1、第第3章章 光学谐振腔与激光模式光学谐振腔与激光模式第三章第三章 光学谐振腔与激光模式光学谐振腔与激光模式分类：分类：u 按照腔镜的形状和结构按照腔镜的形状和结构球面腔和非球面腔球面腔和非球面腔u 腔内是否插入透镜之类的光学元件，腔内是否插入透镜之类的光学元件，或者是否考虑腔镜以外的反射表面或者是否考虑腔镜以外的反射表面简单腔和复合腔简单腔和复合腔u 根据腔中辐射场的特点根据腔中辐射场的特点驻波腔和行波腔驻波腔和行波腔u 根据反馈机理的不同根据反馈机理的不同端面反馈腔和分布反馈腔端面反馈腔和分布反馈腔u 根据构成谐振腔反射镜的个数根据构成谐振腔反射镜的个数两镜腔和多镜腔两镜腔和多镜腔第三章第三
2、章 光学谐振腔与激光模式光学谐振腔与激光模式3.1.2 典型开放式光学谐振腔典型开放式光学谐振腔 1.1.平行平面腔平行平面腔组成：组成：两块互相平行且垂直于激光器光轴的平面镜两块互相平行且垂直于激光器光轴的平面镜激光技术发展历史上最早提出的光学谐振腔，这种装置在光学上称为法布里 珀罗干涉仪，简记为FP腔。第三章第三章 光学谐振腔与激光模式光学谐振腔与激光模式2.2.对称共焦腔对称共焦腔组成：组成：两块相距为两块相距为L，曲率半径分别为，曲率半径分别为 和和 的的 凹面反射镜，且凹面反射镜，且 。即两凹面镜。即两凹面镜 曲率半径相同且焦点在腔中心处重合。曲率半径相同且焦点在腔中心处重合。这种结
3、构的谐振腔在腔中心对光束有弱聚焦作用；1R2R12RRL特点：特点：对准灵敏度低，易于装调；衍射损耗低；能充分地利用激活介质。第三章第三章 光学谐振腔与激光模式光学谐振腔与激光模式3.3.共心腔共心腔组成：组成：两块相距为两块相距为L，曲率半径分别为，曲率半径分别为 和和 的的 凹面反射镜，且凹面反射镜，且 。1R2R12RRL若两反射镜曲率半径相等，若两反射镜曲率半径相等，则两凹面镜曲率中心在腔中则两凹面镜曲率中心在腔中心重合，为对称共心腔。心重合，为对称共心腔。特点：特点：对准精度要求低，装调容易；衍射损耗低；不能充分利用激光介质。第三章第三章 光学谐振腔与激光模式光学谐振腔与激光模式4.
4、4.平凹腔平凹腔组成：组成：相距为相距为L的一块平面反射镜和一块曲率半径为的一块平面反射镜和一块曲率半径为R的的 凹面反射镜凹面反射镜当当 ，称为半共焦腔，称为半共焦腔2RL特点：特点：衍射损耗低，易于装调 模式：模式：谐振腔内可能存在的电磁场本征状态谐振腔内可能存在的电磁场本征状态 （振荡频率和空间分布）（振荡频率和空间分布）纵模：纵模：沿光轴方向的光强分布；沿光轴方向的光强分布；横模：横模：垂直于光轴的横截面上的光强分布。垂直于光轴的横截面上的光强分布。腔的结构腔的结构确定确定模式特征模式特征第三章第三章 光学谐振腔与激光模式光学谐振腔与激光模式3.2 3.2 激光模式激光模式 第三章第三
5、章 光学谐振腔与激光模式光学谐振腔与激光模式3.2.1 驻波与谐振频率驻波与谐振频率当激光器处于振荡状态，激光器内部的光为当激光器处于振荡状态，激光器内部的光为满足一定相位条件的驻波。满足一定相位条件的驻波。第三章第三章 光学谐振腔与激光模式光学谐振腔与激光模式频率、振幅、振动方向均相同的两列波在同一频率、振幅、振动方向均相同的两列波在同一直线上沿相反方向传播时，相干形成驻波。直线上沿相反方向传播时，相干形成驻波。0222Lq LL 02qLq 驻波条件：驻波条件：22qccqqLL 谐振条件：谐振条件：基纵模：基纵模：12cL 2qcqL 整数整数 所表征的腔内纵向稳定场分布所表征的腔内纵向
6、稳定场分布q纵模间隔：纵模间隔：12qqqcL 第三章第三章 光学谐振腔与激光模式光学谐振腔与激光模式3.2.2 纵模纵模(Longitudinal Mode)不同的驻波的电磁场在沿轴线方向（纵向）上的分布是不同的驻波的电磁场在沿轴线方向（纵向）上的分布是不一样的，由整数不一样的，由整数 q所表征的腔内纵向的稳定场分布称所表征的腔内纵向的稳定场分布称为激光的纵模。为激光的纵模。q称为纵模的序数，不同纵模相应于不称为纵模的序数，不同纵模相应于不同的同的q值，对应不同的谐振频率。值，对应不同的谐振频率。第三章第三章 光学谐振腔与激光模式光学谐振腔与激光模式理想情况下，一个纵模对应一个谐振频率值，理
7、想情况下，一个纵模对应一个谐振频率值，实际上每一个纵模都具有一定宽度实际上每一个纵模都具有一定宽度:例：例：HeNe激光器，激光器，当，当 和和 时，时，激光器中分别可能出现几种频率的激光？激光器中分别可能出现几种频率的激光？（已知（已知Ne原子自发辐射的中心频率原子自发辐射的中心频率 ，荧光光谱线宽荧光光谱线宽 ）1 10Lcm 30Lcm 144.74 10/s 91.5 10FHz F 解：解：10Lcm 91.5 10qHz 一种频率（一种频率（单纵模单纵模）q 1q 1q 30Lcm 90.5 10qHz 三种频率（三种频率（多纵模多纵模）q 1q 1q 2q 2q 结论：结论：1.
