1、二、离散型随机变量的边际分布列二、离散型随机变量的边际分布列 三、连续型随机变量的边际密度函数三、连续型随机变量的边际密度函数一、边际分布函数一、边际分布函数 四、随机变量间的独立性四、随机变量间的独立性3.2 3.2 边际分布与随机变量的独立性边际分布与随机变量的独立性提出问题：提出问题：上面研究了二维联合分布，是二维随机变量上面研究了二维联合分布，是二维随机变量的整体性质，从中还要解决如下三个个体问题：的整体性质，从中还要解决如下三个个体问题：关于每个分量的分布，即关于每个分量的分布，即边际分布边际分布.两个分量之间的关系、关联程度，即独立性、两个分量之间的关系、关联程度，即独立性、协方差
2、和相关系数协方差和相关系数.给定一个分量时，另一个分量的分布，即给定一个分量时，另一个分量的分布，即条件分布条件分布.一、边际（缘）分布函数一、边际（缘）分布函数,),(yYxXPyxF ,)(xXPxF P Xx,P X xY(,)F x)(xFX.),(的的边边缘缘分分布布函函数数关关于于XYX?,),(:的的分分布布如如何何确确定定的的分分布布已已知知YXYX问问题题()(),(,)().F x,yX,YF xX,XY设设为为随随机机变变量量的的分分布布函函数数 称称关关于于 的的边边际际为为随随变变量量数数机机分分布布函函 ()(,).XFxF x 记记为为定定义义(),(,).X F
3、 xP XxP Xx YF x即即 ,lim()()(,)()yyyF x,yF x,P Xx YP Xx 事事实实上上，令令由由于于为为必必然然事事件件，故故可可得得()(,)lim(,),YxF yFyF x yP XYyP Yy ,x 类类似似地地，令令(,).YYX关关于于变变量量 的的边边际际分分为为机机变变量量布布函函数数随随(,)(,)()(,);()(,);()(,);XYZX Y ZF x y zFxF xFyFyFzFz 三三维维随随机机变变量量的的联联合合分分布布函函数数中中，类类似似的的方方法法可可得得下下列列边边际际分分布布函函数数：,(,)(,);(,)(,);(,
4、)(,).X YX Zy ZFx yF x yFx zF xzFy zFy z 例例1,)1 eee,0,0;,)0,.xyx yxyX YxyF x yXY 设设（的的联联合合分分布布函函数数为为（此此分分布布为为）（其其他他求求关关于于 及及关关于于 的的边边际际分分二二维维指指数数分分布布函函数数布布()lim(,)lim(1 eee)1 e,0;0,0.Xyxyx yxyxyFxF x yxx 解解同样有1 e,0()0,.，其他yYyFy ()(1),()(1).0.XYFxExpFyExpXY 是是一一维维指指数数分分布布也也是是一一维维指指数数分分布布与与二二维维指指数数分分布布
5、的的参参数数 无无关关 不不同同的的参参数数 对对应应不不同同的的二二维维指指数数分分布布，但但它它们们的的两两个个边边际际分分布布不不变变.这这说说明明，二二维维联联合合分分布布不不仅仅含含有有每每个个分分量量的的概概率率分分布布，而而且且还还含含有有两两个个变变量量 与与 间间的的关关系系.11(,),1,2,.,1,2,1,2,(1,2,)(1,2,)(,).ijijiijijjijjiijX YP Xx Yypi jppP XxippP YyjpipjX YXY设设二二维维离离散散型型随随机机变变量量的的联联合合分分布布律律为为记记分分别别称称和和为为关关于于和和关关于于的的边边际际分
6、分布布列列 定定义义二、离散型随机变量的边际分布列二、离散型随机变量的边际分布列 1,1,2,;iijjP Xxpi1,1,2,.jijiP YypjXY12jyyy12ixxx11121jppp21222jppp12iiijpppiP12ippp jP121jppp1()(,),iXijxx jFxF xp 1()(,).jYijyy iFyFyp 因此得离散型随机变量关于因此得离散型随机变量关于X 和和Y 的边际分布函的边际分布函数分别为数分别为 1,1,2,iiijjPP Xxp iX 关关于于 的的边边际际分分布布列列：1,1,2,jjijipYPP Yyj 关关于于 的的边边际际分分
7、布布列列：例例1 已知下列分布律求其边缘分布律已知下列分布律求其边缘分布律.XY1049164912491249910解解 1,1,2,.iiijjXPP Xxp i 关关于于 的的边边际际分分布布率率：即即对对每每一一行行求求和和XY1010iixXPp jjyYPp 注意注意联合分布联合分布边缘分布边缘分布 747317473491649124912499 1,1,2,jjijiYPP Yyp j 关关于于 的的边边际际分分布布列列：(,),(,),()(,)(,)dd,()(,)d,(,).xXXX Yf x yFxF xf x yyxfxx yYXfyX 对对于于连连续续型型随随机机变
