1、用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解新知探究新知探究问题1我们已经知道，函数 在区间(2，3)内存在一个零点，其准确值无法求出，那么如何求出这个零点的近似值呢？一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下就可以得到符合要求的零点的近似值 ln26f xxx新知探究新知探究问题1我们已经知道，函数 在区间(2，3)内存在一个零点，其准确值无法求出，那么如何求出这个零点的近似值呢？一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下就可以得到符合要求的零点的近似值 ln26f xxx新知探究新知探究问题1我们已经知道，函数 在区间(2，3
2、)内存在一个零点，其准确值无法求出，那么如何求出这个零点的近似值呢？ln26f xxx精确度是指近似值x*与其准确值x的接近程度近似值x*的误差不超过某个数，即 ，就说它的精确度是一般地，对于数值x，如果要获得它满足精确度的近似值，只需要找一个包含x的区间a，b，使得 即可在精确度限制下的近似值为所在区间中的任意值，即近似值有无数个*xx追问1要获得精确度为0.5的零点的近似值，你能找到一个符合要求的包含零点的区间吗？新知探究新知探究现在已知零点在区间(2，3)内，这个区间长度为1要获得精确度为0.5的零点的近似值，就要将包含零点的区间长度缩小到小于0.5，也就是要将区间长度减小到原来的一半考
3、虑区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得f(2.5)0.084，而f(2)1.307，f(3)1.099，则f(2.5)f(3)0根据函数零点存在定理可知，零点在区间(2.5，3)内，这个区间的长度为0.5追问1要获得精确度为0.5的零点的近似值，你能找到一个符合要求的包含零点的区间吗？新知探究新知探究一般地，称 为区间(a，b)的中点2abx追问2如果要获得精确度为0.01的零点的近似值，根据追问1的答案，你将采取什么办法来逐步缩小零点所在区间？新知探究新知探究当精确度为0.01时，至少需要将存在零点的区间长度缩小到小于0.01根据追问1的答案，可以通过重复计算区间中点的函数值，并与区间端
4、点的函数值作比较，将零点所在区间逐次减半那么就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足精确度为0.01的区间，区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值追问3我们已经将零点所在的区间从(2，3)缩小到了(2.5，3)，根据追问2确定的方法，再取区间(2.5，3)的中点2.75，用计算器算得 因为，所以零点在区间(2.5，2.75)内请你利用计算器重复这样的步骤，继续缩小零点所在的区间，直到区间长度小于0.01为止将你的计算结果填写在右表中，并据此画出函数 在区间(2，3)内的大致图象新知探究新知探究零点所在区间零点所在区间中点的值中点的值中点函数近似值中点函数近似值(2，3)2.
5、5-0.084(2.5，3)2.750.512(2.5，2.75)完成的表格如下表，画出的函数图象如下图新知探究新知探究零点所在区间零点所在区间中点的值中点的值中点函数近似值中点函数近似值(2，3)2.5-0.084(2.5，3)2.750.512(2.5，2.75)2.6250.215(2.5，2.625)2.562 50.066(2.5，2.562 5)2.531 25-0.009(2.531 25，2.562 5)2.546 8750.029(2.531 25，2.546 875)2.539 062 50.010(2.531 25，2.539 062 5)2.535 156 250.00
6、1追问4根据填好的表格，请你给出函数 在精确度为0.01的零点的近似值新知探究新知探究 ln26f xxx因为|2.539 062 52.531 25|0.007 812 50.01，所以区间(2.531 25，2.539 062 5)内任意一点都可以作为零点的近似值为了方便，我们可以把区间的一个端点作为零点的近似值，所以可以将x2.531 25作为函数 零点的近似值，也即方程 的近似值 ln26f xxxln260 xx用二分法求方程的近似解所以x0(1，1.例1借助信息技术，用二分法求方程 的近似解（精确度为0.5的零点的近似值，就要将包含零点的区间长度缩小到小于0.这种方法的总体思路是，
7、通过不断把函数 的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值对于在某一区间上函数图象连续不断，且区间端点的函数值的乘积符号为负的函数，都可以利用这种方法来求零点的近似值对于在区间a，b上图象连续不断且 的函数 ，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）若 （此时），则c就是函数的零点；539 062 52.307，f(3)1.若 （此时x0(c，b)），则令 因为 ，所以x0(1.的图象如右图，并列出它的对应值表如下表5，也就是要将区间长度减小到原来的一半考虑区间(2，3)的中点