8、工作原子（分子、离子）自发辐射的荧光线宽工作原子（分子、离子）自发辐射的荧光线宽 越大，越大，可能出现的纵模数越多。可能出现的纵模数越多。F 2.激光器腔长激光器腔长 越大，相邻纵模的频率间隔越大，相邻纵模的频率间隔 越小，越小，因而同样的荧光谱线宽度内可容纳的纵模数越多。因而同样的荧光谱线宽度内可容纳的纵模数越多。Lq 第三章第三章 光学谐振腔与激光模式光学谐振腔与激光模式mx方向节线数方向节线数ny方向节线数方向节线数:mnTEM谐振腔内的光波在垂直于光轴的横截面内的电磁场分布。谐振腔内的光波在垂直于光轴的横截面内的电磁场分布。每一种横模对应一种横向的稳定场分布。每一种横模对应一种横向的稳
9、定场分布。第三章第三章 光学谐振腔与激光模式光学谐振腔与激光模式3.2.3 横模横模(Transverse Electro-Magnetic Mode)将一块观察屏插入激光器将一块观察屏插入激光器的输出镜前，即可观察到的输出镜前，即可观察到激光输出的横模图形，即激光输出的横模图形，即光束横截面上的光强分布光束横截面上的光强分布情况。情况。横模横模 Transverse Electro-Magnetic Mode自再现模（横模）：自再现模（横模）：在腔反射镜面上经过一次往返传播后在腔反射镜面上经过一次往返传播后 能能“自再现自再现”的稳定场分布，相对分的稳定场分布，相对分 布不受衍射影响。布不受
10、衍射影响。镜边缘的衍射效应：镜边缘的衍射效应：损失能量，引起能量分布的变化。损失能量，引起能量分布的变化。横模横模横模的形成横模的形成（a）理想开腔；（）理想开腔；（b）孔阑传输线；（）孔阑传输线；（c）自再现模的形成）自再现模的形成 横模横模横模的形成横模的形成 孔阑传输线孔阑传输线第三章第三章 光学谐振腔与激光模式光学谐振腔与激光模式对激光模式的理解：对激光模式的理解：u 纵模和横模各从一个侧面反映了谐振腔内稳定纵模和横模各从一个侧面反映了谐振腔内稳定的光场分布，只有同时运用纵模和横模概念，才的光场分布，只有同时运用纵模和横模概念，才能全面反映腔内光场分布。能全面反映腔内光场分布。u 不同
11、纵模和不同横模都各自对应着不同的光场分不同纵模和不同横模都各自对应着不同的光场分布和频率，但不同纵模光场分布之间差异很小，不能布和频率，但不同纵模光场分布之间差异很小，不能用肉眼观察到，只能从频率的差异区分它们；不同的用肉眼观察到，只能从频率的差异区分它们；不同的横模，由于其光场分布差异较大，很容易从光斑图形横模，由于其光场分布差异较大，很容易从光斑图形来区分。应当注意，不同横模之间，也有频率差异，来区分。应当注意，不同横模之间，也有频率差异，这一点常被人们忽视。这一点常被人们忽视。选择性损耗选择性损耗（因横模而异）（因横模而异）几何损耗：几何损耗：腔的类型，几何尺寸，横模阶次腔的类型，几何尺
12、寸，横模阶次衍射损耗：衍射损耗：腔镜边缘的衍射效应腔镜边缘的衍射效应非选择性损耗非选择性损耗（与模式无关）（与模式无关）腔镜反射不完全引起的损耗：腔镜反射不完全引起的损耗：透射输出损耗透射输出损耗非激活吸收散射：非激活吸收散射：镜的吸收、散射、透射镜的吸收、散射、透射3.3 3.3 光学谐振腔的损耗光学谐振腔的损耗3.3.1 3.3.1 光腔的损耗光腔的损耗 1.1.损耗的种类损耗的种类 3122222100II eeeI e 123ii 2.平均单程损耗因子平均单程损耗因子210II e 011ln2II 3.3 3.3 光学谐振腔的损耗光学谐振腔的损耗NoImage3.损耗举例损耗举例 光
13、腔的损耗光腔的损耗损耗举例损耗举例光腔的损耗光腔的损耗损耗举例损耗举例（3）透射损耗）透射损耗1r2r0I设两个反射镜的反射率分别为设两个反射镜的反射率分别为 和和 ，则，则初始光强为初始光强为 的光在腔内往返一周，经两的光在腔内往返一周，经两个镜面反射后，光强变为：个镜面反射后，光强变为：10 1 2II r r 210 1 20rII r rI e 1 21ln2rr r 11r 21r 当当 ，时，有：时，有：121(1)(1)2rrr 光腔的损耗光腔的损耗损耗举例损耗举例（4）吸收损耗）吸收损耗一般常用吸收系数一般常用吸收系数 来定量描述介质对光的吸收作用。来定量描述介质对光的吸收作用
