1、1v引例,0时xxxxsin,32都是无穷小,xxx3lim20,020sinlimxxx,xxx3sinlim0,31但 根据函数比的极限可以刻画无穷小趋于 0 的速度.1.7 1.7 无穷小的比较yxOy=x2y=3xy=sin x2,0lim Ck定义.,0lim若则称 是比 高阶的无穷小,)(o,lim若若若,1lim若,0lim C或,设是自变量同一变化过程中的无穷小穷小,记作则称 是比 低阶的无穷小;则称 是 的同阶无穷小;则称 是关于 的 k 阶无穷小;则称 是 的等价无穷小,记作v1.无穷小的阶无穷小的阶返回3v2.无穷小阶的比较举例无穷小阶的比较举例所以当所以当x0时时 3x
2、2是比是比x所以当所以当x3时时 x2-9与与x-3是是因为211limnnn 例例2 2 例例 3 因为639lim23-xxx 例例3 3 例例 1 因为03lim20 xxx 例例1 1 下页 所以当所以当 n 时时 n1是比是比21n低阶低阶的无穷小的无穷小.高阶高阶的无穷小的无穷小 即即3x2 o(x)(x0)同阶同阶无穷小无穷小 4所以当所以当x0时时 1-cos x 是关于是关于x 的的 所以当所以当x0时时 sin x 与与x是是例例 4 因为21cos1lim20-xxx 例例4 4 例例 5 因为1sinlim0 xxx 例例5 5 v2.无穷小阶的比较举例无穷小阶的比较举
3、例v小结小结)(o当当 时，时，0 x23xxxsin;xxtan;xxarcsin;xxcos1-221x二阶二阶无穷小无穷小 等价等价无穷小无穷小 即即sin xx(x0)返回5定理定理1 1 与与是等价无穷小是等价无穷小 =a+o(a)下页下页v3.3.关于等价无穷小的定理关于等价无穷小的定理 必要性必要性:证明证明 01lim)1lim(lim-所以所以 o()因为因为设设 只需证只需证 o()01lim)1lim(lim-01lim)1lim(lim-充分性充分性:设设 +o()则则 1)(1lim)(limlim+oo1)(1lim)(limlim+oo1)(1lim)(limli
4、m+oo1)(1lim)(limlim+oo 因此因此 6所以当x0时 有 sin xx+o(x)tan xx+o(x)1-cos x)(2122xox+例例 6 因为当 x0 时 sin xx tan xx 1-cos x221x 例6 下页v3.关于等价无穷小的定理 定理1 与是等价无穷小 =a+o(a)7下页v3.关于等价无穷小的定理 设 且lim存在 则limlim 定理2 limlimlimlimlimlim 证明 limlimlimlimlimlim 定理1 与与是等价无穷小是等价无穷小 =a+o(a)8 求两个求两个无穷小比值的极限无穷小比值的极限时时 分子及分母都可用等价分子及
5、分母都可用等价无穷小来代替无穷小来代替 因此因此 如果用来代替的无穷小选取得适当如果用来代替的无穷小选取得适当 则可使则可使计算简化计算简化 定理定理2 2的意义的意义:下页v3.3.关于等价无穷小的定理关于等价无穷小的定理 设 且lim存在 则limlim 定理定理2 2 定理定理1 1 与与是等价无穷小是等价无穷小 =a+o(a)9 解解 当当x0时时 tan 2x sin 5x 解解 当当x0时时sin xx 所以所以 若 且lim存在 则 limlim p59-3例例7 7 例例 求xxx5sin2tanlim0 xxx5sin2tanlim05252lim0 xxx p59-4例例8
6、 8 例例 求xxxx3sinlim30+xxx5sin2tanlim05252lim0 xxxxxx5sin2tanlim05252lim0 xxx 3131lim3lim3sinlim202030+xxxxxxxxx3131lim3lim3sinlim202030+xxxxxxxxx3131lim3lim3sinlim202030+xxxxxxxxx 2x5x所以所以下页10例9.cos12tanlim20 xxx-求求解21,2x22021)2(limxxx 原原式式.8 常用等价无穷小常用等价无穷小:,0时时当当x当x0时 1cosx tan2x 2x下页.1)1(,21cos1,1,
7、)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2xxxxxexxxxxxxxxxx -+-+11 例10.2sinsintanlim30 xxxx-求求解1.sin,tan,0 xxxxx时时当当30)2(limxxxx-原原式式.0 常用等价无穷小常用等价无穷小:,0时时当当x)cos1(tansintanxxxx-,213x330)2(21limxxx 原原式式.161 解2 下页.1)1(,21cos1,1,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2xxxxxexxxxxxxxxxx -+-+12常用等价无穷小常用等价无穷小:,0时时当当x对于代数和中各等价无穷小一
8、般不能替换对于代数和中各等价无穷小一般不能替换.注意注意例10.2sinsintanlim30 xxxx-求求解1.sin,tan,0 xxxxx时时当当30)2(limxxxx-原原式式.0 ,不等价与且若,-则下页.1)1(,21cos1,1,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2xxxxxexxxxxxxxxxx -+-+p60.4.(3)13常用等价无穷小常用等价无穷小:,0时时当当x对于代数和中各等价无穷小一般不能替换对于代数和中各等价无穷小一般不能替换.注意注意 例11,不等价与且若,-则11sin2tanlim0-+-xxxxxxxx2102lim-2 下页.1
9、)1(,21cos1,1,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2xxxxxexxxxxxxxxxx -+-+14.)31ln(1limsin0 xexx+-求求313sinlim0 xxx原原式式例12解,0时时当当x,3)31ln(xx+,sin1sinxex-常用等价无穷小常用等价无穷小:,0时时当当x下页.1)1(,21cos1,1,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2xxxxxexxxxxxxxxxx -+-+15xxxxxarctan1sin1lim20-+例13常用等价无穷小常用等价无穷小:,0时时当当x xx21lim030sin21limx
10、xxx 结束.1)1(,21cos1,1,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2xxxxxexxxxxxxxxxx -+-+16内容小结0lim,0,)0(C,1,0lim Ck1.无穷小的比较设 ,对同一自变量的变化过程为无穷小,且 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小172.等价无穷小替换定理,0时当xxsinxtanxarcsin,x,x,xxcos1-,221x11-+nxxn1思考与练习思考与练习P59 题1,2 作业作业 P59 3(2);4(2),(3),(4);常用等价无穷小:18例例1.1.证明:当0 x时,11-+nxxn1证证:lim0 x11-+nxxn10limx11-+nnxxn111-+nnx21-+nnx1+1,0时当x11-+nxxn1-nnba)(ba-1(-naban 2-+)1-+nb
