1、1第五章第五章 分析力学分析力学5.1 约束与广义坐标5.2 虚功原理5.3 拉格朗日方程5.5 哈密顿正则方程5.6 泊松括号与泊松定理5.7哈密顿原理25.0 引言引言Lagrange(拉格朗日拉格朗日)Hamilton(哈密顿哈密顿)拉格朗日拉格朗日:1788:1788年年:分析力学分析力学.全书没有一张图全书没有一张图,是完全用是完全用数学分析来解决所有的力学问题数学分析来解决所有的力学问题.哈密顿哈密顿:1834:1834年：哈密顿正则方程；年：哈密顿正则方程；1843 1843年：哈密顿原理。年：哈密顿原理。其它人的贡其它人的贡献：如莫培献：如莫培督、欧拉、督、欧拉、高斯、雅科高斯
2、、雅科毕等人毕等人3分析力学：分析力学：以变分原理变分原理为基础，以动能和势能为基本量基本量，从力学 体系的一切可能运动一切可能运动中寻找真实运动的学科变分原理变分原理虚功原理达朗伯原理哈密顿原理一切可能运动：指力学体系在约束许可下可能存在的运动一切可能运动：指力学体系在约束许可下可能存在的运动基本量均是标量基本量均是标量4矢量力学和分析力学的区别与联系矢量力学和分析力学的区别与联系矢量力学分析力学隔离法方程个数：3n+k力学体系方程个数：3n-k基本量为矢量：基本量为标量：T,V,H,L,Q真实运动可能运动更容易推广到其它分支学科，特别是多粒子体系。pavFr,5 5.1约束与广义坐标约束与
3、广义坐标 一、约束及分类一、约束及分类 1.力学体系：有相互作用的大量质点组成的体系。力学体系：有相互作用的大量质点组成的体系。2.约束：加在体系上限制其运动（位置和速度）的条件。约束：加在体系上限制其运动（位置和速度）的条件。约束方程：约束方程：0),(tzyxzyxf如：小虫在吹着的气球上运动，如：小虫在吹着的气球上运动，20222)(tRzyx自由体系：力学体系的运动状态完全由主动力和初始条件决定非自由体系：力学体系的运动状态受某些预先给定的几何上或运动学上的限制。63.分类：分类：1)几何约束和运动约束几何约束和运动约束 仅限制体系位置仅限制体系位置几何约束几何约束0),(tzyxf不
4、仅限制位置，且限制速度不仅限制位置，且限制速度运动约束，或称微分约束运动约束，或称微分约束 0),(trrf0:ax如axyoCm7L2）稳定约束和不稳定约束）稳定约束和不稳定约束 稳定约束：限制体系位置的约束不是时间的函数0),(zyxf不稳定约束：限制体系位置的约束是时间的函数0),(tzyxf3）可解和不可解约束）可解和不可解约束 0),(txyxf2222lzyxo点固定不动nmolnmol0v222lyx2220)(lytvx8 例例:冰面上滑行的冰刀的简化模型冰面上滑行的冰刀的简化模型.假定将冰刀抽象为以刚性轻假定将冰刀抽象为以刚性轻杆相连的两个质点杆相连的两个质点,并设两质点质量
5、相等并设两质点质量相等,杆长为杆长为l,当冰刀在冰面当冰刀在冰面上运动时上运动时,质心质心(杆的中点杆的中点)的速度的速度只能沿杆的方向只能沿杆的方向.选两质点在冰面选两质点在冰面上的坐标为上的坐标为(x1,y1)和和(x2,y2)，则约束条件为则约束条件为BAy1y2x1x221212121yyxxyyxx4）完整约束和非完整约束完整约束和非完整约束 完整约束：几何约束和可积的运动约束完整约束：几何约束和可积的运动约束0),(tzyxf非完整约束：不可积的运动约束非完整约束：不可积的运动约束0),(tzyxzyxf完整体系，非完整体系完整体系，非完整体系9n个质点系统由个质点系统由n个位矢个
6、位矢rl,r 2,rn确定，或由确定，或由N3n个直角坐个直角坐标，标，(x1，yl，z1),(xn，yn，zn)表示表示.如果该系统存在如果该系统存在k个完个完整约束整约束:二、自由度、广义坐标二、自由度、广义坐标),.,2,1(,0),(ktzyxfiii独立坐标个数：3n-kl1),(111yxm),(222yxm2l22212212212121)()(,lyyxxlyx如何选择独立坐标？21,yy21,xy21,xx21,yx212121222221211)(;ylyylxylxsincos1111lylxsinsincoscos122122llyllx，独立变量：10自由度：自由度：
