1、第一章第一章 特殊平行四边形特殊平行四边形1.2 1.2 矩形的性质与判定矩形的性质与判定第第3 3课时课时 矩形的性质与判定矩形的性质与判定 的综合应用的综合应用1题型题型利用矩形的判定和性质解和差问题利用矩形的判定和性质解和差问题1.如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，点，点P是是BC上任意上任意一点，一点，PEAB，PFAC，BDAC，垂足分别，垂足分别为为E，F，D.(1)求证：求证：BDPEPF.(2)当点当点P在在BC的延长线的延长线 上时，其他条件不变上时，其他条件不变 如图，如图，BD，PE，PF之间的上述关系还成立之间的上述关系还成立 吗？若不成立，请说明理由吗？若不成立
2、，请说明理由(1)如图，作如图，作BHFP交交FP的延长线于点的延长线于点H.BDAC，PFAC，BHPF，四边形四边形BDFH是矩形是矩形 BDHF.ABAC，ABCC.PEAB，PFAC，PEBPFC90.EPBFPC.证明：证明：又又HPBFPC，EPBHPB.PEAB，PHBH，PEBPHB90.又又PBPB，PEB PHB.则则PEPH.BDHFPFPHPFPE.即即BDPEPF.(2)不成立，不成立，PEBDPF.理由：理由：作作BHPF交交PF的延长线于点的延长线于点H.与与(1)同理可得同理可得PEPH，BDHF.PEFHFPBDPF.解：解：2如图，已知点如图，已知点E是是
3、ABCD中中BC边的中点，连接边的中点，连接 AE并延长交并延长交DC的延长线于点的延长线于点F.(1)连接连接AC，BF，若，若AEC2ABC，求证：，求证：四边形四边形ABFC为矩形；为矩形；(2)在在(1)的条件下，若的条件下，若AFD 是等边三角形，且边长为是等边三角形，且边长为4，求四边形求四边形ABFC的面积的面积2题型题型利用矩形的判定和性质解面积问题利用矩形的判定和性质解面积问题(1)四边形四边形ABCD为平行四边形，为平行四边形，ABDC.ABEECF.又又点点E为为BC的中点的中点，BECE.又又AEBFEC，ABE FCE.ABCF.证明：证明：又又ABCF，四边形四边形
4、ABFC为平行四边形为平行四边形AEEF.AEC为为ABE的外角，的外角，AECABCEAB.又又AEC2ABC，ABCEAB.AEBE.AEEFBECE，即，即AFBC.四边形四边形ABFC为矩形为矩形(2)四边形四边形ABFC是矩形，是矩形，ACDF.又又AFD是等边三角形，且边长为是等边三角形，且边长为4，CFCD 2.AC S矩形矩形ABFC解：解：2DF22422 3.-=2 324 3.=3如图，菱形如图，菱形ABCD的对角线的对角线AC，BD相交于点相交于点 O，且，且DEAC，AEBD.求证：四边形求证：四边形AODE是矩形是矩形3题型题型利用矩形的定义判定与菱形有关的矩形利用
5、矩形的定义判定与菱形有关的矩形DEAC，AEBD，四边形四边形AODE是平行四边形是平行四边形四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，ACBD.AOD90.四边形四边形AODE是矩形是矩形证明：证明：4如图，已知如图，已知ACBADB90，N，M分别分别 是是AB，CD的中点，判断的中点，判断MN与与CD的位置关系，的位置关系，并说明理由并说明理由4题型题型利用直角三角形斜边上中线性质判断直线位置关系利用直角三角形斜边上中线性质判断直线位置关系MNCD.理由如下：理由如下：如图，连接如图，连接ND，NC.在在RtABD中，中，ADB90，N是是AB的中点，的中点，ND AB.同理可证同理可证NC
6、AB.NDNC.NDC是等腰三角形是等腰三角形 在等腰三角形在等腰三角形NDC中，中，M是是CD的中点，的中点，MNCD.解：解：12125阅读下面材料：阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图，在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图，我们把一个四边形我们把一个四边形ABCD 的四边中点的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边是平行四边 形吗？形吗？5题型题型利用矩形、菱形的判定探究条件利用矩形、菱形的判定探究条件小敏在思考问题时，有如下思路：连接小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC.点点E，F分分别是别是AB，BC的中点的中
