1、 - 1 - 数与代数数与代数 数的认识：数的认识： 1、像 0、1、2、3、4这样的数是自然数。自然数可以表示数量的多少，也能表示顺 序。自然数的计数单位是 1。 2、数位顺序表。小数点左边的数位依次是个位、十位、百位、千位、万位，计数 单位依次是个（一） 、十、百、千、万小数点右边的数位依次是十分位、百分位、 千分位、 万分位计数单位依次是十分之一 （0.1） 、 百分之一 （0.01） 、 千分之一 （0.001） 、 万分之一（0.0001）。每相邻两个计数单位间的进率是 10。 整数从右边起每四位为一级，依次是个级，万级，亿级 读或写多位数时，要画分级线。 整数的组成可以按数位分，也
2、可以按数级分，也可以看整个整数。如按数位分 102003500 里有 1 个亿，2 个百万，3 个千和 5 个百组成。按数级分 102003500 里有 1 个亿，200 个万和 3500 个 1 组成。把 102003500 看成整体看，它有 102003500 个一。 3、把自然数改写成以“万”或“亿”做单位的数，把小数点向左移动四位或者八位。 把以“万”或“亿”做单位的数改写成以“1”做单位的数，把小数点向右移动四位 或八位。 4、求一个整数的近似数，精确到某一位，就看这一位的后面一位，采用四舍五入法。 5、整数的读法：从最高位开始，一级一级往下读。 整数的写法：从最高位开始，一级一级往
3、下写。 6、比较整数的大小：位数多的那个整数就大；如果位数相同，就从最高位开始一位一 位往下比。 7、一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几 8、小数的末尾添上“0”或者去掉“0” ，小数的大小不变。这是小数的性质。 依据小数的性质，可以把一个小数或者整数进行改写。改写整数时，先要添上小数 点，如 99.0。 9、小数的读法：整数部分按整数的读法去读，再读小数点，小数部分按照数位一位一 位往下读，看到几就读几。 10、把一个数乘 10、100、1000只要把小数点向右移动一位、两位、三位 把一个数除以 10、100、1000只要把小数点向左移动一位、两位、三位 11、
4、整数 a 除以整数 b 得到的商是整数而且没有余数，那么 a 就能被 b 整除。a 是 b 的 倍数，b 是 a 的因数。倍数和因数是互相依存的概念。 - 2 - 12、写一个数的因数，从两头往中间一对一对写。 一个数因数的个数是有限的，最小的因数是 1，最大的因数是它本身。 13、写一个数的倍数，把这个数依次乘 1，乘 2，乘 3 一个数倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 只有 1 和它本身两个因数的数，叫做质数（2 个因数） 。最小的质数是 2. 除了 1 和它本身还有其他因数的数，叫做合数（至少 3 个因数） 。最小的合数是 4. 1 既不是质数也不是合数。 14、
5、两个数公有的因数是这两个数的公因数，其中最大的是最大公因数。 （小括号表示） 两个数公有的倍数是这两个数的公倍数，其中最小的是最小公倍数。 （中括号表示） 公因数只有 1 的两个数叫做互质数。互质的两个数可能是两个质数（2 和 5） ，也可 能是两个合数（8 和 9） ，也可能是一个质数一个合数（7 和 8） 。 15、求两个数的最大公因数和最小公倍数。 （1）倍数关系：最大公因数是小数，最小公倍数是大数。 （2）互质关系：最大公因数是 1，最小公倍数是它们的乘积。 （3）一般关系：短除法、一一列举 16、2 的倍数：个位上是 0、2、4、6、8 的数。 5 的倍数：个位上是 0 或 5 的数
6、。 3 的倍数：各位上数字之和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。 17、是 2 的倍数的数，叫做偶数。不是 2 的倍数的数叫做奇数。 在非 0 的自然数中，最小的偶数是 2，最小的奇数是 1。 18、2 既是偶数也是质数。除 2 以外的偶数都是合数。质数中，除 2 是偶数外，其他都 是奇数。 既是奇数又是合数的数中，最小的是 9。 19、在 120 的自然数中， 质数有 8 个：2、3、5、7、11、13、17、19。 合数有 11 个：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20。 奇数有 10 个：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19。 偶数有 10 个：2、