7、确定一力学体系的运动（或位形）所需求的确定一力学体系的运动（或位形）所需求的独立独立坐标变量个数坐标变量个数，叫体系的自由度。，叫体系的自由度。广义坐标：广义坐标：若体系有若体系有k个完整约束，则有个完整约束，则有3n-k个独立坐标，引进个独立坐标，引进s个个独立坐标独立坐标q1,q2qs121212(,)(,)(,)iisiisiisxx q qq tyy q qq tzz q qq t12(,)1,2,3,3iisrr q qq tinsn或称q1,q2qs为广义坐标注：注：1）q不一定是线量不一定是线量 2）q可自由选取，不一定是可自由选取，不一定是3n中的中的s个，但必须方便个，但必须
8、方便 确定体系的位置，选择不止一种。确定体系的位置，选择不止一种。3）几何约束下，独立坐标数）几何约束下，独立坐标数=自由度自由度=广义坐标数广义坐标数=3n-k11 5.2虚功原理虚功原理一、实位移和虚位移一、实位移和虚位移0,0rddt则P(x,y,z)sxyzo)(),(y),(321tfztftfxdtkfjfi fkdzjdyidxrd)(321为实位移rd虚位移：在约束许可下，某一时刻质点可能发生的微小位移虚位移：在约束许可下，某一时刻质点可能发生的微小位移r说明：(1).虚位移的产生不需要时间dt=0,而实位移必须有时间间隔；(2).只要满足约束条件，虚位移可能不止一个；12(3
9、).对于稳定约束，实位移是虚位移中的一个；对于不稳定约束，实位移不在虚位移之列.f(x,y,z,t)f(x,y,z,t+dt)rdrPP1r3r2rm1r2rm1r2rrdt 时刻t+dt 时刻13二、理想约束二、理想约束称为虚功任意虚位移上的功虚功：质点受到的力在wrF.1）个质点受约束力的合力为第（即束叫理想约束。元功之和为零，这种约位移上到诸约束力，在任意虚理想约束：力学体系受iRrRiii0.23.常见理想约束常见理想约束 1)光滑曲面，曲线光滑曲面，曲线 4)光滑铰链光滑铰链3)不可伸长的轻绳不可伸长的轻绳2)刚性杆刚性杆hfNr0 rN0 rf2N1Nnn2r1r122211rNr
10、N)(122rrN0)coscos(11222rrNnrN0 rNANBNrABCrNrNBA0)(rNNBA14三、三、虚功原理：虚功原理：2.证明证明:a.必要性必要性 被动力）是质点受到的主动力，iiiiRFniRF,()2(),2,1(00,11niiiniiiirRrFri则质点有第则若为理想约束,0,1niiirR01niiirF动力的虚功之和等于零在任何虚位移上所有主条件是，的体系处于平衡的充要表述：受理想稳定约束.101niiirF（1）有一受有一受k个稳定的约束体系，处于平衡状态，对每一质点均有个稳定的约束体系，处于平衡状态，对每一质点均有b.充分性。充分性。反证法反证法0)
11、(1iiniirNFniiriN1001iniirF结果与（结果与（1）矛盾，）矛盾，因此，体系应该静止因此，体系应该静止15例例1：轻杆在图示中受两力作用下处于平衡，用虚功原理求：轻杆在图示中受两力作用下处于平衡，用虚功原理求?:21FF02211rFrF1F2Faby012bFaF0)(12bFaFbaFF:21163.广义坐标下的广义坐标下的虚功原理虚功原理ktqqqzjtqqqyitqqqxtqqqrrsisisisii),(),(),(),(21212121niiiziiyiixiniizFyFxFrFw11，则有是各自独立，且为任意由于qkzjyixriiiiqqzFqyFqxFq
