解为齐次方程的通解为原方程的特解为原方程的特解为63)(xf设设且满足方程且满足方程,d)()(sin)(0 xttftxxxf求求 ).(xf提示提示 xxttftttfxxxf00d)(d)(sin)(上式两边对上式两边对x求导两次求导两次xxfcos)()(sin)(x
41、fxxf xttf0d)()(xfx)(xfx 因此问题化为解下列因此问题化为解下列初值问题初值问题 xxfxfsin)()(,0)0(f1)0(f解得解得.cos2sin21)(xxxxf 00000000二阶可导二阶可导,64解解特征方程特征方程故设特解为故设特解为xdxcxbxay2sin)(2cos)(*不是特征根不是特征根,ii2 代入方程得代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012 r比较系数比较系数,得得94,31 da.2sin942cos31*xxxy 于是求得一个于是求得一个特解特解13 a043 cb03 c043 ad0 cb.
42、2cos的一个特解的一个特解求方程求方程xxyy 例例,2,0 65).2cos(214xxyy 求求解解方方程程例例解解特征方程特征方程,042 r,22,1ir 对应的齐方的通解为对应的齐方的通解为.2sin2cos21xCxCY 设原方程的特解为设原方程的特解为.*2*1*yyy ,*1baxy 设设，xyy214)1(，xbax2144 0,1 m不是特征根不是特征根代入方程得代入方程得由由，04 b，214 a解得解得，0 b，81 a;81*1xy 66),2sin2cos(*2xdxcxy 设设代入方程得代入方程得，xyycos214)2(,2,0,0 m,2cos212sin4
43、2cos4xxcxd 由由，04 c，214 d即即，81 d，0 c;2sin81*2xxy ,22,1ir 是特征根是特征根ii2 故原方程的通解为故原方程的通解为.2sin81812sin2cos21xxxxCxCy xy81*1,2sin2cos21xCxCY 67时可设特解为时可设特解为 xxxfcos)()1 当当xexxxf22cos)()2 当当 xy *xbxacos)(*yxdxcxbxa2sin)(2cos)(xek2)(xfyy 时可设特解为时可设特解为 xxPxxPexfnlx sin)(cos)()(xkexy *lnm,max 提示提示 xdcxsin)(1.(填
44、空填空)设设sin)(cos)()2()1(xxRxxRmm ,2,1ir 682.已知二阶常微分方程已知二阶常微分方程xecybyay 有特解有特解,)1(2xxexey 求微分方程的通解求微分方程的通解.解解 将特解代入方程得恒等式将特解代入方程得恒等式xxxxecexbaeaeba )1()2()1(比较系数得比较系数得01 baca 201 ba0 a1 b2 c故原方程为故原方程为xeyy2 对应对应齐次齐次方程方程通解通解xxeCeCY 21xxexey 原方程原方程通解通解为为xxxexeCeCy 2169.2cos2sin2的通解的通解求方程求方程xxyyy 解解对应齐方通解对
45、应齐方通解,)(21xexCCY 例例 xxfsin21)(，1,0,0 m,sincos*xBxAy 设设，求求得得xycos41*故原方程的通解为故原方程的通解为,0122 rr,121 rr.cos41)(21xexCCyx xxxxfsin212cos2sin)(不是特征根，不是特征根，ii 70.)(4sin(16的特解的特解为常数为常数求方程求方程 xyy解解对应齐方通解对应齐方通解例例 sin4coscos4sin)4sin()(xxxxf 是特征根，是特征根，ii4 ),4sin4cos(*xBxAxy 设设，求求得得 sin41 A故原方程的特解为故原方程的特解为,0162
46、r,4ir ,4sin4cos21xCxCY ，cos81 B)cos4cossin4(sin8*xxxy ).4cos(8 xx71内容小结内容小结1.线性微分方程的概念及解的结构线性微分方程的概念及解的结构),(0为常数为常数qpyqypy ,02 qrpr特征方程特征方程xrxreCeCy2121 21,rr特征根特征根21rr 实根实根 221prr xrexCCy1)(21 ir,21)sincos(21xCxCeyx 特特 征征 根根通通 解解2.二二阶常系数阶常系数齐次齐次线性方程解法线性方程解法72可可以以是是复复数数）(),()()1(xPexfmx 待定系数法待定系数法3.常系数常系数非齐次非齐次微分方程求特解微分方程求特解,)(xQexymxk 设设 k 102不是根不是根;是单根是单根;是重根是重根.73 nlm,max .1;0是单根是单根不是根不是根 iiksin)(cos)()2()1(*xxRxxRexymmxk 是是其其中中)(),()2()1(xRxRmm,次多项式次多项式m,sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx 74作作 业业习题习题11-4 (265页页)1.2.3.(1)(2)(5)4.(1)(3)5.(1)(2)6.(1)
