1、 2020 届江苏省百校联考高三年级第四次试卷 数学文试题 第 I 卷(必做题,共 160 分) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置 上 ) 1已知集合 A2,5,B3,5,则 AB 2已知复数 z 满足1 2i i z (i 为虚数单位) ,则复数 z 的实部为 3A,B,C 三所学校举行高三联考,三所学校参加联考的人数分别为 160,240,400,为 了调查联考数学学科的成绩,现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本,若在 B 学校抽取的数学成绩的份数为 30,则抽取的样本容量为 4根据如图所示的伪代码,若输入的 x 的值为
2、2,则输出的 y 的值 为 5某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习,抛 一枚硬币两次,若两次都是正面朝上,就在家学习,否则出去看 电影,则该同学在家学习的概率为 6已知数列 n a满足 1 1a ,且 11 30 nnnn aaaa 恒成立,则 6 a的值为 第 4 题 7已知函数( )Asin()f xx(A0,0, 2 )的部分图象如图所示,则(0)f 的值为 第 11 题 第 12 题 第 7 题 8在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 22 22 1 xy ab (a0,b0)的焦距为 2c,若过右焦点且 与 x 轴垂直的直线与两条渐近线围成的三角形面积为 c2,则双曲
3、线的离心率为 9已知 m,n 为正实数,且 mnmn,则 m2n 的最小值为 10已知函数( )4f xx x,则不等式(2)(3)f af的解集为 11如图,在一个倒置的高为 2 的圆锥形容器中,装有深度为 h 的水,再放入一 个半径为 1 的不锈钢制的实心半球后,半球的大圆面、水面均与容器口相平,则 h 的值为 12如图,在梯形 ABCD 中,ADBC,ABBC2,AD4,E,F 分别是 BC,CD 的中 点,若AE DE1 ,则AF CD的值为 13 函数( )f x满足( )(4)f xf x, 当x2, 2)时, 32 23 2 ( ) 1, 2 xxaxa f x x ax , ,
4、 若函数( )f x在0,2020)上有 1515 个零点,则实数 a 的范围为 14已知圆 O: 22 4xy,直线 l 与圆 O 交于 P,Q 两点,A(2,2),若 AP2AQ240, 则弦 PQ 的长度的最大值为 二、解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤 ) 15 (本小题满分 14 分) 如图,已知在三棱锥 PABC 中,PA平面 ABC,E,F,G 分别为 AC,PA,PB 的中 点,且 AC2BE (1)求证:PBBC; (2)设平面 EFG 与 BC 交于点 H,求证:H 为 BC 的中点 16 (本小
5、题满分 14 分) 在ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若m(a, bc),n(sinAsinB, sinBsinC),p(1,2),且mn (1)求角 C 的值; (2)求n p的最大值 17 (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C: 22 22 1 xy ab (ab0)的左顶点为 A, 左右焦点分别为 F1, F2, 离心率为 1 2 , P 是椭圆上的一个动点(不与左,右顶点重合) ,且PF1F2的周长为 6,点 P 关于原点的对 称点为 Q,直线 AP,QF2交于点 M (1)求椭圆方程; (2)若直线 PF2与椭圆交于另一点 N,且 22 AF M
6、AF N 4SS ,求点 P 的坐标 18 (本小题满分 16 分) 管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具, 现欲用清洁棒清洁一个 如图 1 所示的圆管直角弯头的内壁,其纵截面如图 2 所示,一根长度为 L crn 的清洁棒在弯 头内恰好处于 AB 位置(图中给出的数据是圆管内壁直径大小,(0, 2 )) (1)请用角表示清洁棒的长 L; (2)若想让清洁棒通过该弯头,清洁下一段圆管,求能通过该弯头的清洁棒的最大长 度 19 (本小题满分 16 分) 已知等差数列 n a和等比数列 n b的各项均为整数,它们的前 n 项和分别为 n S, n T, 且 11 22ba, 23
7、 54b S , 22 11aT (1)求数列 n a, n b的通项公式; (2)求 1 12 23 3nn n Maba ba ba b; (3)是否存在正整数 m,使得 1mm mm ST ST 恰好是数列 n a或 n b中的项?若存在,求 出所有满足条件的 m 的值;若不存在,说明理由 20 (本小题满分 16 分) 已知函数 4 ( )(1)exf x x ,( )1 a g x x (aR)(e 是自然对数的底数,e2.718) (1)求函数( )f x的图像在 x1 处的切线方程; (2)若函数 ( ) ( ) f x y g x 在区间4,5上单调递增,求实数 a 的取值范围
8、; (3)若函数( )( )( )h xf xg x在区间(0,)上有两个极值点 1 x, 2 x( 1 x 2 x),且 1 ( )h xm恒成立, 求满足条件的m的最小值 (极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分,解答时应写出文字说明,证明过程 或演算步骤 22 (本小题满分 10 分) 如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,且 AD/ BC,ABBC,AB BC2AD2,侧面 PAB 为等边三角形,且平面 PAB平面 ABCD (1)求平面 PAB 与平面 PDC 所成的锐二面角的大小; (2)
9、若CQCP(01),且直线 BQ 与平面 PDC 所成角为 3 ,求的值 23 (本小题满分 10 分) 如图,正方形 AGIC 是某城市的一个区域的示意图,阴影部分为街道,各相邻的两红绿 灯之间的距离相等,AI 处为红绿灯路口,红绿灯统一设置如下:先直行绿灯 30 秒,再左 转绿灯 30 秒,然后是红灯 1 分钟,右转不受红绿灯影响,这样独立的循环运行小明上学 需沿街道从 I 处骑行到 A 处(不考虑 A,I 处的红绿灯) ,出发时的两条路线(IF,IH) 等可能选择,且总是走最近路线 (1)请问小明上学的路线有多少种不同可能? (2)在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下,小明优先直行,求小明骑行途中恰好 经过 E 处,且全程不等红绿灯的概率; (3)请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值,为小明设计一条最佳的上学 路线,且应尽量避开哪条路线? 备用图 参考答案