12、qzFqyFqxFiiziiysniiixiiziiynisiix)()(1111 kqqzjqqyiqqxsisisi111（3）01qQs(4)称为广义力QsqrFqzFqyFqxFQiniiiiziiyniiix),2,1(0)(11（5）17若作用在体系上的主动力均为保守力，则体系的势能为若作用在体系上的主动力均为保守力，则体系的势能为),.,(),(21siiiqqqVzyxVV相应的主动力：相应的主动力：)(kzVjyVixVVFiiiii（6）)(1qzFqyFqxFQiiziiyniiix(5)(1qzzVqyyVqxxViiiiniii0qV)7(),.,2,1(,0sqVQ
13、说明：（说明：（1）广义力的个数广义力的个数=自由度个数自由度个数=广义坐标个数；广义坐标个数；（2）广义力的量纲可以是力，力矩等的量纲）广义力的量纲可以是力，力矩等的量纲18p206例例1：求平衡时，：求平衡时，与主动力之间的关系与主动力之间的关系 oyxP2FP1(x1,y1)(x2,y2)AB2121,1qqlABlOABA取，故只有两个自由度令需四个坐标则位置确定确定坐标）确定自由度，选广义解一：解一：F PP，分析主动力：21)2coscos,sin21sin,sin2132121211llyllxlxB作用点的虚位移广义坐标关系或主动力）写出各主动力坐标与)sinsin(,cos2
14、1cos,cos212121211llyllxlxB0432211yFxPxPw）应用虚功原理计算190)sinsin()cos21cos(cos212121211llFllPlP0sincos21,0sincoscos210522211211FllPQFllPlPQq，得前的系数）令FPtgFPPtg2,222210)sincos21()sincoscos21(22211211FllPFllPlP解二：解二：)(1qzFqyFqxFQiiziiyniiix),2,1(21qqByFxPxPQ2211ByFxPxPQ22110sincoscos211211FllPlP0sincos2222Fl
15、lP20例例3.在半径为在半径为r的铅垂半圆形钢丝上，穿两个重为的铅垂半圆形钢丝上，穿两个重为P 和和Q的小球，此二球的小球，此二球用长为用长为2l的不的不 伸长绳子连接，不计摩擦。求平衡时绳与水平线所成之角伸长绳子连接，不计摩擦。求平衡时绳与水平线所成之角nnoxy),(11yxP),(22yxQPQ解：解：（1）确定自由度）确定自由度s=1,广义坐标广义坐标QP，分析主动力：)2(（3）写出主动力作用点坐标）写出主动力作用点坐标sin2)sin(),sin(21lryry（1）)cos(cos2(,)cos(21rlyry(2)0)()4(21yQyP由虚功原理：（3）22)()(lrPQ
16、lPQtg0)cos()(cos2rQPQlrlrrl22sin,cos21 5.3 Lagrange 方程方程 一、动力学的普遍方程一、动力学的普遍方程1.DAlembert-Lagrenge方程方程 体系由体系由n个质点组成，每个质点有个质点组成，每个质点有 iiiiRFrm 0)(1iniiiiiiirRrFrrm 则对理想约束,01iniirR0(1niiiiirFrm）称为称为DAlembert-Lagrenge方程方程0iiiirmRF 称达朗伯原理22Chapter 222二、基本的拉格朗日方程二、基本的拉格朗日方程 12(,.,)3iisrr q qq tsNk1siirrqq
17、1()0siii iiqrrmqF()0ii iiiFrmr()0iii iiFmrrqiiiiiiirmrQrQFqq广义力是相互独立的q2323iii iiiiiiiiirrrdrmrmmqrtqqd1212112(,.,)(,.,.,)siiiisissq qqrrdrr q qq tdtqtr q qqtq21121212(,.,.,)sssi iqTmrT q qqq tq1111NNiiiiiNNiiiiiiiiiTTmqqqTTmrrrqqqrrrrr1Nii iidTTmrdtqrqqdTTQdtqqi iiimrrqQqrqrdtdii)(qrqrii24证明：证明：qrqr
