1、第六章第六章 线性二次型最优控制问题线性二次型最优控制问题6.1 线性二次型最优控制问题的提法线性二次型最优控制问题的提法6.2 有限时间的状态调节器问题有限时间的状态调节器问题6.3 无限时间的状态调节器问题无限时间的状态调节器问题6.4 输出调节器问题输出调节器问题6.5 跟跟 踪踪 问问 题题*6.6 具有指定稳定度的最优调节器问题具有指定稳定度的最优调节器问题*6.7 在阶跃干扰作用下的状态调节器问题在阶跃干扰作用下的状态调节器问题*6.8 带有观测器的最优调节器问题带有观测器的最优调节器问题12019-8-3是指线性系统具有是指线性系统具有的最优控制问题，它呈现如下重要特性：的最优控
2、制问题，它呈现如下重要特性：。最优解可以写成统一的解。最优解可以写成统一的解析表达式。所得到的析表达式。所得到的是是，便于计算和工程实现。便于计算和工程实现。例如快速性、能量。例如快速性、能量消耗、终端准确性、灵敏度和稳定性等。消耗、终端准确性、灵敏度和稳定性等。在理论上，线性二次型最优控制问题是其它许多控制问题在理论上，线性二次型最优控制问题是其它许多控制问题的基础，有许多控制问题都可作为线性二次型最优控制问的基础，有许多控制问题都可作为线性二次型最优控制问题来处理。题来处理。线性二次型最优控制问题，在实践上得到了广泛而线性二次型最优控制问题，在实践上得到了广泛而成功的应用。可以说，线性二次
3、型最优控制问题是成功的应用。可以说，线性二次型最优控制问题是现代控制理论及其应用领域中现代控制理论及其应用领域中的一部分。的一部分。22019-8-36.1 线性二次型最优控制问题的提法线性二次型最优控制问题的提法 问题6.1.1 给定线性时变系统的状态方程和输出方程给定线性时变系统的状态方程和输出方程 其中，其中，X(t)是是n维状态变量，维状态变量，U(t)是是m维控制变量，维控制变量，Y(t)是是l维输维输出变量，出变量，A(t)是是n n时变矩阵，时变矩阵，B(t)是是n m时变矩阵。假设时变矩阵。假设1 l m n，U(t)不受约束。若不受约束。若Yr(t)表示预期输出变量，它是表示
4、预期输出变量，它是l维向量，则有维向量，则有 e(t)=Yr(t)Y(t)称为称为误差向量误差向量。现在的问题是，。现在的问题是，选择最优控制选择最优控制U*(t)使下列二次型性能指标使下列二次型性能指标 (6.1.2)()()()()()()()()X tA t X tB t U tY tC t X t011()()()()()()()()22ftTTTfftJetSe tet Q t e tUt R t U t dt（6.1.1）32019-8-3 为最小，这就是为最小，这就是线性二次型最优控制问题线性二次型最优控制问题。其中。其中S是是l l半正定半正定对称常数矩阵，对称常数矩阵，Q(t
5、)是是l l半正定对称时变矩阵，半正定对称时变矩阵，R(t)是是m m正正定对称时变矩阵，终端时间定对称时变矩阵，终端时间tf是固定的，终端状态是固定的，终端状态X(tf)自由。自由。性能指标（性能指标（6.1.26.1.2）的）的物理意义物理意义 式（式（6.1.2）中的第一部分）中的第一部分 称作称作终端代价终端代价，用它来限制终端误差，用它来限制终端误差e(tf)，以保证终端状以保证终端状态态X(tf)具有适当的具有适当的准确性准确性。式（式（6.1.2）中的第二部分）中的第二部分 称作称作过程代价过程代价，用它来限制控制过程的误差用它来限制控制过程的误差e(t)，以保证系以保证系1()
6、()2TffetSe t01()()()2ftTtet Q t e t42019-8-3统统响应具有适当的响应具有适当的快速性快速性。式（式（6.1.2）中的第三部分）中的第三部分 称作称作控制代价控制代价，用它来限制控制用它来限制控制U(t)的幅值及平滑性，以的幅值及平滑性，以保证系统保证系统安全运行安全运行。同时，它对限制控制过程的能源消耗。同时，它对限制控制过程的能源消耗也能起到重要的作用，从而保证系统具有适当的也能起到重要的作用，从而保证系统具有适当的节能性节能性。说明说明：（1）二次型性能指标是一种综合型性能指标。它可以兼顾）二次型性能指标是一种综合型性能指标。它可以兼顾终端状态的准