14、。其定义为通过单位长度介质后光强衰减的百分数：其定义为通过单位长度介质后光强衰减的百分数：dIIdz 介质中不同位置处的光强为：介质中不同位置处的光强为：0()zI zI e 若腔内介质的吸收系数是均匀的，则若腔内介质的吸收系数是均匀的，则光在腔内往返一次后光强衰减为：光在腔内往返一次后光强衰减为：210lII e 由此可得，由介质吸收引起的单程损耗因子为：由此可得，由介质吸收引起的单程损耗因子为：l 吸吸l介质的长度介质的长度 2200()mmmIIeI e 0I初始光强；初始光强；mI往返往返m次后的光强次后的光强t时间往返次数：时间往返次数：22ttcmLnLc 3.3.2 3.3.2
15、光子在腔内的平均寿命光子在腔内的平均寿命 腔内光子数密度衰减到初始值的腔内光子数密度衰减到初始值的 所用的时间。所用的时间。1e腔损耗越小腔损耗越小 越大越大 腔内光子的平均寿命越长腔内光子的平均寿命越长R 品质因数品质因数2EQP 储存在腔内的总能量储存在腔内的总能量单位时间内损耗的能量单位时间内损耗的能量ENh V dEdNPh Vdtdt 腔内振荡光束体积腔内振荡光束体积0RtRRNdNNedt 22RLQc 损耗越小，损耗越小，Q值越高值越高3.3.3 3.3.3 无源腔的品质因数无源腔的品质因数Q Q值值 1.1.光线传播矩阵光线传播矩阵 列矩阵列矩阵 ，称为光线在某一截面处的光线矩
16、阵，称为光线在某一截面处的光线矩阵 r 3.4 光学谐振腔的稳定性条件光学谐振腔的稳定性条件3.4.1 3.4.1 腔内光线往返传播的矩阵表示腔内光线往返传播的矩阵表示 2.2.光线变换矩阵光线变换矩阵 用矩阵表达式来表示近轴光线通过一个用矩阵表达式来表示近轴光线通过一个光学系统后光线参数的变换规律光学系统后光线参数的变换规律2121rrABCD光线变换矩阵光线变换矩阵(1)均匀介质层的光线变换矩阵均匀介质层的光线变换矩阵0 P P0yy 000 Lyy101LLT 00101yyL 1021RTR 凹面镜：凹面镜：凸面镜：凸面镜：0R 0R (2)球面反射镜的光线变换矩阵球面反射镜的光线变换
17、矩阵211112(2)()Rrrr 211212rrrR (3)薄透镜的光线变换矩阵薄透镜的光线变换矩阵21121rrrf 1011fTf 会聚透镜：会聚透镜：发散透镜：发散透镜：0f 0f 常常用用光光学学元元件件的的光光线线变变换换矩矩阵阵2112111()01rrrLT L 反射：反射：3222322210()21rrrT RR 3343341()01rrrLT L 反射：反射：5441544110()21rrrT RR r L1M2M11r 22r 33r 44r 55r 3.3.光学谐振腔内光线往返传播矩阵光学谐振腔内光线往返传播矩阵 一次往返总变换矩阵：一次往返总变换矩阵：1212
18、22121112()()()()10101122110101212(1)222222(1)(1)(1)ABTT R T L T R T LCDLLRRLLLRRLLLLRRRRRR 共轴球面腔的稳定性条件共轴球面腔的稳定性条件腔内光线往返传播的矩阵表示腔内光线往返传播的矩阵表示光线在腔内经光线在腔内经n次往返，变换矩阵为：次往返，变换矩阵为：1111nnnrrrTTTTT sinsin(1)sin1sinsinsinsin(1)nnnnnnABABTCDCDAnnBnCnDnn 1arccos()2AD 共轴球面腔的稳定性条件共轴球面腔的稳定性条件腔内光线往返传播的矩阵表示腔内光线往返传播的矩
19、阵表示1111nnnnnnrA rBC rD 稳定性条件稳定性条件（1）稳定腔：近轴光线在腔内往返任意多次而不横向逸处腔外）稳定腔：近轴光线在腔内往返任意多次而不横向逸处腔外为有限值为有限值nnnnABD、C C、1arccos()2AD 为实数为实数120(1)(1)1LLRR 1()12AD稳定性条件稳定性条件凹面镜：凹面镜：凸面镜：凸面镜：0R 0R 3.4.2 3.4.2 共轴球面腔的稳定性条件共轴球面腔的稳定性条件 （2）非稳腔：非稳腔：光线在腔内有限次往返后必然从侧面逸出腔外光线在腔内有限次往返后必然从侧面逸出腔外1()12AD 即即121g g 或：或：1()12AD 即即120