18、qrqrdtdiiii)(siiisiiiiisiiqqrrtrqqrtrqqrdtrdrtqqqqrr1111321),(的函数不是qtrqrisi,1qrqrii的函数是qqriqrtrqqrqtqrqqrqqrtqqrqqrdtdisiiiisiisi)()()()(121125各项的物理意义：各项的物理意义：为广义速度q 1 可见可见L方程是以方程是以q为变量的为变量的s个二阶线性微分方程组个二阶线性微分方程组,方程个数方程个数=自由度数自由度数，约束越多，自由度越少，方程越少，约束越多，自由度越少，方程越少，只要写出只要写出T，Q，代入方程即可得到运动方程，代入方程即可得到运动方程.
19、适用条件：理想的完整体系适用条件：理想的完整体系 xmxTxmTqT,212为广义动量，如为广义力qrFQinii13.,)(,4力称为仿照LagrangeqTQqTqTdtdRFdtdP26ryx0例例1.质点质点P受力受力F，求相对运动微分方，求相对运动微分方 程（非保守系）（程（非保守系）（P217）解：解：1）选广义坐标）选广义坐标 x,y,z;2)求求T,Q222222222222121212121yxmxyyxmzyxmzxyyxmjyixkzj yi xmrmTzzyyxxFQFQFQ,3)代入代入L-方程方程zyxFzmFyxymFxmymymxm )2()(22zyxFzmy
20、mxmFymxmymFxm 222227例：例：5.12ABFCxymgO2a解：解：1）确定自由度，选广义坐标）确定自由度，选广义坐标21,qxq2 2）写出）写出T，Q cossinCCayaxx22222222222221)cos2(2121)sin()cos(2121)(21mkaxaxmmkaaxmIyxmTccc28)sincos2()cos()sin2(1mgaFxFamgaxFymgxFqQWcBssincos2,mgaFQFQx3)代入方程代入方程FaaxmxTmamaxmxTdtdmaxmxT)sincos(0,sincos)(cos22 29sincos2)(cossin
21、)(sincos)()(coscos22222222mgFakaxamxaTkamxmaxmaTdtdkamxmamkmaxmaT 30三、保守系的三、保守系的L-方程方程 ttqqqqxVtzyxzyxVVkzVjyVixVVFsiiiii,),(),()(3211222111qVqzzVqyyVqxxVkqzjqyiqxkzVjyVixVqrFQniiiiiiiiiniiiiiinii)()()(111qVqTqTdtd0)()(0,qVTqVTdtdqVqV的函数不是,VTLlet),3,2,1(0sqLqLdtd保守体系的保守体系的L方程方程31例子：在光滑的水平面上放置一质量为例子：
22、在光滑的水平面上放置一质量为M的三棱柱，一个质量为的三棱柱，一个质量为m的均质的均质圆柱严三棱柱的斜面无滑动地滚动。已经斜面倾角为圆柱严三棱柱的斜面无滑动地滚动。已经斜面倾角为，求三棱柱的加速度。，求三棱柱的加速度。解：（1）分析约束：三个约束；确定自由度 s=2，确定广义坐标：x,x1(2)分析受力情况(3)写出T，V，L)21)(2121222121cIyxxmxMThh(x,y)(1,1yxmMyocvcvtgxycos22xyxvac,cos43)(2122121xmxxmxmMT mgxtgV mgxtgxmxxmxmMVTL22121cos43)(21 32(4)由保守系下的拉格朗
