1、第二十七章第二十七章27.2.6 27.2.6 用角的关系判定三角形相似用角的关系判定三角形相似人教版数学九年级下册1 1掌握掌握“两角对应相等，两个三角形两角对应相等，两个三角形相似相似”的判定方法的判定方法2 2能够运用三角形相似的条件解决简能够运用三角形相似的条件解决简单的问题单的问题学习目标学习目标1知识点知识点用角的关系判定三角形相似定理用角的关系判定三角形相似定理这两个三角形的三个内角的大小这两个三角形的三个内角的大小有什么关系？有什么关系？三个内角对应相等的两个三角形三个内角对应相等的两个三角形一定相似吗？一定相似吗？三个内角对应相等三个内角对应相等.观察你与老师的直角三角尺观察
2、你与老师的直角三角尺 ,相似吗？相似吗？合作探究合作探究画一个三角形，使三个角分别为画一个三角形，使三个角分别为60，45,75.分别量出两个三角形三边的长度；分别量出两个三角形三边的长度；这两个三角形相似吗这两个三角形相似吗?即：即：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形_相似相似一定需三个角对应相等吗？一定需三个角对应相等吗？相似三角形的判别方法相似三角形的判别方法1：如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似
3、两角对应相等，那么这两个三角形相似 如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那么它们是否一定相似吗？么它们是否一定相似吗？跳出误区：因为题中DC90，所以直角三角形相似在对应顺序上有两种可能，即ADPPCQ或ADPQCP，此题容易因只考虑一种情况而漏解又BB，CBDABC.C3AA55，D35又AA，ACDABC.RtABCRtABC.有一锐角对应相等两直角三角形相似BAC9，BC12，DF6，EF8，画一个三角形，使三个角分别为60，45,75.或斜边、一直角边对应成比例(1)有一锐角相等的两个直角三角形相似；由题意，得DC90.有两组直角边对应成比例两
4、直角三角形相似挖掘公共角、对顶角、同角的余角（或补角）等.在RtABC和RtABC中，有一锐角对应相等两直角三角形相似跳出误区：因为题中DC90，所以直角三角形相似在对应顺序上有两种可能，即ADPPCQ或ADPQCP，此题容易因只考虑一种情况而漏解由题意，得DC90.CAABBC A=A，B=B ABC ABC用数学符号表示：用数学符号表示：相似三角形的判定相似三角形的判定(两个角分别对应相等的两个三角形相似两个角分别对应相等的两个三角形相似.)例例1 如图，如图，RtABC中，中，C=90，AB=10，AC=8.E是是AC上一上一点，点，AE=5，EDAB,垂足为垂足为D,求求AD的长的长.
5、解：解：EDAB，EDA=90.又又C=90，A=A，AEDABC.ADAEACAB8 54.10AC AEADAB 当两个三角形已具备一角对应相等的条件时，当两个三角形已具备一角对应相等的条件时，往往先找是否有另一角对应相等，当此思路不通时，往往先找是否有另一角对应相等，当此思路不通时，再找夹等角的两边对应成比例再找夹等角的两边对应成比例.找角相等时应注意找角相等时应注意挖掘公共角、对顶角、同角的余角（或补角）等挖掘公共角、对顶角、同角的余角（或补角）等.新知小结新知小结底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？证明你的结
6、论腰三角形呢？证明你的结论.1底角相等的两个等腰三角形相似已知：在底角相等的两个等腰三角形相似已知：在ABC中，中，ABAC，在在ABC中，中，ABAC，且，且BB.求证：求证：ABCABC.证明：在证明：在ABC中，中，ABAC，BC，同理同理BC.又又BB，CC.ABCABC.顶角相等的两个等腰三角形相似已知：在顶角相等的两个等腰三角形相似已知：在ABC中，中，ABAC，在，在ABC中，中，ABAC，且，且AA.求求证：证：ABCABC.证明：在证明：在ABC中，中，ABAC，BC，同理，同理BC.又又B BAA，BB.又又AA，ABCABC.解：解：1802A，1802A，巩固新知巩固新
7、知2下列各组条件中，不能判定下列各组条件中，不能判定ABC与与ABC相相似的是似的是()AAA，BBBCC90，A35，B55CAB，ABDABAB，ABABC3如图，如图，ABC和和ADE均为等边三角形，均为等边三角形，D在在BC上，上，DE与与AC相交于点相交于点F，AB9，BD3，则，则CF等于等于()A1 B2 C3 D4B4如图，如图，AB是半圆是半圆O的直径，的直径，D，E是半圆上任意两是半圆上任意两点，连接点，连接AD，DE，AE与与BD相交于点相交于点C，要使，要使ADC与与ABD相似，下列添加的条件错误的是相似，下列添加的条件错误的是()AACDDAB BADDECAD2BD
