1、第四节 重积分的应用 一、曲面的面积一、曲面的面积 二、质心二、质心 三、转动惯量三、转动惯量 四、引力四、引力 定积分的元素法推广到重积分中定积分的元素法推广到重积分中的使用方法的使用方法.若要计算的某个量若要计算的某个量U 对于闭区域对于闭区域 D 具有可加性具有可加性(即当闭区域即当闭区域 D 分成许多小闭区域时分成许多小闭区域时,所求量所求量U 相应相应地分成许多部分量，且地分成许多部分量，且U 等于部分量之和等于部分量之和)，并且，并且 DdyxfU),(在闭区域在闭区域 D内任取一个直径很小的闭区域内任取一个直径很小的闭区域 时时,相应地部分量可近似地表示为相应地部分量可近似地表示
2、为 的形式的形式,其中其中 在在 内这个内这个 称为所求量称为所求量U 的的元素元素，记为，记为 ，所求量的积分表达式为所求量的积分表达式为dU d dyxf),(),(yx d dyxf),(设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(yxfz ,Dxoy 面上的投影区域为面上的投影区域为在在,Dd 设小区域设小区域,),(dyx 点点(,(,).SM x y f x y 为为上上过过的的切切平平面面.dsdAdAdsszd 则有则有，为为；截切平面；截切平面为为柱面，截曲面柱面，截曲面轴的小轴的小于于边界为准线，母线平行边界为准线，母线平行以以如图，如图，d),(yxMdAxyzs o 一、曲面
3、的面积一、曲面的面积 ,ddAxoy 为为在在面面上上的的投投影影,cos dAd,11cos22yxff dffdAyx221,122 DyxdffA 曲面曲面S的面积元素的面积元素曲面面积公式为：曲面面积公式为：221()()xyDzzAdxdyxyMAdzdn),(yxfz 设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(yxfz 一、曲面的面积一、曲面的面积 ,xyxoyD在在面面上上的的投投影影区区域域为为则曲面面积公式为：则曲面面积公式为：221()()xyDzzAdxdyxyxyzO),(yxfz xyD设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(xzhy 曲面面积公式为：曲面面积公式为：221
4、()().zxDyyAdzdxzx设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(zygx 曲面面积公式为：曲面面积公式为：221()();yzDxxAdydzyz同理可得同理可得yxzyzxDyxFFyzFFxz),(,若光滑曲面方程为隐式若光滑曲面方程为隐式,0),(zyxF则则,0zF且且AyxDzzyxFFFF222yxdd球面的面积球面的面积A为上半球面面积的两倍为上半球面面积的两倍 解解 方法方法1 利用直角坐标方程利用直角坐标方程.例例1 求半径为求半径为R的球的表面积的球的表面积 222yxRxxz 222yxRxxz 222yxRyyz dxdyyxRRRyx2222222 20022
5、2RRddR20224 4RRRRdxdyyxRRRyx2222222 200222RRddR 20224 4RRRR 球心在原点的上半球面的方程为222yxRz 而 于是于是2222221()()xyazzAdxdyxy解解设球面方程为设球面方程为 ar球面面积元素为球面面积元素为ddsind2aA 0202dsindaA24asinada方法方法2 利用球坐标方程利用球坐标方程.axyzoddsina例例 2 2 求由曲面求由曲面azyx 22和和222yxaz )0(a所围立体的表面积所围立体的表面积.解解解方程组解方程组,22222 yxazazyx得两曲面的交线为圆周得两曲面的交线为
6、圆周,222 azayx在在 平面上的投影域为平面上的投影域为xy,:222ayxDxy 得得由由)(122yxaz ,2axzx,2ayzy 221yxzz22221 ayax,441222yxaa 知知由由222yxaz 221yxzz,2dxdyyxaaSxyD 222441故故dxdyxyD 2rdrraada 022204122 a ).15526(62 a二、质心二、质心 当薄片是均匀的，重心称为当薄片是均匀的，重心称为形心形心.,1 DxdAx.1 DydAy DdA 其中其中,),(),(DDdyxdyxxx .),(),(DDdyxdyxyy 由元素法由元素法 类似地类似地