8、2.若 （此时x0(c，b)），则令 一般地，称 为区间(a，b)的中点的图象如右图，并列出它的对应值表如下表084，而f(2)1.若 （此时），则c就是函数的零点；问题2像上面这种求函数 的零点近似值的方法，它的总体思路是什么？这种方法适用于那些函数？新知探究新知探究问题2像上面这种求函数 的零点近似值的方法，它的总体思路是什么？这种方法适用于那些函数？这种方法的总体思路是，通过不断把函数 的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值对于在某一区间上函数图象连续不断，且区间端点的函数值的乘积符号为负的函数，都可以利用这种方法来求零点的近似值新知探究新知探究问题2
9、像上面这种求函数 的零点近似值的方法，它的总体思路是什么？这种方法适用于那些函数？对于在区间a，b上图象连续不断且 的函数 ，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）0f a f b yf x新知探究新知探究问题3根据求函数 零点的近似值的过程，你能提炼出给定精确度，用二分法求函数 零点x0的近似值的一般步骤吗？若 （此时），则c就是函数的零点；0f c 若 （此时x0(a，c)），则令 ；0f a f c bc若 （此时x0(c，b)），则令 0f c f b ac（1）确定零点x0的初始区间a，b，验证
10、0f a f b（2）求区间(a，b)的中点c（3）计算 ，并进一步确定零点所在的区间：f c新知探究新知探究问题3根据求函数 零点的近似值的过程，你能提炼出给定精确度，用二分法求函数 零点x0的近似值的一般步骤吗？（4）判断是否达到精确度：若 ，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤（2）（4）ab追问给定精确度，为什么当 时，区间a，b中任意一个值都是零点x0满足精确度的近似值？新知探究新知探究根据精确度的定义，精确度是指近似值x*与其准确值x的接近程度近似值x*的误差不超过某个数，即 ，就说它的精确度是所以当 时，零点x0所在的区间a，b中任意一个值与x0的误差都不超过，当然也就不超过
11、所以区间a，b中任意一个值都是零点x0满足精确度的近似值*xxab新知探究新知探究例1借助信息技术，用二分法求方程 的近似解（精确度为0.1）237xx解：原方程即 ，令 ，用信息技术画出函数 的图象如右图，并列出它的对应值表如下表237xx 237xf xx yf xx012345678y-6-2310214075142273观察函数图象或对应值表，可知 ，说明该函数在区间(1，2)内存在零点x0 120ff新知探究新知探究例1借助信息技术，用二分法求方程 的近似解（精确度为0.1）237xx解：原方程即 ，令 ，用信息技术画出函数 的图象如右图，并列出它的对应值表如下表237xx 237x
12、f xx yf xx012345678y-6-2310214075142273观察函数图象或对应值表，可知 ，说明该函数在区间(1，2)内存在零点x0 120ff同理可得，x0(1.375，1.5)，x0(1.375，1.437 5)新知探究新知探究取区间(1，2)的中点，用信息技术算得 因为 所以x0(1，1.5)1.50.33f 11.50ff，21.25x 1.250.87f 再取区间(1，1.5)的中点 ，用信息技术算得 因为 ，所以x0(1.25，1.5)1.251.50ff由于 ，所以原方程的近似解可取为1.3751.437 5.061.372 5500.1归纳小结归纳小结问题4回
13、顾本节课中用二分法求函数零点的近似值的一般步骤，你能体会到怎样的数学思想和方法？二分法通过不断缩小函数零点所在区间求函数零点的近似值，体现了逐渐逼近的极限思想在逐渐逼近的过程中，重复相同的步骤，这些相同的步骤可以抽象出来，体现了算法思想问题5通过本节课的学习我们可以看到，用二分法求方程的近似解，计算量较大，而且是重复相同的步骤因此，可以通过设计一定的计算程序，借助信息技术完成计算右图就是表示二分法求方程近似解过程的程序框图有兴趣的同学，可以在此基础上用有关算法语言编写程序，利用信息技术求方程的近似解归纳小结归纳小结归纳小结归纳小结问题6阅读教科书147页“阅读与思考中外历史上的方程求解”，了解方程求解的发展过程是怎样的？二分法对于方程求解的重要性是什么？目标检测目标检测借助信息技术，用二分法求函数 在区间(0，1)内零点的近似值（精确度为0.1）1答案：0.625 321.10.91.4f xxxx借助信息技术，用二分法求方程 在区间(2，3)内的近似解（精确度为0.1）2答案：2.6253lgxx再见再见
