1、分析：不等式具有对称性，分析：不等式具有对称性，易知取等号的条件为易知取等号的条件为31zyx分析：不等式具有轮换性，分析：不等式具有轮换性，易知取等号的条件为易知取等号的条件为31cba32S目标：35413)1(224141)1(22)1(333332cabaabaaba配系数！配系数！题型三题型三 基本不等式的证明基本不等式的证明22221116 33(201,0)a,b,c,:a,b,c,.abcabc【例】辽宁已知均为正数 求证并确定为何值时 等号成立2222313223222223322333(),1113(),1119().11123()9().3()9()2 2:a,b,c,.
2、76 3,abcabcabcabcabcabcabcabcabcabcabcabc证明 证法一 因为均为正数由平均值不等式得所以故又所以原不等式成立2323143()9()abc,.,.,.3abcabcabc当且仅当时 式和式等号成立当且仅当时 式等号成立即当且仅当时 原式等号成立2222222222222222:a,b,c,ab2ab,bc2bc,ca2ac,abca111111,11111133bbcac,3.6 3.abcabbcacabcabcabbcacabbcac证法二 因为均为正数由基本不等式得所以同理故所以原不等式成立12242abc,abc,abbcac33,.,.abc当
3、且仅当时 式和式等号成立 当且仅当时 式等号成立即当且仅当时 原式等号成立点评点评不等式的证明常用方法有不等式的证明常用方法有:比较法比较法 分析法与综合法分析法与综合法,在在解决问题时注意结合平均值不等式来证明解决问题时注意结合平均值不等式来证明.33223:(2010)()ab,.:abab ab变式江苏 设、是非负实数求证3322555555555222233()()()()().,()(),()()()5)0;,()(),()(:a,b,abab()()0.(abab,ab,a)b.abaabbbaababababababababababab ab证明 由是非负实数 作差得当 时从而得
4、当时从而得所以解题方法拾遗解题方法拾遗4a,b,c,a2bc111,_.1abc【例】已知都是正数 且则的最小值是1112222242 22 2264 2,211164 2.a,b,c,a2bc1,4b.abcabcabcabcabcbacbcaabbcacacabc解析都是正数 且当且仅当时“”成立的最小值是4 26答案题型一题型一 算术几何不等式的应用算术几何不等式的应用 已知实数已知实数a a,b b,c c,d d满足满足a a b b c c d d,求证：求证：（1 1）可联想利用）可联想利用a a-d d=(=(a a-b b)+()+(b b-c c)+（c c-d d）.（2
5、 2）要证）要证 可转化为证可转化为证.111dadccbbadadccbba111.9)(111(dadccbba证明证明 a a b b c c d d,a a-b b0,0,b b-c c0,0,c c-d d0,0,利用均值不等式证明问题时，要特别注利用均值不等式证明问题时，要特别注意正、定、等的基本条件意正、定、等的基本条件.同时要注意不等式的结同时要注意不等式的结构特征：构特征：.9111.9)()(31113)()()(111()(111(33dadccbbadccbbadccbbadccbbadccbbadadccbba).,(212121为正实数nnnaaaaaanaaan知
6、能迁移知能迁移1 1 （20082008江苏，江苏，21D21D）设设a a,b b,c c为正为正 实数，求证：实数，求证：证明证明 因为因为a a,b b,c c是正实数是正实数,由均值不等式可得由均值不等式可得.32111333abccba.32111,32323.3111.3111,11131113333333333333333abccbaabcabcabcabcabcabcabccbaabccbacbacba所以而所以即11.11.已知已知a a+b b+c c=1,=1,且且a a、b b、c c是正数，求证：是正数，求证：证明证明.9222accbba)111)(2accbbac
7、ba左边)111)()()(9)111()111)()()(2accbbaaccbbaaccbbaaccbba或cbacbaacaccbbacbacbacbba 3.9222),92223accbbacbacaccbbaacacbabacbcbba综合法证明不等式综合法证明不等式 点评：点评：可用分析法证明可用分析法证明.分析法证明不等式分析法证明不等式 变式训练变式训练2 2 证明不等式：证明不等式：(a ac c,b bc c0)0)，并指出等号成立的条件，并指出等号成立的条件.证明证明 因为因为abab0,0,要证原不等式成立，要证原不等式成立，abcbccac)()(.111.1212