20、g g （3）临界临界腔：腔：1()12AD即即121g g 或：或：1()12AD 即即120g g 共轴球面腔的稳定性条件共轴球面腔的稳定性条件2.稳区图稳区图 共焦腔：共焦腔：两个反射镜的焦点重合的共轴球面腔两个反射镜的焦点重合的共轴球面腔对称共焦腔：对称共焦腔：两个反射镜曲率半径相等的共焦腔两个反射镜曲率半径相等的共焦腔简并：简并：稳定腔内光束有限次往返后可形成闭合光路稳定腔内光束有限次往返后可形成闭合光路1RL 2RL F12RRL稳定腔稳定腔12120ggg g 3.4.3 3.4.3 临界腔临界腔 1.对称共焦腔对称共焦腔 轴向光线：闭合轴向光线：闭合非轴向光线：逸出非轴向光线：
21、逸出介稳腔介稳腔12RR 12121ggg g2.平行平面腔平行平面腔 12RRL 121g g 过公共中心的光线：闭合过公共中心的光线：闭合不过公共中心的光线：逸出不过公共中心的光线：逸出介稳腔介稳腔O1R2RO1R2RO实共心腔实共心腔虚共心腔虚共心腔对称共心腔对称共心腔1R2R3.共心腔共心腔 题目 今有一个球面腔 R1=120mm,R2=200mm,l=80mm,激光输出镜为R2 题目 今有一个球面腔 R1=100mm,R2=-150mm,l=80mm,激光输出镜为R2，证明谐振腔是否稳定！题目 今有一个平凹腔 R1=mm,R2=80mm,L=100mm,激光输出镜为R2 R2R2R1
22、R1L=R2L=R2题目 今有一个球面腔 R1=100mm,R2=100mm,L=100mm,激光输出镜为R2 R2R2R1R1L=R1=R2L=R1=R2几何光学几何光学光线在光腔中的传播、腔的稳定性光线在光腔中的传播、腔的稳定性 物理光学物理光学模式的形成、光场的振幅和相位分布、模式的形成、光场的振幅和相位分布、衍射损耗衍射损耗谐振腔模式理论的基础谐振腔模式理论的基础 菲涅耳基尔霍夫衍射积分菲涅耳基尔霍夫衍射积分 模式自再现概念模式自再现概念 光的衍射理论光的衍射理论 自再现模所满足的积分方程自再现模所满足的积分方程 任意谐振腔的性质任意谐振腔的性质（场的振幅分布、相位分布、（场的振幅分布
23、、相位分布、衍射损耗、附加相移）衍射损耗、附加相移）基本步骤：基本步骤：3.5 光学谐振腔的衍射理论基础光学谐振腔的衍射理论基础光学谐振腔的衍射理论基础光学谐振腔的衍射理论基础3.5.1 3.5.1 自再现模自再现模 自再现模（横模）：自再现模（横模）：在腔反射镜面上经过一次往返传播后在腔反射镜面上经过一次往返传播后 能能“自再现自再现”的稳定场分布，相对分布的稳定场分布，相对分布 不受衍射影响。不受衍射影响。镜边缘的衍射效应：镜边缘的衍射效应：损失能量，引起能量分布的变化。损失能量，引起能量分布的变化。光学谐振腔的衍射理论基础光学谐振腔的衍射理论基础开腔中自再现模的形成开腔中自再现模的形成
24、光学谐振腔的衍射理论基础光学谐振腔的衍射理论基础3.5.2 3.5.2 菲涅耳基尔霍夫衍射积分菲涅耳基尔霍夫衍射积分 P处的场处的场 可看作是可看作是S上各子波源所发出的上各子波源所发出的非均匀球面子波在非均匀球面子波在P点振动的叠加，即点振动的叠加，即 ,u x y ,(,)(1cos)4ikSikeu x yu x yds 光学谐振腔的衍射理论基础光学谐振腔的衍射理论基础121(,)(,)(1cos)4ikSikeux yuxydS 经经j j次渡越后：次渡越后：1(,)(,)(1cos)4ikjjikeux yuxydS 光学谐振腔的衍射理论基础光学谐振腔的衍射理论基础3.5.3 3.5
25、.3 自再现模积分方程自再现模积分方程 自再现：自再现：相对稳定（镜面上各点场振幅按同样比例衰减，相对稳定（镜面上各点场振幅按同样比例衰减，相位发生同样大小的滞后）相位发生同样大小的滞后）光学谐振腔的衍射理论基础光学谐振腔的衍射理论基础11(,)(,)(1cos)4(,)(,)(1cos)4.ikjjikjjikeux yuxydSikeux yuxydS 以以 表示稳态场分布：表示稳态场分布：(,)v xy(,)(,)(,)(,)(,)(1cos)4(,)ikxyxyvxyKxyxyvxydSikeKxyxyxyxy 开腔自再现模应满足的积分方程开腔自再现模应满足的积分方程简化的积分方程（简