23、日方程得到加速度由保守系下的拉格朗日方程得到加速度),3,2,1(0sqLqLdtdmgxtgxmxxmxmMVTL22121cos43)(21 0,)(111xLxmxmMxL0)(1xmxmM mgtgxLxmxmxL,cos2321L-方程0cos2321mgtgxmxm 21222sin2)3(2sin)(,sin2)3(2sin)(mmMgmMxmmMmgmMx 011xLxLdtd33四四、循环积分、循环积分 如在如在L函数中，不显含函数中，不显含q，则该坐标为循环坐标。，则该坐标为循环坐标。运用运用L-方程求解问题时应注意的问题：方程求解问题时应注意的问题：i).使用的条件：（使
24、用的条件：（a）理想、完整约束；（）理想、完整约束；（b）保守、理想、完整约束。）保守、理想、完整约束。ii).动能的表达式动能的表达式T应是广义坐标、广义速度及时间的函数；应是广义坐标、广义速度及时间的函数；动能是对惯性系而言的，应为绝对动能。动能是对惯性系而言的，应为绝对动能。)(),(,tqVVtqqTT),3,2,1(0sqLqLdtd称为循环积分constpqLqLdtdqL0)(,034动量矩守恒即hmrL2如有心力场中，如有心力场中，rmkrrmVTL2222)(21为循环坐标为循环坐标 mgxtgxmxxmxmMVTL22121cos43)(21 又如上例：又如上例：为循环坐标
25、1x0,)(111xLxmxmMxLcxmxmMxLpx111)(水平方向动量守恒水平方向动量守恒35012011,21111112112121)(21)(21)(21TTTaqaqqatrmqtrqrqqqrqrtrqqrmTssiniiisniisniiisisinii的函数，一般为的函数，次函数的二次，一次，分别为tqaaqTTT,0120,四四、能量积分、能量积分设一完整保守系，有设一完整保守系，有s个自由度个自由度 trqqrrisi1361.齐次欧拉定理：齐次欧拉定理：),(,),(),(),(3211321321321321nniiinnmnnxxxxmfxxfmxxxxfxxx
26、xfxxxxfxxxxff次各项函数，有，的是则称，乘以各变量，以若有),(1),(321132112211nniiinmxxxxmfxxfxxxxfmxxfxxff有，令1210111212TTqqTqqTqqTqqTssss1212TTqqLqVs无关，与应用齐次欧拉定理：应用齐次欧拉定理：372.广义能量积分广义能量积分),.,.,(2121tqqqqqqLLsstLqqLqqLdtdLs)(1 stLLqqLdtd1)(sVTTVTTTLqqLH102122令令sqLqLdtd,.,2,1,0sqLqqLdtdq,.,2,1,0sqLqqLdtdq1)(0)()(11ssqLqqLqq
27、Lqdtd)(1qqLqqLtLdtdLs 广义能量广义能量38tLdtdH则则1）L中不显含中不显含t，0tLtan02consVTTh叫广义能量叫广义能量守恒守恒2）稳定体系，）稳定体系，)(iiiqrr 不显含不显含t 2022,0,TqqLTTT0)()2(VTdtdLTdtddtdhEVT表明时间变更不影响表明时间变更不影响L，表明，表明L的时间均匀性的时间均匀性广义能量守恒。广义能量守恒。stLLqqLdtd1)(能量守恒能量守恒39例例:习题习题5.6解解:选选q=为广义坐标为广义坐标约束方程约束方程：222)sin()cos(ataytax是非稳定约束是非稳定约束)sin(si
28、n)cos(costataytatax2cos22cos221)(21,0222222222mamamayxmLLTV不是循环坐标，不是循环坐标，L中不显含中不显含t,有广义能量积分有广义能量积分.)0(02VHTTV222222021,2cos2maTamT常量2cos22122222ammah0sin0sin)()2cos2(22222 amammadtdL方程代入oxycM(x,y)at40例子：有一物体例子：有一物体P1沿光滑水平面滑动，二另一物体沿光滑水平面滑动，二另一物体P2则由一无重量的杆子与之则由一无重量的杆子与之 相连，并在铅直面内摆动。假设二物体的质量分别为相连，并在铅直面