7、点EFGHEF AC揪揪三三角角形形中中位位线线定定理理12点点G，H分分别是别是CD，AD的中点的中点GHACGH AC揪揪三三角角形形中中位位线线定定理理12EFGHEFGH四边形四边形EFGH是平行四边形是平行四边形参考小敏思考问题的方法，解决以下问题：参考小敏思考问题的方法，解决以下问题：(1)若只改变图中四边形若只改变图中四边形ABCD的形状的形状(如图如图)，则，则 四边形四边形EFGH还是平行四边形吗？请说明理由还是平行四边形吗？请说明理由(2)如图，在如图，在(1)的条件下，若连接的条件下，若连接AC，BD.当当AC与与BD满足什么条件时，四边形满足什么条件时，四边形EFGH是
8、菱是菱 形？写出结论并说明理由形？写出结论并说明理由 当当AC与与BD满足什么条件时，四边形满足什么条件时，四边形EFGH是矩是矩 形直接写出结论形直接写出结论(1)四边形四边形EFGH还是平行四边形理由如下：还是平行四边形理由如下：连接连接AC.E，F分别是分别是AB，BC的中点，的中点，EFAC，EF AC.G，H分别是分别是CD，AD的中点，的中点，GHAC,GH AC.EFGH，EFGH.四边形四边形EFGH是平行四边形是平行四边形解：解：1212(2)当当ACBD时，四边形时，四边形EFGH是菱形是菱形 理由如下：理由如下：由由(1)可知四边形可知四边形EFGH是平行四边形，是平行四
9、边形，当当ACBD时，时，FG BD，EF AC，FGEF.四边形四边形EFGH是菱形是菱形 当当ACBD时，四边形时，四边形EFGH是矩形是矩形 点拨：点拨：(2)中由中由(1)可知四边形可知四边形EFGH是平行是平行 四边形，四边形，1212E，F分别是分别是AB，BC的中点，的中点，EFAC.ACBD，EFBD.G，F分别是分别是CD，BC的中点，的中点，FGBD.EFBD，EFFG.即即EFG90.四边形四边形EFGH是矩形是矩形6已知点已知点E是矩形是矩形ABCD的对角线的对角线BD上的一点，且上的一点，且 BEBC，AB3，BC4，点，点P是是EC上的一动点，上的一动点，且且PQB
10、C于点于点Q，PRBD于点于点R.6题型题型利用矩形的性质探究动点问题利用矩形的性质探究动点问题(1)如图，当点如图，当点P为线段为线段EC的中点时，的中点时，求证：求证：PRPQ(2)如图，当点如图，当点P为线段为线段EC上任意一点上任意一点(不与点不与点E，点，点 C重合重合)时，其他条件不变，则时，其他条件不变，则(1)中的结论是否仍成中的结论是否仍成 立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由(3)如图，当点如图，当点P为线段为线段EC延长线上任意一点时，其延长线上任意一点时，其 他条件不变，则他条件不变，则PR与与PQ之间又具有怎样的数量
11、关系？之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想请直接写出你的猜想12.5(1)连接连接BP，作，作CHBD于点于点H.BEBC，点，点P为为CE的中点，的中点，BP是是EBC的平分线的平分线 PRBE，PQBC，PRPQ.在矩形在矩形ABCD中，中，BCD90，BC4，CDAB3，证明：证明：2222435.BDBCCD=+由由SBCD BCCD BDCH，得得CH SPBESPBCSBCE，又又BEBC，PRPQ12124312.55BC CDBD=11112.2225BE PRBC PQBE12.5(2)(1)中结论中结论PRPQ 仍成立仍成立 证明：证明：连接连接BP，作，作CHBD于于H.SPBESPBCSBCE，又又BEBC，PRPQCH.而而CH PRPQ (1)中结论成立中结论成立(3)猜想：猜想：PRPQ12.5111,222BE PRBC PQBE CH125解：解：12.512.5解：解：