7、确性、系统响应的快速性、系统运行的安全性终端状态的准确性、系统响应的快速性、系统运行的安全性及节能性各方面因素。线性二次型最优控制问题（及节能性各方面因素。线性二次型最优控制问题（6.1.1）、）、（6.1.2）的实质是：）的实质是：用不大的控制能量，来保持较小的输出用不大的控制能量，来保持较小的输出误差，以达到控制能量和误差综合最优的目的误差，以达到控制能量和误差综合最优的目的。01()()()2ftTutLUt R t U t52019-8-3 （。例如，为。例如，为能尽快消除误差并提高终端准确性，就需较强的控制作用及能尽快消除误差并提高终端准确性，就需较强的控制作用及较大的能量消耗；而抑
8、制控制作用的幅值和降低能耗，必然较大的能量消耗；而抑制控制作用的幅值和降低能耗，必然会影响系统的快速性和终端准确性。如何对这些相互冲突的会影响系统的快速性和终端准确性。如何对这些相互冲突的因素进行因素进行合理折衷合理折衷，是系统设计者必须认真对待的课题。，是系统设计者必须认真对待的课题。这样，尽管各项单独的数值较大，但。这样，尽管各项单独的数值较大，但J的数值的数值可能很小，性能指标就无法反映各项指标的优劣。为防止出可能很小，性能指标就无法反映各项指标的优劣。为防止出现这种情况，应保证在各种实际运行情况下，现这种情况，应保证在各种实际运行情况下，。又。又因是以极小值作为最优标准，结合问题的物理
9、性质，各项符因是以极小值作为最优标准，结合问题的物理性质，各项符号均取正值。号均取正值。（4）。对后者而言，。对后者而言，设计者必须把希望达到的目标和设计者必须把希望达到的目标和t0、tf的选择联系起来。的选择联系起来。62019-8-3课前预习和讨论课前预习和讨论1、已经学过的最优控制问题的求解方法有哪些？它们之、已经学过的最优控制问题的求解方法有哪些？它们之间有何联系和区别？间有何联系和区别？2、什么样的最优控制问题称为、什么样的最优控制问题称为？3、线性二次型最优控制问题、线性二次型最优控制问题？4、你认为问题、你认为问题6.1.1所描述的线性二次型最优控制问题应所描述的线性二次型最优控
10、制问题应该该 为什么？为什么？5、？请具体说明！请具体说明！6、加权矩阵加权矩阵S，Q(t)和和R(t)意味着什么？意味着什么？7、你认为二次型最优控制问题的、你认为二次型最优控制问题的？72019-8-3上式所示的性能指标中上式所示的性能指标中加权矩阵加权矩阵S，Q(t)和和R(t)例如，提高例如，提高S阵中某一元素的比重，说明阵中某一元素的比重，说明更加重视与该元素对应的状态分量的终端准确性；提高更加重视与该元素对应的状态分量的终端准确性；提高Q(t)阵阵中某一元素的比重，中某一元素的比重，说明希望与之对应的状态分量具有较好说明希望与之对应的状态分量具有较好的快速响应特性的快速响应特性；而
11、提高；而提高这只是大致趋势，实际情况十分复杂。因此，如何这只是大致趋势，实际情况十分复杂。因此，如何安排各加权阵的各个元素之间的关系，乃是一件十分重要而安排各加权阵的各个元素之间的关系，乃是一件十分重要而又十分困难的工作又十分困难的工作。出于同样理由，。出于同样理由，Q(t)亦取半正定。但亦取半正定。但R(t)必须必须取正定，这是因为控制代价实际上可以反映控制过程的能量取正定，这是因为控制代价实际上可以反映控制过程的能量011()()()()()()()()22ftTTTfftJetSe tet Q t e tUt R t U t dt82019-8-3 消耗，而消耗，而UT(t)R(t)U(
12、t)则反映则反映，只要，只要U(t)不为零，不为零，。至于至于Q(t)及及R(t)，可能取为常数阵，也可能取可能取为常数阵，也可能取为时变阵。后者是为了为时变阵。后者是为了。例如，。例如，在控制过程的初期出现的较大误差，并非系统品质不佳所在控制过程的初期出现的较大误差，并非系统品质不佳所致，而是由系统的初始条件引起的，因此，不必过分重视致，而是由系统的初始条件引起的，因此，不必过分重视这种误差，以免引起控制作用这种误差，以免引起控制作用U(t)不必要的过大冲击，但控不必要的过大冲击，但控制过程的后期的误差直接与控制效果相关，必须给予足够制过程的后期的误差直接与控制效果相关，必须给予足够的重视。
13、只有把的重视。只有把Q(t)和和R(t)取为时变阵，才能适应控制过程取为时变阵，才能适应控制过程的这类时变需求。有时，为了防止模型的失调，也需要的这类时变需求。有时，为了防止模型的失调，也需要Q(t)及及R(t)具有时变性质。具有时变性质。92019-8-3 实际上，用适当选择实际上，用适当选择Q(t)和和R(t)数值数值比例的方法，同样可以把比例的方法，同样可以把U(t)的幅值限制在适当的范围之的幅值限制在适当的范围之内。这样，就可以在保持闭环系统内。这样，就可以在保持闭环系统的前提下，的前提下，实际上，对终态的要求，是利用性能指标的终端代价来反实际上，对终态的要求，是利用性能指标的终端代价
