1、 二次函数（一般式）图象和性质二次函数（一般式）图象和性质1 的顶点坐标是的顶点坐标是_，对称轴是对称轴是_ 2怎样把怎样把 的图象移动，便可得到的图象移动，便可得到 的图象？的图象？（h，k）2ya xhk直线直线xh 23yx2325yx3 的顶点坐标是的顶点坐标是 ，对称轴是对称轴是 2325yx(2，5)直线直线 x2 4在上述移动中图象的开口方向、形状、在上述移动中图象的开口方向、形状、顶点坐标、对称轴，哪些有变化？哪些没顶点坐标、对称轴，哪些有变化？哪些没有变化？有变化？有变化的：抛物线的顶点坐标、对称轴，有变化的：抛物线的顶点坐标、对称轴，没有变化的：抛物线的开口方向、形状没有变
2、化的：抛物线的开口方向、形状 我们复习了将抛物线我们复习了将抛物线 向左平移向左平移2个单个单位再向下平移位再向下平移5个单位就得到个单位就得到 的的图象，将图象，将 化为一般式为化为一般式为 ，那么如何将抛物线，那么如何将抛物线 的图的图像移动，得到的像移动，得到的 图像呢？图像呢？新课新课23yx2325yx2325yx23127yxx23yx23127yxx 的图象怎样平的图象怎样平移就得到移就得到2yax2yaxbxc那么一般地，函数那么一般地，函数的图象呢？的图象呢？1用配方法把用配方法把2yaxbxc2ya xhk化为化为的形式。的形式。的形式，求出顶点坐标和对称轴。的形式，求出顶
3、点坐标和对称轴。215322yxx2ya xhk例例1 用配方法把用配方法把化为化为215322yxx21342x解：顶点坐标为（顶点坐标为（3，2），对称轴为），对称轴为x32169952xx21652xx21322x人教版九年级上册22.1.4二次函数一般式的图像和性质课件人教版九年级上册22.1.4二次函数一般式的图像和性质课件答案：答案：，顶点坐标是，顶点坐标是(1，5)，对称轴是直线对称轴是直线 x1 的形式，求出顶点坐标的形式，求出顶点坐标和对称轴。和对称轴。2247yxx2ya xhk2215yx练习练习1 用配方法把用配方法把化为化为人教版九年级上册22.1.4二次函数一般式的
4、图像和性质课件人教版九年级上册22.1.4二次函数一般式的图像和性质课件 的方法和我们前面学过的用配方法解二次方程 “”类似具体演算如下：化为化为的形式。的形式。2用公式法把抛物线用公式法把抛物线2yaxbxc2ya xhk2yaxbxc2ya xhk把变形为20axbxc人教版九年级上册22.1.4二次函数一般式的图像和性质课件人教版九年级上册22.1.4二次函数一般式的图像和性质课件2yaxbxc24,24bacbaa2bxa 所以抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线。2yaxbxc22222bbbca xxaaaa222424bacbaxaa22424bacba xaa2bca xxaa人教
5、版九年级上册22.1.4二次函数一般式的图像和性质课件人教版九年级上册22.1.4二次函数一般式的图像和性质课件 的形式，求出对称轴和顶点坐标21522yxx 2ya xhk例例2 用公式法把化为21522yxx 15,1,22abc 221541144221,2112422422bacbaa 21122yx 解：在中，顶点为（1，2），对称轴为直线 x1。人教版九年级上册22.1.4二次函数一般式的图像和性质课件人教版九年级上册22.1.4二次函数一般式的图像和性质课件 的形式，并求出顶点坐标和对称轴。答案：，顶点坐标为（2，2）对称轴是直线 x22286yxx 2ya xhk2222yx
6、练习练习2 用公式法把化成人教版九年级上册22.1.4二次函数一般式的图像和性质课件人教版九年级上册22.1.4二次函数一般式的图像和性质课件32yaxbxc图象的画法图象的画法 2yaxbxc2ya xhk步骤：1利用配方法或公式法把化为的形式。2确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。3在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图。人教版九年级上册22.1.4二次函数一般式的图像和性质课件人教版九年级上册22.1.4二次函数一般式的图像和性质课件 的图像，利用函数图像回答：例例3 画出2286yxx(1)x取什么值时，y0？(2)x取什么值时，y0？(3)x取什么值时，y0？(4)x取什么值