7、设一物体占有空间闭区域设一物体占有空间闭区域 其密度其密度(x y z)是闭区域是闭区域 上的连续函数上的连续函数 则该则该物体的质物体的质心坐标为心坐标为zyxzyxzyxzyxxxddd),(ddd),(zyxzyxzyxzyxyyddd),(ddd),(zyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),(4例例3 求位于两圆求位于两圆 sin2 r sin4 r和和之间均匀薄片的重心之间均匀薄片的重心.D解解 利用对称性可知利用对称性可知0 x而而 DDyxySydd1 Drrr ddsin31rr dsin4sin22 dsin95604 2956 dsin2956204 37 0ds
8、in31 43 212 2oyx三、转动惯量三、转动惯量 ,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI 薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量x薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量y设一物体占有空间闭区域设一物体占有空间闭区域 其密度其密度(x y z)是是 上上的连续函数的连续函数 则该则该物体对于物体对于x、y、z轴的转动惯量为轴的转动惯量为 (,)d d dxIx y zx y z 22()yz22()(,)d d dyIxzx y zx y z 22()(,)d d dzIxyx y zx y z 一般地一般地,若若V 中的点中的点(x,y,z)到转动轴到转动轴 l
9、 的距离为的距离为则转动惯量为则转动惯量为,),(zyxr VlVzyxJd),(),(2zyxrrraddsin0302 例例4 求半径为求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径的均匀半圆薄片对其直径解解 建立坐标系如图建立坐标系如图,yxyIDxdd2 Drrr ddsin22 441a 241aM 半圆薄片的质量半圆薄片的质量 221aM 2212 oxyDaa的转动惯量的转动惯量.481a 设薄片的密度为设薄片的密度为，则则 例例5 求密度为求密度为 的均匀球体对于的均匀球体对于过过 球心的一条轴球心的一条轴l的转动惯量的转动惯量 取球心为坐标原点取球心为坐标原点 z轴与轴轴与轴l重合重合
10、 又设球的半径为又设球的半径为a 解解 球体所占空间闭区域可表示为球体所占空间闭区域可表示为 (x y z)|x2 y2 z2 a2 所求转动惯量即球体对于所求转动惯量即球体对于z轴的转动惯量轴的转动惯量Iz dvyxIz)(22ddrdr34sindrrdda200043 sin5158aMa252其中334aM 为球体的质量 dvyxIz)(22ddrdr34sin drrdda200043 sin5158aMa252drrdda200043 sin5158aMa252 首页四、引力四、引力 设物体占有空间有界闭区域设物体占有空间有界闭区域 其密度其密度(x y z)为为 上的连续函数上的
11、连续函数 求求物体对于物体外一点物体对于物体外一点P0(x0 y0 z0)处的单位质量的质点的引力处的单位质量的质点的引力 设在设在 内点内点P(x y z)处的体积元素为处的体积元素为dv 则点则点P 对位对位于点于点P0处的单位质量的质点的引力处的单位质量的质点的引力元素元素为为dF(dFx dFy dFz)(,(,)(,(,)(,(303030dvrzzzyxGdvryyzyxGdvrxxzyxG 其方向为其方向为r(x x0 y y0 z z0)r|r|将将dFx、dFy、dFz在在 上分别积分上分别积分 即可得即可得Fx、Fy、Fz 从而得从而得F(Fx、Fy、Fz)其中其中03(,
12、)()dxx y zxxFGvr 03(,)()dyx y zyyFGvr 03(,)()dzx y zzzFGvr 例例6 设半径为设半径为R的匀质球占有空间闭区域的匀质球占有空间闭区域(x y z)|x2 y2 z2 R2)求它对位于求它对位于M(0 0 a)(aR)处的单位质量的质点的引力处的单位质量的质点的引力 解解 设球的密度为设球的密度为 0 由球体的对称性及质量分布的由球体的对称性及质量分布的 均匀性知均匀性知Fx Fy 0 因此只需求引力沿因此只需求引力沿z轴的分量轴的分量 dvazyxazGFz2/32220)(RRzRyxazyxdxdydzazG22222/32220)(
13、)(2202/322200)()(zRRRazdddzazG 2203134aMGaRG2203134aMGaRG(其中0334RM 为球的质量)解解由积分区域的对称性知由积分区域的对称性知,0 yxFF dayxyxafFDz 23)(),(222 dayxafD 23)(1222oyzxFdrrardafR 0222023)(1.11222 aaRfa所求引力为所求引力为.112,0,022 aaRfaP175 1，3，6,11求求2cos,sin,uuxev yev zuv求求,.zzxy22322zxyxyz求求旋旋转转抛抛物物面面与与平平面面之之间间的的最最短短距距离离50:4812