29、内摆动。假设二物体的质量分别为m1和和m2,轻杆长为轻杆长为l,求体系的运动规律。求体系的运动规律。no 1,1xmyx2m2vl1x 解：分析约束，s=2,广义坐标：,1x保守、理想、完整体系)cos2(2121122212211x llxmxmTcos21)(21122222121x lmlmxmmcos2glmVcoscos21)(212122222121glmx lmlmxmmVTL1x为循环坐标为循环坐标,因此有：因此有：积分常数）(cos)(121211lmxmmxL积分一次上式积分一次上式112121sin)(tlmxmm(1)41sinsin,cos2121222glmx lm
30、Lx lmlmL代人L-方程0sinsin)cos(2121222glmx lmx lmlmdtd(2)）可得到从（，若考虑2;sin,1cos50121lgmmm tlmgmmA121)(cos)sin(1112211tlmmmx42例例5.9：求运动方程：求运动方程zyxorztgrzqrqs,2)1(21tgrmgVtgrrrmzrrmT)(21)(21)2(222222222mgrctgctgrrrmVTL)(2122220)1()(0)()()3(2222mgctgmrrmctgdtdrLrLdtdrmrdtdLLdtd常数0sincossin0csc2222grrmgctgmrrm
31、 435.7 s=1(约束方程约束方程x2=4ay)xyoxmgPv222222222)(21,xyxmTxyxvxvj yi xvxqe取axmgVxaxxmTxaxyaxymgyV4)41(212,4,2222222axmgxaxxmVTL4)41(2122222244axmgxmxaxmxLxaxmaxxmxLdtdaxxmxL242)41()(),41(222222222 024)41(22222axmgxmxaxmxaxm 45 5.5Hamilton 正则方程正则方程 一、勒襄特变换一、勒襄特变换),(21xxFF（1）引入新变量21,uu)2()2,1(ixFuii引入新函数G：
32、)3(),(2121uuGFxuGiiiiiiiiiiidxxFduxdxudG2121)()4()(21iiiiiidxxFudux)5(2211duuGduuGdG比较（4）和（5），有：)6(,2211uGxuGx)7(),.,;.,(21,2,1mnyyyxxxF),.2,1(nixFuii)8(1FxuGniii)10(),.,2,1()9(),.,2,1(miyGyFniuGxiiii460,1,2,.,dLLsdtqq为参量（为旧变量，),),(,tqqtqqLL1sHp qL),.,2,1(spHqLpqq二、哈密顿正则方程二、哈密顿正则方程引入新变量引入新函数H为哈密顿函数为
33、哈密顿函数471sHp qL11ssHHHdHdqdpdtqpt11ssp dqq dpdL11ssLLLdLdqdqdtqqt11ssLLq dpdqdtqt0dLLdtqqLpqHqpHpq 哈密顿正则方程HLtt 48Example 1Vr 2221()2Lm rrr22rrLppmrrrmpLPmrmr2221()2Hm rrrenergy conservationHETV2221()2rppmrr232rrrHprpmpHprmrr 20pHpmrHp 22m rrr pconstant49方程等价）。形式简单对称（与个一阶微分方程组，为正则变量，正则方程以L2spq说明：说明：正则
34、方程与L-方程完全等价。具有更广泛的适用性广义坐标和广义动量组成2s维的相空间三、能量积分和循环积分三、能量积分和循环积分1.H函数的性质函数的性质sLqpH1LqLqs1)(201212VTTTTT)(,02tpqHVTT的二次函数是qH对于稳定约束：210,0TTTTVTHH为总能量502.能量积分能量积分),(tqpHHtHtHqHpHpHqHtHppHqqHdtdHss)()(11广义能量积分则，中不显含若hVTTHdtdHtHtH02,00EVTTVTqqTVTqpLHss2)()(11稳定约束2.循环积分循环积分常数，则中不显含若pqHpqH051rROOAADrrRrRDADA)
