1、1 第八章 假设检验复习复习)1,0(NxZxZ1pp2Z21Z0 xxZxE2xxExEx,的区间估计则为：大样本下：大样本下：已知nZx2未知nsZx2已知PnPPZp)1(2已知PnppZp)1(2)(点估计误差边际点估计E小样本下：小样本下：已知nZx2未知nsntx2)1(4STAT 某汽车集团公司对本公司的A1型号汽车的发动机系统进行了一系列改进，提高了启动速度，降低了噪音，改称为A2型。改进前的A1型汽车油耗较高，每百公里油耗为8.48升，公司希望改进后的车型比改进前节油，至少不比改进前更费油。为此，随机抽取了15辆A2型汽车做试验，测得15辆汽车的每百公里耗油量的数据如下表：实
2、践中的统计8.508.758.338.218.528.308.318.198.408.868.418.018.208.268.39377.8x油耗降低油耗降低 OR 抽样误差抽样误差？STAT重复抽样100次，有95次抽样结果都在8.377附近油耗降低油耗降低 OR 抽样误差抽样误差？如果只抽一次，抽样结果为：的可能性绝对大还是绝对小？15)14(377.8,15)14(377.822ststT1p2t21t 假设当某事实发生的可能性（频率）非常非常小（），但是在一次抽样中却发生了，我们不能认定“某事实发生的可能性（频率）非常非常小”的原假设是正确的，只能认为原假设是错误的。第一节 假设检验的
3、基本原理假设检验=检验假设：检验零假设的正确性。1.零假设H0：接受检验的假设；研究者怀疑并希望否定的命题。2.备择假设H1：研究者希望肯定的命题。接受域拒绝域或xxxxExEExExSTAT例 据一调查公司声称2002年某市职工月收入XN（=750，2=1502）。现随机抽取100名职工，计算出其月平均收入为780元。问该声称是否可以接受（显著性水平=0.05）。分析建立假设：H0：=750 H1：750Z)1(接受域 X)1(接受域xExE接受拒绝xxExEx96.12/Z查表得：4.292nZEx拒绝拒绝H0，接受，接受H18STAT二、假设检验两类错误例法官判案过程中的错误 H0：被告
4、是无罪的：判定一个无罪的人有罪；：判定一个有罪的人无罪。减小 限制警察获取证词的权力，防止逼、供、信或用刑等增大。9STAT三、检验类型例新生儿的体重服从正态分布。根据2002年的统计，新生儿的平均体重为3190克。现从2003年的新生儿中随机抽取50名，测得其平均体重为3210克。问2003年的新生儿与2002年相比，？（1）2003=2002=3190 （2）2003 2002=3190 H0：=3190 H1：3190 接受域200HExHExxx拒绝接受双侧检验：过大过小均拒绝xExE10STAT例市府欲购入10万只灯泡，合同规定其使用寿命平均不能低于1000小时。已知灯泡使用寿命服从
5、正态分布，为200，现从中随机抽取100只，测得样本均值为960小时，（=0.05）H0：1000 H1：5%0000HPpHPp拒绝当接受当%10)4(%7)3(%1)2(%4)1(pppp若右单侧检验右单侧检验“怕大不怕小怕大不怕小”)1(接受域p 12STAT 建立零假设和备择假设总结：设设 表示在零假设和备择假设中考虑的某一特定数值。一般来表示在零假设和备择假设中考虑的某一特定数值。一般来说，对总体均值的假设检验采取下面的三种形式之一：说，对总体均值的假设检验采取下面的三种形式之一：0左单侧检验左单侧检验“怕小不怕大怕小不怕大”右单侧检验右单侧检验“怕大不怕小怕大不怕小”双侧检验：过大
6、过小均拒绝双侧检验：过大过小均拒绝0100:HH左侧检验0100:HH右侧检验0100:HH双侧检验13STAT 假设检验的关键是找到临界值。假设检验的关键是找到临界值。在实践中，我们通常确定允许犯第一类错误（弃真）的概率最大值，将其称为显著性水平。可以选择=0.05(在单侧检验时，其临界值为在单侧检验时，其临界值为1.645)1.645)或=0.01(在单侧检验时，其临界值为在单侧检验时，其临界值为2.33)2.33)14STAT 例：联邦贸易委员会定期进行调查，目的是检验生产商们对自己产品的陈述。例如，大听的希尔托普（Hilltop）咖啡的标签标明：听内至少装有3磅的咖啡，我们用假设检验来
7、检验标签的陈述是否正确。若抽取了36听咖啡作为样本。步骤：1.建立零假设和备择假设。H0：3 H1：3 若根据样本计算出来的样本平均重量低于3磅，我们就可以怀疑零假设的正确性。究竟样本低到什么程度我们才可以认为对总体所作的假定是错误的呢?即愿意冒犯第一类错误的风险，错误地控告该公司违背了标签的陈述。这将取决于决策者的态度。第二节 大样本情况下总体均值的单侧检验15STAT 当n=36时，样本均值服从正态分布，我们可以用统计量 的取值来衡量样本均值偏离总体均值的程度。我们先考察 的情况，下图表明观察到的样本均值低于总体均值的1.6451.645倍标准差的概率是倍标准差的概率是0.05(0.05(
