1、Chapter 4 指數函數與對數函數4-1Chapter 4 指數函數與對數函數指數函數與對數函數l課程內容指數函數指數函數對數函數對數函數對數函數的導數對數函數的導數指數函數的導數指數函數的導數經濟學上的兩個應用：經濟學上的兩個應用：相對變化率與需求彈相對變化率與需求彈性性指數成長與衰退指數成長與衰退l學習目標指數函數與對數函數指數函數與對數函數的意義及其圖形的意義及其圖形如何求指數函數與對如何求指數函數與對數函數的導數數函數的導數指數函數與對數函數指數函數與對數函數在經濟學上的應用在經濟學上的應用 瞭解成長與衰退的指瞭解成長與衰退的指數模型數模型Chapter 4 指數函數與對數函數4-
2、2指數函數指數函數l本章，將介紹兩類重要函數，即指數函數(exponential function)與對數函數(logarithmic function)，進而探討這些函數的特性，導數以及在經濟學和其他領域上的應用。l定義4-1:設 a 0 且 a 1，則 f(x)=ax 稱為以 a 為底(base)的指數函數，其中 x 稱為指數(exponent)。4-1 指數函數Chapter 4 指數函數與對數函數4-3描繪指數函數圖形描繪指數函數圖形l描繪 f(x)=2x 之圖形。l描繪 之圖形。xxf21)(4-1 指數函數Chapter 4 指數函數與對數函數4-4指數函數之性質及圖形指數函數之性
3、質及圖形l定理4-1:設 f(x)=ax 為指數函數，則(a)f(x)之定義域為(-,)。(b)f(x)之值域為(0,)。(c)f(x)之 y 截距為 f(0)=a0=1，但無 x 截距。(d)f(x)為連續函數。(e)若 a 1，則 f(x)為遞增函數，其圖形如左圖所示。(f)若 0 a 0，則 y=ekx 之圖形如左圖所示，y=e-kx 之圖形如右圖所示。0,-keykx4-1 指數函數Chapter 4 指數函數與對數函數4-15隨堂演練隨堂演練4-11.描繪 y=3x 與 y=3-x 之圖形。2.將 1000 元存放在年利率8%之銀行裡，求下列各種情況下，10 年後之本利和。a.每年複
4、利一次。b.每季複利一次。c.每月複利一次。d.連續複利。3.在漲跌幅 7%的台北股票市場，某一支股票，每股以 50 元上市交易，連續漲停 10 個交易日，求第10 個交易日之收盤價。4.求極限5.描繪函數 y=2+ex 與 y=2+e-x 之圖形。xxxxxx211lim ,211lim4-1 指數函數Chapter 4 指數函數與對數函數4-16對數函數對數函數l定義4-5:設 a 0 且 a 1。若 a y=x，則 y 稱為以 a 為底(base)x 之對數(logarithm)，通常表示成 y=loga x 且 y 稱為以 a 為底之對數函數(logarithmic function)
5、。l求對數求 log2 8。求 。4-2 對數函數9log31Chapter 4 指數函數與對數函數4-17對數函數之性質及圖形對數函數之性質及圖形l定理4-2:設 f(x)=loga x 為對數函數，則(a)f(x)之定義域為(0,)。(b)f(x)之值域為(-,)。(c)f(x)之 x 截距為 1，即 loga 1=0，但無 y 截距。(d)f(x)為連續函數。(e)對任意 x 1，；對任意數 y，。(f)若a 1，則 f(x)為遞增函數，且其圖形如左圖。(g)若0 a 0，f(x)=xx，求 f(x)。47431)2(xxxy4-3 對數函數的導數Chapter 4 指數函數與對數函數4
6、-28隨堂演練隨堂演練4-31.求下列函數之導數：2.利用對數微分法求下列函數之導數：3.求 ln(0.9)與 ln(1.01)之線性近似。4.求 y=x+ln x 在 x=e 之切線方程式。5.描繪 y=x+ln x 之圖形。-11log c.)13(log b.)7ln(a.5xxyxyxy3273322)1()5(c.)1(b.)5()1(a.-xxyxyxxyx4-3 對數函數的導數Chapter 4 指數函數與對數函數4-29指數函數的導數指數函數的導數l定理4-6:設 f(x)=ex，則 f(x)為可微函數且 f(x)=ex，即 。l定理4-7:若 u(x)為可微函數，則 eu(x
7、)亦為可微函數且l定理4-8:設 a 0，a 1。則 ax 為可微函數且 若 u(x)為可微，則 au(x)亦為可微且4-4 指數函數的導數xxdxdee)()()(xueexuxudxdxxdxdaaa)(ln)()(ln)()(xuaaaxuxudxdChapter 4 指數函數與對數函數4-30指數函數的導數指數函數的導數l求 之導數。l求 y=ex 在 x=0 之切線方程式。l判別 y=ex 圖形之凹性。l求 e0.01 之線性近似。12xe4-4 指數函數的導數Chapter 4 指數函數與對數函數4-31指數函數的導數指數函數的導數l(a)求 f(x)=2x 之導數。(b)求 之導
