1、第一章 函数、极限与连续性 1.1 函数函数 1.2 极限极限 1.3 极限运算法则极限运算法则 1.4 两个重要极限两个重要极限 1.5 无穷小与无穷大无穷小与无穷大 1.6 函数的连续性函数的连续性1.1 函数函数1.1.1 函数的概念函数的概念1函数的定义函数的定义定义定义1 设D是一非空实数集,如果存在一个对应法则f，使得对D内的每一个值x，按法则f，都有y与之对应，则这个对应法则f称为定义在集合D上的一个函数，记作Dx)(xfy 其中x称为自变量自变量,y称为因变量因变量或函数值函数值,D称为定义域定义域，集合 称为值域值域.),(|Dxxfyy2几个特殊的函数几个特殊的函数(1)分
2、段函数分段函数 在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数。注意注意：分段函数的定义域是各段定义区间的并集。例如：例如：1232xxy0230 xx(2)隐函数隐函数 变量之间的关系是由一个方程来确定的函数。例如：例如：由方程 确定的函数.122 yx (3)参数方程所确定的函数参数方程所确定的函数 例如：例如：由)()(tytx 确定的y与x之间的函数关系.（t为参数）3函数的定义域函数的定义域 常见解析式的定义域求法有：(1)分母不能为零；(2)偶次根号下非负；(3)对数式中的真数恒为正；(4)分段函数的定义域应取各分段区间定义域的并集.例例1求下列函数的定义域 1212xx
3、y321lgxxy（1）（2）sin 12cos 23xxyxx（3）解题过程解题过程解题过程解题过程 解解(1)要使函数有意义,必须 ,且 ，解不等式得 .所以函数的定义域为 且 20 x 210 x|1x|1xx 2x(2)要使函数有意义,必须 ，即 .所以函数的定义域为 03021xx3x3|xx (3)函数的定义域为 1,2)2,3)1,3)1.1.2 初等函数与点的邻域初等函数与点的邻域1基本初等函数基本初等函数常数函数：（C为常数）幂函数：指数函数：对数函数：三角函数：反三角函数：以上六类函数统称为基本初等函数基本初等函数.yCyxxyalogayxsinyxcosyxtanyxc
4、otyxsecyxcscyxarcsinyxarccosyxarctanyxarccot yx为了方便，我们通常把多项式 也看作基本初等函数。1110nnnnya xaxa xa2复合函数复合函数引例：引例：考查具有同样高度h的圆柱体的体积V，显然其体积的不同取决于它的底面积S的大小，即由公式V=Sh（h为常数）确定。而底面积S的大小又由其半径r确定，即公式 。V是S的函数，S是r的函数，V与r之间通过S建立了函数关系式 。它是由函数 与复合而成的，简单地说V是r的复合函数。2rS2VShrhVSh2rS复合函数定义复合函数定义复合函数定义复合函数定义定义：定义：设y是u的函数 ，而u又是x的
5、函数 ，且 的值域与 的定义域交非空，那么y通过中间变量u的联系成为x的函数，我们把这个函数称为是由函数 与 复合而成的复合函数复合函数.记做：其中u称为中间变量中间变量.)(ufy)(xu)(x)(uf()yf u)(xu)(xfy注意：注意：并不是任意两个函数都能复合成一个复合函数的.如 ，就不能复合成一个函数.同时，学习复合函数有两方面要求：一方面，会把有限个作为中间变量的函数复合成一个函数；另一方面，会把一个复合函数分解为有限个较简单的函数.arcsinyu22ux例例2 将 ，复合成一个函数.例例3 指出下列函数的复合过程.uysin23xu 解题过程解题过程（1）2ln(310)y
6、xx（2）21arctan2yx解题过程解题过程解题过程解题过程例2解：23sinsinxuy例3解：(1)是由 和 复合而成的.(2)是由 ，和 复合而成的.lnyu2310uxxarctanyu1uv22vx如何定义平面上一点 的邻域？3初等函数初等函数定义定义 由基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的复合运算所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.否则称为非初等函数.4点的邻域点的邻域定义定义 设 ，集合 ，即数轴上到点 的距离小于 的点的全体，称为点 的 邻域，记为 .点 ，分别称为该邻域的中心和半径。集合 称为点 的 空心邻域记 .0,xR0000|(,)xR xxxx0