8、在在单侧检验时单侧检验时)。如果FTC认为，犯第一类错误的概率为0.05是可以接受的，那么，只要统计量z的值显示样本均值低于总体均值的1.645倍的标准差以上，我们就可以拒绝零假设。也就是xxz01.645,Hz 我们就拒绝。316STATx 的抽样分布xn图1 样本均值低于总体均值的1.645倍的标准差的概率1.645x0.05317STAT 在进行检验之前，我们要确定犯第一类错误的最大允许概率，即显著性水平。在上例中，假定FTC的检验计划的主管人员作出了下列陈述：如果公司的产品重量符合技术规格的要求 ,我们就有99%的概率不对该公司采取不利的行动。当我们控告该公司的产品重量不足时，我们愿意
9、冒的犯这类错误的风险的概率是1%。可以推定 。查标准正态分布表，可得临界值为2.33(在单侧检验时在单侧检验时)。30.0118STAT若根据样本均值计算得Z值小于-2.33，就可以拒绝零假设，接受备择假设。称 假定根据36个听装咖啡样本计算出的均值 ，又根据以前的研究，我们知道总体的标准差 ，计算z值：2.33z 为拒绝域。2.9232.670.18/362.33,xxzz 落入拒绝域，则可以拒绝零假设。0.182.92x 19STAT 若 ，则统计量的值 2.97x 2.9731.000.18/362.33,xxzz 落入接受域，则不能拒绝零假设。STAT总结 在大样本情况下，无论总体标准
10、差已知或未知，样本均值总是服从正态分布正态分布左侧检验的一般步骤：左侧检验的一般步骤：1.1.建立零假设和备择假设建立零假设和备择假设 H0：0 H1：0 2.2.确定检验统计量：确定检验统计量：3.3.计算检验统计量的观测值计算检验统计量的观测值 4.4.根据事先确定的显著性水平，查标准正态分布表根据事先确定的显著性水平，查标准正态分布表得临界值得临界值 5.5.拒绝规则：拒绝规则：观测值落于拒绝域，则拒绝原假设；观测值落于拒绝域，则拒绝原假设；否则，不能拒绝否则，不能拒绝 （）,xxxxsznn或一、一、单个总体均值的单侧假设检验单个总体均值的单侧假设检验0,Hzz 拒绝。第二节 大样本情
11、况下总体均值的单侧检验同理，在大样本情况下，右侧检验的一般步骤：同理，在大样本情况下，右侧检验的一般步骤：1.1.建立零假设和备择假设建立零假设和备择假设 H0：0 H1：0 2.2.确定检验统计量：确定检验统计量：3.3.计算检验统计量的观测值计算检验统计量的观测值 4.4.根据事先确定的显著性水平，查标准正态分布表根据事先确定的显著性水平，查标准正态分布表得临界值得临界值 5.5.拒绝规则：拒绝规则：观测值落于拒绝域，则拒绝原假设；观测值落于拒绝域，则拒绝原假设；否则，不能拒绝否则，不能拒绝（）STAT0,Hzz拒绝。,xxxxsznn或22STAT 例：某市的一家公司生产一种新型的轮胎，
12、这种新型轮胎的设计规格是平均行驶里程至少为28000英里。随机抽取了30只轮胎作为一个样本进行检验，结果，样本均值是27500英里，样本标准差是1000英里。采用0.05的显著性水平，检验是否有足够的证据拒绝轮胎的平均行驶里程至少为28000英里的陈述。解：已知1.建立零假设和备择假设建立零假设和备择假设 H0：28000 H1：28000 028000,30,27500,1000,0.05,1.645nxsz 2.确定检验统计量：因为是大样本，所以确定检验统计量：因为是大样本，所以z z检验。检验。3.计算检验统计量的观测值计算检验统计量的观测值 4.根据事先确定的显著性水平，查标准正态分布
13、表根据事先确定的显著性水平，查标准正态分布表得临界值得临界值 5.观测值落于拒绝域，则拒绝原假设；否则，不能观测值落于拒绝域，则拒绝原假设；否则，不能拒绝拒绝 23STAT27500280002.74/1000/30 xxxzsn 02.741.645,Hzz 拒绝。即不能接受该公司关于轮胎的陈述。0.05,1.645z P值是指观察到的样本均值小于或等于观察值的概率。也可以称为观测的显著性水平。如上例来计算样本均值 的P值。我们已经给出检验统计量的值z=-2.74,查标准正态分布表，可以求出在均值与z=-2.74之间的区域面积是0.496928。由此得到样本均值小于或等于观察值 的概率是0.