14、来反映的，性能指标中的终端代价用于限制终端误差，它表明映的，性能指标中的终端代价用于限制终端误差，它表明。102019-8-3若若C(t)=I（单位矩阵），单位矩阵），Yr(t)=0，则则 于是性能指标（于是性能指标（6.1.2）变为）变为 这时问题归结为：这时问题归结为：用不大的控制能量，使系统状态用不大的控制能量，使系统状态X(t)保保持在零值附近，因而称为持在零值附近，因而称为状态调节器问题状态调节器问题。()()()Y tX te t 011()()()()()()()()22ftTTTfftJXtSX tXt Q t X tUt R t U t dt状态调节器问题状态调节器问题112
15、019-8-3若若Yr=0，则则()()Y te t 于是性能指标（于是性能指标（6.1.2）变为）变为011()()()()()()()()22ftTTTfftJYtSY tYt Q t Y tUt R t U t dt这时问题归结为：这时问题归结为：用不大的控制能量，使系统输出用不大的控制能量，使系统输出Y(t)保持在零值附近，保持在零值附近，故称为输出调节器问题。故称为输出调节器问题。输出调节器问题输出调节器问题122019-8-3 若若Yr(t)0，则则 于是性能指标（于是性能指标（6.1.2）可写为）可写为 这时问题转化为：这时问题转化为：用不大的控制量，使系统输出用不大的控制量，使
16、系统输出Y(t)紧紧紧跟随紧跟随Yr(t)的变化，故称为的变化，故称为跟踪问题跟踪问题。()()()re tY tY t01()()()()21()()()()()()()()2fTrffrfftTTrrtJY tY tS Y tY tY tY tQ t Y tY tUt R t U tdt跟踪问题跟踪问题132019-8-36.2 有限时间的状态调节器问题有限时间的状态调节器问题问题6.2.1 给定线性定常系统的状态方程和初始条件给定线性定常系统的状态方程和初始条件 其中其中X(t)是是n维状态变量，维状态变量，U(t)是是m维控制变量，维控制变量，A是是n n常数矩阵，常数矩阵，B是是n
17、m常数矩阵。性能指标是常数矩阵。性能指标是 其中其中Q是是n n非负定、对称的常数矩阵，非负定、对称的常数矩阵，R是是m m正定、正定、对称的常数矩阵，对称的常数矩阵，。00()()()()X tAX tBU tX tX（6.2.1）01()()()()2ftTTtJXt QX tUt RU t dt（6.2.2）142019-8-3 现在的问题是，现在的问题是，要求确定要求确定使使。这样。这样的最优控制问题是以较小的控制能量为代价，的最优控制问题是以较小的控制能量为代价，使状态变量使状态变量X(t)保持在零值附近，故称为保持在零值附近，故称为又考虑到终端时间又考虑到终端时间tf是有限的，故称
18、为是有限的，故称为。相应的最优控制。相应的最优控制U*(t)称为最优调节作用或最优调节器。称为最优调节作用或最优调节器。152019-8-3下面应用下面应用来求解这个问题。来求解这个问题。解解：构造构造Hamilton函数函数 因为控制函数因为控制函数U(t)本身不受约束，所以有本身不受约束，所以有 11()()()()()()()()22TTTTHXt QX tUt RU tt AX tt BU t*10()()()0()()TTHU tRU tBtUtR Bt 2*20()()HRUtHUt（正定，说明使 为极小值）（6.2.3）162019-8-3 式（式（6.2.3）表明，最）表明，最
19、。但是，由于协态变量在实际系统中是不存在的，自然也无法但是，由于协态变量在实际系统中是不存在的，自然也无法检测到。因此式（检测到。因此式（6.2.3）的最优调节作用在工程上是难以实）的最优调节作用在工程上是难以实现的。为了便于在工程上实现，需将调节作用现的。为了便于在工程上实现，需将调节作用U(t)表示成系统表示成系统状态变量状态变量X(t)的函数。令：的函数。令：其中其中P(t)是是n n待定的时变矩阵。对上式两边求导数，得待定的时变矩阵。对上式两边求导数，得 规范方程规范方程 为：为：()()()tP t X t()()()()()tP t X tP t X t11()()()()()()