7、x0 x0(,)U x0 x0|0 xRxx0 x00(,)U x思考：思考：),(00yx返回返回1.2 极限极限1数列的定义数列的定义定义定义 按一定规律排列得到的一串数就称为数列 记为 其中第n 项 称为数列的一般项一般项或通通项项.1.2.1 数列极限数列极限 123,nx x xx nxnx观察以下三个数列：（可以写出一部分数值）2n1n )1(n讨论结论讨论结论（1）（2）（3）讨论结论讨论结论观察上面三个数列：(1)当n无限增大时，也无限增大；(2)当n无限增大时，无限地趋近于0；(3)当n无限增大时，总在1，-1两个数值之间跳跃。2nn1n)1(2数列极限的定义数列极限的定义定
8、义定义 对于数列 如果当项数n 无限增大时 数列的一般项无限地趋近于某一确定的常数A 那么称常数A 是数列 的极限记为 ，或者记为 （读作：当n趋向于无穷大时，的极限等于A）.nxnx nxlimnnxA()nxA nnx若数列存在极限，称数列是收敛收敛的；若数列没有极限，则称数列是发散发散的 1.2.2 函数极限函数极限1当当 ，函数，函数 的极限的极限定义定义 如果当 无限增大（即 ）时，函数 无限地趋近于某一确定的常数A，那么称常数A是函数 当 时的极限，记为 或x ()f xxx ()f x()f xx lim()xf xA()()f xA x解题过程解题过程解题过程解题过程结论结论结
9、论结论由例2我们可以得出下面的结论：例题与注意点例题与注意点例题例题注意点注意点分别作函数图像讨论下列极限分别作函数图像讨论下列极限例例6的结论的结论结论结论思考题思考题返回返回1.3 极限运算法则极限运算法则说明：说明：法则（1）（2）可推广到有限个函数的情况。推论推论例题例题例题例题解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程说明：说明：以上两个均为“”型极限，可通过因式分解、根式有理化消去 分母上的零因子 00解题过程解题过程说明说明：这是“”型极限，通过通分转化 思考题思考题121lim22xxxx（1）2331lim
10、232xxxxx（2）解题过程解题过程解题过程解题过程解思考题（1）2111211lim121lim2222xxxxxxxx解思考题（2）223323311310limlim03223222xxxxxxxxxxx其他结论其他结论注：以下结论在极限的反问题中常用 2222221111(1)(1)limlimlim111xxxxbxcxbxbxb xxxx 112lim212xxbbx 返回返回1.4 两个重要极限两个重要极限首先介绍一个极限存在准则：首先介绍一个极限存在准则：1.4.1 极限：极限：1sinlim0 xxxxxsinx(弧度)0.500.100.050.040.030.020.9
11、5850.99830.99960.99970.99980.9999从上表可以看出：从上表可以看出：1sinlim0 xxx例题例题例例1 求 例例2 求例例4 求例例3 求xxxtanlim00sin2limxxx.cos1lim20 xxx.arcsin3lim0 xxx解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解例解例1.1cos1limsinlim)cos1sin(limtanlim0000 xxxxxxxxxxxx解例解例2000sin2sin2sin2limlim(2)2lim,2,0,0,22xxxxxxxtxtxxx令则时所以00sin2si
12、nlim2lim2.xtxtxt.2122sinlim212sin2limcos1lim2022020 xxxxxxxxx解例解例3解例解例4 设返回例题返回例题1.4.2 极限：极限：1lim 1xxexx11xxx11xx2101000100001000002.252.5942.7172.71812.7182-10-100-1000-10000-1000002.882.7322.7202.71832.71828从上表可以得出：从上表可以得出：1lim 1xxex说明说明说明说明例例5 求求例例6 求求例例7 求求例例8 求求31lim(1).xxx例题例题.)31(lim10 xxx.)2
13、11(lim34 xxx.)12(lim2xxxx解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解例解例533311lim(1)lim1.xxxxexx解例解例6解例解例7解例解例81133300lim(1 3)lim1(3).xxxxxxe 4322322111lim(1)lim(1)lim(1)1.222xxxxxeexxx 22(1)221lim()lim(1)11xxxxxxx(1)222211lim(1)lim(1)1.11xxxeexx 返回返回返回例题返回例题1.5 无穷小与无穷大无穷小与无穷大1.5.1 无穷小无穷小1无穷小的定义无穷小的定义注