7、4、6、8、10、12、14、16、18、20。 20、把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫做分数。表示其中一份 的数，叫做分数单位。 表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数，也叫做百分比或百分率。 百分数只能表示两个数之间的关系，后面不带单位。 - 3 - 21、分数的分子相当于除法的被除数，分数线相当于除号，分母相当于除数，分数值相 当于商。 aba b （b0） 3 8 千克可以表示 1 千克的 3 8 ，也可以表示 3 千克的 1 8 。 22、分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0 除外） ，分数的大小不变。这叫做分数 的基本性质。 23、小数化成分数：先化
8、成分母 10、100、1000的分数，再化简。 分数化成小数：用分子除以分母，除不尽的一般保留三位小数。 小数化成百分数：把小数点向右移动两位，再在后面添上百分号。 百分数化成小数：去掉百分号，同时把小数点向左移动两位。 分数化成百分数：先把分数化成小数，再把小数化成百分数。 百分数化成分数：先化成分母是 100 的分数，再化简。 24、1 2 0.550% 1 3 0.333=33.3% 1 4 0.2525% 3 4 0.7575% 1 5 0.220% 2 5 0.440% 3 5 0.660% 4 5 0.880% 1 8 0.12512.5% 3 8 0.37537.5% 5 8 0
9、.62562.5% 7 8 0.87587.5% 1 10 0.110% 1 20 0.055% 常见的量：常见的量： 1、常用的质量单位：1 吨1000 千克 1 千克1000 克 2、常见的人民币单位：1 元10 角 1 角10 分 3、常见的时间单位： 1 世纪100 年 1 年12 月 平年有 365 天，闰年有 366 天（四年一闰，百年不闰，四百年又闰） 大月 31 日（7 个） ：1 月、3 月、5 月、7 月、8 月、10 月、12 月； 小月 30 日（4 个） ：4 月、6 月、9 月、11 月； 特殊月份：2 月（28 天或 29 天） 。 - 4 - 一年有四个季度，每
10、个季度三个月。四个季度的天数分别是 90（或 91） 、91、92、 92。 一个月中，每 10 天为一旬。1 到 10 日是上旬，11 到 20 日是中旬，21 日到月底是下 旬。 1 日24 时 1 时60 分 1 分60 秒 同一天内求经过时间，只要用结束时间减去开始时间；如果多天内求经过时间，那 么要求出每天的经过时间，再把得数相加。 数的运算：数的运算： 1、整数加减法，把相同数位对齐； 小数加减法，把小数点对齐； 分数加减法，先把分数都通分成同分母分数，再计算。 整数、小数和分数的加减法，都要让计数单位相同才能相加减。 2、整数和小数乘法，都是把最后一位不为 0 的数对齐，再计算。
11、 分数乘法，分子相乘的数做分子，分母相乘的数做分母，先约分再计算。 3、整数除法：从被除数的第一位或前两位开始除（要看除数是几位数） ，除到哪一位， 商就写在哪一位的上面。每一步得到的余数都要比除数小。 小数除法：把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法，然后按照整数除法的法 则计算，商的小数点要和被除数的小数点对齐。 分数除法：甲数除以乙数（0 除外） ，等于甲数乘乙数的倒数。 求一个数的倒数，只要把分子和分母交换位置。1 的倒数是 1，0 没有倒数。 真分数的倒数大于 1，假分数的倒数小于 1 或等于 1。 倒数越大，原数越小；倒数越小；原数越大。 4、商不变的规律：被除数和除数同时乘或除
12、以相同的数（0 除外） ，商不变，余数随着 乘或除以相同的数。 积不变的规律：要使积不变，一个因数扩大（或缩小）几倍，另一个因数要缩小（或 扩大）相同的倍数。 5、 一个数（0 除外）乘小于 1 的数，积小于这个数； 一个数乘等于 1 的数，积等于这个数； 一个数（0 除外）乘大于 1 的数，积大于这个数。 一个数（0 除外）除以小于 1 的数，商大于这个数； 一个数除以等于 1 的数，商等于这个数； 一个数（0 除外）除以大于 1 的数，商小于这个数。 6、常用的数量关系式： 速度时间路程 路程速度时间 路程时间速度 单价数量总价 总价单价数量 总价数量单价 工效工时工总 工总工效工时 工总
13、工时工效 - 5 - 7、整数、小数和分数的四则混合运算的运算顺序： 没有括号时，先乘除后加减。如果只有乘除法或只有加减法，从左往右依次计算。 有括号时，先算小括号里的，再算中括号里的，最后算括号外面的。 8、运算律： 加法交换律：abba 加法结合律： （ab）ca（bc） 减法的性质：abca（bc） 乘法交换律：abba 乘法结合律： （ab）ca（bc） 乘法分配律： （ab）cacbc 除法的性质：abca（bc） 9、解决问题的策略：理解题意、分析数量关系，求出答案，回顾反思是解决问题的一 般步骤。 分析数量关系时，可以从条件想起，也可以从问题想起。 画图、列表、列举、转化、假设都