20、TTX tAX tBR BtX tABR B P tX t()()()()()()TTtQX tAttQA P tX t 1()()()()()()0TTP tP t BR B P tP t AA P tQ X t172019-8-3 由于由于X(t)是任意的，所以有是任意的，所以有 由于终端状态由于终端状态X(tf)是自由是自由 的，故相应的协态变量的的，故相应的协态变量的 终端值为终端值为 所以，所以，1()()()()()0TTP tP t BR B P tP t AA P tQ1()()()()()TTP tP t AA P tP t BR B P tQ()0ft()0fP t（6.2
21、.4）182019-8-3 由微分方程理论的存在与唯一性定理，可以证明由微分方程理论的存在与唯一性定理，可以证明P(t)存在而且唯一存在而且唯一。对于任意的对于任意的t t0，tf，P(t)均为均为对称阵对称阵，即，即 P(t)PT(t)若若R是正定矩阵，是正定矩阵，Q是半正定矩阵，则是半正定矩阵，则P(t)（t0 t tf）是半正定矩阵；若是半正定矩阵；若R是正定矩阵，是正定矩阵，Q是正定矩阵，是正定矩阵，则则P(t)（t0 t tf）是正定矩阵。是正定矩阵。证明略。证明略。192019-8-3命题6.2.1 问题问题6.2.1的最优调节作用必为如下形式的最优调节作用必为如下形式的状态反馈的
22、状态反馈 其中其中P(t)是矩阵黎卡提微分方程是矩阵黎卡提微分方程 满足边界条件满足边界条件 的对称解。并且状态最优轨线的对称解。并且状态最优轨线X*(t)是状态方程是状态方程*1()()()TUtR B P t X t 1()()()()()TTP tP t AA P tP t BR B P tQ()0fP t1()()()TX tABR B P tX t202019-8-3 满足初始条件满足初始条件 的解。的解。若令若令 ，则有，则有 其中其中K(t)称为称为反馈增益矩阵反馈增益矩阵。这样就构成了一个状态。这样就构成了一个状态反馈最优调节系统，如图反馈最优调节系统，如图61所示。所示。0(
23、)0X t1()()TK tR B P t*()()()UtK t X t B+A()U t()X t()X t图 41-K(t)图图6-1212019-8-3 设设U(t)是任意的控制作用，是任意的控制作用，X(t)是相应于是相应于U(t)的状态轨线，的状态轨线，性能指标（性能指标（6.2.2）除了依赖于）除了依赖于U(t)之外，还依赖于之外，还依赖于状态状态初值初值X(t0)。因此，性能指标可记为因此，性能指标可记为 特别是当控制作用为最优值特别是当控制作用为最优值U*(t)时，性能指标记为时，性能指标记为 001(),()()()()()2ftTTtJ X tU tXt QX tUt R
24、U t dt*000(),(),()JX ttJ X tUt222019-8-3 且性能指标的最小值为：且性能指标的最小值为：证明：证明：命题命题6.2.2的前半部分，即关于最优调节作用的充分性，的前半部分，即关于最优调节作用的充分性，在第三章最大值原理的推论中已经证明了。在那里，我们曾在第三章最大值原理的推论中已经证明了。在那里，我们曾经指出，对于线性系统（经指出，对于线性系统（6.2.1）来说，最大（小）值原理是）来说，最大（小）值原理是使性能指标（使性能指标（6.2.2）达到最小值的必要和充分条件。因此，）达到最小值的必要和充分条件。因此，下面只证明命题下面只证明命题6.2.2的后半部分
25、的后半部分 因为因为*1()()()TUtR B P t X t*000001(),()()()2JX ttX t P tX t()()()()()()()()()()()TTTTdXt P t X tXt P t X tXt P t X tX P t X tdt232019-8-3 将系统状态方程（将系统状态方程（6.2.1）和黎卡提微分方程（）和黎卡提微分方程（6.2.4）代入上）代入上式，经整理得式，经整理得 分别对上式两边进行积分分别对上式两边进行积分11()()()()()()()()()()()()()TTTTTTdXt P t X tXt QX tUt RU tdtU tR B