7、时，y有最大值或最小值？人教版九年级上册22.1.4二次函数一般式的图像和性质课件人教版九年级上册22.1.4二次函数一般式的图像和性质课件分析：分析：我们可以用顶点坐标公式求出图象的顶点，过顶点作平行于y轴的直线就是图象的对称轴在对称轴的一侧再找两个点，则根据对称性很容易找出另两个点，这四个点连同顶点共五个点，过这五个点画出图像人教版九年级上册22.1.4二次函数一般式的图像和性质课件人教版九年级上册22.1.4二次函数一般式的图像和性质课件(1)用顶点坐标公式，可求出顶点为用顶点坐标公式，可求出顶点为(2，2)，对称轴是对称轴是x2.(2)当当x1时，时，y0，即图，即图象与象与x轴交于点
8、轴交于点(1，0)，根据轴对称，很容，根据轴对称，很容易知道易知道(1，0)的轴对称点是点的轴对称点是点(3，0)又当又当x0时，时，y6，即图象与，即图象与y轴交于点轴交于点(0，6)，根据轴对称，很容易知道，根据轴对称，很容易知道(0，6)的的轴对称点是点轴对称点是点(4，6)用光滑曲线把五个用光滑曲线把五个点点(2，2)，(1，0)，(3，0)，(0，6)，(4，6)连结起来，就是连结起来，就是22860yxx 的图象。的图象。人教版九年级上册22.1.4二次函数一般式的图像和性质课件人教版九年级上册22.1.4二次函数一般式的图像和性质课件解：列表xy221006304622860yx
9、x 人教版九年级上册22.1.4二次函数一般式的图像和性质课件人教版九年级上册22.1.4二次函数一般式的图像和性质课件（2,2）x=2（0,6）（1,0）（3,0）（4,6）2286yxx 由图像知：由图像知：(1)当当x1或或x3时，时，y0；(2)当当1x3时，时，y0；(3)当当x1或或x3时，时，y0；(4)当当x2时，时，y有最大值有最大值2。xy练习练习3 画出画出222yxx的图像。的图像。x10123y52125x=1y=x22x2 （3）开口方向：当）开口方向：当 a0时，抛物线开时，抛物线开口向上；当口向上；当 a0时，抛物线开口向下。时，抛物线开口向下。4二次函数二次函
10、数2yaxbxc的性质：的性质：（1）顶点坐标）顶点坐标24,;24bacbaa（2）对称轴是直线）对称轴是直线2bxa 2bxa 24-,4ac bya最小2bxa 24-;4ac bya最大如果如果a0，当，当时，函数有最小值，时，函数有最小值，如果如果a0，当，当时，函数有最大值，时，函数有最大值，（4）最值：）最值：2bxa 2bxa 2bxa 2bxa 若若a0，当，当时，时，y随随x的增大而增大；的增大而增大；当当时，时，y随随x的增大而减小。的增大而减小。若若a0，当，当时，时，y随随x的增大而减小；的增大而减小；当时，时，y随随x的增大而增大。的增大而增大。（5）增减性：）增减
11、性：与与y轴的交点坐标轴的交点坐标为（为（0，c）(6)抛物线抛物线2yaxbxc与坐标轴的交点与坐标轴的交点抛物线抛物线2yaxbxc2yaxbxc 12,0,0 xx12,x x20axbxc抛物线抛物线与与x轴的交点坐标为轴的交点坐标为，其中，其中为方程为方程的两实数根的两实数根 与与x轴的交点情况轴的交点情况可由对应的一元二次方程可由对应的一元二次方程2yaxbxc20axbxc(7)抛物线抛物线的根的判别式判定：的根的判别式判定：0有两个交点有两个交点抛物线与抛物线与x轴相交；轴相交；0有一个交点有一个交点抛物线与抛物线与x轴相切；轴相切；0没有交点没有交点抛物线与抛物线与x轴相离。
12、轴相离。例例4 已知抛物线已知抛物线247,yxkxkk取何值时，抛物线经过原点；取何值时，抛物线经过原点；k取何值时，抛物线顶点在取何值时，抛物线顶点在y轴上；轴上；k取何值时，抛物线顶点在取何值时，抛物线顶点在x轴上；轴上；k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。，所以k4，所以当k4时，抛物线顶点在y轴上。，所以k7，所以当k7时，抛物线经过原点；抛物线顶点在y轴上，则顶点横坐标为0，即解：抛物线经过原点，则当x0时，y0，所以200407kk4022 1kba ，所以当k2或k6时，抛物线顶点在x轴上。抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，即抛物线顶点在x轴上