14、040,xyzxyzxz1 1求求过过直直线线且且与与平平面面.4 组组成成角角的的平平面面方方程程5,)1(3Vzyxdxdydz其中其中V 是由是由 1zyxcos().1,DxyIdxdyDxyxy4 4 计计算算其其中中由由00 xy及及所所围围成成1解解 过已知直线的平面束方程为过已知直线的平面束方程为,0)4(5 zxzyx,04)1(5)1(zyx即即.1,5,1 n其其法法向向量量.8,4,1 n又又已已知知平平面面的的法法向向量量由题设知由题设知114cosnnnn 222222)1(5)1()8()4(1)8()1()4(51)1(由此解得由此解得.43 代回平面束方程为代
15、回平面束方程为.012720 zyxxvuxuv2 设求,sin,cosvuzveyvexuuyzxz,zvuyxyxxz得由,sin,cosveyvexuu得由,vuz vveuvexuudsindcosd提示提示:vveuveyuudcosdsind yvuyuvyz利用行列式解出 du,dv：veveveveveyvexuuuuuuucossinsincoscosdsinddxuyxdd veucosveusinyu代入即得;xzxvyxvdddveusinveucosyvxvxu及将代入即得.yzyvyu及将3解解.2261,022,),(22 zyxddzyxPyxzzyxP的距离为
16、的距离为到平面到平面则则上任一点上任一点为抛物面为抛物面设设分析分析:最小最小即即且使且使满足满足，使得，使得本题变为求一点本题变为求一点)22(61(22610,),(2222 zyxdzyxdzyxzyxzyxP),()22(61),(222yxzzyxzyxF 令令得得 )4(,)3(,0)2)(22(31)2(,02)22(31)1(,02)22(3122yxzzzyxFyzyxFxzyxFzyx 111,.448xyz解解得得),81,41,41(即得唯一驻点即得唯一驻点处取得最小值处取得最小值驻点，故必在驻点，故必在一定存在，且有唯一一定存在，且有唯一根据题意距离的最小值根据题意距
17、离的最小值)81,41,41(.647241414161min d4解解,yxvyxu 令令.2,2uvyvux 则则,DD Dxyo1 yxD uvovu vu 1 v.11;0;0 vyxvuyvux即即(,)1,(,)2x yJu vcosDuIJ dudvv故故101cos2vvudvduv.1sin211sin22110 vdv).852(ln2141)1121)1()1(101010310103zzxzVdxzxdzzyxdydxdzzyxdxdydz5 解解xozy111思考题思考题.)0(cos,cos之间的均匀薄片的重心之间的均匀薄片的重心求位于两圆求位于两圆babrar a
18、b xyo薄片关于薄片关于 轴对称轴对称,x,0 y则则 DDddxxDrdrrdba 20coscoscos2)()(224338abab .)(222ababab 思考题解答思考题解答一、一、求锥面求锥面22yxz 被柱面被柱面xz22 所割下部分的所割下部分的曲面面积曲面面积.二、二、设 薄 片 所 占 的 闭 区 域设 薄 片 所 占 的 闭 区 域D是 介 于 两 个 圆是 介 于 两 个 圆 cos,cosbrar )0(ba 之间的闭区域之间的闭区域,求求均匀薄片的重心均匀薄片的重心.三、三、设有一等腰直角三角形薄片设有一等腰直角三角形薄片,腰长为腰长为a,各点处的各点处的面密度
19、等于该点到直角顶点的距离的平方面密度等于该点到直角顶点的距离的平方,求薄片求薄片的重心的重心.四、四、设均匀薄片设均匀薄片(面密度为常数面密度为常数 1)1)所占闭区域所占闭区域D由抛物由抛物线线xy292 与直线与直线2 x所围成所围成,求求xI和和yI.练练 习习 题题五、求面密度为常量五、求面密度为常量 的匀质半圆环形薄片的匀质半圆环形薄片:0,222221 zyRxyR对位于对位于z轴上点轴上点 )0)(,0,0(0 aaM处单位质量的质点的引力处单位质量的质点的引力F.六、设由六、设由exoyxy 及及,ln所围的均匀薄板所围的均匀薄板(密度密度1),1),求此薄板绕哪一条垂直于求此薄板绕哪一条垂直于x轴的直线旋转时转动惯轴的直线旋转时转动惯 量最小量最小?一、一、2.二、二、)0,)(2(22bababa .三、三、).52,52(aa四、四、.796,572 yxII五、五、),(ln22211222222112222aRRaRRaRRaRRfF )11(,0221222aRaRfa练习题答案练习题答案