26、化的积分方程（本征方程本征方程）：）：(,)(,)(,)(,)(,)ikx y xyv x yKx y xyv xydSikKx y xyeL 近似处理：近似处理：1cos2L ),(aRL光学谐振腔的衍射理论基础光学谐振腔的衍射理论基础光学谐振腔的衍射理论基础光学谐振腔的衍射理论基础3.5.4 3.5.4 自再现模积分方程解的物理意义自再现模积分方程解的物理意义 对于线性不变系统，输入某一函数，如果相应的输出函数对于线性不变系统，输入某一函数，如果相应的输出函数仅等于输入函数与一个仅等于输入函数与一个的乘积，此的乘积，此输入函数输入函数就是就是此系统的此系统的本征函数本征函数。(,)(,)f
27、 x yaf x y 通过系统时不改变函数形式，仅被通过系统时不改变函数形式，仅被衰减或放大，或产生相移。衰减或放大，或产生相移。本征方程的解本征方程的解（不连续）（不连续）本征函数本征函数(,)v x y本征值本征值 模：模：镜面上光场振幅分布镜面上光场振幅分布幅角：幅角：镜面上光场相位分布镜面上光场相位分布模：模：单程损耗单程损耗幅角：幅角：单程相移单程相移光学谐振腔的衍射理论基础光学谐振腔的衍射理论基础光学谐振腔的衍射理论基础光学谐振腔的衍射理论基础复常数复常数 的物理意义的物理意义 单程损耗：单程损耗：2221211jjdjuuu 单次渡越相移：单次渡越相移：11argargargjj
28、uu mn所对应的单程总相移为：所对应的单程总相移为：1argmn 谐振条件：谐振条件：1argmnq 22q 光学谐振腔的衍射理论基础光学谐振腔的衍射理论基础2 L单程附加相移单程附加相移 2argmnmnL 总结：总结：u 自再现模积分方程的自再现模积分方程的本征函数本征函数决定了镜面上不同决定了镜面上不同横模光场的振幅和相位分布。横模光场的振幅和相位分布。u 本征值本征值决定了不同横模的单程损耗、单程相移以决定了不同横模的单程损耗、单程相移以及谐振频率。及谐振频率。3.6 平行平面腔的自再现模平行平面腔的自再现模平行平面腔：平行平面腔：迭代法迭代法求近似解求近似解对称共焦腔：对称共焦腔：
29、解析法解析法求精确解求精确解以上：以上：推出了对称开腔中自再现模的积分方程；推出了对称开腔中自再现模的积分方程；讨论了方程解的物理意义。讨论了方程解的物理意义。下面：下面：求解积分方程（第二类弗里德霍姆方程）求解积分方程（第二类弗里德霍姆方程）一般方法：一般方法：根据具体问题引入适当坐标系，简化积分方程根据具体问题引入适当坐标系，简化积分方程平行平面腔的自再现模平行平面腔的自再现模3.6.1 平行平面镜腔的自再现模积分方程平行平面镜腔的自再现模积分方程 例：例：矩形平面镜腔矩形平面镜腔22222()()1()()xxyyxxyyLLLL 将将 按按 ,的幂级数展开：的幂级数展开：()yyL()
30、xxL 22442211(,)1()()22111()()()()884xxyyx y xyLLLxxyyxxyyLLLL 22()()(,)22xxyyx y xyLLL 平行平面腔的自再现模平行平面腔的自再现模22()()22(,)()(,)x xyyaaikikLLLaaiv x yev xy eL 2222()()()()2222xxyyxxyyik LikikikLLLLLeeee 平行平面腔的自再现模平行平面腔的自再现模此方程对此方程对x x，y y两个坐标是对称的，故可分离变量：两个坐标是对称的，故可分离变量：2()22()2(,)()()()()()()x xLy yLaiki
31、kLxabikikLybxyv x yv x v yiv xeev x dxLiv yeev y dyL 平行平面腔的自再现模平行平面腔的自再现模3.6.2 平行平面腔的数值迭代解法平行平面腔的数值迭代解法 1.FOXLi数值迭代法数值迭代法 迭代公式：迭代公式：1jjuKu dS 若若 已知已知:1u21321.jjuKu dSuKu dSuKu dS j j足够大时足够大时:12111jjjjuuuu 自再现模自再现模本征函数本征函数ju本征值本征值1jjuu 平行平面腔的自再现模平行平面腔的自再现模2.自再现模形成过程实例自再现模形成过程实例:11u 均匀平面波均匀平面波22()2212