26、P t X tR U tR B P t X t 00000()()()()()()|()()()()()()ffttTTttTTfffdXt P t X t dtXt P t X tdtXtP tX tXt P tX t 0000()()()TXt P tX t 0()()()()ftTTtXt QX tUt RU t dt 011()()()()()()ftTTTtU tR B P t X tR U tR B P t X tdt242019-8-3 上式进一步整理得上式进一步整理得 所以，所以，性能指标的最小值为性能指标的最小值为 0000()()()()()()()ftTTTtXt QX
27、tUt RU tdtXtP tX t011()()()()()()ftTTTtU tR B P t X tR U tR B P t X tdt001(),()()()()()2ftTTtJ X tU tXt QX tUt RU t dt0111()()()()()()2ftTTTtU tR B P t X tR U tR B P t X tdt0001()()()2TXt P tX t*000()(),min(),()U tJX ttJ X tU t252019-8-3 由于由于R是正定矩阵，上式最后一个等号的右端第二是正定矩阵，上式最后一个等号的右端第二项是非负的，故当项是非负的，故当 0(
28、)1min()()()()2ftTTtU tXt QX tUt RU t dt000()1min()()()2TU tXt P tX t0111()()()()()()2ftTTTtU tR B P t X tR U tR B P t X t dt0001()()()2TXt P tX t011()1min()()()()()()2ftTTTtU tU tR B P t X tR U tR B P t X t dt*1()()()TUtR B P t X t 262019-8-3 时，性能指标时，性能指标JX(t0)，U(t)达到最小值，且为达到最小值，且为 QED 说明：由命题由命题6.2.
29、2可知，若初始时刻为可知，若初始时刻为t，初始状态为初始状态为X(t)，则性能则性能指标的最小值为指标的最小值为*000001(),()()()2JX ttX t P tX t*()(),min(),()U tJX t tJ X t U t()1min()()()()2ftTTtU tXQXURUdt1()()()2TXt P t X t272019-8-3 证明证明：1由于由于U*(t)=R1BTP(t)X(t)，而而P(t)是存在的，故是存在的，故U*(t)亦存在。亦存在。2 应用反证法。设应用反证法。设U*(t)不是唯一的，并设不是唯一的，并设U*(t)和和 均为最优均为最优控制，则由控
30、制，则由P(t)的唯一性，得的唯一性，得 将上述两个式子分别代入系统状态方程（将上述两个式子分别代入系统状态方程（6.2.1），得），得*()Ut*1()()()TUtR B P t X t*1()()()TUtR B P t X t 1()()()TX tABR B P t X t1()()()TX tABR B P t X t000()()X tX tX282019-8-3 由此可知，由此可知，X(t)及及 乃是同一微分方程在同一边界条件乃是同一微分方程在同一边界条件下的解。根据微分方程在给定边界条件下解的唯一性，有下的解。根据微分方程在给定边界条件下解的唯一性，有 从而有从而有 QED
31、综合命题综合命题6.2.1、命题、命题6.2.2和命题和命题6.2.3，可得如下定理：，可得如下定理：给定线性定常系统的状态方程给定线性定常系统的状态方程 其中其中U(t)不受约束。初始条件不受约束。初始条件X(t0)=X0和和性能指标性能指标 则最优控制存在且唯一，最优控制的则最优控制存在且唯一，最优控制的是是 ()X t()()X tX t*()()UtUt()()()X tAX tBU t01()()()()2ftTTtJXt QX tUt RU t dt292019-8-3 其中其中P(t)是是 满足满足 的的。并且，当并且，当Q为半正定对称矩阵时，为半正定对称矩阵时，P(t)(t0
