1、第第3 3课时课时 平行四边形的平行四边形的对角线性质对角线性质4.2 4.2 平行四边形及其性质平行四边形及其性质第第4 4章章 平行四边形平行四边形1课堂讲解课堂讲解平行四边形的对角线性质平行四边形的对角线性质平行四边形的面积平行四边形的面积2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升1知识点知识点平行四边形的对角线性质平行四边形的对角线性质知知1 1导导探究探究 如图如图，在，在 中，连接中，连接 AC，BD，并设它们相交于点并设它们相交于点O,OA与与OC，OB与与OD有什么关系？你能证明发现的结论吗有什么关系？你能证明发现的结论吗？我我们猜想，在们猜想，在
2、中，中，OA=OC，OB=OD.与证明平行四边形的对边相等、对角相等的方法与证明平行四边形的对边相等、对角相等的方法类似，我们也可以通过三角形全等证明这个猜想类似，我们也可以通过三角形全等证明这个猜想.请你请你试着完成证明试着完成证明.ABCDYABCDY知知1 1讲讲在在 中中，对角线，对角线AC，BD交交于于点点O(如图如图).求证求证:OAOC，OBOD.例例1 如图，在如图，在 中，中，ADBC(平行四边形的定义平行四边形的定义)，12，34.又又ADCB(平行四边形的对边相等平行四边形的对边相等)，AOD COB.OAOC，OBOD.证明：证明：ABCDYABCDY（来自（来自教材教
3、材）知知1 1讲讲平行四边形还有如下性质：平行四边形还有如下性质：平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分.总总 结结（来自（来自教材教材）知知1 1讲讲对角线的性质：对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分数学表达式：数学表达式：如图，如图，四边形四边形ABCD是是平行四边形，对角线平行四边形，对角线AC，BD相交于点相交于点O，OAOC，OBOD.拓展：拓展：(1)平行四边形的两条对角线把它分割成平行四边形的两条对角线把它分割成四个面积相等的三四个面积相等的三角形；角形；数学表达式：数学表达式：如图，如图，四边形四边形ABCD是平行四边形，对角线是平行
4、四边形，对角线AC，BD相交于点相交于点O，SABOSBCOSCDOSADO.知知1 1讲讲(2)若一条直线过平行四边形两条对角线的交点，则该若一条直线过平行四边形两条对角线的交点，则该直线直线平分平行四边形的周长和面积平分平行四边形的周长和面积数学表达式：数学表达式：如图，如图，直线直线EF过平过平行四边形行四边形ABCD两对角线的交点两对角线的交点O，AEABBFFCCDDE (ABBCCDDA)，S四边形四边形ABFES四边形四边形FCDE 121.2ABCDSY知知1 1讲讲如如图，图，的对角线的对角线AC，BD交交于于点点O.过过点点O作作直线直线EF，分别交，分别交AB，CD于于点
5、点E，F.求证：求证：OEOF.例例2 证明：证明：（来自（来自教材教材）ABCDY如图，在如图，在 中，中，ABCD(平行四边形的定义平行四边形的定义)，12，又又OAOC(平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分)，34，AOE COF.OEOF.ABCDY知知1 1讲讲 在应用平行四边形的性质时，我们应从边、角、在应用平行四边形的性质时，我们应从边、角、对角线这三个方面去考虑，解本例时，我们从对角线这三个方面去考虑，解本例时，我们从“平平行四边形的对角线互相平分行四边形的对角线互相平分”中得出中得出“平行四边形平行四边形被它的两条对角线分成四个小三角形，相邻两个小被它的两条对
6、角线分成四个小三角形，相邻两个小三角形的周长之差等于平行四边形中对应的两邻边三角形的周长之差等于平行四边形中对应的两邻边之差之差”熟记一些常用的结论，能为计算带来很多熟记一些常用的结论，能为计算带来很多方便方便总总 结结知知1 1练练1已知已知O是是 两条对角线的交点，两条对角线的交点，AC24mm，BC38mm，OD28 mm，则，则OBC的周长为的周长为_.2(中考中考常州常州)如图，如图，的对角线的对角线AC，BD相交于相交于点点O，则下列说法一定正确的是，则下列说法一定正确的是()AAOOD BAOODCAOOC DAOAB（来自（来自教材教材）ABCDYABCDY知知1 1练练3(中
