1、第7课时 （三）二次函数的应用（2）四四 二次函数二次函数 日常生活中，我们也常常能见到一些事物呈抛物线形状，日常生活中，我们也常常能见到一些事物呈抛物线形状，比如一些建筑物的大门、桥拱，喷泉喷出的水流形状，抛掷物比如一些建筑物的大门、桥拱，喷泉喷出的水流形状，抛掷物体后，物体的运动轨迹等，与它们相关的问题一般都属于抛物体后，物体的运动轨迹等，与它们相关的问题一般都属于抛物线形的实际问题线形的实际问题 利用二次函数解抛物线形的实际问题利用二次函数解抛物线形的实际问题解答此类问题的一般步骤是：解答此类问题的一般步骤是：（1）弄清问题中自变量和函数的实际意义）弄清问题中自变量和函数的实际意义,建立
2、适当的平面建立适当的平面直角坐标系直角坐标系,将题目中实际条件转化成点的坐标将题目中实际条件转化成点的坐标;（2）利用待定系数法求出二次函数解析式）利用待定系数法求出二次函数解析式;（3）将题目中提出的实际问题转化为函数问题）将题目中提出的实际问题转化为函数问题;（4）利用函数性质求解）利用函数性质求解,并检验结果是否符合问题实际并检验结果是否符合问题实际.知 识 点知 识 点 例.如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度AB为18m一位同学站在门内离门脚B点1m远的D处，垂直地面立起一根1.7m长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上C处根据这些条件，请你求出该大门的高h命题点命题点1利用二次函数解
3、建筑物中的抛物线形问题利用二次函数解建筑物中的抛物线形问题典例解析典例解析解法一：如图，建立平面直角坐标系设抛物线解析式为y=ax2+h 解得抛物线的解析式为y=-0.1x2+8.1该大门的高h为8.1mxyo7.180922haha1.81.0ha例.如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度AB为18m一位同学站在门内离门脚B点1m远的D处，垂直地面立起一根1.7m长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上C处根据这些条件，请你求出该大门的高h由题意知B、C两点坐标分别为B（9，0），C（8，1.7）,典例解析典例解析 解法二：如图，建立平面直角坐标系设抛物线解析式为y=ax2+bx由题意知B、C两点
4、坐标分别为B（18，0），C（17，1.7），解得 抛物线的解析式为y=-0.1x2+1.8x配方，得=-0.1（x-9）2+8.1该大门的高h为8.1m例.如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度AB为18m一位同学站在门内离门脚B点1m远的D处，垂直地面立起一根1.7m长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上C处根据这些条件，请你求出该大门的高h1.81.048.101.042h典例解析典例解析解法三：如图，建立平面直角坐标系设抛物线解析式为y=ax2，由题意得B、C两点坐标分别为B（9，-h），C（8，-h+1.7）解得 y=-0.1x2，该大门的高h为8.1m例.如图，已知一抛物线形大门，其地
5、面宽度AB为18m一位同学站在门内离门脚B点1m远的D处，垂直地面立起一根1.7m长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上C处根据这些条件，请你求出该大门的高h典例解析典例解析 在在解决抛物线形的实际问题时，如果没有已知的平面直解决抛物线形的实际问题时，如果没有已知的平面直角坐标系，此时可以根据情况自主建系，建系的原则是方便角坐标系，此时可以根据情况自主建系，建系的原则是方便求二次函数解析式，一般是通过建系构造出二次函数特殊形求二次函数解析式，一般是通过建系构造出二次函数特殊形式的模型，如式的模型，如y=ax2模型、模型、顶点式模型顶点式模型或或交点式交点式模型模型这样这样数形结合地解决问题，直观
6、且准确数形结合地解决问题，直观且准确解后反思解后反思 例例2.如图，一座拱桥的轮廓是抛物线形，如图，一座拱桥的轮廓是抛物线形，拱高拱高6m,跨度跨度20m，相邻两，相邻两支柱间的距离均为支柱间的距离均为5m（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），求抛物线的解所示），求抛物线的解析式；析式；（2）求支柱）求支柱EF的长度；的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽的一条行车道能否并排行驶宽2m、高、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略
7、的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由不计）？请说明你的理由典例解析典例解析解：（解：（1）由题意知）由题意知A,B,C的坐标分别是的坐标分别是(-10,0),(10,0),(0,6)设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为y=ax2+k，则，则 所以抛物线的解达式是所以抛物线的解达式是6100koka6503ka.65032xy 例例2.如图，如图，一座拱桥的一座拱桥的轮轮廓廓是是抛物线形，抛物线形，拱高拱高6m,跨度跨度20m，相邻，相邻两支柱间的距离均为两支柱间的距离均为5m（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），求抛物线的解所示
8、），求抛物线的解析式；析式；典例解析典例解析 （2）设F(5,yF)，则 从而支柱EF的长度是10-4.5=5.5米.5.4655032Fy 例例2.如图，如图，一座拱桥的一座拱桥的轮廓轮廓 是抛物线形，是抛物线形，拱高拱高6m,跨度跨度20m，相，相邻两支柱间的距离均为邻两支柱间的距离均为5m（2）求支柱）求支柱EF的长度；的长度；解：典例解析典例解析 例例2.如图，如图，一座拱桥的一座拱桥的轮廓轮廓 是抛物线形，是抛物线形，拱高拱高6m,跨度跨度20m，相邻，相邻两支柱间的距离均为两支柱间的距离均为5m（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽
9、2m的隔离带），其中的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽的一条行车道能否并排行驶宽2m、高、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由不计）？请说明你的理由（3）设）设DN是隔离带的宽，是隔离带的宽，NG是三是三辆车的宽度和，则点辆车的宽度和，则点G的坐标是（的坐标是（7，0）过点过点G作作GH垂直垂直AB交抛物线于交抛物线于H，则则一一条行车道能并排行驶这样的三条行车道能并排行驶这样的三辆汽车辆汽车.306.3675032Hy解：解：典例解析典例解析解后反思解后反思 卡车过桥问题是我们经常遇到的问题，一般是给出卡车过桥问题是我们经常遇到的问题，
10、一般是给出一个拱形桥或隧道，已知车的高和宽，问卡车能否通过，一个拱形桥或隧道，已知车的高和宽，问卡车能否通过，解决方法是先求出抛物线的解析式，然后通过两种方法判解决方法是先求出抛物线的解析式，然后通过两种方法判断卡车能否从桥下通过。断卡车能否从桥下通过。（1）固定卡车的宽，看桥是否够高（相当于已知自变量）固定卡车的宽，看桥是否够高（相当于已知自变量x的值，求函数的值，求函数y的值，然后把限制高的值与的值，然后把限制高的值与求得的求得的y的值比的值比较大小）；较大小）；（2）固定卡车的）固定卡车的高高，看桥是否够，看桥是否够宽宽（相当于已知（相当于已知函数函数y的的值，求值，求自变量自变量x的值
11、，然后把限制宽的值与求得的的值，然后把限制宽的值与求得的x的值比的值比较大小）较大小）命题点命题点2利用二次函数解决抛掷物体的轨迹问题利用二次函数解决抛掷物体的轨迹问题 例例3.3.如图，排球运动员站在点如图，排球运动员站在点O O处练习发球，将球从处练习发球，将球从O O点正上方点正上方2m2m的的A A处发出，把球看成点，其运行的高度处发出，把球看成点，其运行的高度y y（m m）与运行的水平距离）与运行的水平距离x x（m m）满）满足关系式足关系式y=ay=a(x-6x-6)2 2+h+h已知球网与已知球网与O O点的水平距离为点的水平距离为9m9m，高度为，高度为2.43m2.43m
12、，球场的边界距球场的边界距O O点的水平距离为点的水平距离为18m18m（1 1）当）当h=2.6h=2.6时，求时，求y y与与x x的关系式（不要求写出自变量的关系式（不要求写出自变量x x的取值范围）的取值范围）（2 2）当）当h=2.6h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3 3）若球一定能越过球网，又不出边界，求）若球一定能越过球网，又不出边界，求h h的取值范围的取值范围典例解析典例解析 例例3.如图，排球运动员站在点如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从处练习发球，将球从O点正上方点正上方2m的的A处发出，把球
13、看成点，其运行的高度处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离）与运行的水平距离x（m）满足）满足关系式关系式y=a(x-6)2+h已知球网与已知球网与O点的水平距离为点的水平距离为9m，高度为，高度为2.43m，球，球场的边界距场的边界距O点的水平距离为点的水平距离为18m（1）当）当h=2.6时，求时，求y与与x的关系式（不要求写出自变量的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）的取值范围）6.2)6(6012xy解：（1）601由题意知 y=a(x-6)2+h过点A（0，2），当h=2.6 时，2=a(0-6)2+2.6，解得：a=,y与x的关系式为：典例解析典例解析（2）当
14、）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；解：(2)球能越过球网，球会出界.理由：当x=9时，43.245.26.2)69(6012y所以球能越过球网当y=0时，所以球会出界06.2)6(6012x解得3926,18392621xx(舍去).另解：当x=18时，02.06.2)618(6012y故球会出界6.2)6(6012xy2.43典例解析典例解析（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围的取值范围解：(3)y=a(x-6)2+h过点A（0，2）2=a(0-6)2+h解得：a=36
15、2h 由球能越过球网知，球能越过球网知，当x=9时，43.2432)69(3622hhhy 由球不出界知，球不出界知，当x=18时，038)618(3622hhhy由解得：.38h所以h的取值范围是 .38h2.432.43y=a(x-6)2+h 本题考查了现实生活本题考查了现实生活中中的抛物线形问题的抛物线形问题,解这种问题往往解这种问题往往要运用数形结合思想，先将题目中给出实际意义的量转换成要运用数形结合思想，先将题目中给出实际意义的量转换成点的坐标点的坐标,再通过待定系数法求出函数解析式再通过待定系数法求出函数解析式,然后然后通过待求通过待求量在函数中表示的意义量在函数中表示的意义,利用函数解析式求解利用函数解析式求解.对对自变量自变量x x和和函数函数y y表示的表示的实际意义的理解是解这种问题的突破口实际意义的理解是解这种问题的突破口.解后反思解后反思归归 纳纳建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是：实际问题 二次函数y=ax2+bx+c(a0)性质图象利用二次函数的图象和性质求解实际问题的答案建模数形结合数缺形时少直观数缺形时少直观 形缺数时难入微形缺数时难入微 数形结合千般好数形结合千般好 数形分离万事休数形分离万事休 华罗庚华罗庚