13、，则顶点纵坐标为0，即224 1744044 1kkacba 24120kk122,6kk，整理得，解得：由、知，当k4或k2或k6时，抛物线的顶点在坐标轴上。224 1744044 1kkacba 人教版九年级上册22.1.4二次函数一般式的图像和性质课件人教版九年级上册22.1.4二次函数一般式的图像和性质课件所以当x2时，。解法一（配方法）：2281yxx22277x 7y最小值2241xx224441xx例例5 当当x取何值时，二次函数取何值时，二次函数 有最大值有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？或最小值，最大值或最小值是多少？2281yxx人教版九年级上册22.1.4二次函数一
14、般式的图像和性质课件人教版九年级上册22.1.4二次函数一般式的图像和性质课件因为所以当x2时，。因为a20，抛物线 有最低点，所以y有最小值，2281yxx224 2 18842,722 244 2bacbaa 7y最小值总结：求二次函数最值，有两个方法(1)用配方法；(2)用公式法解法二（公式法）：人教版九年级上册22.1.4二次函数一般式的图像和性质课件人教版九年级上册22.1.4二次函数一般式的图像和性质课件又例例6已知函数已知函数 ，当，当x为何值为何值时，函数值时，函数值y随自变量的值的增大而减小。随自变量的值的增大而减小。211322yxx 解法一：，102a 抛物线开口向下，2
15、1169922xx 21913222x 21352x 对称轴是直线x3，当 x3时，y随x的增大而减小。211322yxx 人教版九年级上册22.1.4二次函数一般式的图像和性质课件人教版九年级上册22.1.4二次函数一般式的图像和性质课件102a 331222ba 解法二：，抛物线开口向下，对称轴是直线x3，当 x3时，y随x的增大而减小。人教版九年级上册22.1.4二次函数一般式的图像和性质课件人教版九年级上册22.1.4二次函数一般式的图像和性质课件例例7 已知二次函数已知二次函数212321ymxmxmm的最大值是的最大值是0，求此函数的解析式，求此函数的解析式解：解：此函数图象开口应
16、向下，且顶点纵坐标的值为0所以应满足以下的条件组21041 322041mmmmm，由解方程得121,22mm不合题意，舍去所求函数解析式为21111232,222yxx。21122yxx 即 相等，则形状相同。(1)a决定抛物线形状及开口方向，若aa0开口向上；5抛物线抛物线yax2bxc中中a，b，c的作用。的作用。a0开口向下。5抛物线抛物线yax2bxc中中a，b，c的作用。的作用。(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线2bxa 若a，b异号对称轴在y轴右侧。，故若b0对称轴为y轴，若a，b同号对称轴在y轴左侧，5抛物线抛物线yax2bxc中中a
17、，b，c的作用。的作用。(3)c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置。当x0时，yc，抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点(0，c)，c0抛物线经过原点；c0与y轴交于正半轴；c0与y轴交于负半轴。例例8 已知如图是二次函数已知如图是二次函数yax2bxc的图的图象，判断以下各式的值是正值还是负值象，判断以下各式的值是正值还是负值(1)a；(2)b；(3)c；(4)b24ac；(5)2ab；(6)abc；(7)abc分析：已知的是几何关系分析：已知的是几何关系(图形的位置、图形的位置、形状形状)，需要求出的是数量关系，所以应，需要求出的是数量关系，所以应发挥数形结合的作用发挥数
