1、赵来福赵来福BA问题情境一问题情境一 在棱长为在棱长为1的立方体的立方体的右下角的右下角A处有一只蚂蚁，处有一只蚂蚁，欲从立方体的外表面爬行欲从立方体的外表面爬行去吃右上角去吃右上角B处的食物，处的食物，问怎样爬行路径最短，最问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？它有几种短路径是多少？它有几种爬行方法？（注：每一个爬行方法？（注：每一个面均能爬行）面均能爬行）知识准备知识准备1、什么是线段公理？、什么是线段公理？两点之间，线段最短两点之间，线段最短2、勾股定理、勾股定理在在RtABC中，两直角边为中，两直角边为a、b,斜边为斜边为c，则，则a2+b2=c2.思维点拨思维点拨 1、在立体图形中，怎
2、样利用线段公理解、在立体图形中，怎样利用线段公理解决路径最短问题？决路径最短问题？2、怎样展开立方体的表面？展开哪几、怎样展开立方体的表面？展开哪几个面呢？个面呢？3、和、和A相连的面有哪几个？和相连的面有哪几个？和B相连的面相连的面有哪几个？有哪几个？4、最短路径要走几个面？怎么走？、最短路径要走几个面？怎么走？BA前面前面右面右面上面上面后面后面左面左面下面下面标注六个表面标注六个表面思维方法和过程思维方法和过程A点点前面前面左面左面下面下面上面上面右面右面后面后面B点点从从A到到B走最短路径要走几个面？走最短路径要走几个面？前面和右面；前面和右面；前面和上面；前面和上面；左面和上面；左面
3、和上面；左面和后面；左面和后面；下面和右面；下面和右面；下面和后面下面和后面.AB1前面前面右面右面B方法一方法一1、展开、展开前面前面和和右面右面2、连接、连接AB1则则AB1为最短路径为最短路径由勾股定理得由勾股定理得AB1=51222AB2B前面前面上面上面方法二方法二2、连接、连接AB2则则AB2为最短路径为最短路径AB2=512221、展开、展开前面前面和和上面上面由勾股定理得由勾股定理得左面左面上面上面A1B3方法三方法三2、连接、连接A1B3则则A1B3为最短路径为最短路径A1B3=512221、展开、展开前面前面和和上面上面由勾股定理得由勾股定理得方法四方法四2、连接、连接AB
4、4则则AB4为最短路径为最短路径AB4=512221、展开、展开左面左面和和后面后面由勾股定理得由勾股定理得AB4方法五方法五2、连接、连接AB5则则AB5为最短路径为最短路径AB5=512221、展开、展开下面下面和和右面右面由勾股定理得由勾股定理得AB5方法六方法六2、连接、连接AB6则则AB6为最短路径为最短路径AB6=512221、展开、展开下面下面和和后面后面由勾股定理得由勾股定理得AB6总结总结从从A到到B共有六种最短路径共有六种最短路径最短路径为最短路径为5BAAB问题情境二问题情境二 在底面半径为在底面半径为1、高、高为为2的圆柱体的左下角的圆柱体的左下角A处有一只蚂蚁，欲从圆
5、柱处有一只蚂蚁，欲从圆柱体的侧面爬行去吃右上角体的侧面爬行去吃右上角B处的食物，问怎样爬行处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多路径最短，最短路径是多少？少？A B 问题解决问题解决 从从A点向上剪开，则侧面展开图如图所示，点向上剪开，则侧面展开图如图所示，连接连接AB，则，则AB为爬行的最短路径为爬行的最短路径.2224AB2最短路径最短路径：在底面半径为在底面半径为1、高、高为为2的圆柱体的左下角的圆柱体的左下角A处有一只蚂蚁，欲从圆柱处有一只蚂蚁，欲从圆柱体的侧面如图迂回爬行去体的侧面如图迂回爬行去吃左上角吃左上角B处的食物，问处的食物，问怎样爬行路径最短，最短怎样爬行路径最短，最短
