1、拉格朗日松弛算法基于规划论的松弛方法基于规划论的松弛方法拉格朗日松弛理论拉格朗日松弛理论拉格朗日松弛的进一步讨论拉格朗日松弛的进一步讨论拉格朗日松弛算法拉格朗日松弛算法主要内容:目标值最优值基于数学规划:分支定界法、割平面法、线性规划松弛再对目标函数可行化等的目标值。现代优化算法：禁忌搜索法、模拟退火法、遗传算法、蚁群算法等的目标值。其它算法：分解法、组合算法等的目标值。下界算法：线性规划松弛、拉格朗日松弛等的目标值。例子1:线性规划松弛:在5.1.1中,将整数约束松弛为实数,称其为5.1.1的线性规划松弛:min5.1.1,.TLPnZc xAxbstxZmin5.1.2,.TLPnZc x
2、AxbstxR1.定理5.1.1:2.此类算法适合于整数规划问题中,决策变量为较大整数的情形.3.此类算法分两阶段:第一阶段为求松弛后线性规划问题的最优解;第二阶段为将解整数化,并考虑可行性.LPIPZZ注:例2:对偶规划松弛方法:5.1.2的对偶形式为:max5.1.3,.TDPTnZy bA ycstyR其中Y为决策变量.注:由对偶理论知,5.1.2和5.1.3有相同的最优值,至于采用其中的哪个模型求解5.1.1的下界,需比较哪个计算简单.例3.代理松弛法:当(5.1.1)中的约束太多时,代理松弛一个约束代替(5.1.1)中的K个约束极端情况可以用一个代替全部111()kknKKi jji
3、jkkaxb 1,1kkni jjijaxbkK111()nmmi jjijkkaxb 注:代理松弛法保证目标函数,整数规划约束不变,显然,由代理松弛法求得的解不一定可行例4.拉格朗日松弛方法基本原理:将目标函数中造成问题难的约束吸 收到目标函数中,并保持目标函数的线性,使问题容易求解.Q:为什么对此类方法感兴趣?A:(1).在一些组合优化中,若在原问题中减少一些约束,则使得问题求解难度大大降低.(我们把这类约束称为难约束).(2).实际的计算表明此种方法所得到的结果相当不错.5.1 基于规划论的松弛方法松弛的定义（5.1.1）:问题整数规划模型:min5.1.1,.TIPnZc xAxbst
4、xZ:min()RRRx SRPZzx满足下列性质时,称为5.1.1的一个松弛(relaxation).(1)可行解区域兼容:(2)目标函数兼容:(),TRc xzxxS RSS其中,为5.1.1的可行域.S例5.1.1 set covering problem问题描述:设 ,所有 ,且每一列对应一个费用 ,表示第j列覆盖第i行,要求在最小的费用下选择一些列,使其覆盖所有的行.()ijm nAa0,1ija(1)jcjn 1ija 11min().1,10,1,1nscjjjni jjjjzc xSCsta ximxjn松弛问题:111min(1)().0,1,10nmnLRSCjjiijjj
5、ijjzc xa xLRSCst xjn松弛模型:11min().0,1,10nmLRSCjjijijzd xLRSCst xjn1mjjiijidca以上问题很容易求得最优解1,0*0,jdxother5.2 拉格朗日松弛理论min,():.,.TIPnZc xAxbIPstBxdxZ难约束（简单约束）|,nSxZAxb Bxd()min():,.TTLRnZc xbAxLRBxdstxZ（简单约束）原整数规划问题拉格朗日松弛|nLRSxZBxd定理5.2.1 LR同下整数规划问题(5.2.1)有相同 的复杂性,且若IP可行解非空，则:0,()LRIPzzmin.(5.2.1)Tnc xst
6、 BxdxZ()min():,.TTTLRnZcA xbLRBxdstxZ（简单约束）min,():.,.TIPnZc xAxbIPstBxdxZ难约束（简单约束）证明:注:定理5.2.1说明拉格朗日松弛是IP问题的一个下界,但我们应该求与IP最接近的下界,即:0()max()LDLRLDzz定义5.2.1 若 ,满足以下条件,则称D为凸集.,x yD(1),01xyD1()|,1iiiiiiCon QPPR|1,2,iQP i对于离散点集 ,其凸包定义为:显然Con(Q)为凸集.定理5.2.2 若拉格朗日对偶问题的目标值有限,则min|,()|,TLDnzc x Axb xCon QQx B