35、(,5.24cos)()(107cos)()(52(21)(21cos)(212122222222020rRmgrRmrRmgrrRmrrRmrRmgImvL22)(75,)(57rRmprRmLp22221)(75cos)()(107rRmprRmgrRmqpLHs52cos)()(145)(75cos)()(75)(1072222222rRmgrRmprRmprRmgrRmprRm,sin)(rRmgHprRgrRmrRmgrRmpsin75)(sin)(75)(7522 sin75)(grRao 53,ff qp,fgfgf gpqqp),(2121tpppqqqffss,0f cons
36、tant 1212,ffgf gfg121221,f fgffgff g,fgf ggfttt,ff pq,0,0,ppqqpq,f gg f 5.6泊松括号泊松括号 一、泊松括号的定义和性质一、泊松括号的定义和性质),(2121tpppqqqggss设泊松括号：,0fg hg h fhf g54:,Poisson brfgfgf gpqqpacket,0,0qpqpqppq二、泊松括号与正则方程二、泊松括号与正则方程1.正则方程的泊松表达式正则方程的泊松表达式tHtqHppHqdtds,)(1pq,HppHqq正则方程552.运动积分运动积分定理定理：若函数 ，则 为哈密顿正则 方程的一个运
37、动积分ctpq),(c证明：先从线性偏微分方程：证明：先从线性偏微分方程：0zuRyuQxuPRdzQdyPdxu=c（constant)的偏微分方程的解?),(dtdtqptppqqdtds)(10)(1tqHppHqsssssqHdpqHdpqHdppHdqpHdqpHdqdt.122112211ctpq),(56三、泊松定理三、泊松定理2),(ctpq定理：若 和 是正则方程的两个运动积分，那么 和 组成的泊松括号 也是正则方程的一个运动积分。1),(ctpq3,c0,)(1tHtqHppHqdtds证明：证明：0,tH0,Htdtd,HHtt0,HtHt？57examplexyLmzy
38、mzyLmxzmxz123123,x y zq q qmx my mzp pp32231331,xyLfp qp qLgp qp q112233112233,fgfgfgf gpqpqpqfgfgfgqpqpqp2121()()zq ppqL ,xyzL LL 58 5.7哈密顿原理哈密顿原理 力学原理力学原理变分原理：从一切可能的运动中寻找真实运动。变分原理：从一切可能的运动中寻找真实运动。变分变分不变分不变分微分（虚功原理）微分（虚功原理）积分（哈密顿原理）积分（哈密顿原理）微分（达朗伯原理）微分（达朗伯原理）积分（机械能守恒）积分（机械能守恒）公元二世纪提出光的量小化原理，公元二世纪提出
39、光的量小化原理，1657费费马修订马修订1747年莫培督提出最小作用量原理年莫培督提出最小作用量原理1828年高斯年高斯-最小拘束原理最小拘束原理赫芝赫芝-最小曲率原理最小曲率原理1834年年-Hamilton principle59:()functionxf xAppqqB1x2xxxdxyx一、变分法的基本运算一、变分法的基本运算)()()(xxfxfy)(:xyyy变分0|21xxxxyy0 x运算法则：运算法则：2)()()()(BBAABBAABBAABBABA对易与即dxdtxyxyxydxdyxdxdydxd,)()()()()()()(2121212121)()()()()()