8、數。l求(a)(b)l求 之相對極值。)(xdxdxe2)1()(xexg2)(xexf-)1ln(xdxde4-4 指數函數的導數Chapter 4 指數函數與對數函數4-32隨堂演練隨堂演練4-41.求下列函數之導數：2.求 之相對極值並描繪其圖形。3.求 之線性近似。4.某公司經銷某種商品，其需求函數為 x=D(p)=500e-0.2p。求收入函數 R(p)與邊際收入函數 R(p)。5.證明函數 為遞增函數並描繪其圖形。)1ln(c.b.3 a.2252-xeyexyyxxx12-xey5.01e2)(xxexf4-4 指數函數的導數Chapter 4 指數函數與對數函數4-33經濟學上
9、的應用經濟學上的應用l定義4-7:相對變化率(relative rate of change)設 f(t)為可微函數且 f(t)0，則 f(t)之相對變化率為 。l求相對變化率郵局之存款由公元 2000 年起預估總額為 (其中 t 以年為單位)，試問 16 年後郵局存款總額之相對變化率為何？某公司在 t 年時其負債總額為 (萬元)，試問該公司在第 8 年時其負債之相對變化率為何？4-5 經濟學上的兩個應用)()()(lntftfdtdtftetS2)(31300)(tetfChapter 4 指數函數與對數函數4-34需求彈性需求彈性l假設 x=D(p)為一需求函數，需求量之相對變化率為 且售
10、價之相對變化率為 。因此，l定義4-8:設 x=D(p)為需求函數，則需求彈性為 若 E(p)1，則需求具彈性(elastic)。若 E(p)1，則需求不具彈性(inelastic)。若 E(p)=1，則需求為單位彈性(unit elasticity)。)(lnpDdpdpdpdln)()(1)()(ln)(lnpDpDpppDpDdpddpdppD售價之相對變化率需求量之相對變化率)()()(pDpDppE-4-5 經濟學上的兩個應用Chapter 4 指數函數與對數函數4-35l設 x=D(p)=20-p2 為需求函數，求 p=2 和 p=4 之需求彈性，並作適當之解釋。需求彈性需求彈性l
11、解:所以，E(2)=8/16=1/2=0.5，即當 p=2 時，需求不具彈性；E(4)=32/(20-16)=8，即當 p=4 時，需求具彈性。22220220)2()()()(ppppppDpDppE-4-5 經濟學上的兩個應用l在 p=2 時，1%單位售價之變化只引起 0.5%需求量之變化。lE(4)=8 表示在 p=4 時，1%單位售價之變化引起8%需求量之變化。Chapter 4 指數函數與對數函數4-36l某家早餐店老闆估計每天三明治的需求函數為 D(p)=60-p，求三明治之售價 p=10 元時之需求彈性。需求彈性需求彈性l解:所以，E(10)=10/50=0.2，故在 p=10
12、時，需求不具彈性，即當售價為10元時，1%之售價變化只引起 0.2%之需求量變化。pppppDpDppE-6060)()()(4-5 經濟學上的兩個應用Chapter 4 指數函數與對數函數4-37需求彈性的功能需求彈性的功能l需求彈性的功能是用來決定當單位售價為 p 時，為了增加總收入，我們應該提高或降低單位售價的策略。l設 x=D(p)為一需求函數，則總收入為 R=px=pD(p)。當 E(p)0，所以提高售價可以增加總收入。當 E(p)1 時，即需求具彈性，R(p)0，則 N(t)稱為指數成長(exponential growth)。若k 0 時，N(t)稱為指數衰退(exponenti
13、al decay)。4-6 指數成長與衰退Chapter 4 指數函數與對數函數4-41l某一果園果蠅的成長率和當時的果蠅數成比率，若在開始時有100 隻果蠅，第 5 天時果蠅數為 200 隻，試問 20 天後果蠅之總數為何？l解:設 N(t)表時間 t 時之果蠅數，由題意知 N(t)=kN(t)且 N(0)=100，因此，N(t)=100ekt。族群之成長族群之成長 再根據題意，N(5)=200，所以 200=100e5k。即 e5k=2，5k=ln 2，k=ln 2/5。所以，。在20天後之果蠅數為tetN52ln100)(1600)2(100100100)20(42ln42052lnee
14、N4-6 指數成長與衰退Chapter 4 指數函數與對數函數4-42放射性物質之衰退放射性物質之衰退l設某一放射性物質之退化率和當時的量成比率。若原來有100毫克之放射性物質經過10天後衰退至80毫克，試問其半衰期為多久？即何時衰退至50毫克。tkkktetNkeeNetN)ln(5410154101054101100)(ln80100)10(100)(31 ln)ln(100505ln4ln2ln10lnln215410121ln)ln(54101215410154101-TTeeTT4-6 指數成長與衰退Chapter 4 指數函數與對數函數4-43隨堂演練隨堂演練4-61.設 N(t)為一函數滿足 N(t)=5N(t)，求 N(t)。2.設 N(t)為一函數滿足 N(t)=5N(t)且 N(0)=2，求 N(t)。3.設 y-3y=0 且 y(0)=1，求 y。4.已知細菌的培養過程中，成長率與當時的細菌數成比率，以 100 個細菌開始培養，第二天之細菌數為200，求第 t 天之細菌總數。5.承上題，試問幾天後其細菌之總數為原來的 4 倍。4-6 指數成長與衰退束第四章結