14、意注意2无穷小的性质无穷小的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下性质：性质性质1 有限个无穷小的代数和仍为无穷小；性质性质2 有限个无穷小的乘积仍为无穷小；性质性质3 有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小；推论推论 常数与无穷小的乘积仍为无穷小。例例1 求求 01lim sinxxx01lim sin0 xxx思考题思考题3无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系 证明略1.5.2 无穷大无穷大 注意点注意点注意：注意：1.5.3 无穷大与无穷小的关系无穷大与无穷小的关系说明说明说明说明例例3 求求323232lim423xxxxx例例4 求求例例5 求求52123lim232xxxx
15、x12352lim223xxxxx解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程323323123323limlim2342344xxxxxxxxxx解例解例3解例解例4解例解例5 因为因为020512123lim52123lim332232xxxxxxxxxxx052123lim232xxxxx12352lim223xxxxx所以所以结论结论返回返回结论结论101010100 lim nnnmmxmnma xa xaanmb xb xbbnm 分析例分析例3例例5的特点和结果，我们可得当自变的特点和结果，我们可得当自变量趋向于无穷大时有理分式的极限的法则：量趋向于无穷大时有
16、理分式的极限的法则：1.5.4 无穷小的比较无穷小的比较已知两个无穷小的和与积仍为无穷小，但两个无穷小的商却会出现不同的结果。例子例子例子例子例子例子例子例子例例10 求求0tan3limsin4xxx例例11 求求例例12 求求xxxx3sinlim300ln(1)(1)lim(1 cos)sin2xxxxexx30sintanlimxxxx思考题思考题解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程如何求如何求返回返回解题过程解题过程解题过程解题过程返回返回解题过程解题过程返回例题返回例题1.6 函数的连续性函数的连续性1.6.1 函数在一点处连续函数在一点处连续1变量的增量变量的增量)(
17、)(00 xfxxfy2连续的定义连续的定义 所谓“函数连续变化”，在直观上来看，就是它的图象是连续不断的.一点处连续的定义一点处连续的定义例子例子例子例子另有函数在一点处连续的等价形式和左右连续的定义另有函数在一点处连续的等价形式和左右连续的定义例子例子例子例子1.6.2 连续函数及其运算连续函数及其运算1连续函数连续函数2连续函数的运算连续函数的运算注意注意 和、差、积的情况可以推广到有限个函数的情形。3复合函数的连续性复合函数的连续性0sinlimlnxxx例如求例如求00sinsinlimlnlnlimln10 xxxxxx4初等函数的连续性初等函数的连续性 根据初等函数的定义 由基本
18、初等函数的连续性以及本节有关定理可得下列重要结论重要结论：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。所谓定义区间 就是包含在定义域内的区间。例子例子例子例子1.6.3 函数的间断点函数的间断点1间断点的概念间断点的概念2间断点的分类间断点的分类 在第一类间断点中，如果左、右极限存在但不相等，这种间断点称为跳跃间断点跳跃间断点；如果左、右极限存在且相等(即极限存在)，这类间断点称为可去间断点可去间断点.例子例子解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程返回例题返回例题解题过程解题过程返回例题返回例题1.6.4 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 注意注意 如果函数在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值。返回返回
