1、 淺介數學解題 左太政/高雄師範大學數學系 數學中的問題解決數學中的問題解決問題,是數學的核心,學習數學就是學習如何解決問題,包括那些可以轉換成數學題的各類問題(即外在連結)。由於解題的態度和學習方法的不同,將影響其學習成效。解題的各種歷程 觀察與發現 臆測與歸納其規律性 檢驗 驗證 解題的各種方法 歸納 演繹 推理 類比 轉化 一般化、特殊化 模型化。解題後的反思 一題多解 引申與題組(改變條件)縱向及橫向的推廣據媒體報導有關數學難題:已知正方形邊長為1，試求圖形EFMN的面積。F E M N C B A D參考解法 F E M N C B A D媒體報導某校國小六年級段考題已知ABCD是一
2、個長4公尺，寬2公尺的長方形，以B為圓心，為半徑畫一扇形ABE，以D為圓心，為半徑畫一扇形ADF，試求塗色部分面積。國小六年級段考題在圓中畫一最大正方形（如圖示），正方形的面積是50平方公分，求圓面積。實作範例 試將下列表格分割成相同的四個部分，且使各部分空格內的整數之和都是34。19167125411815102136314實作範例 下圖為一個直角梯形，試在此梯形的內部劃一條直線將此梯形分割成二個形狀相同且面積相等的圖形。實作範例下圖為一個正六邊形，試過一頂點再此正六邊形的內部化二條直線，將此正六邊形分割成三個面積相等的圖形並說明理由。B C D E A F數學解題策略 瞭解問題-審查題意,
3、發掘概念內涵;若題意不了解,不妨再閱讀二至三次,直至了解題意。數學解題策略擬定計畫-分析問題及產生聯想,尋求解題途徑(1)儘可能畫出圖形或表格(2)檢查特例如令問題中整數取1,2,3,4,5等 代入,看看是否可歸納出規律來。(3)嘗試簡化問題如利用對稱性、採用不妨假設 而不失問題的一般討論方式。(4)保留任何解題的紀錄,以便先做別題後再回頭解本題時參考使用。(5)將一個問題分成一系列子問題 數學解題策略實行計畫-選擇策略及綜合運用知識去進行推理計算解決問題。數學解題策略 回顧解答-驗證答案是否合理及思考結果或方法能否用於解其他問題,自己修改原問題或推廣其結論,形成另一個問題,亦可考慮作為專題研
4、究之題目。3R解題策略(倒推法)解題活動先從題目待答或待解題活動先從題目待答或待證明的地方著手證明的地方著手(Request),(Request),適時引進題目的已知條件及適時引進題目的已知條件及潛在的性質潛在的性質(Response),(Response),最後導出結果最後導出結果(Result).(Result).這是這是所謂的所謂的3 R3 R策略。策略。正整數與其數字之間的關係應用問題設 a,b,c 均為異於零的三個不同的數字，共可組成六個相異的三位數,已知其中五個三位數的和是 3185,試問這六個三位數中最大的是多少?(Ans:763)正整數與其數字的關係 設 a,b,c 為三個都不
5、是零的數字,試問用 a,b,c 三個數字能組成若干個三位數？並說明這些三位數的和與 a,b,c 的關係。參考解答abcacbbacbcacabcba)_222()abc參考解答 設此三位數為 由上題及題意知，故滿足題意10010,abcabc3185 10010222(),3185 100222()3185999,15,16,17,18abcabcabcabc 16abc練習題設 a,b,c 均為異於零的三個不同的數字，共可組成六個相異的三位數,已知其中五個三位數的和是 3194,試問這六個三位數中最大的是多少?(Ans:853)類題114 這個數有一特點:將114 的各位數字的數字和乘以 1
6、9 就得到 114.試問是否還有這樣的三位數嗎?如果有,請找出所有這樣的三位數。你能否觀察出本問題何以需乘以 19?是否可以改為乘以其他數而有類似結果呢?參考解答 設此三位數為 由上題及題意知，10010,abcab c1001019(),10019()999,6,7,8,52.abcabcabcabc 整數與其數字的關係試找出所有正整數 a 使得 a 恰好等於它的所有數字的平方和加上 1,例如 及 等,是否還有其它解?只有此二解35,752235351,2275751 整數與其數字的關係試找出所有正整數 a 使得 a 恰好等於它的所有數字的三次方的和，例如 1=1,153=,370,371,
7、407等五個數,是否還有其它解?試說明理由。（難題）3331 53 數論:卡布列克怪數卡布列克(L.D.Kaprekar,印度數學家)怪數是類似(30+25)=3025 這樣的數:即一個 2n 位數,把前 n 位數當作一個數加上這個數的後n 位數,它們之和的平方正好等於這個 2n 位數。試問四位數中有那些卡布列克怪數?類題:能否找出所有卡布列克怪數?2 數論:卡布列克怪數提示:四位數中共有三組解-即2025,3025,9801,巴納德找出:1,81,52881984,60481729,試問如何求出其他位數?例如:六位數只有兩個數:494209,998001.卡布列克怪數由題意知:引進未知數:(