7、xd xZ其中：证明:()()()min()min()min()TTTLRx QTTTx Con QTTx Con QzcA xbcA xbc xbAx设Con(Q)的极点为 ,极方向为 则:|kxkK|jrjJ,()0min()(),:TTjTTTTkTkx Qif jJcA rcA xbc xbAxother kK 由LD问题有限,则有:000max()maxmin()TTkTkLDLRk Kzzc xbAx Tj存在，jJ,使得(c-A)r0上述问题等价于:max(),.()0,0LDTkTkTTjzc xbAxkKstcA rjJ 整理得:max(),.,0LDTkTkTjTjzAxb
8、c xkKstArc rjJ 其对偶问题为:min()1.()0,;0,.kLDkjjk Kj Jkk Kkjkkkk Kk Kk KkjzcTxrstAxrbkKjJ即有:()min.TLDx Con Qzc xstAxb推论推论5.2.1:对于任给c,整数规划问题IP和拉 格 朗日对偶问题LD的目标值相等的充要条件为:(|)()|nnCon QxRAxbCon QxRAxb证:显然有|()|nnQxRAxbCon QxRAxb(|)()|)()|nnnCon QxRAxbCon Con QxRAxbCon QxRAxb从而有:再由定理5.2.2:(|)()|minminnnTTIPLDx
9、Con Qx RAx bx Con Qx RAx bzc xzc x若对任何c有 ,则问题得证.IPLDzz例5.2.1 假设整数规划问题IP12121212122min 7224520227.5.2.224IPzxxxxxxxxstxxxZ 第一个约束为复杂约束,其拉格朗日松弛后的模型LR为:121212122()min(7)(22)4 520227.25.2.34LRzxxxxxxstxxxZ 43211234l2l1l4l3EDCBA41(,)1717T5.2.3图解示意下降方向最优解 (7,2)(3,4)-29 (7.5,1)(4,0)-32 (8,0)(4,0)-32()LRz012
10、1(7,22)T12(),()Txx(,*)LRzx22722(,)53655365T单位化下降方向:2272212lim(,)(,)5553655365TT最优值只能在(4,0)和(3,4)两点得到,过这两点的直线方程:y+x4=16.其垂直方向为:41(,)1717T22722411,(,)9171753655365T综合有:1290119()()281992889LRLDLRzzz 例5.2.2(继5.2.1)例5.2.1中 (2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,0)TTTTTTTTQ 12121(|24)2()|24nnSCon Qx
11、RxxSCon QxRxx 43211234DCB1224xx 43211234DCB1224xx S1S2由推论5.2.1可以知道,由两个因素有关:第一个因素是目标函数中的C,推论5.2.1要求对所有的C满足S1=S2,但也可能存在某个C使得 IPLDzzIPLDzz第二个因素是可行解的区域.由上面的图形可知,SI和S2不同,所以存在一个C,使得 不为零,如在例5.2.1中,在 达到拉格朗日对偶问题的最优值,其最优解为(4,0);,其一个最优解也为(4,0).由此我们可以知道,即使拉格朗日松弛在某个 下达到的最优解为原问题的可行解,我们也不能断言 .除非此时 .IPLDzz8289LDz 1
12、928IPz IPLDzz0定理5.2.3 若线性规划松弛问题LP存在可行解,则LPLDIPzzz注:此定理说明,拉格朗日松弛对偶后的目标值 是IP 问题的一个下界,且不比 差.LDzLPz定理5.2.3 的充要条件是存在 和 使得:IPLDzz*0*|,nxxZAxb Bxd112212*()(0)(*,*)*(*)(*)(0)TTTLRbAxzxc xbAxz 证明：、充分性：212(*)(*,*)*TLDLRLRIPzzzxc xz、必要性：记为问题的最优解，为问题的最优解，则：*x*(*)*(*)(*)(*,*)*(*)(*)(*,*)TTLDLRLRTIPLRzzc xbAxzzxz
13、bAxzzx*(*)(*)(*,*)IPLDTLRzzbAxzzx12*(*),(*)(*,*)TLRbAxzzx 记：212(*,*)*(*)(*)TTLRzxc xbAxz则：例5.2.3(继例5.2.1)时,为问题的一个可行解,此时:1*9*(4,0)x 121*(*)(44)9(*,*)*(*)882828(*)99TLRbAxzxc xbAxz 21288099IPLDzz其中，有，故：一般情况下,可大致估计:121*(*)(44),2(*,*)*(*)284(*)TLRbAxzxc xbAxz 32(*)322840,4LRIPLDzzz 2于是：故：5.3.拉格朗日松弛的进一步讨