8、变量量设设它它的的概概率率密密度度关关于于为为由由于于的的边边记记称称际际概概其其为为随随机机变变率率密密度度量量定定义义三、连续型随机变量的边际密度函数三、连续型随机变量的边际密度函数同理可得同理可得 Y 的边缘分布函数的边缘分布函数.d),()(xyxfyfYY 的边缘概率密度的边缘概率密度.,dd),(),()(yYyxyxfyFyF.)(),(.,0,6),(2yfxfxyxyxfYXYX求边缘概率密度求边缘概率密度其他其他具有联合概率密度具有联合概率密度和和设随机变量设随机变量 解解yyxfxfXd),()(,10时时当当 xyyxfxfXd),()(xxy2d6例例2xy 2xy
9、Oxy)1,1(1,10时时或或当当 xx.0d),()(yyxfxfX).(62xx .,0,10),(6)(2其他其他因而得因而得xxxxfXxy 2xy Oxy)1,1(1,10时时当当 yxyxfyfYd),()(,10时时或或当当 yy.0d),()(xyxfyfY .,0,10),(6)(其他其他得得yyyyfY yyxd6).(6yy xy 2xy Oxy)1,1(11的概率密度为的概率密度为设二维随机变量设二维随机变量),(YX 2222212121212221)()(2)()1(21exp121),(yyxxyxf.的边缘概率密度的边缘概率密度试求二维正态随机变量试求二维正态
10、随机变量,yx.11,0,0,212121 且且都是常数都是常数其中其中例例3解解,d),()(yyxfxfX 由于由于21212222)(2)(yxy ,)(2121221122xxy 于是于是ed212221212121()122(1)21()e,21Xx x y fxy ,1111222 xyt令令则有则有,dee21)(22)(122121txftxX .,e21)(21212)(1 xxfxX即即同理可得同理可得二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,.并且都不依赖于参数并且都不依赖于参数.,e21)(22222)(2 yyfxY 多项分
11、布的边际分布仍是多项分布多项分布的边际分布仍是多项分布.仅就三项分布的边际分布为二项分布给予证明仅就三项分布的边际分布为二项分布给予证明.解解例例412312,)(,)(,),(,).X YM n p p pXb n pYb n p已已知知（，证证明明 1212!,(1),!()!ijn ijnP Xi Yjp pppi j n ij 上上式式右右边边分分别别乘乘以以和和除除以以两两边边对对 从从 到到求求和和，并并记记则则可可得得：1221(1)0()!,1,n ipjninippp 121120011!(,)!(1)!(1)()!()!(!1)(1ijn-in ijn-ijnn ijijj
12、nP Xi Yjpipppj n ijpn in ipp 2211011!()!(1)()(1)!()!()!11n-iin ijn i jjppnn ippi n ij n ijpp 2211011!(1)()(1)!()!11n-iin ijjn i jn ijppnppCi n ipp 1212!(1)!1)!(in in ipnppinip 11!(1)!()!in inppi n i 11(1).iin inC pp 111()(1),(,);iin inP XiC ppXb n p 即即2(,).Yb n p同同理理可可证证作作 业：业：习题习题3.2：1.3.5.习题习题3.2：
13、1.3.5(1)(2).二版：二版：.),()(),(,.),()(),(),(的的相相互互独独立立是是和和则则称称随随机机变变量量即即有有若若对对于于所所有有函函数数的的分分布布函函数数及及边边缘缘分分布布量量分分别别是是二二维维随随机机变变及及设设YXyFxFyxFyYPxXPyYxXPyxYXyFxFyxFYXYX 1.二维随机变量的相互独立性二维随机变量的相互独立性定义定义四、随机变量间的独立性四、随机变量间的独立性相互独立相互独立和和YX说明说明 (1)若离散型随机变量若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为ijP Xi Yjpi j ,1,2.,jijiyYPxXPy
14、YxXP .1 2.ijiji,j=p,ppXYf Xg Y(3),()().和和相相互互独独立立 则则和和也也相相互互独独立立相相互互独独立立和和 YX则则有有边边缘缘概概率率密密度度分分别别为为的的联联合合概概率率密密度度为为设设连连续续型型随随机机变变量量),(),(),(),()2(yfxfyxfYXYX()()(,).XYf x,yfx fyx y例例123410.020.060.1230.080.240.48?XYX YXYXY 设设随随机机变变量量和和的的联联合合分分布布律律为为求求关关于于、的的边边缘缘分分布布问问和和是是否否相相互互独独立立，解解112120.020.080.