8、1)1()1(.1)()(cbabcacacbcbcacacbcabcbcabcac上式等号成立的条件是故原不等式成立因上式左边成立即证明例例3 3 （20092009苏中三市调研）已知苏中三市调研）已知x x、y y、z z均为均为 正数，求证：正数，求证：证明证明 因为因为x x,y y,z z全为正数全为正数.111zzzzyxxyxyyx.11,2,.,2,2,2)(1zxyzzxz,zxyzzxzzzzzyxyyxyxyyzxxxyyxyyxxyyx得并除以分别相加将上述三个不等式两边以上三式等号都成立时当且令当同理可得所以变式训练变式训练3 3 （20092009苏、锡、常、镇调研
9、）已知苏、锡、常、镇调研）已知a a,b b是不相等的正实数是不相等的正实数,求证求证:(:(a a2 2b b+a a+b b2 2)()(abab2 2+a a2 2+b b)99a a2 2b b2 2.证明证明 因为因为a a,b b是正实数，是正实数，所以所以a a2 2b b+a a+b b2 2 (当且仅当且仅当当a a2 2b b=a a=b b2 2即即a a=b b=1=1时，等号成立时，等号成立)；同理：同理：abab2 2+a a2 2+b b （当且仅（当且仅当当abab2 2=a a2 2=b b即即a a=b b=1=1时，等号成立）；时，等号成立）；所以所以(a
10、 a2 2b b+a a+b b2 2)()(abab2 2+a a2 2+b b)9)9a a2 2b b2 2.因为因为a ab b,所以所以(a a2 2b b+a a+b b2 2)()(abab2 2+a a2 2+b b)9)9a a2 2b b2 2.033322abbaba033322abbaba变式训练变式训练4 4 （20092009连云港调研）设连云港调研）设a a、b b、c c均均为正数为正数.求证：求证：证明证明 方法一方法一.23bacacbcba3bacacbcba二、填空题二、填空题4.4.设设a a b b0,0,则则 的最小值为的最小值为 .解析解析bba
11、a)(1.23,3)(1)(3)(1)()(1,03等号成立时当且仅当故最小值为，ba，bbabbabbabbabbaaba3 310.10.求所有实数求所有实数k k，使得不等式，使得不等式 a a3 3+b b3 3+c c3 3+d d3 3+1+1k k(a a+b b+c c+d d)对任意的对任意的a a,b b,c c,d d -1-1，+）均成立）均成立.解解 当当a a=b b=c c=d d=-1=-1时，时，下面证明：下面证明：a a3 3+b b3 3+c c3 3+d d3 3+1 (+1 (a a+b b+c c+d d)对任对任 意意a a,b b,c c,d d
12、-1-1，+）均成立）均成立.设设x x-1-1，+），），.43.43223,21.43,43kkk，dcbakk故有时当有43 则有则有4 4x x3 3+1-3+1-3x x=(=(x x+1)(2+1)(2x x-1)-1)2 20.0.4 4x x3 3+13+13x x,x x-1-1，+）.（*）当当a a,b b,c c,d d-1-1，+）时，也有（）时，也有（*）式结论）式结论 成立，四式相加可得成立，四式相加可得.当当a a,b b,c c,d d-1-1，+）时，）时，a a3 3+b b3 3+c c3 3+d d3 3+1 (+1 (a a+b b+c c+d d)
13、,),43,43413xx.43k综合以上知返回4(2012南通二调南通二调)设设x，y，z为正数，求证：为正数，求证：2(x3y3 z3)x2(yz)y2(xz)z2(xy)证明：证明：因为因为x2y22xy0，所以所以x3y3(xy)(x2xyy2)xy(xy)，同理同理y3z3yz(yz)，z3x3zx(zx)，三式相加即可得三式相加即可得2(x3y3z3)xy(xy)yz(yz)zx(zx)，又因为又因为xy(xy)yz(yz)zx(zx)x2(yz)y2(xz)z2(xy)所以所以2(x3y3z3)x2(yz)y2(xz)z2(xy)巧练模拟巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！课堂突破保分题，分分必保！)