14、论目的:对非标准的拉格朗日形式讨论.一、等号约束的松弛121212()()()(),ijjiijjiijjiiiijjiiijjiiiijjiiiia xba xba xbba xba xba x nj=1nnj=1j=1nnnj=1j=1j=1将等号约束写成标准形式：，把两个约束吸收到目标函数有：若令则 无非负约束。二、LR最优解和LP最优解的关系()()TIPxIPc xzTLRn+对于给定的0，z()=minc x+(b-Ax)（LR）s.t.BxdxZ的最优解为问题可行，并不能有具体例见例5.3.1。n例5.3.1集合覆盖问题12341314234min23451.110,1,1,2,
15、3,4ixxxxxxstxxxxxxi 12341,0,5.IPxxxxz直观的结果是最优解：n拉格朗日松弛三个约束，12132133134123()min(2)(3)(4)(5).0,1,1,2,3,4LRjzxxxxst xj12341,()25.3.1LRLRIPxxxxzzz 其最优解为为稳妥的一个可行解，但n由此得到当松弛后问题的一个最优解为原问题（5.3.1）的一个可行解时，并不能得到该解为原问题的最优解。在什么条件下该解为IP的一个最优解？定理5.3.1 的充要条件为：IPLDzz*0*()0,(*)(*,*)TLRxIPbAxzzx存在，为可行解，使得：三、拉格朗日松弛的整数性
16、定义5.3.1 若LR的最优解与其整数约束无关，则称该问题具有整数性，即：()min().()()min().TTLRnTTLRLnzc xbAxBxdstxZLRLRLzc xbAxBxdstxR与线性松弛最优解相同。LDIPzzn例5.3.2（续5.1.1）例5.1.1的集合覆盖问题SC的拉格朗日松弛为111min.0,1,1()0nmLRSCjjijijmjjiijizd xst xjnLRSCdca其中n上页公式的线性规划模型为nLRSC和LSC具有整数性。11min().01,1,2,nmLSCjjijijzd xLSCstxjn定理5.3.2 若LR具有整数性，则n整数规划问题和它
17、的拉格朗日松弛分别为5.3.3和5.3.45.3.35.3.4n按定理5.3.2有5.3.15.3.15.2.25.3.1n定理5.3.2的结论5.3.1n在例5.3.3的条件下n例5.3.4（续例5.3.3）继续例5.3.3的讨论，将式（5.3.3）中的约束5.3.55.3.6四、拉格朗日分解1minminmin().,()min(5.3.8).TIPTTTIPnnnTTLRnzc xzc xc xxyAxbAxbAxbxystBydstBxdstBydx yZxZx yZzc xxzandAxbstxZ2()min(5.3.9).TLRnyBydstyZ1212()()max()()LRL
18、RIPLDLRLRzzzzzz有：其对偶形式：n例7.3.55.4 拉格朗日松弛算法5.4.1 次梯度算法（subgradient optimization）定义：（凹函数）函数 满足以下条件称为凹函数 1:mg RR(1)()(1)(),mgxyg xg yx yR定理5.4.1 若LR的可行解集合Q为有限个实数点集，则以下函数为凹函数()min()|TTLRzc xbAxxQ定理5.4.1 函数为凹函数的充要条件为：1*,(,),(*)()(*)mTmTmxRsssg xg xsxxxR 使得：证明 必要性：设 为凹函数，则()g x112211221212121212(,)|()(,),
19、(,)(,)(1)(,)(1),(1):(1)()(1)()(1)Hx zzg xandx zxzHx zxzxxzzgxxg xg xzz有:满足H为凸集,为边界点,所以存在过 和法方向 的支撑超平面 满足:(*,(*)xg x(*,(*)xg xs(*)()(*)Tmg xg xsxxxR 充分性:1212,01,*(1)x xxxx有：1122121212(*)()(*),(*)()(*)(*)(1)*)()(1)()(*)()(1)()TTTg xg xsxxg xg xsxxg xsxxxg xg xg xg xg x则有：即：ABC3S4S()LRz()LRz函数示意图定义5.4.