6、路径是多少？路径是多少？AB问题情境三问题情境三A B 问题解决问题解决 从从A点向上剪开，则侧面展开图如图所示，点向上剪开，则侧面展开图如图所示，连接连接AB，则，则AB为爬行的最短路径为爬行的最短路径.22221244AB22）（最短路径最短路径：AB问题情境四问题情境四 在底面半径为在底面半径为1、高、高为为2的圆柱体的左下角的圆柱体的左下角A处有一只蚂蚁，欲爬行去处有一只蚂蚁，欲爬行去吃右上角吃右上角B处的食物，问处的食物，问怎样爬行路径最短，最短怎样爬行路径最短，最短路径是多少？路径是多少？思维分析思维分析1、问题四和问题二的区别在哪儿？、问题四和问题二的区别在哪儿？问题二指明在侧面
7、爬行；问题四没有说明问题二指明在侧面爬行；问题四没有说明.2、问题四没有指明侧面会发生什么变化？、问题四没有指明侧面会发生什么变化？可能出现可能出现2种情况：种情况：在侧面爬行在侧面爬行沿沿A向上向上再沿上底面直径爬行到再沿上底面直径爬行到BA B 情况一解决情况一解决 从从A点向上剪开，则侧面展开图如图所示，点向上剪开，则侧面展开图如图所示，连接连接AB，则，则AB为爬行的最短路径为爬行的最短路径.2224AB2最短路径最短路径：情况二解决情况二解决ABB 如图，展开上底面，沿如图，展开上底面，沿AB爬行是此种情况的最短爬行是此种情况的最短路径路径.最短路径为：最短路径为：4比较选择最短路径
8、比较选择最短路径两个最短路径两个最短路径 和和4哪一个最小呢？哪一个最小呢？24比较大小：比较大小：44224因此最短路径为侧面爬行的因此最短路径为侧面爬行的是否所有的情况下都是侧面爬行路径最短吗？是否所有的情况下都是侧面爬行路径最短吗？高和底面半径换一些数据试一试高和底面半径换一些数据试一试.AB延伸问题五延伸问题五 在底面半径为在底面半径为r、高、高为为h的圆柱体的左下角的圆柱体的左下角A处有一只蚂蚁，欲爬行去处有一只蚂蚁，欲爬行去吃右上角吃右上角B处的食物，问处的食物，问怎样爬行路径最短，最短怎样爬行路径最短，最短路径是多少？路径是多少？A B 情况一情况一 从从A点向上剪开，则侧面展开
9、图如图所示，点向上剪开，则侧面展开图如图所示，连接连接AB，则，则AB为爬行的最短路径为爬行的最短路径.rh222AB最短路径最短路径：情况二解决情况二解决ABB 如图，展开上底面，沿如图，展开上底面，沿AB爬行是此种情况的最短爬行是此种情况的最短路径路径.最短路径为：最短路径为：h+2r比较与总结比较与总结比较比较 和和 h+2r的大小的大小 rh222rh222=h+2rrh442时，两种路径情况一样当rh442短时，沿侧面爬行路径最当rh442最短向上再沿上底直径爬行时，沿当A442rh543AB 在长为在长为5、宽为、宽为3、高、高为为4的长方体的右下角的长方体的右下角A处有一只蚂蚁，
10、欲从长方处有一只蚂蚁，欲从长方体的外表面爬行去吃右上体的外表面爬行去吃右上角角B处的食物，问怎样爬处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是行路径最短，最短路径是多少？多少？问题情境六问题情境六思维分析思维分析1、长方体和立方体的情况一样吗？它们有什么、长方体和立方体的情况一样吗？它们有什么相同和不同点呢？相同和不同点呢？和和A相连的面是左面、前面和下面；相连的面是左面、前面和下面；和和B相连的面是上面、右面和后面相连的面是上面、右面和后面.共有六种不同的选择路径共有六种不同的选择路径这六种不同选择的路径大小相同吗？这六种不同选择的路径大小相同吗？思维方法和过程思维方法和过程A点点前面前面左面左