8、提示:共有三組解-2025,3025,9801)2100()a ba b 99(1)an n.nab猜年齡小明今年的年齡的三次方是一個四位數,而四次方正好是一個六位數,又這兩個數的所有數字正好是0,1,2,3,8,9這十個數字組成,試問小明今年幾歲?(提示:設今年年齡為 x 歲,則可求得 x=18,19,20,21,再求得 x=18.)邏輯思考試問是否存在正整數n，使得n的每個位數的數字都相異，的每個位數的數字都相異，的每個位數的數字都相異，且所有數的數字正好是由 這十個數字所組成？試說明理由。提示:不可能2n3n0,1,2,3,.,9趣味數論已知 =0.1666,試求滿足條件 =0.的所有異
9、於零的數字 與 的值。答:a61baabbbb(,)(1,6),(9,9)a b AMC 數學競賽範例 一個正整數正好等於其四個最小正因數的平方和。試問可以整除該正整數的最大質數為何？答:1322221231232222123122222323222233312123121312n=1+d+d+dnnddd1+d+d+d()d=2n=1+2+d+d ddc a s e 1.n=4 k n=1+2+4+dd d=p p(p p)d=p p2 p d2 p()n=1+設一 定 要 為 偶 數，否 則 如 果 是奇 數，則，皆 為 奇 數，為 偶 數矛 盾，為 一 奇 一 偶，一 定 要 為 質 奇
10、 數，否 則 不 失 般 性假 設則的 地 方 就 必 須 要 填不 合12222223333332222322223kk1212122+4+d=2 1+d d|n=2 1+dd|2 1 d 3 o r 7 if d=3 n=1+2+4+3=3 0 ,43 0()if d=7 n=1+2+4+7=7 0,43 0()c a s e 2.n=4 k+2 n2pp(2 p p)n4 1 ,2,p,p1且可 能 為但不 整 除不 合但不 整 除不 合不 失 般 性，假 設的 標 準 分 解 式則的 前項 因 數 可 分 成 兩 種或111223222221112222122221,2,p,2 p 1
11、 ,2,p,pddn=1+2+p+2 p=5+5 p 5|n2|n1 0|nif p=3 ,n=1+2+3+6=5 0,35 0()if p=5,n=1+2+5+1 0=1 3 0 ,1 31 3 0但不 符 合 本 題，因 為，為 一 奇 一 偶所 以，且但不 整 除不 合為 整 除的 最 大 質 數台南市國中數學競賽設 為正整數且滿足下列兩個條件：(1)恰有6個相異的正因數：(2)；試詳列出所有可能的 值。nndddd,14321)(514321ddddnn趣味數論能否將 1 到 27 這27個正整數,填寫在一圓周上,使得任何相鄰二數的和均為質數?答:不可能;為什麼?趣味數論類題:能否將
12、1 到 20 這20個正整數,填寫在一圓周上,使得任何相鄰二數的和均為質數?(適合學生共同討論解題)提示:可以辦到，是否有解題策略?能否推廣?從一道競賽題談起問題：三角形之三邊長為 ，其中 .給定 值，試求滿足所有條件之所有可能的這樣之三角形個數，並求其規律。,l m nnmlNnml,n般特殊化 :1,2,3,4,5,6,7,8,9 :1,2,4,6,9,12,16,20,25其中 表示最大邊長為 的相異三角形(全等三角型不計)個數nanann可歸納為：（1）（2）的公式為2121,2nnaanaa21,2122,24nnnkan nnkna操作題已知三個數 ,進行下面一次的操作:首先任取其
13、中的二個數求其和，再除以 ；另外，求這二數的差再除以 ，而得到新的二個數。試問：能否經過若干次上述的操作，最後得到？試說明理由。3,12,892210,14,90參考解答設三數分別為 ,經過一次操作後得到新的三數 :因為 即每操作一次，仍保持此三數的平方和不變。但 ，故不可能辦到。,a b c,22ab abc222222()()22ababcabc2222223128980741014908396代數題已知有五個正整數,如果將這五個數中任意相異的二數相加,所得到的結果正好是637,669,794,915,919,951,1040,1072,1197,試求原來的五個數。代數題已知有五個正整數,