15、1,P Ypp 122230.060.240.3,P Ypp 23410.020.060.1230.080.240.10.30.0.480.20.168P XiXYXYP Yj 关关于于、的的边边缘缘分分布布律律为为 132340.120.480.6,P Ypp 11121310.020.060120.2,P Xppp .21222330.080.240480.8P Xppp .1,30.061 3,P XYP XP Y3,30.243 3,P XYP XP Y1,40.121 4,P XYP XP Y ,.,340 4834P XYP XP Y .相相互互独独立立和和故故知知YX3,2,0.
16、083 2,P XYP XP Y 1,20.021 2,P XYP XP Y 因为因为.),(,),(,2的联合概率密度的联合概率密度求求上服从均匀分布上服从均匀分布在在服从服从并且并且相互独立相互独立和和设随机变量设随机变量YXbbYaNXYX;,e21)(222)(xxfaxX又又)()(),(yfxfyxfYX 所所以以解解由于由于X 与与Y 相互独立相互独立,例例2 .,0,21)(其其他他bybbyfY,e2121),(222)(axbyxf 得得.0),(,yxfby时时当当.,bybx 其其中中x ayb xf x yb 22()211,(,)220,.e e；故故其其他他因为因
17、为 X 与与 Y 相互独立相互独立,解解所以所以求随机变量求随机变量(X,Y)的分布律的分布律.例例3 设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量 X 与与Y 的分布律为的分布律为XXP317.03.0YYP424.06.0.,jijiyYPxXPyYxXP 4 14,1 YPXPYXP4.03.0 ,12.0 2 12,1 YPXPYXP6.03.0 ,18.0 232,3 YPXPYXP6.07.0 ,42.0 434,3 YPXPYXP4.07.0 .28.0 的联合分布律为的联合分布律为因此因此),(YXYX421318.012.042.028.0nnX XX12(,)维维随随机机变变量
18、量的的联联合合分分布布函函数数为为2.n 维随机变量的的相互独立性维随机变量的的相互独立性nnniiinF x xxP Xx XxXxF xXnx xx 12112212(,),(),为为 的的边边际际分分布布函函数数，如如果果对对任任意意 个个实实数数，有有nnnniiinF x xxF x F xF xF xXXX 121122112(,)()()()(),则则称称相相互互独独立立.说明说明 (1)若若(X1,X2,Xn)为为n维维离散型随机变量，则离散型随机变量，则 11221,nnniiP Xx XxXxP Xx ，X1,X2,Xn相互独立，对于相互独立，对于任意任意n个实数个实数x1
19、,x2,xn,有有nniiiXXXf x xxXf xin 1212(2)(,)(,),(),1,2,设设连连续续型型随随机机变变量量的的联联合合概概率率密密度度为为关关于于边边际际概概率率密密度度为为则则有有niiiif x,xxf xxR 12n1(,)(),.X1,X2,Xn相互独立，对于相互独立，对于任意任意n个实数个实数x1,x2,xn,有有设设(X,Y)服从区域服从区域 D=(x,y),x2+y2 1时时，p(x,y)=0，所以所以 pX(x)=0当当|x|1时时,dXp x yypx (,)()x 221-110dXxxyp x 22111()Xxxpx 221,1;0,.()其其他他注意：注意：它不是均匀分布它不是均匀分布即即Yyypy 221,1;0,.()其其他他同同理理可可得得它也不是均匀分布它也不是均匀分布XYpxpyp x yXY ()()(,)与与 不不是是相相互互独独立立的的.作作 业：业：习题习题3.2：1.3.5.10.12.13.15.习题习题3.2：1.3.5(1)(2).10.11.12.15.二版：二版：