32、max()232()()1()().xxaikikLLaxxaikikLLaiuxeeuxdxLuiuxeeux dxL 设设条状腔的具体尺寸：条状腔的具体尺寸：225,100,6.25aaLNL 以一列均匀平面波作为第一个镜面上的初始激发波：以一列均匀平面波作为第一个镜面上的初始激发波：平行平面腔的自再现模平行平面腔的自再现模经过经过1次和次和300次渡越后所得到的振幅的相对分布：次渡越后所得到的振幅的相对分布：特点：特点：对于基模，在镜面中心处振幅最大，从中心到边对于基模，在镜面中心处振幅最大，从中心到边缘振幅逐渐减小，整个镜面上振幅分布具有偶对称性缘振幅逐渐减小，整个镜面上振幅分布具有偶
33、对称性 平行平面腔的自再现模平行平面腔的自再现模经过经过1次和次和300次渡越后所得到的相位的相对分布：次渡越后所得到的相位的相对分布：特点：特点：基模的相位分布曲线不是直线，而是有起伏的曲线，基模的相位分布曲线不是直线，而是有起伏的曲线，说明镜面不是等相面，在镜面边缘处相位产生滞后。因此，说明镜面不是等相面，在镜面边缘处相位产生滞后。因此，严格说来，基模已不仅不是均匀平面波，而且已经不再是严格说来，基模已不仅不是均匀平面波，而且已经不再是平面波了。平面波了。平行平面腔的自再现模平行平面腔的自再现模单程衍射损耗单程衍射损耗 无论是条形腔或圆形镜平行平面腔，其单程无论是条形腔或圆形镜平行平面腔，
34、其单程功率损耗的大小都是菲涅耳数的函数。功率损耗的大小都是菲涅耳数的函数。条形镜平面腔的条形镜平面腔的 N N曲线曲线 （1 1）对于同一横模，对于同一横模，唯一地由唯一地由N N值决定，且随值决定，且随N N的增大而减小；的增大而减小；（2 2）菲涅耳数相同时（对于同一菲涅耳数相同时（对于同一N N值），值），随横模阶次的增大而增随横模阶次的增大而增大，基模的大，基模的 最低。最低。3.6.3 单程衍射损耗、单程相移与谐振频率单程衍射损耗、单程相移与谐振频率 平行平面腔的自再现模平行平面腔的自再现模单程相移单程相移 单程总相移为单程总相移为:kL条形镜平面腔模的条形镜平面腔模的 N曲线曲线
35、（1 1）对于同一横模，对于同一横模，唯一地由唯一地由N N值决定，且随值决定，且随N N的增大而减小；的增大而减小；（2 2）菲涅耳数相同时（对于同一菲涅耳数相同时（对于同一N N值），值），随模阶次的增大而增大，随模阶次的增大而增大，基模的基模的 最低。最低。平行平面腔的自再现模平行平面腔的自再现模单程相移单程相移 条状腔自再现模的谐振频率：条状腔自再现模的谐振频率：()2mnmnqcqL1mn可以忽略不计。可以忽略不计。因此，对于条状腔，自再现模的谐振频率采用公式：因此，对于条状腔，自再现模的谐振频率采用公式：2mnqqcqL对称共焦腔对称共焦腔方形镜共焦腔方形镜共焦腔圆形镜共焦腔圆形镜
36、共焦腔解析解解析解自再现模的特征自再现模的特征行波场的特征行波场的特征3.7 3.7 对称共焦腔的自再现模对称共焦腔的自再现模1.方形镜共焦腔的自再现模所满足的积分方程式及其解析解方形镜共焦腔的自再现模所满足的积分方程式及其解析解3.7.1 方形镜对称共焦腔方形镜对称共焦腔 简化的积分方程（简化的积分方程（本征方程本征方程）：）：(,)(,)(,)(,)(,)ikx y xyv x yKx y xyv xydSikKx y xyeL 21Rr1RRrRR2222RRr L2yxR2rR2r1RR22222L2yx22L2)yy(L2)xx(L22 (x,y)(x,y)积分方程的核：积分方程的核
37、：x xx x+y yy y（x x,y y,x x,y y）=L L-L L方形镜：方形镜：22aa积分方程：积分方程：(,)()(,)xxyyaaikikLLmnmnmnaaivx yevx y edx dyL 22,2()2ccXx Yyaaa kacNLL 无量纲变换无量纲变换令：令：(,)()()1mnmnmnmnmnvx yFX G Y 分离变量后的积分方程：分离变量后的积分方程：1212()()()2()()()2ikLciXXmmmcikLciYYnnncieFXFX edXieF YG Y edY m,nm,n取一系列不取一系列不连续的整数连续的整数一系列本征函数一系列本征函