8、CD DCDABACBDD5【中考中考安徽安徽】如图，在如图，在ABC中，中，AD是中线，是中线，BC8，BDAC，则线段，则线段AC的长为的长为()A4 B4 C6 D423B6【中考中考泸州泸州】如图，矩形如图，矩形ABCD的边的边AD3，AB2，E为为AB的中点，的中点，F在边在边BC上，且上，且BF2FC，AF分别与分别与DE，DB相交于点相交于点M，N，则，则MN的长为的长为()A.B.C.D.2 259 2203 244 25B(4)已知等腰三角形，找顶角相等，或底角相等，或底、腰对应成(1)有一锐角相等的两个直角三角形相似；A=A，B=B分析：要证RtABCRtABC，可设法证又
9、CF90，ABCDEF；AA，BB.由题意，得DC90.A=A，B=B又两直角边所夹的角都为直角，(2)有两组直角边对应成比例的两直角三角形相似这两个三角形相似吗?ABCABC.判定两三角形相似的思路：C3ABCABC.挖掘公共角、对顶角、同角的余角（或补角）等.ABABDABAB，ACBCABCD；有一锐角对应相等两直角三角形相似导引：根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可又BB，CC.2知识点知识点直角三角形相似的判定直角三角形相似的判定思考：思考：我们知道，两个直角三角形全等可以用我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定来判定.那么，满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三
10、角形相似那么，满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？吗？事实上，这两个直角三角形相似事实上，这两个直角三角形相似.下面我们给出证明下面我们给出证明.如图，在如图，在RtABC和和RtABC中，中，C90，C90，求证：求证：RtABCRtABC .,ABACA BA C 合作探究合作探究分析：分析：要证要证RtABCRtABC，可设法证，可设法证.BCABACB CA BA C =.ABACBCkkA BA CB C 若若设设，则则只只需需证证=,=.ABACkAB kA B AC kA CA BA C 设设，则则证证明明：2222,.BCABACB CA BA C 由由勾勾股股定
11、定理理，得得222222.BCABACkA BkA CkB CkB CB CB CB C .BCABACB CA BA C RtABCRtABC.直角三角形相似的判定定理：直角三角形相似的判定定理：(1)有一锐角相等的两个直角三角形相似；有一锐角相等的两个直角三角形相似；(2)有两组直角边对应成比例的两直角三角形相似有两组直角边对应成比例的两直角三角形相似数学表达式：数学表达式：在在RtABC和和RtABC中，中，(1)CC90，AA，RtABCRtABC；(2)CC90，RtABCRtABC.ACBCA CB C 新知小结新知小结直角三角形相似的判定方法：直角三角形相似的判定方法：有一锐角对
12、应相等有一锐角对应相等两直角三角形相似两直角三角形相似有两组直角边对应成比例有两组直角边对应成比例两直角三角形相似两直角三角形相似有斜边与一直角边对应成比例有斜边与一直角边对应成比例两直角三角形相似两直角三角形相似新知小结新知小结例例2 在在RtABC和和RtDEF中，中，CF90，下，下列条列条件中不能判定这两个三角形相似的是件中不能判定这两个三角形相似的是()AA55，D35BAC9，BC12，DF6，EF8CAC3，BC4，DF6，DE8DAB10，AC8，DE15，EF9导导引引：根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可即可 AA55，B
13、905535.D35，BD.又又CF90，ABCEDF；C合作探究合作探究BAC9，BC12，DF6，EF8，又又CF90，ABCDEF；C由题目中知由题目中知CF90，但已知条件中不能得出两，但已知条件中不能得出两组对应边成比例，故不能判定两三角形相似组对应边成比例，故不能判定两三角形相似DAB10，AC8，由勾股定理可得由勾股定理可得BC6.又又DE15，EF9，又又CF90，ABCDEF.3.2ACBCDFEF2.3ABBCDEEF 判定两直角三角形相似的方法：判定两直角三角形相似的方法：一个锐角对应相一个锐角对应相等，两组直角边对应成比例，斜边和一直角边对应等，两组直角边对应成比例，斜
14、边和一直角边对应成比例成比例新知小结新知小结如图，如图，RtABC中，中，CD是斜边是斜边AB上的高上的高.求证：求证：(1)ACDABC；(2)CBDABC.1(1)CD是斜边是斜边AB上的高，上的高，ADC90.在在RtABC中，中，ACB90，ADCACB.又又AA，ACDABC.(2)CD是斜边是斜边AB上的高，上的高，CDB90.在在RtABC中，中，ACB90，CDBACB.又又BB，CBDABC.ABD证明：证明：巩固新知巩固新知如果如果RtABC的两条直角边分别为的两条直角边分别为3和和4，那么以，那么以3k和和4k(k是正整数是正整数)为直角边的直角三角形一定与为直角边的直角