7、考中考海南海南)如图，如图，在在 中中，AC与与BD相交相交于于点点O，则下列结论不一定成立的是，则下列结论不一定成立的是()ABODO BCDABCBADBCD DACBDABCDY知知1 1讲讲如如图，图，在在 中中，对角线，对角线AC，BD交于交于点点E，ACBC.若若 AC4，AB5，求，求BD的长的长.例例3 分析：分析：（来自（来自教材教材）ABCDY如图，因为平行四边形的两条如图，因为平行四边形的两条对角线互相平分，所以要求对角线互相平分，所以要求BD的长，只需求出的长，只需求出BE的长的长.在在RtABC中，中，AB，AC长已长已知，可求得知，可求得BC的长的长.又又 则则BE
8、可求可求.请你完成求解过程请你完成求解过程.想一想，你还有其他求解方法吗？想一想，你还有其他求解方法吗？1,2CEAC 知知1 1讲讲 本题可以利用直角三角形的性质，也可以利用本题可以利用直角三角形的性质，也可以利用平行四边形的性质来解答平行四边形的性质来解答.总总 结结知知1 1练练1有没有这样的平行四边形，它的两条对角线长分别有没有这样的平行四边形，它的两条对角线长分别为为14 cm和和20 cm，它的一边长为它的一边长为18 cm?为什么？为什么？2(中考中考南宁南宁)如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCD中，中，AB3 cm，BC5 cm，对角线，对角线AC，BD相交于点相交于点
9、O，则，则OA的取值范围是的取值范围是()A2 cmOA5 cm B2 cmOA8 cmC1 cmOA4 cm D3 cmOA8 cm（来自（来自教材教材）知知1 1练练3若平行四边形的一边长是若平行四边形的一边长是10 cm，则在下列的四组数，则在下列的四组数中，可以作为它的两条对角线长的是中，可以作为它的两条对角线长的是()A6 cm，8 cm B8 cm，12 cmC8 cm，14 cm D6 cm，14 cm2知识点知识点平行四边形的面积平行四边形的面积知知2 2导导 在在平行四边形中，从一条边上的任意一点，向平行四边形中，从一条边上的任意一点，向对对边边画垂线，这点与垂足间的距离画垂
10、线，这点与垂足间的距离(或从这点到对边或从这点到对边垂线垂线段段的长，或者说这条边和对边的距离的长，或者说这条边和对边的距离)，叫做以这条，叫做以这条边边为为底的平行四边形的高这里所说的底的平行四边形的高这里所说的“底底”是相对是相对高高而言而言的在平行四边形中，有时高是指垂线段本身的在平行四边形中，有时高是指垂线段本身，如如作平行四边形的高，就是指作垂线段所以平行作平行四边形的高，就是指作垂线段所以平行四四边边形的高，在作图时一般是指垂线段本身在进行形的高，在作图时一般是指垂线段本身在进行计计算算时，它的意义是距离，即长度时，它的意义是距离，即长度知知2 2导导 平行四边形平行四边形的面积等
11、于它的底和高的积，的面积等于它的底和高的积，即即S ABCDah.其中其中a可以是平行四边形的任何一边，可以是平行四边形的任何一边，h必须是必须是a边边与其对边与其对边的距离，即对应的高，如的距离，即对应的高，如图图(1)要避免学生要避免学生发发生如图生如图(2)的的错误为了区别，有时也可以把高记错误为了区别，有时也可以把高记成成ha、hAB，表明，表明它们所对应的底是它们所对应的底是a或或AB知知2 2讲讲1.面积面积公式：公式：平行四边形的面积底平行四边形的面积底高高(底为底为平行四平行四边形边形的任意一条边，高为这条边与其对边间的任意一条边，高为这条边与其对边间的距离的距离)2.等等底等
12、高的平行四边形的面积相等底等高的平行四边形的面积相等要点要点精精析：析：(1)求面积时，底和高一定要对应，必须是底边上的高；求面积时，底和高一定要对应，必须是底边上的高；(2)等底等高的平行四边形与三角形面积间的关系：等底等高的平行四边形与三角形面积间的关系：三角形三角形面积是与它等底等高的平行四边形面积的一半面积是与它等底等高的平行四边形面积的一半知知2 2讲讲3.拓展：拓展：(1)两个等底平行四边形两个等底平行四边形(三角形三角形)面积的比等于它们面积的比等于它们高高的的比；比；(2)两个等高平行四边形两个等高平行四边形(三角形三角形)面积的比等于它们面积的比等于它们底底的的比比4.根据根