11、面下面下面上面上面右面右面后面后面B点点543AB543ABB情况一情况一展开前面和右面，连接展开前面和右面，连接AB，此时路径最短，此时路径最短.5480AB4822543ABB情况二情况二 展开前面和上面，连展开前面和上面，连接接AB，此时路径最短，此时路径最短.74AB5722543ABBA情况三情况三 展开左面和上面，连接展开左面和上面，连接AB，此时路，此时路径最短径最短.10390AB3922比较和总结比较和总结比较三种情况的最短路径比较三种情况的最短路径1035474且另三种情况与上述三种情况结果分别相同且另三种情况与上述三种情况结果分别相同因此爬行的最短路径为因此爬行的最短路径
12、为74ABC问题情境七问题情境七 如图如图,圆锥的底面半径为圆锥的底面半径为1,1,母线长为母线长为4,4,一一只蚂蚁要从底面圆周上一点只蚂蚁要从底面圆周上一点B B出发出发,沿圆锥侧面沿圆锥侧面爬行一圈再回到点爬行一圈再回到点B,B,问它爬行的最短路线是多问它爬行的最短路线是多少少?ABCB思维分析思维分析 圆锥的侧面展开圆锥的侧面展开图如图所示，连接图如图所示，连接BB，则，则BB为蚂蚁为蚂蚁爬行的最短路径爬行的最短路径.ABC41B解解:设圆锥的侧面展开图为扇形设圆锥的侧面展开图为扇形ABB,BAB=nABB,BAB=n ABBABB是直角三是直角三角形角形解得解得:n=90:n=90
13、圆锥底面半径为圆锥底面半径为1,1,母线长为母线长为4 4连接连接BB,BB,即为蚂蚁爬行的最短路线即为蚂蚁爬行的最短路线 2 2=4n 4n180180问题解决问题解决 BB=BB=244422答答:蚂蚁爬行的最短路线为蚂蚁爬行的最短路线为 .24 如如图，圆锥的底面半径为图，圆锥的底面半径为1 1，母线长为，母线长为3 3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点一只蚂蚁要从底面圆周上一点B B出发，沿圆出发，沿圆锥侧面爬到过母线锥侧面爬到过母线ABAB的轴截面上另一母线的轴截面上另一母线ACAC上，问它爬行的最短路线是多少？上，问它爬行的最短路线是多少？ABC问题情境八问题情境八.323323.3,6
14、0.60120360.它爬行的最短路线是答中在垂足为作过点的中点是则点展开成扇形将圆锥沿解：BDABBAD，ABCRtBADlrBBADAC，BDB，BBC，BABAB：=.323323.3,60.60120360.它爬行的最短路线是答中在垂足为作过点的中点是则点展开成扇形将圆锥沿解：BDABBAD，ABCRtBADlrBBADAC，BDB，BBC，BABAB：.323323.3,60.60120360.它爬行的最短路线是答中在垂足为作过点的中点是则点展开成扇形将圆锥沿解：BDABBAD，ABCRtBADlrBBADAC，BDB，BBC，BABAB：=.323323.3,60.60120360
15、.它爬行的最短路线是答中在垂足为作过点的中点是则点展开成扇形将圆锥沿解：BDABBAD，ABCRtBADlrBBADAC，BDB，BBC，BABAB：=.323323.3,60.60120360.它爬行的最短路线是答中在垂足为作过点的中点是则点展开成扇形将圆锥沿解：BDABBAD，ABCRtBADlrBBADAC，BDB，BBC，BABAB：=.323323.3,60.60120360.它爬行的最短路线是答中在垂足为作过点的中点是则点展开成扇形将圆锥沿解：BDABBAD，ABCRtBADlrBBADAC，BDB，BBC，BABAB：.323323.3,60.60120360.它爬行的最短路线是答中在垂足为作过点的中点是则点展开成扇形将圆锥沿解：BDABBAD，ABCRtBADlrBBADAC，BDB，BBC，BABAB：=将圆锥沿AB展开成扇形ABB.323323.3,60.60120360.它爬行的最短路线是答中在垂足为作过点的中点是则点展开成扇形将圆锥沿解：BDABBAD，ABCRtBADlrBBADAC，BDB，BBC，BABAB：=问题解决问题解决