32、t tf)是半正定对称矩阵；而当是半正定对称矩阵；而当Q为正定对称矩阵时，为正定对称矩阵时，P(t)是正定对称矩阵。性能指标的最小值为是正定对称矩阵。性能指标的最小值为 状态最优轨线是下列状态方程状态最优轨线是下列状态方程 满足初始条件满足初始条件X(t0)=X0的解。的解。*1()()()TUtR B P t X t 1()()()()()TTP tP t AA P tP t BR B P tQ()0fP t*000001(),()()()2TJX ttXt P tX t1()()()TX tABR B P t X t302019-8-3 例6.2.1 设调节对象的状态方程为：设调节对象的状
33、态方程为：性能指标为性能指标为 其中其中q0，r0，要求确定最优调节作用和状态最优轨线。要求确定最优调节作用和状态最优轨线。解解：这是这是有限时间状态调节器问题，所以有限时间状态调节器问题，所以 其中其中p(t)满足方程满足方程 0()()()(0)x tax tu txx2201()()2ftJqxtru t dt*1()()()u tp t x tr 21()2()()()0fp tap tptqrp t 312019-8-3 利用利用解此方程，得解此方程，得 由此得由此得 其中其中 状态最优轨线是下列状态方程状态最优轨线是下列状态方程()0()2()1()2()ffp ttp ttdp
34、tdptap tqr2()2()()(1)()1ft tft taep traea2qar（6.2.6）322019-8-3 的解。解此方程得的解。解此方程得 最优调节的闭环系统之方程图如图最优调节的闭环系统之方程图如图62所示。图中所示。图中 表示信表示信号相乘。虚线部分表示号相乘。虚线部分表示p(t)的求解装置，的求解装置，p(0)可由式（可由式（6.2.6）求得。特别当求得。特别当tf=1，x(0)=1，q=1，a=1，而而r分别为分别为1，0.1和和0.02时，其最优调节作用时，其最优调节作用u*(t)，最优轨线最优轨线x*(t)和黎卡提方和黎卡提方程的解程的解p(t)如图如图63所示
35、。所示。01()()()(0)x tap t x trxx01()*0()taPdrx tx e332019-8-3+-图 42-+2a2()ptr(0)p()p t()p t1r()()()x tax tu t()u t()x tq图图6-2*1()()()u tp t x tr 21()2()()()0fp tap tptqrp t 342019-8-3352019-8-3 对图对图63的说明：的说明：由图由图63（a）可见，当可见，当r很小时，意即控制作用的价值很小时，意即控制作用的价值并不重要，控制轨线并不重要，控制轨线x(t)将迅速回到零；当将迅速回到零；当r很大时，意很大时，意即控
36、制作用的价值十分重要，状态轨线即控制作用的价值十分重要，状态轨线x(t)将衰减得很将衰减得很慢。慢。如图如图63（b）可见，随着可见，随着r的减小，在控制区间的减小，在控制区间0，1起始部分的控制变量的幅值变得很大起始部分的控制变量的幅值变得很大；当当r趋于零时，趋于零时，控制变量逐渐演变成为控制变量逐渐演变成为t=0时的脉冲。时的脉冲。由图由图63（c）可见，随着可见，随着r的减小，的减小，p(t)在控制区间在控制区间0，1的起始部分几乎是一常数；当的起始部分几乎是一常数；当r减小时，减小时，p(t)仅仅在仅仅在控制区间的最后部分才表现出时变的性质；随着控制区间的最后部分才表现出时变的性质；
37、随着r的增的增大，大，p(t)就成为真正的时变了。就成为真正的时变了。362019-8-3本节几点说明本节几点说明 若性能指标为若性能指标为 其中其中S为半正定对称矩阵，为半正定对称矩阵，则定理，则定理6.2.1仍仍然成立，但是，然成立，但是，这是由于在这种情况下这是由于在这种情况下 又考虑又考虑 所以所以 011()()()()()()22ftTTTfftJXtSX tXt QX tUt RU t dt()fP tS()()fftSX t()()()ffftP tX t()fP tS372019-8-3 如果给定的如果给定的 且性能指标为且性能指标为 假设假设A(t)，B(t)，Q(t)和和
38、R(t)的诸元素都是的诸元素都是，并且，并且A(t)，B(t)，Q(t)，R(t)和和R-1(t)都是有界都是有界的，则定理的，则定理6.2.1仍然成立，只要将仍然成立，只要将A，B，Q和和R分别改分别改为为A(t)，B(t)，Q(t)和和R(t)，边界条件由边界条件由P(tf)=0改为改为P(tf)=S即可。即可。00()()()()()()X tA t X tB t U tX tX011()()()()()()()()22ftTTTfftJXtSX tXt Q t X tUt R t U t dt382019-8-3 在在6.2节讨论的状态调节器问题中，所得到最优调节节讨论的状态调节器问题