14、是解决问题时常用的策略。 式与方程：式与方程： 1、含有未知数的等式叫做方程。 方程一定是等式，等式不一定是方程。 2、等式的性质 1：方程两边同时加上或减去相同的数，所得结果仍然是等式。 等式的性质 2：方程两边同时乘或除以相同的数（0 除外） ，所得结果仍然是等式。 利用等式的性质，可以解方程。 正比例和反比例：正比例和反比例： 1、两个数相除又叫做两个数的比。前项除以后项所得的商就是比值。 a：baba b （b0） 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外） ，比值不变。这是比的基本性质。 2、表示两个比相等的式子叫做比例。 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本
15、性质。 （解比例的依 据） 3、两种相关联的量，一种量变化，另一种量随着变化。如果这两种量中相对应的两个 数的比的比值一定，那么这两种量就是成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量随着变化。如果这两种量中相对应的两个 数的乘积一定，那么这两种量就是成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 - 6 - 4、形如 abc a 一定时，b 和 c 成正比例；b 一定时，a 和 c 成正比例；c 一定时，a 和 b 成反比例。 （如速度时间路程，单价数量总价，工效工时工总） 形如 abc a 一定时， b 和 c 成反比例；b 一定时，a 和 c 成正比例；c 一
16、定时， a 和 b 成正比例。 （如 前项后项比值，盐盐水含盐率，图上距离实际距离比例尺） 5、正方形的周长和边长成正比例；正方形的面积和边长不成比例。 圆的周长和半径成正比例；圆的面积和半径不成比例。 图形与几何图形与几何 图形的图形的认识，测量：认识，测量： 1、直线没有端点，无限长；射线有一个端点，无限长；线段有两个端点，有限长。 过一点可以画无数条直线；过两点只能画一条直线。 两点之间，线段最短。 点到直线，垂线最短。 2、在同一平面内，不相交的两条直线互相平行。两条平行线之间的距离处处相等。 在同一平面内，两条直线要么平行，要么相交。当两条直线相交成直角时，两条直 线互相垂直。 3、
17、从一点引出两条射线，就是角。角有一个顶点和两条边。 角的大小和边的长短无关，和两条边叉开的大小有关。 角的大小用度表示。测量角要用量角器，测量时两重合（顶点和量角器中心重合， 一条边和 0 刻度线重合）一读数。 小于 90的角是锐角，90的角是钝角，大于 90且小于 180的角是钝角，180 的是平角，360的是周角。 4、三角形、四边形、五边形都是由线段围成的图形，圆形是由曲线围成的图形。 5、 、三角形按角分，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角 形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。 一个三角形中最多一
18、个直角，最多一个钝角，至少两个锐角。 三角形按边分，三条边都不相等的是普通三角形，有两条边相等的是等腰三角形， 当等腰三角形的三条边都相等时就是等边三角形。 等腰三角形有一条底，两条腰。等腰三角形有 1 个顶角和 2 个底角。等边三角形每 个内角都是 60。 - 7 - 按角分： 按边分： 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 6、由四条线段的封闭图形是四边形。 （书 86 页网络图） （1）当两组对边分别平行时，就成为平行四边形；当平行四边形有一个角是直角时， 就成为长方形；当长方形长和宽相等时，就成为正方形。 （2）当只有一组对边平行时，就成为梯形。 7、三角形、四边形等图形是由
19、线段围成的封闭图形，圆形是由曲线围成的封闭图形。 连接圆心和圆上任意一点的线段是半径。 通过圆形并且两端都在圆上的线段是直径。 圆里有无数条直径，无数条半径。 在同一个圆里，直径长度是半径的 2 倍。 8、平面图形的周长是指围成图形一周边线的总长度。平面图形的面积是指图形所占平 面的大小。 9、长方形的周长（长宽）2 正方形的周长边长4 圆的周长d2r 10、推导面积公式时，用到了转化的策略。 （书 89 页网络图）长方形面积公式是基础。 长方形的面积长宽 正方形的面积边长边长 平行四边形的面积底高 三角形的面积底高2 梯形的面积（上底下底）高2 圆形的面积r 2 11、常用的长度单位有：千米