20、2 若 为凹函数,在 向量满足:1():mg xRR*mxRmsR(*)(*)()Tmg xsxxg xxR 则称 为 在 的一个次梯度,所有的次梯度集合记为:()g xs(*)g x*x定理5.4.3 若 为凹函数,为 的充要条件为()g x*xmax()|mg xxR0(*)g x 定理5.4.4 设LR的可行解集合Q由有限个整数点组成,其极点为 有:()kxkK(*)min*()TTLRk Kzc xbAx*|(*)(),|,1,0(*)TiTiLRiiiiiiLRi IIi zc xbAxiI sbAxs ssz*LR记：则对任意为z()的次梯度且：证明:*()(*)()()()()(
21、)(*)i TTiTiTiTiTiTiLRLRsbAxbAxc xbAxc xbAxzz 注:若 不是最大值点,则相交的两个同目标值的平面 满足 *1122:()():()()TiTiTjTjc xbAxDc xbAxD12*DD且,两平面的法方向交角不超过90度.当 不是光滑点是,在 的邻域内,当 充分小时,存在 ,使得:*max*,0isjI()()TjTjLRzc xbAx由 内所有次梯度夹角不超过90度,有(*)LRz()(*)(*)()()()0TjijLRLRzzbAxbAxbAx由上面的讨论可得次梯度优化算法如下:STEP1:任选初始拉格朗日乘子 STEP2:对 ,从 中任选一个
22、次梯度 ,若 则停,否则 重复STEP2.,1ttt()tgts0ts 1max,0,:1tttstt 注:1、的选取:10:,0,(,1981):,01()():|ttttUPLPtttatFisherbztztcs 2、停止准则：:0(),|:()():()tttLRUPLPttLRaTb szorsc ztztdz迭代次数上限或在一定步数内变化不超过某给定值5.4.2 拉格朗日启发式算法Step1:拉格朗日次梯度法求IP下界Step2:对所求解可行化例5.4.1 假设集合覆盖问题SC通过前面的松弛得到一个解 ,当其不可行时即存在i使得12(,)nxx xx10nijjja x一个可行化方
23、法是求k,满足1min|1kji jj ncca 重复以上步骤,直到所有行都被覆盖.集合覆盖问题的拉格朗日松弛算法:Step1:初始化0,0tStep2:计算()tLRzStep3:若所有行被覆盖,stop;or 记 表示第i行没有被覆盖,在没有被覆盖的行中任选一行k,计算1is min|1,1,kjkjkdas其中1mtjjljldcaStep4:11,2tkktitiikttstepik 返回例5.4.2 对集合覆盖问题12341314234min23451.110,1,1,2,3,4jxxxxxxstxxxxxxj假设:(1.5,1.6,2.3)T1234()min 1.10.80.31.2 5.3LRzxxxx()LRz最优解为:(1,0,0,0,),()4.2LRxz第三行没有被覆盖,在可覆盖第三行中选费用最小的列min0.8,0.3,1.20.3代替1231.501.602.20.3124()min 1.10.50.95.64.5LRzxxxLR1324最优解为:x=x=1,x=x=0