39、中，所得到最优调节作用是状态变量的线性函数，可以实现状态反馈的作用是状态变量的线性函数，可以实现状态反馈的闭环控制。但是，其闭环控制。但是，其 却是却是的。这在工程实现上是极不方便的。如果的。这在工程实现上是极不方便的。如果我们能够得到定常的反馈增益矩阵，那将给工程实我们能够得到定常的反馈增益矩阵，那将给工程实现带来极大的方便。从下面的讨论中将会看到，现带来极大的方便。从下面的讨论中将会看到，当当线性定常系统是完全可控的线性定常系统是完全可控的，并且终端时刻并且终端时刻tf趋于趋于无限时，就可得到非时变的状态调节器无限时，就可得到非时变的状态调节器，即这时的即这时的反馈增益矩阵是一个反馈增益矩
40、阵是一个定常定常矩阵。矩阵。1()()TK tR B P t392019-8-3 问题6.3.1 给定给定线性定常系统的状态方程和初线性定常系统的状态方程和初始条件始条件 以及性能指标以及性能指标 其中其中Q和和R都是都是。假定。假定U(t)不受约束，要不受约束，要求确定最优调节作用求确定最优调节作用U*(t)，使性能指标（使性能指标（6.3.2）达到最小）达到最小值。该问题与上一节所讨论的问题相类似，也是一种状态值。该问题与上一节所讨论的问题相类似，也是一种状态调节器问题，但是，由于终端时刻调节器问题，但是，由于终端时刻，故称为，故称为，有时也称为，有时也称为。00()()()()X tAX
41、 tBU tX tX01()()()()2TTtJXt QX tUt RU t dt（6.3.1）（6.3.2）402019-8-3 对于对于，可以将它看成是在上一节，可以将它看成是在上一节所讨论的有限时间的状态调节器问题中，令所讨论的有限时间的状态调节器问题中，令tf时的极限时的极限情况来处理。即情况来处理。即 由上节定理由上节定理6.2.1可知，对于给定的系统（可知，对于给定的系统（6.3.1），使性能指），使性能指标标 达到最小值的最优调节作用为达到最小值的最优调节作用为 001()()()()21lim()()()()2ffTTttTTttJXt QX tUt RU t dtXt QX
42、 tUt RU t dt01()()()()2ftTTtJXt QX tUt RU t dt*1()()()TUtR B P t X t 412019-8-3 其中其中P(t)是下列矩阵黎卡提微分方程是下列矩阵黎卡提微分方程 满足边界条件满足边界条件 的正定对称解。的正定对称解。可以可以证明证明，正定对称矩阵，正定对称矩阵P(t)的每个元素的每个元素pij(t)(i，j=1,2,3,n)随时间变化的情况如图随时间变化的情况如图64所示。由图可见，当所示。由图可见，当tf很大时，很大时，随着随着t的减小的减小pij(t)将达到稳定值将达到稳定值 ，并且随着，并且随着tf的增加，此稳的增加，此稳态
43、值的时间区间将加宽。当态值的时间区间将加宽。当tf时，此稳态值的时间区间时，此稳态值的时间区间也将趋于无穷大。所以当给定的系统（也将趋于无穷大。所以当给定的系统（6.4.1）完全可控完全可控时时 而而 1()()()()()TTP tP t AA P tP t BR B P tQ()0fP tijplim(),(0)fftP tPtt 0P 图 440ijpt图图6-4422019-8-3 于是，当于是，当tf时，矩阵黎卡提微分方程就转化为如下时，矩阵黎卡提微分方程就转化为如下矩阵矩阵黎卡提黎卡提代数方程代数方程：由于性能指标（由于性能指标（6.3.2）可表示为）可表示为 所以系统（所以系统（
44、6.3.1）在性能指标为（）在性能指标为（6.3.2）时的最优调节作）时的最优调节作用为用为 10TTPAA PPBR B PQ01lim()()()()2fftTTttJXt QX tUt RU t dt*1()lim()()fTtUtR B P t X t11lim()()()()fTtTR BP tX tR B PX tKX t 432019-8-3 给定线性定常系统的状态方程和初始条件给定线性定常系统的状态方程和初始条件 其中其中A，B为定常矩阵，系统（为定常矩阵，系统（A，B）是完全可控的，控是完全可控的，控制函数制函数U(t)不受约束。性能指标为不受约束。性能指标为 其中其中Q，R
