1、2:2513 线性方程组的解与秩线性方程组的解与秩 通过线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩判断通过线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩判断线性方程组的解的情况线性方程组的解的情况 几个结论几个结论 w 线性方程组有解的充分必要条件线性方程组有解的充分必要条件w 线性方程组有唯一解的充分必要条件线性方程组有唯一解的充分必要条件w 线性方程组有无穷多解的充分必要条件线性方程组有无穷多解的充分必要条件 应用应用w 两直线的位置关系两直线的位置关系w 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系2:252线性方程组有解判别定理线性方程组有解判别定理定理定理 3.2 设线性方程组设线性方程组(3.1)有解有解
2、.proofproof2:253例子例子 3.1解解:线性方程组线性方程组(3.2)的增广矩阵为范德蒙德矩阵的增广矩阵为范德蒙德矩阵,所以线性方程组所以线性方程组(3.2)无解无解.2:254例子例子 3.2解法一解法一:方程的数目与未知量的数目相同方程的数目与未知量的数目相同.先算出系数矩阵的行列式：先算出系数矩阵的行列式：无穷多解无穷多解2:255例子例子3.2(续续)解法二解法二:用初等行变换将增广矩阵化为行阶梯矩阵用初等行变换将增广矩阵化为行阶梯矩阵2:256例子例子3.2(续续2)方程组有唯一解方程组有唯一解.方程组无解方程组无解(此时阶梯形方程组的第此时阶梯形方程组的第3个方程为个
3、方程为0=3).3)当当 a=1时时,方程组有无穷多解方程组有无穷多解(此时阶梯形方程组的第此时阶梯形方程组的第2,3个方程均为个方程均为0=0).2:257例题例题 3.3 解法一解法一:先计算系数矩阵先计算系数矩阵A的行列式的行列式:2:258例题例题 3.3(续续)解法二解法二:用初等行变换将增广矩阵化为行阶梯矩阵用初等行变换将增广矩阵化为行阶梯矩阵.2:259例题例题 3.3(续续2)2:2510例题例题 3.3(续续3)解得解得2:2511两直线的位置关系两直线的位置关系设两条直线都用一般方程表示设两条直线都用一般方程表示,即即它们的位置关系取决于下述方程组的解的情况它们的位置关系取决于下述方程组的解的情况2:2512两直线的位置关系（续）两直线的位置关系（续）2:2513直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系两者的位置关系取决于下述线性方程组的解的情况两者的位置关系取决于下述线性方程组的解的情况2:2514定理定理 3.1的证明的证明则方程组则方程组(3.1)等价于向量的等式等价于向量的等式:由此得到由此得到线性方程组线性方程组(3.1)有解有解back2:2515定理定理 3.2 的证明的证明即方程组的解唯一即方程组的解唯一.由此可得方程组有无穷多解由此可得方程组有无穷多解.back