18、形结合的作用解：解：(1)因为抛物线开口向下，所以因为抛物线开口向下，所以a0；判断判断a的符号的符号(2)因为对称轴在因为对称轴在y轴右侧，所以轴右侧，所以02ba，而，而a0，故，故b0；判断判断b的符号的符号(3)因为因为x0时，时，yc，即图象与，即图象与y轴交点轴交点的坐标是的坐标是(0，c)，而图中这一点在，而图中这一点在y轴正轴正半轴，即半轴，即c0；判断判断c的符号的符号2404acba240acb240bac(4)因为顶点在第一象限，其纵坐标因为顶点在第一象限，其纵坐标，且，且a0，所以，所以，故，故。判断判断b24ac的符号的符号 ，且且a0，所以，所以b2a，故，故2ab
19、0；(5)因为顶点横坐标小于因为顶点横坐标小于1，即，即12ba判断判断2ab的符号的符号(6)因为图象上的点的横坐标为因为图象上的点的横坐标为1时，点时，点的纵坐标为正值，即的纵坐标为正值，即a12b1c0，故故abc0；判断判断abc的符号的符号(7)因为图象上的点的横坐标为因为图象上的点的横坐标为1时，时，点的纵坐标为负值，即点的纵坐标为负值，即a(1)2b(1)c0，故，故abc0判断判断abc的符号的符号 结束最大？最大？是多少时场地面积是多少时场地面积当当的变化而变化，的变化而变化，随矩形一边长随矩形一边长矩形面积矩形面积的篱笆围成矩形场地，的篱笆围成矩形场地，用总长为用总长为例例
20、SllSm.609求抛物线解析式求抛物线解析式过点过点已知抛物线已知抛物线),6,0(),0,3(),0,2(2 CBAcbxaxy一般式一般式交点式交点式顶点式顶点式1练习练习3222013222 x)(x)(xxy.的最大值和最小值的最大值和最小值数数分别在下列范围内求函分别在下列范围内求函)(cba),(P,x)a(cbxaxy.值为值为的的则则且经过点且经过点是是的对称轴的对称轴抛物线抛物线 0320324321142303212120211000421212.D.C.B.A)(a)(ba)(ba)(ba)().,(y,x,x),x)(,x(xcbxaxy.的的个个数数为为其其中中正正
21、确确下下列列结结论论：轴轴交交于于点点与与两两点点，且且轴轴交交于于的的图图象象与与已已知知二二次次函函数数 2.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-3-3.5-4-3-2-112345121 2 xy1 21xy轴相交于负半轴轴相交于负半轴且与且与图象经过点图象经过点的图象开口向上，的图象开口向上，二次函数二次函数y),)(,(cbxaxy.012152 _cba)(c)(b)(a)()a(其中正确结论的序号是其中正确结论的序号是问：给出四个结论：问：给出四个结论：04030201 _1)4(1)3(02)2(0)1()(是是其中正确结论的序号其中正确结论的序号问：给出四个结
22、论：问：给出四个结论：acabaabcb此抛物线的解析式此抛物线的解析式，求，求全相同，又抛物线过点全相同，又抛物线过点完完的开口方向和开口大小的开口方向和开口大小线线上，并且它与抛物上，并且它与抛物抛物线抛物线的顶点在的顶点在已知抛物线已知抛物线),(Mxyxycbxaxy.2021836222？试证明你的结论？试证明你的结论为为，使它的周长，使它的周长是否存在这样的矩形是否存在这样的矩形的取值范围的取值范围的函数解析式，并求出的函数解析式，并求出关于自变量关于自变量周长周长的的，试求矩形，试求矩形的坐标为的坐标为设点设点求二次函数的解析式求二次函数的解析式图形内图形内轴所围成的轴所围成的在
23、抛物线与在抛物线与线上，矩形线上，矩形在抛物在抛物轴上，轴上，在在的顶点的顶点矩形矩形，的顶点坐标为的顶点坐标为二次函数二次函数932120472ABCD)(xxPABCD)y,x(A)()(xABCDD,AxC,BABCD),(mmxy._y,y,yxxy)y,(C)y,(B)y,(A.的大小关系是的大小关系是的图象上的三点，则的图象上的三点，则为二次函数为二次函数若若3212321543514138 的周长的周长求求，坐标原点为，坐标原点为轴的交点为轴的交点为若抛物线与若抛物线与的值的值求求且交点为且交点为轴只有一个交点，轴只有一个交点，与与已知抛物线已知抛物线OAB,OBy)(c,b)(),(Axcbxxy.210292