13、据平行四边形的两组对边分别相等，可得平行平行四边形的两组对边分别相等，可得平行四四边边形的周长等于两邻边和的形的周长等于两邻边和的2倍倍5.平行四边形平行四边形的一条对角线将平行四边形分成面积的一条对角线将平行四边形分成面积相相等等的两部分，两条对角线将平行四边形分成面积的两部分，两条对角线将平行四边形分成面积相相等等的四部分的四部分中考中考本溪本溪如如图，在图，在 中中，AB4，BC6，B30，则此平行四边形的面积，则此平行四边形的面积是是()A.6 B12 C18 D24例例4 知知2 2讲讲ABCDYB知知2 2讲讲如图，过点如图，过点A作作AEBC于点于点E，根据含，根据含30角的直角
14、的直角三角形的性质：在直角三角形中，角三角形的性质：在直角三角形中，30角所对的直角所对的直角边等于斜边的一半可求出角边等于斜边的一半可求出AE2，再利用平行四边，再利用平行四边形的面积公式可求出面积形的面积公式可求出面积具体过程如下：具体过程如下：过点过点A作作AEBC于点于点E，在在RtABE中，中，B30，AB4，平行四边形平行四边形ABCD的面积为的面积为BCAE6212.导引：导引：1142.22AEAB知知2 2讲讲 求平行四边形的面积时，根据平行四边形的面求平行四边形的面积时，根据平行四边形的面积公式，要知道平行四边形的一边长及这边上的高积公式，要知道平行四边形的一边长及这边上的
15、高平行四边形的高不一定是过顶点的垂线段，因为平平行四边形的高不一定是过顶点的垂线段，因为平行线间的距离处处相等行线间的距离处处相等总总 结结如如图，图，的的相邻两边相邻两边AD AB5 4，过点，过点A作作AEBC，AFCD，垂足分别为，垂足分别为E，F两点，两点，AE4 cm，求，求AF的长的长例例5 知知2 2讲讲ABCDY平行四边形的面积是平行四边形的面积是Sah.由由AD AB5 4，ABCD，ADBC，S ABCDBCAECDAF，可得出，可得出AE AF4 5.再由再由AE4 cm，得到，得到AF5 cm.导引：导引：知知2 2讲讲S ABCDBCAECDAF，ABCD，ADBC，
16、ADAEABAF.AD AB5 4，AE AF4 5，解：解：5545 cm44AFAE 知知2 2讲讲 在三角形或平行四边形中，根据面积为定值，在三角形或平行四边形中，根据面积为定值，用不同的边为底边和对应的高来表示面积，可以得用不同的边为底边和对应的高来表示面积，可以得到不同的底和高之间的关系解本例的关键是根据到不同的底和高之间的关系解本例的关键是根据平行四边形的邻边之比求出对应的高之比平行四边形的邻边之比求出对应的高之比总总 结结知知2 2练练1如图，如图，在在 中中，AC，BD相交于点相交于点O，BDAD于点于点D，BFCD于点于点F，OB1.5，AD4，求，求CD，BF的长的长ABC
17、DY，2将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，则这样的折纸方法个平行四边形的面积，则这样的折纸方法共有共有()A1种种 B2种种 C4种种 D无数无数种种知知2 2练练3(中考中考绵阳绵阳)如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，对角线中，对角线AC，BD交于交于E，CBD90，BC4，BEED3，AC10，则四边形，则四边形ABCD的面积为的面积为()A6 B12 C20 D241.平行四边形平行四边形的对角线互相平分的对角线互相平分2.面积公式：面积公式：平行四边形的面积底平行四边形的面积底高高(底为底为平行平行 四边形四边形的任意一条边，高为这条边与其对边间的任意一条边，高为这条边与其对边间的的 距离距离)3.等底等高的平行四边形的面积相等等底等高的平行四边形的面积相等1.必做必做:完成教材完成教材P88课课内练习内练习T3，P88作业题作业题T1-T52.补充补充:请完成请完成典中点典中点剩余部分习题剩余部分习题