14、如果將這五個數中任意相異的二數相加,所得到的結果正好是637,669,794,915,919,951,1040,1072,1197,試求原來的五個數。(提示提示:這五個數中任意相異的二數相加的這五個數中任意相異的二數相加的結果可能有十個數結果可能有十個數,由題意知有由題意知有 9 9 種可能種可能的和的和,因此這五個數必相異且有三個奇偶性因此這五個數必相異且有三個奇偶性質相同。由此可解得這五個數分別是質相同。由此可解得這五個數分別是 256,256,538,381,413,659)538,381,413,659)質數問題對任意正整數，令 表示所有小於或等於 的質數中最大者，且 表示所有大於 的
15、質數中最小者，試求:的值。n()A nnn()B n1111(2)(2)(3)(3)(4)(4)(2010)(2010)ABABABAB參考解答設p,q 為二連續質數，且p 2，的整數部分是a=2，小數部分是b=-2，(給10分)其整數部分是11。(給10分)ma+11=2007，可得m=998。(給10分)666555(62)262b題二 政府打算開放13個大城市的長途巴士路權，每家巴士公司限定在4個城市之間相互對開班車。政府希望全部13個城市之間都至少有一直達的巴士營運，請問政府至少要批准幾家公司的路權？請說明分配的方法。(任兩個城市之間允許超過兩家巴士公司對開班車)。參考解法因 ，786
16、13，所以至少13家。(給10分)所有的路線即為正十三邊形所有的邊與對角線，讓第一家給如圖的路權，第二家順時針轉 ，即可分配完所有的路權，即依照(1,2,5,7),(2,3,6,8),(3,4,7,9),(4,5,8,10),(5,6,9,11),(6,7,10,12),(7,8,11,13),(8,9,12,1),(9,10,13,2),(10,11,1,3),(11,12,2,4),(12,13,3,5),(13,1,4,6)分配即可不重複地填滿正十三邊形所有的邊與對角線。(給20分)13278C426C 3601316789101112132345題三 有一張長方形的紙張，在每個小方格內
17、寫上一個數字（如下圖所示）。能否將其摺疊成其八分之一大小的長方形，並使數字保持1到8的順序？如果能，如何摺？1874236511111111參考解法 將右半部4格往左半部摺疊使4在1上方、5在2上方、7在8上方、6在3上方。將下半部往上摺疊使5在4上方、6在7上方。將左半部中間4、5兩格往右半部3、6之間摺入使4在3下方、5在6上方。將左半部往右半部摺疊使2在3上方。(給出正確的摺法或摺好之整疊紙樣本才給30分，其他情況均為0分)題四 已知直角等腰三角形ABC中,A為直角,D是線段AC的中點,AE垂直BD，AE的延長線交BC於點F,求證 ADB=FDC。O F E B A D C D A關鍵點
18、:先證明:直線 和 重合 再證明:直線 和 重合 O F E B A D C D AAD AFDFAD 參考解法用對稱圖形法，先做一個直角等腰三角形ABC，A=90。令D為AC的中點，作AD，因為點O為正方形ABAC對角線交點，點O是AA的中點。AED=BAD=90，BDA=EDA，因此EAD=DBA，(給10分)所以直線AF與直線AD重合，點F是三角形CAA 的重心。即與AE的延長線交於線段BC上(即F點)，(給10分)三角形ADC全等於三角形BAD。因此，ADB=CDA=FDC(給10分)O F E B A D C D A特殊與一般的轉化:數學新知The Largest Known Pri
19、mes The Largest Known Primes News note:GIPMS News note:GIPMS the 44th known Mersenne!為為9,808,3589,808,358位數，位數，the 44th known the 44th known MersenneMersenne!Announced!Announced September 4,2006.參考網址參考網址http:/http:/primes.utm.edu/largest.htmlprimes.utm.edu/largest.html23258265721,特殊與一般的轉化:數學新知試問試問:的個位數字及末位位數為何的個位數字及末位位數為何？23258265721問題試問232582657是否為質數?特殊與一般的轉化若 為質數，則 必為質數。(利用反證法利用反證法)pp21,p參考解法假設 為合數，令 為合數，與題意不合。p,1,1pmn mn122121(2)1(21)(2)(2)21)pmnmnmmnmnm