38、数一系列相应本征值一系列相应本征值（自再现模）（自再现模）mnTEM角向长椭球函数角向长椭球函数精确解精确解(,)()()(,)(,)(,)(,)(,)(,)mnmnomonomomononXYvx yFx G YScScccXxScScacYyScScac 本征值本征值 1(1)(1)2(1)(1)4,1,1,1,1 为径向长椭球函数i kLmnmnomonomonNRcRceRcRc 用厄米高斯函数近似代替本征方程的精确解用厄米高斯函数近似代替本征方程的精确解2222()()()()XmmmYnnnFXC HX eG YC H Y e ,mnCC常系数常系数;()mHXm m阶多项式阶多项
39、式22220(1)()(1)(2)!(2)!0,1,2,mmkmXmkmmXkdHXeXkmkdX em 厄米高斯近似厄米高斯近似最初几阶厄米多项式最初几阶厄米多项式012233424()1()2()42()812()164812HXHXXHXXHXXXHXXX 将将X X，Y Y换成镜面上直角坐标换成镜面上直角坐标x x，y y，本征函数为：，本征函数为：22222()2()(,)()()()()22()()c xyamnmnmnmnxyLmnmnccvx yFX G YCHx Hy eaaCHx Hy eLL 厄米高斯近似厄米高斯近似0mn 22()0000(,)xyLvx yCe 高斯型
40、分布高斯型分布：模的振幅从镜中心（：模的振幅从镜中心（x=y=0 x=y=0）向镜边缘平滑减小）向镜边缘平滑减小（1）镜面上光场分布特征）镜面上光场分布特征2.方形镜共焦腔自再现模的特征方形镜共焦腔自再现模的特征 振幅分布振幅分布基模：基模：镜面上场的振幅分布镜面上场的振幅分布-基模基模基模光斑半径：基模光斑半径：0sL 1e振幅降至最大值的振幅降至最大值的 22200022(,)()()sxymnmnmnssvx yCHx Hy e 基模强度分布：基模强度分布：22222()000000()(,)xyLIrvx yCe 镜面上场的振幅分布镜面上场的振幅分布-基模基模2222220022222
41、2002222220022222010101000101010222202020020111111202 2(,)2 2(,)2(,)242(,)4xyssxyssxyssxysxysxysxyssxysvx yCxeCxevx yCyeCyexvx yCeCxevx yCxyeCxye 20.s 镜面上场的振幅分布镜面上场的振幅分布-高阶横模高阶横模:mnTEM在在x x方向有方向有m m条节线，条节线，在在y y方向有方向有n n条节线条节线高阶模光斑半径高阶模光斑半径（沿不同坐标分别计算）：（沿不同坐标分别计算）：002121mssnssmn 基模光斑半径基模光斑半径高阶模光斑半径高阶模
42、光斑半径镜面上场的振幅分布镜面上场的振幅分布由自再现模本征函数由自再现模本征函数 的辐角决定的辐角决定(,)mnvx y长椭球函数为实函数长椭球函数为实函数(,)mnvx y为实函数为实函数arg(,)0mnvx y 镜面上各点位相相同镜面上各点位相相同 相位分布相位分布共焦腔反射镜本身构成光场的一个等相位面。共焦腔反射镜本身构成光场的一个等相位面。1.1.均匀平面波损耗均匀平面波损耗 平行平面腔平行平面腔损耗损耗 共焦腔损耗共焦腔损耗2.2.共焦腔损耗随横模阶数共焦腔损耗随横模阶数m m和和n n而而增加增加3.3.通常尺寸的共焦腔激光器，基模通常尺寸的共焦腔激光器，基模衍射损耗小到可以忽略
43、，当菲涅耳衍射损耗小到可以忽略，当菲涅耳数很小（数很小（N1N1，衍射损耗不起重要作用，采用，衍射损耗不起重要作用，采用几何光学分析几何光学分析方法方法;易获得易获得单横模（基模）单横模（基模）振荡振荡;非稳腔特点非稳腔特点3.9 3.9 非稳定谐振腔非稳定谐振腔1 1、双凸非稳腔、双凸非稳腔两凸面镜按两凸面镜按任意间距任意间距组成组成所有双凸腔都是非稳腔所有双凸腔都是非稳腔1200RR 1211gg 121g g 3.9.1 非稳腔的基本结构非稳腔的基本结构2 2、平凸腔、平凸腔一个平面镜和一个凸面镜按一个平面镜和一个凸面镜按任意间距任意间距组成组成平凸腔平凸腔腔长为其二倍的对称双凸腔腔长为