15、三角形一定与RtABC相似吗？为什么？相似吗？为什么？2一定相似理由如下：一定相似理由如下：两条对应直角边的比分别为两条对应直角边的比分别为对应直角边的比相等对应直角边的比相等又又两直角边所夹的角都为直角，两直角边所夹的角都为直角，两个三角形一定相似两个三角形一定相似证明：证明：3434kkkk，如图，在如图，在ABC中，中，ACB90，CDAB于于点点D，下列结论中：，下列结论中：ACBCABCD；AC2ADDB；BC2BDBA；CD2ADDB，正确的个数是，正确的个数是()A1 B2 C3 D43 C判定两三角形相似的思路：判定两三角形相似的思路：(1)平行于三角形一边的直线，找两个三角形
16、；平行于三角形一边的直线，找两个三角形；(2)已知一角对应相等，找另一角对应相等，或夹这个角的两边成已知一角对应相等，找另一角对应相等，或夹这个角的两边成 比例；比例；(3)已知两边对应成比例，找夹角相等，或与第三边成比例；已知两边对应成比例，找夹角相等，或与第三边成比例；(4)已知等腰三角形，找顶角相等，或底角相等，或底、腰对应成已知等腰三角形，找顶角相等，或底角相等，或底、腰对应成 比例比例(5)已知直角三角形，找一组锐角相等，或两直角边对应成比例，已知直角三角形，找一组锐角相等，或两直角边对应成比例，或斜边、一直角边对应成比例或斜边、一直角边对应成比例1知识小结知识小结归纳新知归纳新知A
17、1DABAB，又CF90，ABCDEF.B2(2)有两组直角边对应成比例的两直角三角形相似如图，ABC和ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB9，BD3，则CF等于()又B B(1)有一锐角相等的两个直角三角形相似；在RtABC和RtABC中，如图，在ABC中，ACB90，CDAB于点D，下列结论中：直角三角形相似的判定方法：又AA，ACDABC.有一锐角对应相等两直角三角形相似ABAB相似三角形的判别方法1：挖掘公共角、对顶角、同角的余角（或补角）等.直角三角形相似的判定方法：C3用角的关系判定三角形相似定理对应直角边的比相等BAC9，BC12，DF6，EF8，故BQ1
18、 已知正方形已知正方形ABCD的边长为的边长为1，P是是CD边的中点，边的中点，Q在线段在线段BC上，上，ADP与与QCP相似时，求相似时，求BQ的值的值2易错小结易错小结解：解：由题意，得由题意，得DC90.当时，当时，ADPPCQ，即，得即，得CQ.故故BQ1 ADDPPCCQ 11212CQ 14143.4易错点：易错点：相似情形考虑不全面，解答不完整相似情形考虑不全面，解答不完整.跳出误区：跳出误区：因为题中因为题中DC90，所以直角三角形，所以直角三角形相似在对应顺序上有两种可能，即相似在对应顺序上有两种可能，即ADPPCQ或或ADPQCP，此题容易因只考虑一种情况而漏解，此题容易因
19、只考虑一种情况而漏解当时，当时，ADPQCP，即，得即，得QC1，故，故BQ0.所以当所以当ADP与与QCP相似时，相似时，BQ的值为的值为0或或ADDPQCCP 11212QC 3.4【中考安徽】如图，在ABC中，AD是中线，BC8，BDAC，则线段AC的长为()(2)有两组直角边对应成比例的两直角三角形相似(2)CC90，又DE15，EF9，这两个三角形相似吗?判定两直角三角形相似的方法：一个锐角对应相如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似易错点：相似情形考虑不全面，解答不完整.(2)CC90，又DE15，EF9，A=A，B=B画一个三角形，使三个角分别
20、为60，45,75.AA55，B905535.有斜边与一直角边对应成比例两直角三角形相似CAB，AB由题意，得DC90.已知正方形ABCD的边长为1，P是CD边的中点，Q在线段BC上，ADP与QCP相似时，求BQ的值又BB，CC.分析：要证RtABCRtABC，可设法证画一个三角形，使三个角分别为60，45,75.求证：(1)ACDABC；ABCABC.B课后练习课后练习分别相等分别相等AC【答案答案】A成比例成比例有一个锐角相等有一个锐角相等两组直角边对应成比例两组直角边对应成比例BD【答案答案】BB2如图，在ABC中，ACB90，CDAB于点D，下列结论中：C3有一锐角对应相等两直角三角形
21、相似分析：要证RtABCRtABC，可设法证 A=A，B=B导引：根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可挖掘公共角、对顶角、同角的余角（或补角）等.判定两直角三角形相似的方法：一个锐角对应相我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定.D35，BD.(1)有一锐角相等的两个直角三角形相似；CDB90.ABCABC.观察你与老师的直角三角尺,相似吗？跳出误区：因为题中DC90，所以直角三角形相似在对应顺序上有两种可能，即ADPPCQ或ADPQCP，此题容易因只考虑一种情况而漏解又AA，ACDABC.画一个三角形，使三个角分别为60，45,75.AA55，B905535.AA，BB.又B B或斜边、一直角边对应成比例【答案答案】B再见再见