14、5000-0.496928=0.003072，即P值就是0.003072。24STAT27500 x27500 x P值可以用来进行假设检验的决策，如果P值比显著性水平小，则检验统计量的值就在拒绝域内，若更大，则落入接受域内。上例中，P=0.003072,假设检验的P值标准 25STAT,P应该拒绝零假设。,P如果拒绝零假设。05.026STAT一、双侧检验例：根据美国高尔夫球协会的准则，只有射程和滚动距离平均正好是280码的高尔夫球可在比赛中使用。假定某公司最近开发了一种高技术生产方法，用这种方法生产的高尔夫球的射程和滚动距离平均为280码。现在抽取一个由36个高尔夫球的随机样本来检验该公司
15、的陈述是否为真。假定在显著性水平为0.05的条件下进行）。第三节 大样本情况下总体均值的双侧检验26930129627528227628427226330029526528226328626028526426828827126027029329929327327827827926626927427728129127STAT 先建立如下的零假设和备择假设：H0：=280 H1:280在大样本的情况下，仍然选择统计量Z,和单侧检验不同的是，此时的拒绝域分布在正态曲线的两侧，对应的概率均为 。查表时应该查 对应的临界值/xxxzsn22/2z28STAT 上例中，依据表中资料可计算得，则统计量的值为
16、根据给定的显著性水平278.5,12xs278.52800.75/12/36xxxzsn/20.05,1.96z可查表得/2/2,zzz落入接受域，不能拒绝零假设。STAT归纳：在大样本情况下，双侧检验的一般步骤：归纳：在大样本情况下，双侧检验的一般步骤：1.1.建立零假设和备择假设建立零假设和备择假设:H0：=0 H1:02.2.确定检验统计量：确定检验统计量：3.3.计算检验统计量的观测值计算检验统计量的观测值4.4.根据事先确定的显著性水平，查标准正态分布表根据事先确定的显著性水平，查标准正态分布表得临界值得临界值 5.5.拒绝规则：拒绝规则：观测值落于拒绝域，则拒绝原假设；观测值落于拒
17、绝域，则拒绝原假设；否则，不能拒绝否则，不能拒绝（）/2/20,Hzzzz 或拒绝。,xxxxsznn或30STAT对于前面关于高尔夫球的例子，我们已知对应样本均值 的z值是-0.75，从标准正态分布表可以查到，在均值和z值-0.75之间的面积是0.2734。因此，左侧的面积为0.2266，而此时左侧的拒绝域内的面积为 =0.025。0.22660.025，统计量不在拒绝域内，不能拒绝零假设，与前的结论相同。P值为z值对应一侧面积的2倍。此时，判断的标准仍然是 二、双侧检验的P值278.5x 2,P如果拒绝零假设。31STAT在大样本的情况下，给定置信水平 的总体均值的置信区间为：进行假设检验
18、时，首先需要对总体的参数作出假定：双侧检验双侧检验 H0：=0 H1:0 1已知时nZx2未知时2sxZn三、区间估计和假设检验的关系00/2/2根据拒绝规则，可知不能拒绝H 的区域包括位于的-z和z个标准差之间的所有样本均值。(1)32STAT 因此，双侧假设检验样本均值的非拒绝区域可以由下式给出：双侧假设检验的非拒绝域和置信区间之间的关系：已知时02Zn未知时02sZn200如果x在式（）中所定义的非拒绝区域之内，假定的值就在式（1）所定义的置信区间之内。反过来说，如果假定值就在式（1）所定义的置信区间之内，样本均值就在（2）所定义的假设检验的非拒绝区域之内。（2）33STAT 由此得到由
19、置信区间方法到假设检验的运算过程：假设的形式：H0：=0 H1:0（1）从总体中抽取一个简单随即样本构建总体均值的置信区间：（2）如果置信区间包含假定的 值，则不拒绝零假设 。否则，拒绝已知时nZx2未知时2sxZn00H0H34STAT 例：仍然采用前述关于高尔夫球的双侧检验的例子：H0：=280 H1:280根据样本数据我们已经计算得到：对于给定的置信水平可以得到总体均值的95%的置信区间为：278.5,12xs2195%,1.96Z2sxZn12278.5 1.9636即274.58282.42总体均值的假设值 在这个区间，所以我们不能拒绝零假设。028035STAT 在小样本情况下，且