20、、米、分米、厘米、毫米。 常用的面积单位有：平方千米、公顷、平方米、平方分米、平方厘米、平方毫米。 12、长方体有 6 个面，相对的面完全相同，有时会有两个相对的面是正方形，则其余四 个面是完全相同的长方形。 长方体有 12 条棱，相对的棱长度相等。12 条棱分为 4 条长、4 条宽、4 条高。长方 体的棱长和4 长4 宽4 高（长宽高）4 长方体有 8 个顶点。 正方体有 6 个面，是完全相同的正方形。正方体有 12 条棱，长度都相等。正方体 有 8 个顶点。正方体是特殊的长方体。正方体的棱长和棱长12 圆柱的两个底面是完全相同的圆形，侧面是一个曲面。圆柱的侧面展开后得到一个 长方形，长方形
21、的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，长方形的面积等于圆柱的 侧面积。圆柱两个底面之间的距离是圆柱的高，圆柱有无数条高。 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 等边三角形 等腰三角形 三角形 - 8 - 圆锥有 1 个顶点， 底面是一个圆， 侧面是一个曲面。 圆锥的侧面展开后是一个扇形。 从顶点到底面圆形的距离是圆锥的高，圆锥只有一条高。 13、围成立体图形的各个面的面积之和叫做它的表面积。 长方体的表面积（长宽长高宽高）2长宽2长高2宽高2 正方体的表面积棱长棱长6 圆柱的侧面积底面周长高 圆柱的表面积侧面积2 个底面积 14、物体所占空间的大小叫做物体的体积。容器所能容纳物体的体积叫做它的
22、容积。 体积和容积的意义不同，计算方法相同。 常用的体积单位有：立方米，立方分米，立方厘米。 常用的容积单位有：升，毫升。 1 升1000 毫升 1 升1 立方分米 1 毫升1 立方厘米 长方体的体积长宽高 正方体的体积棱长棱长棱长 圆柱的体积底面积高 圆锥的体积底面积高1 3 长方体、正方体和圆柱的体积都可以用底面积高计算。 15、圆柱和圆锥等底等高时，圆柱体积一定是圆锥体积的 3 倍。 圆柱体积是圆锥 3 倍时，它们不一定等底等高。 圆柱和圆锥等底等高时，圆柱体积是圆锥的 3 倍； 圆柱和圆锥等体积等高时，圆锥底面积是圆柱的 3 倍； 圆柱和圆锥等体积等底时，圆锥高是圆柱的 3 倍。 圆柱
23、和圆锥等底等高时，体积和是圆柱的4 3 ，是圆锥的 4 倍；体积差是圆柱的 2 3 ， 是圆锥的 2 倍。 16、倒水，捏橡皮泥，锻造（铸造、熔铸） ，都是抓住体积不变解题，多考虑方程解答。 17、表面积的变化： （1）把一个圆柱切成两个小圆柱，表面积增加了 2 个底面积。 （2）把一个圆柱切成两个半圆柱，表面积增加了两个长方形（底面直径高） 。当底面 直径和高相等时，表面积增加了两个正方形。 （3）把一个圆柱切去一段小圆柱，表面积比原来减少小圆柱的侧面积（反之，增加小 圆柱的侧面积） 。 （4）把一个圆柱转化成近似长方体，表面积比原来增加左右两个长方形（底面半径 高） 。当底面半径和高相等时
24、，表面积增加两个正方形。 （5）圆柱的侧面展开图是一个长方形（底面周长高） 。当底面周长和高相等时，侧面 展开图是一个正方形。 - 9 - 图形的运动：图形的运动： 1、对折后两边的图形能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形。折痕所在的直线就 是图形的对称轴。 线段、角都有 1 条对称轴；等腰三角形只有 1 条对称轴，等边三角形有 3 条对称轴； 长方形有 2 条对称轴，正方形有 4 条对称轴，等腰梯形只有 1 条对称轴；圆有无数条对 称轴，环形有无数条对称轴，扇形只有 1 条对称轴。 画轴对称图形时，先找到对应点，再顺次连线。关注对称轴的位置，点到对称轴的 距离。 2、图形平移时，先把各点平
25、移，再顺次连线。关注平移的方向和距离。 平移前后，图形的形状和大小都不变，图形的位置变了。 图形旋转时，先把端点在中心点位置的线段进行旋转，再旋转其他边。关注中心点， 方向，距离。 旋转前后，图形的形状和大小都不变，图形的位置变了。 3、按比例放大或缩小，画图时要把每条线段都按比例放大或缩小。 放大或缩小前后，图形的形状不变，大小变了，位置不变。 按比例放大或缩小后，面积比是长度比的平方倍。 图形与位置：图形与位置： 1、可以用方向和距离确定位置（北偏多少度，南偏多少度） 。 2、可以用数对确定位置（列，行） 。 统计与可能性统计与可能性 统计：统计： 1、可以用画“正”字的方法统计数据。 2、可以用统计表或统计图整理数据。 统计图有条形统计图、折现统计图、扇形统计图。 条形统计图可以很清楚地看出各个数量的多少； 折线统计图不但可以清楚地看出数量的多少，而且可以看出数量增减变化的情况； 扇形统计图可以很明显地看出各部分数量与总数量之间的关系。 可能性：可能性： 用分数（百分数）表示可能性的大小。 部分数量 总数量