45、是定常对称正定矩阵，则使性能指标是定常对称正定矩阵，则使性能指标J达到最小达到最小值的最优调节作用为值的最优调节作用为 其中其中 是矩阵黎卡提代数方程是矩阵黎卡提代数方程 的唯一正定对称解。而状态最优轨线的唯一正定对称解。而状态最优轨线X*(t)是状态方程是状态方程 00()()()()X tAX tBU tX tX01()()()()2TTtJXt QX tUt RU t dt*1()()TUtR B PX t P10TTPAA PPBR B PQ442019-8-3 满足初始条件满足初始条件 的解。性能指标的最小值为的解。性能指标的最小值为 最优调节系统的方框图如图最优调节系统的方框图如图
46、65所示。所示。1()()TX tABR B P X t00()X tX*00001(),()()2TJX ttXt PX tB+A()X t()X t图 45-K图图6-5452019-8-3 对于对于，即，即X()=0。不然，性能指标值将为无穷大，问题将无解。由于不然，性能指标值将为无穷大，问题将无解。由于X()=0，所以在性能指标中设置终端代价是多余的。所以在性能指标中设置终端代价是多余的。定理定理6.3.1中的闭环最优调节系统中的闭环最优调节系统 是渐进稳定的。是渐进稳定的。证明证明：利用反证法来证明该定理。为此令利用反证法来证明该定理。为此令 假设系统（假设系统（6.3.3）不是渐进
47、稳定的，则）不是渐进稳定的，则A1必具有非负实部必具有非负实部的特征根。于是，当的特征根。于是，当tf时，状态变量时，状态变量X(t)不会趋于零，不会趋于零，即即 100()()()TX tABR B P X tX tX11TAABR B P（6.3.3）462019-8-3 由于由于Q和和R都是正定矩阵，故当都是正定矩阵，故当tf时，性能指时，性能指标的最优值标的最优值J*X(t0)，t0将趋于无穷大，即将趋于无穷大，即这与性能指标的最优值这与性能指标的最优值 为有限值相矛盾，所以系统（为有限值相矛盾，所以系统（6.3.3）是渐进稳定的。）是渐进稳定的。lim()0tX t0*001lim(
48、),lim()()()()2ffftTTtttJX ttXt QX tUt RU t dt*00001(),()()2TJX ttXt PX t472019-8-3定常矩阵定常矩阵 的计算方法的计算方法v直接直接v首先首先 得到其解为得到其解为 然后令然后令tf，t=0或者或者tf=0，t=，则可得到则可得到 。P10TTPAA PPBR B PQ1()()()()()()0TTfP tP t AA P tP t BR B P tQP t()(,)ffP tP t tt（终端时刻是 时之值）P482019-8-3 二阶可控系统的状态方程：二阶可控系统的状态方程：最优控制最优控制u*(t)应使性
49、能指标应使性能指标 取极小值。试求出最优控制取极小值。试求出最优控制u*(t)，并绘出最优反馈系统的结，并绘出最优反馈系统的结构图。构图。解解：已知：已知12212()()()3()2()()x tx tx tx tx tu t 2221201()()()2Jxtxtut dt01010,132101ABQR 492019-8-3 故最优控制为故最优控制为 其中，其中，P满足代数满足代数Riccati方程方程 经整理，并注意到经整理，并注意到p12=p21，得得11121*121222()()()01()Tppx tu tR B PX tppx t 121222()()p x tp x t10
50、TTPAA PPBR B PQ1112111221222122111211122122212201033212010000110100pppppppppppppppp 502019-8-3 由此得由此得 所以，最优控制为：所以，最优控制为：系统的最优反馈结构图如图系统的最优反馈结构图如图66所示。所示。21212111222122221222226102302410pppppp pppp 111222610(2 101),3102 1012ppp *12()(310)()(22 101)()u tx tx t512019-8-32 101图 461x21xx 2()x t10图图6-65220