20、总体方差未知时，此时只能使用样本标准差，样本统计量服从t分布，这时对总体均值的检验就应该采用t统计量来进行。例：如果机场的总体平均质量等级得分大于或等于7分，那么就可以认为该机场提供的服务质量为优良。现随机抽取了12个乘客作为样本，得到伦敦某机场的质量等级分数如下：7、8、10、8、6、9、6、7、7、8、9、8。假定总体的等级近似服从标准正态分布，在0.05的显著性水平下可以认为该机场服务质量优良吗？(1)/xtt nsn 第四节第四节 小样本情况下总体均值检验小样本情况下总体均值检验STAT1.1.建立零假设和备择假设建立零假设和备择假设2.2.选择统计量选择统计量t t，3.计算检验统计
21、量的观测值计算检验统计量的观测值4.根据事先确定的显著性水平，查根据事先确定的显著性水平，查t t分布表得临界值分布表得临界值5.观测值落于拒绝域，则拒绝原假设；否则，不能拒绝观测值落于拒绝域，则拒绝原假设；否则，不能拒绝 7.7572.14/1.125/12xtsn7.75,1.215xs依题可计算0.05,(11)1.796可查t分布表得t0.0502.141.796,Htt落入拒绝域，拒绝。即可以认为该机场提供了优良的服务。H0：7 H1:737STAT 另外，小样本下也可以运用P值来判断，判断的原则依然与前相同:,P如果拒绝零假设。38STAT 0用p表示总体比例，p 表示总体比例的某
22、一特定假设值，总体比例的假设检验有如下形式：第五节 总体比例的检验0100:pPHpPH左侧检验0100:pPHpPH右侧检验0100:pPHpPH双侧检验 我们只考虑 的情况下，样本比例服从正态分布下的总体比例的假设检验。只需要检验统计量中的均值换成比例对应的指标就可。例：在过去的几个月中，在松树溪打高尔夫球的人中有20%是女性。为了提高女性高尔夫球手的比例，球场采取了一项特殊的激励措施来吸引女性。一周以后，随机抽取了400名球手作为一个样本，结果有300名男性和100名女性。课程经理想知道这些数据是否支持他们的结论：松树溪的女性高尔夫球手的比例有所增加。39STAT30,5,(1)5nnp
23、np解：已知1.1.建立零假设和备择假设建立零假设和备择假设2.2.确定检验统计量确定检验统计量z z3.3.计算检验统计量的观测值计算检验统计量的观测值4.4.根据事先确定的显著性水平，查标准正态分布表得临根据事先确定的显著性水平，查标准正态分布表得临界值界值5.5.观测值落于拒绝域，则拒绝原假设；否则，不能拒绝观测值落于拒绝域，则拒绝原假设；否则，不能拒绝 0.05,1.645z若给定则有02.51.645,Hzz拒绝。即可以认为女性球手的比例有所增加。20.0:20.0:10PHPH25.04001004002.0p0pn，5.24008.020.020.025.0)p1(ppp0000
24、nppZp41STAT 同样，我们可以计算该检验的P值，已知z=2.50,标准正态分布表显示均值与2.5之间的面积为0.4938，则P=0.5000-0.4938=0.0062。小于显著性水平0.05，拒绝零假设。42 总结：单个总体的假设检验总结：单个总体的假设检验条件条件检验条件量检验条件量拒绝域拒绝域H0、H122zz0z0正态总正态总体体2已已知知ZZ0100:HH0100:HH0100:HHnxZ43条件条件检验条件量检验条件量拒绝域拒绝域H0、H122tt0t02t2t0正态总正态总体体2未未知知(n30)tt0100:HH0100:HH0100:HHnsxt44条件条件检验条件量
25、检验条件量拒绝域拒绝域H0、H122zz0z02Z2Z0非正态非正态总体总体n302已知已知或未知或未知ZZ0100:HH0100:HH0100:HHnsxtnxZ45条件条件检验条件量检验条件量拒绝域拒绝域H0、H122z(2)H0：PP0 H1：PP0(3)H0：PP0 H1：PP0z0z02Z2Z0np5nq5ZZnpZ)p1(pp000(1)H0：PP0 H1：PP046课堂作业：1.某食品厂生成果酱。标准规格是每罐净重250克，根据以往经验，标准差是3克。现在该厂生成一批这样的罐头，从中抽取100罐检验，其平均净重量251克。按规定0.05，问这批罐头是否合乎标准（或合乎要求）？47课堂作业：2.早先一调查机构声称65的被调查者认为收入低于平均水平，最近一个研究组织对500人再次进行调查，发现其中有350人认为收入低于平均水平。取显著性水平为0.05，检验调查机构的论断是否正确？