44、其二倍的对称双凸腔120RR 1211gg 121g g 所有平凸腔都是非稳腔所有平凸腔都是非稳腔3.3.平凹非稳腔平凹非稳腔一个平面镜和一个凹面镜组成一个平面镜和一个凹面镜组成120RR 1200gg 120g g 若若1RL 4.4.双凹非稳腔双凹非稳腔两个曲率半径不同的凹面镜组成两个曲率半径不同的凹面镜组成12RLRL 1200gg 120g g 12RLRL 1200gg 12121222RRLg ggg 120g g 负支望远镜型非稳腔负支望远镜型非稳腔（实共焦型非稳腔）（实共焦型非稳腔）12120,0RRLRR 121g g 12121222RRLg ggg 121g g 正支望远
45、镜型非稳腔正支望远镜型非稳腔（虚共焦型非稳腔）（虚共焦型非稳腔）1212RRRRL121g g 4.4.凹凸非稳腔凹凸非稳腔一个凹面镜和一个凸面镜既可以构成稳定腔，也可以构成非稳腔一个凹面镜和一个凸面镜既可以构成稳定腔，也可以构成非稳腔1200RLR 120g g 非稳腔基模的近似描述非稳腔基模的近似描述非稳腔内存在：非稳腔内存在：唯一一对轴上共轭像点唯一一对轴上共轭像点 及相应的一对几何自再现波型及相应的一对几何自再现波型共轭像点：共轭像点：P1和和P2互为源和像互为源和像自再现自再现：从这对共轭像点中任何一点发出的球面波从这对共轭像点中任何一点发出的球面波 在腔内往返一次后其波面形状保持不
46、变在腔内往返一次后其波面形状保持不变3.9.2 非稳腔的几何自再现波型非稳腔的几何自再现波型 证明非稳腔轴上一对共轭像点的存在性和唯一性证明非稳腔轴上一对共轭像点的存在性和唯一性假设腔轴线上存在一对共轭像点假设腔轴线上存在一对共轭像点推导其存在条件推导其存在条件非稳腔满足该条件非稳腔满足该条件双凸非稳腔的共轭像点和几何自再现波型双凸非稳腔的共轭像点和几何自再现波型单程放大率：单程放大率：11111alLmal 22222alLmal 往返放大率：往返放大率：12Mm m 3.9.3 非稳腔的几何放大率非稳腔的几何放大率由非稳腔对几何自再波型的固有发散作用造成由非稳腔对几何自再波型的固有发散作用
47、造成能量损耗率输出耦合率能量损耗率输出耦合率（侧面逸出能量为有用输出）（侧面逸出能量为有用输出）3.9.3 非稳腔的能量损耗非稳腔的能量损耗22221221111()aaama 12MM单程能量损耗：单程能量损耗：2211211111()aam 单单程程22112222221()aaama 21MM单程能量损耗：单程能量损耗：212222111()aam 2 2程程非稳腔的能量损耗率非稳腔的能量损耗率1222212111111mmM 往往返返平均单程损耗：平均单程损耗：12111M 单单程程调节非稳腔几何参数调节非稳腔几何参数控制输出能量控制输出能量非稳腔的能量损耗率非稳腔的能量损耗率3.9.
48、5 3.9.5 非稳腔的输出耦合方式非稳腔的输出耦合方式 非稳腔中，两个反射镜通常都是全反射镜，只要使其中一个反射镜非稳腔中，两个反射镜通常都是全反射镜，只要使其中一个反射镜的尺寸比另一个大得多，就可以获得单端输出。的尺寸比另一个大得多，就可以获得单端输出。边缘耦合与选光镜耦合输出是其中常用边缘耦合与选光镜耦合输出是其中常用的两种方法，输出光束形状均为环形。的两种方法，输出光束形状均为环形。3.9.6 3.9.6 非稳腔的主要特点非稳腔的主要特点 1 1具有大的模体积具有大的模体积 只要非稳腔腔镜的横向尺寸合适，总可以使腔内光束的模只要非稳腔腔镜的横向尺寸合适，总可以使腔内光束的模体积充满整个
49、工作物质，充分利用工作物质的体积，从根体积充满整个工作物质，充分利用工作物质的体积，从根本上克服了稳定腔模体积较小的缺陷。本上克服了稳定腔模体积较小的缺陷。2 2易实现单横模振荡易实现单横模振荡非稳腔中，在几何光学近似下，腔内只存在一组球面波型非稳腔中，在几何光学近似下，腔内只存在一组球面波型或球面平面波型，因而可以获得单一的球面或平面波基或球面平面波型，因而可以获得单一的球面或平面波基模输出。模输出。3 3可控制的衍射耦合输出可控制的衍射耦合输出 因非稳腔的能量损耗只与腔的几何参数有关，因此可以通过因非稳腔的能量损耗只与腔的几何参数有关，因此可以通过调节腔的几何参数来得到所需要的耦合输出。调节腔的几何参数来得到所需要的耦合输出。此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢
