1、第三篇第三篇 动力学动力学第第12章章 动能定理动能定理第第12章章 动能定理动能定理 动能动能是物体因为运动而具有的机械能，它是作功是物体因为运动而具有的机械能，它是作功的一种能力。的一种能力。动能定理动能定理描述质点系动能的变化与力描述质点系动能的变化与力作功之间的关系。作功之间的关系。求解实际问题时，往往需要综合应用动量定理、求解实际问题时，往往需要综合应用动量定理、动量矩定理和动能定理。动量矩定理和动能定理。动力学普遍定理动力学普遍定理动量定理动量定理动量矩定理动量矩定理动能定理动能定理矢量形式矢量形式标量形式标量形式 力的功力的功 力的功定义力的功定义变力变力 Fi 的元功的元功 d
2、dcosiiiiiWFsFrFr，dzFyFxFzyxddd 需要注意的是，一般情形下，元功并不是功函数的全微分，所以，一般不用dW表示元功，而是用W表示。W仅仅是Fidri 的一种记号。常力对直线运动质点所作的功：常力对直线运动质点所作的功：cosWF s F s 力的功力的功 力的功定义力的功定义变力变力 Fi 的元功的元功 ddcosiiiiiWFsFrFr，ddddxyzF xFyF z力力 Fi 在其作用点的轨迹上从在其作用点的轨迹上从 M1 点到点到 M2 点所作的功：点所作的功：2112dFrMiiMW21(ddd)MxyzMF xF yF z重力的功重力的功对于质点：对于质点系
3、:1212Wmg zz1212CCWmg zz 力的功力的功 几种常见力的功几种常见力的功其中：z1、z2分别是质点在初位置和末位置的z 坐标其中：zC1、zC2分别是质点系质心在初位置和末位置的z 坐标重力的功与路径无关。重力的功与路径无关。弹性力的功弹性力的功221020()()2krlrl）（2221122kW其中，1、2 是弹簧初始位置和最终位置的变形量。力的功力的功 几种常见力的功几种常见力的功弹性力的功与路径无关。弹性力的功与路径无关。定轴转动刚体上作用力的功定轴转动刚体上作用力的功 刚体以角速度绕定轴 z 转动，其上 A 点作用有力 F ，则cosFF ddRs 则力F F 的元
4、功为 dd()dzWF RMFrFRFMz)(F力 F 对轴 z 的矩 于是，力在刚体上由 1 转到 2 时所作的功为 2112(F)dzWM 力的功力的功 作用在刚体上力与力偶的功作用在刚体上力与力偶的功 定轴转动刚体上外力偶的功定轴转动刚体上外力偶的功若力偶矩矢量为 M ，则力偶所作之功为 2112dzWM其中Mz 为力偶矩矢 M 在 z 轴上的投影，即力偶对转轴 z 的矩。力的功力的功 作用在刚体上力的功、力偶的功作用在刚体上力的功、力偶的功dzWM质点系的内力总是成对出现的，且等值、反向、共线。因此，质点系的内力总是成对出现的，且等值、反向、共线。因此，质点系的内力对质点系的动量和动量
5、矩没有影响。质点系的内力对质点系的动量和动量矩没有影响。力的功力的功 内力作功的情形内力作功的情形 事实上，在许多情形下，物体的运动是由内力作功而引起的。事实上，在许多情形下，物体的运动是由内力作功而引起的。当然也有的内力确实不作功。当然也有的内力确实不作功。*人的行走和奔跑是腿的肌肉内力作功。人的行走和奔跑是腿的肌肉内力作功。*所有的发动机从整体考虑，其内力都作功。所有的发动机从整体考虑，其内力都作功。*机器中有相对滑动的两个零件之间的摩擦力是内力，作负功。机器中有相对滑动的两个零件之间的摩擦力是内力，作负功。*有势力的内力作功，如系统内的弹簧力作功。有势力的内力作功，如系统内的弹簧力作功。
6、那么，质点系的内力对质点系作不作功呢那么，质点系的内力对质点系作不作功呢？刚体内任何两点间的距离始终保持不变，所以刚体的内力所作刚体内任何两点间的距离始终保持不变，所以刚体的内力所作功之和恒等于零。功之和恒等于零。*刚体的内力不作功刚体的内力不作功 力的功力的功 不作功的力不作功的力*理想约束约束反力不做功理想约束约束反力不做功 光滑的固定支光滑的固定支承承面、轴承、光滑的活动铰链、销钉和活动支座面、轴承、光滑的活动铰链、销钉和活动支座都是理想约束。理由是它们的约束力不作功或作功之和等于零。都是理想约束。理由是它们的约束力不作功或作功之和等于零。柔性约束也是理想约束。因为它们只有在拉紧时才受力
7、，这时柔性约束也是理想约束。因为它们只有在拉紧时才受力，这时与刚性杆一样，内力作功之和等于零。与刚性杆一样，内力作功之和等于零。*纯滚动时，滑动摩擦力纯滚动时，滑动摩擦力(约束力约束力)不作功不作功C*FFN约束力不做功的约束称为理想约束约束力不做功的约束称为理想约束C*为瞬时速度中心，在这一瞬时C*点的速度为零。作用在C*点的摩擦力F 所作元功为ddFCWFrd0CtF v理想约束的约束反力不做功理想约束的约束反力不做功 力的功力的功 不作功的力不作功的力 质点系的动能与刚体的动能质点系的动能与刚体的动能 质点系的动能质点系的动能 刚体的动能刚体的动能第第12章章 动能定理动能定理 质点系的
8、动能与刚体的动能质点系的动能与刚体的动能 质点系的动能质点系的动能物理学中对质点的动能的定义为物理学中对质点的动能的定义为212Tmv质点系的动能为质点系内各质点动能之和。质点系的动能为质点系内各质点动能之和。212iiiTm v动能是度量质点系整体运动的另一物理量。动能动能是度量质点系整体运动的另一物理量。动能是正标量，其数值与速度的大小有关，但与速度的是正标量，其数值与速度的大小有关，但与速度的方向无关方向无关设重物A、B的质量为mA=mB=m，三角块D 的质量为 m0，置于光滑地面上。圆轮C 和绳的质量忽略不计。系统初始静止。解：解：重物A、B的运动可以看成质点的运动，三角块D做平动，也
9、可以看成质点的运动。开始运动后，系统的动能为2220111222AABBDTm vm vm v其中rADAvvv；rBDBvvv 质点系的动能与刚体的动能质点系的动能与刚体的动能 质点系的动能质点系的动能例例 题题 1求：求：当物块A以相对速度 下落时系统的动能。rvrADAvvvrBDBvvv或者写成 222rDAvvv22222)sin()cos(cos2rrDrDrDBvvvvvvvv 质点系的动能与刚体的动能质点系的动能与刚体的动能 质点系的动能质点系的动能例例 题题 1？r0(cos)0DDDmvm vvm vr0cos2Dmvvmm22222rrr0111()(2cos)222DD
10、DDTm vvm vvv vm v2220r02(2)cos2(2)mmmmvmm2220111222AABBDTm vm vm v222rDAvvv22222)sin()cos(cos2rrDrDrDBvvvvvvvv 质点系的动能与刚体的动能质点系的动能与刚体的动能 质点系的动能质点系的动能例例 题题 1注意到,系统水平方向上动量守恒，故有 0DxDBxBAxAvmvmvm 平移刚体的动能平移刚体的动能刚体平移时，其上各点在同一瞬时具有相同的速度，刚体平移时，其上各点在同一瞬时具有相同的速度，并且都等于质心速度。因此，平移刚体的动能并且都等于质心速度。因此，平移刚体的动能222111()2
11、22iiiCCiTmvm vmv上述结果表明，刚体平移时的动能，相当于将上述结果表明，刚体平移时的动能，相当于将刚体的质量集中于质心时的动能。刚体的质量集中于质心时的动能。质点系的动能与刚体的动能质点系的动能与刚体的动能 刚体的动能刚体的动能刚体以角速度刚体以角速度 绕定轴绕定轴 z 转动时，其上点的速度转动时，其上点的速度为：为：iirv 因此，定轴转动刚体的动能为因此，定轴转动刚体的动能为 21()2iiiTm r 质点系的动能与刚体的动能质点系的动能与刚体的动能 刚体的动能刚体的动能 定轴转动刚体的动能定轴转动刚体的动能其中其中 为刚体对定轴为刚体对定轴z的转动惯量的转动惯量2zi iJ
12、mr 221()2i iimr212zJ221122CCTmvJ即平面运动刚体的动能，等于随质心平动的动能与相对平面运动刚体的动能，等于随质心平动的动能与相对质心转动动能的和。质心转动动能的和。质点系的动能与刚体的动能质点系的动能与刚体的动能 刚体的动能刚体的动能 平面运动平面运动刚体的动能刚体的动能212PTJ2212CJmd()221122CJm d()221122CCJmv设设P为平面运动刚体某瞬时的速度瞬心，为平面运动刚体某瞬时的速度瞬心，则刚体的则刚体的动能为：动能为：221122ooTmvJ 质点系的动能与刚体的动能质点系的动能与刚体的动能 刚体的动能刚体的动能思考题：均质圆盘质量
13、为思考题：均质圆盘质量为 m，在平面上做纯滚动，在平面上做纯滚动，轮心速度为轮心速度为 vo，求，求圆盘圆盘的动能？的动能？22211 122 2omvmr()234omv问：若质量问：若质量 m 集中在轮缘上，轮集中在轮缘上，轮在平面上做纯滚动，在平面上做纯滚动，轮心速度为轮心速度为 vo，求，求轮轮的动能的动能？坦克或拖拉机履带单位长度质量为 ，轮的半径为 r，轮轴之间的距离为d，履带前进的速度为v0。求：求：全部履带的总动能。v0 质点系的动能与刚体的动能质点系的动能与刚体的动能例例 题题 2 解：解：把履带看成一质点系 在 C1 C2 上建立平动坐标系C1xy，则牵连运动为水平平移，牵
14、连速度为 v0。相对运动为绕在两个作定轴转动圆轮上履带的运动。圆轮的角速度为 v0/r,履带上各点的相对速度均为 v0。v0 质点系的动能与刚体的动能质点系的动能与刚体的动能例例 题题 2 因此，全部履带的总动能为：reTTT2020)2(2d21)2(2d21vrvr20(2d2)r v解：解：质点系的动能等于系统跟随质心平移的动能与相对于质心平移系运动的动能之和。（柯尼希定理）v0 质点系的动能与刚体的动能质点系的动能与刚体的动能例例 题题 2 动能定理及其应用动能定理及其应用 质点系的动能定理质点系的动能定理 动能定理应用举例动能定理应用举例第第12章章 动能定理动能定理质点的动能定理质
15、点的动能定理的微分形式：21d()F dr2mvW 质点的动能定理质点的动能定理的积分形式：1221222121Wmvmv 动能定理及其应用动能定理及其应用 质点系的动能定理质点系的动能定理质点系的动能定理质点系的动能定理的微分形式：21dd()2iiiiTmvW 动能定理及其应用动能定理及其应用 质点系的动能定理质点系的动能定理2221211122iiiiiiiiTTmvmvW 21iTTW 所有可以作功的力所有可以作功的力既包括外力，也包括内力既包括外力，也包括内力；既包括主动力，也包括约束力。；既包括主动力，也包括约束力。在理想约束系统中，只包在理想约束系统中，只包括主动力括主动力(外力
16、和内力外力和内力)。质点系的动能定理质点系的动能定理的积分形式：均质圆轮A、B的质量均为m，半径均为R，轮A沿斜面作纯滚动，轮B作定轴转动，B处摩擦不计。物块C的质量也为m。A、B、C用无质量的绳相联，绳相对B 轮无滑动。系统初始为静止状态。试求：试求：1当物块C下降高度为h时，轮A质心的速度以及轮B的角速度。2系统运动时，物块C的加速度。动能定理及其应用动能定理及其应用 动能定理应用举例动能定理应用举例例例 题题 3 解：解：以整个系统为研究对象。1 1运动分析，确定各部分的速度、运动分析，确定各部分的速度、角速度，角速度，写出系统的动能写出系统的动能 注意到轮A作平面运动；轮B作定轴转动；
17、物块C作平移。于是，系统的动能：222212111102222AAABBCTTmvJJmv,根据运动学分析，得到 AARvBCRvCAvv212302ATTmv,动能定理及其应用动能定理及其应用 动能定理应用举例动能定理应用举例例例 题题 3 解：解：2.2.确定所有力的功：确定所有力的功：3 3应用动能定理的积分形式：应用动能定理的积分形式：121cos602Wmghmghmgh1212WTT231022Amvmgh由此解出 23Aghv 3ghvA23ABAvghRR物块C 的重力作正功，轮A 的重力作负功，约束反力不作功。于是，所有力的总功为 动能定理及其应用动能定理及其应用 动能定理应
18、用举例动能定理应用举例例例 题题3 解：解：4 4确定物块确定物块 C 的加速度：的加速度：ACvvthddddddCACvvatt23Aghv CCCvgav326Cga 将下降高度 h 视为变量，其对时间的一阶导数即为物块C的速度 因为物块C作直线平移，故有 于是，物块C的加速度为 动能定理及其应用动能定理及其应用 动能定理应用举例动能定理应用举例例例 题题 3 动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用返回返回返回总目录返回总目录第第12章章 动能定理动能定理动力学普遍定理动力学普遍定理动量定理动量定理动量矩定理动量矩定理动能定理动能定理矢量形式矢量形式标量形式标量形式 动力学普遍
19、定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用动量定理动量定理 给出了质点系动量的变化与外力主矢之间的关系，给出了质点系动量的变化与外力主矢之间的关系，可以用于求解质心运动或某些外力。可以用于求解质心运动或某些外力。动量矩定理动量矩定理 描述了质点系动量矩的变化与外力主矩之间的描述了质点系动量矩的变化与外力主矩之间的关系，可以用于具有转动特性的质点系，求解角加速度等运动关系，可以用于具有转动特性的质点系，求解角加速度等运动量和外力。量和外力。动能定理动能定理 建立了作功的力与质点系动能变化之间的关系，建立了作功的力与质点系动能变化之间的关系，可用于复杂的质点系、刚体系求运动。可用于复杂的质点系、刚体系
20、求运动。应用动量定理和动量矩定理的优点是不必考虑系统的内力。应用动量定理和动量矩定理的优点是不必考虑系统的内力。应用动能定理的好处是理想约束力所作之功为零，因而不必应用动能定理的好处是理想约束力所作之功为零，因而不必考虑。考虑。在很多情形下，需要综合应用这三个定理，才在很多情形下，需要综合应用这三个定理，才能问题的解答。正确分析问题的性质，灵活应用这能问题的解答。正确分析问题的性质，灵活应用这些定理，往往会达到事半功倍的作用。些定理，往往会达到事半功倍的作用。另外，这三个定理都存在不同形式的守恒形式，另外，这三个定理都存在不同形式的守恒形式，也要给予特别的重视。也要给予特别的重视。动力学普遍定
21、理的综合应用动力学普遍定理的综合应用例例 题题 5 5 均质圆轮A、B的质量均为m，半径均为R，轮A沿斜面作纯滚动，轮B作定轴转动，B处摩擦不计。物块C的质量也为m。A、B、C用无质量绳相联，绳相对B 轮无滑动。系统初始为静止状态。试求：试求：1轮A、轮B之间的绳子拉力 和B处的约束力；2轮A与地面的接触点处的摩擦力。动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用而BCRa故有 CBaR 取轮B和物块C组成的质点系为研究对象，分析受力，对点B应用动量矩定理动量矩定理，有 Td()dBBCCCJm v Rm gRF Rt解：解：1确定绳子拉力本例的条件与例题例题2 2相同。在例题例题2 2中已
22、经求得6gaaAC例例 题题 5 5 动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用BTd()dBBCCCJm v Rm gRF RtTBCJmR amgRF RR解得T23324BCCJFmgm amgmamgR例例 题题 5 5 动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用B解：解：2确定B处的约束力对图示系统应用质心运动定理质心运动定理，有 TTcos30cos60BBxCCxBxBByCCyByBCm am aFFm am aFFm gm gTT302122BxCByFFmaFFmg由此解得B处的约束力mgmgmgmgFmgmgFBxBx245324321618334323例例
23、题题 5 5 动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用B解：解：3确定A轮与斜面之间的摩擦力取轮A为研究对象，分析受力，应用相对质心的动量矩定理相对质心的动量矩定理，得到AAJFR注意到 ACARaa于是，得到摩擦力 211122612AAAamRJgRFmmgRR例例 题题 5 5 动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用本例小结：本例小结：本例中几乎应用了三个定理的所有主要形式。还可以发现，每种问题的解法都并不是唯一的。这说明，对于具体问题，必须进行具体分析，没有统一的方法可循。例例 题题 5 5 动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用 均质细长杆长为 l，质量为
24、m，静止直立于光滑水平面上。杆受微小干扰而倒下。求：求：杆刚刚到达地面时的角速度和地面的约束力。杆刚刚到达地面时的角速度和地面的约束力。例例 题题 6 6 动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用解：解：杆在水平方向不受外力，且由静止倒下，则在倒下过 程中其质心将铅直下落。由运动学知，P为杆的瞬心。例例 题题 6 6 动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用v C CCPA杆刚到达地面时，A点成为杆的瞬心，杆的的动能为：2222211 11()22 36ATJmlml例例 题题 6 6 动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用v C CCPA杆在滑倒过程中，只有重力作功
25、。由动能定理，有0TW3gl22162lmlmg例例 题题 6 6 动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用AFNmga CC杆刚到达地面时，受力及加速度分析如图。2NCNCmgFmalFJ2112CJml其中 其中 nCACACAaaaa由运动学知 由刚体平面运动微分方程，得Aa 水平，Ca 铅直例例 题题 6 6 动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用AFNmga CC其中 nCACACAaaaa由运动学知 Aa 水平，Ca 铅直将加速度矢量式向铅垂方向投影，得 2CCAlaa 联立以上诸式，可以解得 4NmgF 均质杆长为l，质量为m1，B 端靠在光滑墙上，A端用铰链与
26、均质圆盘的质心相连。圆盘的质量为m2，半径为R，放在粗糙的地面上，自图示=45时由静止开始纯滚动。试求试求:A点在初瞬时的加速度。例例 题题 7 7 动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用解：解：以杆和圆轮组成的系统为研究对象。用动能定理求解。用动能定理求解。系统的动能为 122222221112111 11 3222 32 2CCTJJmlm R例例 题题 7 7 动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用1sinAvRl2221)43sin6(AvmmT设轮心A的速度为vA，则有 代入系统的动能表达式，得 例例 题题 7 7 动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用
27、只有杆的重力对系统作功11(sin45sin)2Wm gl根据动能定理0TW2121231()(sin45sin)6sin42Ammvm gl上式对时间求导 21211233cosddcos3sin23sind2dAAAmmmlv avm gtt sindd1lvtA45,0Av注意到 初瞬时 211943mmgmaA可解得解：解：以杆和圆轮组成的系统为研究对象。用功率方程求解。用功率方程求解。系统的动能为 122222221112111 11 3222 32 2CCTJJmlm R例例 题题 7 7 动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用1sinAvRl2221)43sin6(Av
28、mmT设轮心A的速度为vA，则有 代入系统的动能表达式，得 例例 题题 7 7 动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用只有杆的重力对系统作功，其功率为11cos2sinADvPm gG v根据功率方程idTPdt212123()cos6sin42sinAAmmvdvm gdt等式左边对时间求导 21211233cosdcos3sin23sind2sinAAAAmmmvv avm gt1d,dsinAvtl 45,0Av注意到 初瞬时 211943mmgmaA可解得DDv动量定理、动量矩定理和动能定理的比较动量定理、动量矩定理和动能定理的比较动量定理、动量矩定理和动能定理都是描述质点系
29、整体运动量定理、动量矩定理和动能定理都是描述质点系整体运动的变化与质点系所受的作用力之间的关系。动的变化与质点系所受的作用力之间的关系。动量定理、动量矩定理和动能定理都可以用于求解动力动量定理、动量矩定理和动能定理都可以用于求解动力学的两类基本问题。学的两类基本问题。结论与讨论结论与讨论4 4、几个动力学定理的综合应用几个动力学定理的综合应用 整体运动的变化整体运动的变化所受的作用力所受的作用力动量定理、动量矩定理一般限于研究物体机械运动范动量定理、动量矩定理一般限于研究物体机械运动范围内的运动变化问题。围内的运动变化问题。动能定理可以用于研究机械运动与其他运动形式之间动能定理可以用于研究机械
30、运动与其他运动形式之间的运动转化问题。的运动转化问题。结论与讨论结论与讨论4 4、几个动力学定理的综合应用几个动力学定理的综合应用 动量定理、动量矩定理和动能定理的比较动量定理、动量矩定理和动能定理的比较动量定理、动量矩定理的表达式中含有时间参数。动量定理、动量矩定理的表达式中含有时间参数。动能定理的表达式中含有路程参数。动能定理的表达式中含有路程参数。结论与讨论结论与讨论4 4、几个动力学定理的综合应用几个动力学定理的综合应用 动量定理、动量矩定理和动能定理的比较动量定理、动量矩定理和动能定理的比较动量定理、动量矩定理的表达式为矢量形式，描述质点动量定理、动量矩定理的表达式为矢量形式，描述质
31、点系整体运动时，不仅涉及有关运动量的大小，而且涉及运系整体运动时，不仅涉及有关运动量的大小，而且涉及运动量的方向。动量的方向。动能定理的表达式为标量形式，描述质点系整体运动时动能定理的表达式为标量形式，描述质点系整体运动时，不涉及运动量的方向，无论质点系如何运动，动能定理，不涉及运动量的方向，无论质点系如何运动，动能定理只能提供一个方程只能提供一个方程。结论与讨论结论与讨论4 4、几个动力学定理的综合应用几个动力学定理的综合应用 动量定理、动量矩定理和动能定理的比较动量定理、动量矩定理和动能定理的比较动量定理、动量矩定理的表达式中只包含外力，而不动量定理、动量矩定理的表达式中只包含外力，而不包
32、含内力包含内力(内力的主矢和主矩均为零内力的主矢和主矩均为零)动能定理的表达式中可以包含主动力和约束力，主动动能定理的表达式中可以包含主动力和约束力，主动力中可以是外力，也可以是内力力中可以是外力，也可以是内力(可变质点系可变质点系)；对于理想；对于理想约束，则只包含主动力。约束，则只包含主动力。结论与讨论结论与讨论4 4、几个动力学定理的综合应用几个动力学定理的综合应用 动量定理、动量矩定理和动能定理的比较动量定理、动量矩定理和动能定理的比较分析和解决复杂系统的动力学问题时，选分析和解决复杂系统的动力学问题时，选择哪一个定理的原则是：择哪一个定理的原则是：、所要求的运动量在所选择的定理中能比
33、较容、所要求的运动量在所选择的定理中能比较容易地表达出来；易地表达出来；在所选择的定理表达式中，不出现不必要求的在所选择的定理表达式中，不出现不必要求的相关未知力。相关未知力。结论与讨论结论与讨论4 4、几个动力学定理的综合应用几个动力学定理的综合应用 动量定理、动量矩定理和动能定理的比较动量定理、动量矩定理和动能定理的比较对于由多个刚体组成的复杂系统，如果选用动量对于由多个刚体组成的复杂系统，如果选用动量定理或动量矩定理，需要将系统拆开，不仅涉及的方定理或动量矩定理，需要将系统拆开，不仅涉及的方程数目比较多，而且会涉及求解联立方程。程数目比较多，而且会涉及求解联立方程。动量定理、动量矩定理和动能定理的比较动量定理、动量矩定理和动能定理的比较如果选用动能定理，对于受理想约束的系统，可以如果选用动能定理，对于受理想约束的系统，可以不必将系统拆开，而直接对系统整体应用动能定理，不必将系统拆开，而直接对系统整体应用动能定理，建立一个标量方程，求得速度或加速度建立一个标量方程，求得速度或加速度(角速度或角角速度或角加速度加速度)。结论与讨论结论与讨论4 4、几个动力学定理的综合应用几个动力学定理的综合应用