40、(ttttttttttdttfdttftfdttfdttftf60二、哈密顿原理二、哈密顿原理1.位形空间：位形空间：以以s个广义坐标组成的个广义坐标组成的s维空间，每一个点维空间，每一个点表示体系各质点的独立位置。表示体系各质点的独立位置。2.保守系的哈密顿原理保守系的哈密顿原理哈密顿作用量：哈密顿作用量：dttqqLStt),(21也称力学体系的主函数。也称力学体系的主函数。210ttLdtS哈密顿原理：哈密顿原理：适用条件：保守完整系适用条件：保守完整系 0,021ttttqqtqAqB),.,(21sqqq),.,(21sqqq1t2t61例例.由由L方程推出哈密顿原理方程推出哈密顿原
41、理dtqqLqqLdtdqqLqLdtdtts 211)(0)(求和并积分乘qqLqqLdtdqqLdtd)()(而0)(211 dtqqLqqLqqLdtdtts0)(212111dtqqLqqLqqLttsstt212100ttttSLdtLdtAqB),.,(21sqqq),.,(21sqqq1t2t62例例.由由H原理推出原理推出L方程方程0)(0)()(21212121211111 dtqqLqLdtdqqLdtqqLqqLdtdqqLdtddtqqLqqLLdtttSttsttsttsttsqLqLdtd,3,2,1,0)(63例：例：5.31 zyxorzmgrctgrrmLmg
42、rctgmgzVrctgzzrrmT)csc(21,)(21222222220)csc()csc(2122222222121dtrgctgrrrrrmdtmgrctgrrmLdttttt21212121ttttttttrdtrrdtrrdtrdtddtrr 2222)(rr rrdtdr642121)2(22ttttdtrr rdtr 0)2()csc(2121222ttttdtrr rrdtgctgrr 0csc02222gctgrrrr r 65动量守恒，能量守恒积分牛顿第二定律微分不变分原理积分形式（如微分形式变分力学原理：力学力学矢量力学正则方程原理方程方程牛顿定律小结：Hamilto
43、nrrmFHamiltonLarangeHamiltonLagrangeniiiii10)LD 661.24)质量为质量为m与与2m的两质点的两质点,为一不可伸长的轻绳所联结为一不可伸长的轻绳所联结,绳挂绳挂在一光滑的滑轮上在一光滑的滑轮上.在在m的下端又用固有长度为的下端又用固有长度为a倔强系数倔强系数k为为mg/a的弹性绳挂上另外一个质量为的弹性绳挂上另外一个质量为m的质点的质点.在开始时在开始时,全体保持全体保持竖立竖立,原来的非弹性绳拉紧原来的非弹性绳拉紧,而有弹性的绳则处在固有长度上而有弹性的绳则处在固有长度上.由由此静止状态释放后此静止状态释放后,求证这运动是简谐的求证这运动是简谐
44、的,并求出其振动周期并求出其振动周期及及任何时刻两段绳中的张力任何时刻两段绳中的张力T及及T.解解:取坐标轴向下为正取坐标轴向下为正.对应三点表示如图对应三点表示如图,and221312321xamgkxTxxxxxTmgxmTmgxmTmgTxm 343422111gxagxxamgmgxxmTmgxmTmgxamgxm then2312,(1 cos),21cos2433agxat TmgtgaTTTT2mmm1x2x0lx ox如何运用机械能守恒求解？671.40)一质点受一与距离成反比的引力作用在一直线上运动一质点受一与距离成反比的引力作用在一直线上运动,质质点的质量为点的质量为m,比例系数为比例系数为k.如此质点从距原点如此质点从距原点O为为a的地方由的地方由静止开始运动静止开始运动,求其达到求其达到O点所需的时间点所需的时间.解解:已知已知rkrF)(运动微分方程运动微分方程rkrrmrktrrrmrkrmdrddddd rakrkrmraln|ln212ttrarramkrtam2kdm2kd-00lnln2kmat222lnyaeryra令：aadyeadyyayeradryya2222ln02020
