1、MATLAB与科学计算一、前言一、前言 MATLAB：matrix laboratory的缩写，的缩写，矩阵实验室的意思。一开始它是一种矩阵实验室的意思。一开始它是一种专门用于矩阵数值计算的软件。自专门用于矩阵数值计算的软件。自MATLAB4.0版本问世以来，该软件成版本问世以来，该软件成为最具有吸引力，应用最为广泛的科为最具有吸引力，应用最为广泛的科学计算语言。我们这个课就拿学计算语言。我们这个课就拿MATLAB6.1版本来讲。（版本来讲。（6.x版本大版本大同小异）同小异）学习该软件的必要性：学习该软件的必要性：目前，目前，MATLAB软件不仅走入企业、公软件不仅走入企业、公司和科研机构，
2、而且在高等院校司和科研机构，而且在高等院校也是从大学生到博士生都必须掌也是从大学生到博士生都必须掌握的一项基本技能，是必不可少握的一项基本技能，是必不可少的计算工具，。的计算工具，。MATLAB功能：功能：数值计算、符号数值计算、符号运算和图形处理。运算和图形处理。学习它的意义：学习它的意义：随着计算机科学随着计算机科学和计算软件的发展，数学系学生和计算软件的发展，数学系学生必须掌握一门好的计算软件。这必须掌握一门好的计算软件。这是我们就业、继续身造或做科研是我们就业、继续身造或做科研工作所要用到的。是当代大学生工作所要用到的。是当代大学生必备的一项技能。必备的一项技能。其它计算软件：其它计算
3、软件：MATHEMATIC（数学分析问题的计算）；（数学分析问题的计算）；IDL（航天、控制），（航天、控制），FOETRAN、BASIC（科学计算）。可以说一（科学计算）。可以说一个人掌握了一门计算软件，再学个人掌握了一门计算软件，再学习其它计算软件很容易。习其它计算软件很容易。MATLAB桌面平台：桌面平台：(1)(1)主窗口：整个大的窗口（其它主窗口：整个大的窗口（其它几个窗口都包括在其中）几个窗口都包括在其中）（2 2）命令窗口（）命令窗口（command command windowwindow）：）：为运算提示符，表为运算提示符，表示示MATLABMATLAB在准备状态。当在提示在
4、准备状态。当在提示符后输入一段运算式并按回车键符后输入一段运算式并按回车键后，就给出计算结果后，就给出计算结果（3 3）历史窗口）历史窗口(command history)(command history)：保留命令历史记录，这方便于使保留命令历史记录，这方便于使用者查询。双击历史窗口中的某用者查询。双击历史窗口中的某一行命令，即可在命令窗口中执一行命令，即可在命令窗口中执行该命令。行该命令。（4 4）当前目录窗口（）当前目录窗口（current current directorydirectory）：在当前目录窗口中）：在当前目录窗口中可显示或改变当前目录，也可以可显示或改变当前目录，也可以
5、显示当前目录下的文件，并提供显示当前目录下的文件，并提供搜索功能。搜索功能。(5)(5)发行说明书窗口（发行说明书窗口（launch padlaunch pad）:用来说明用户所拥有的用来说明用户所拥有的MathworksMathworks公司产品的工具包、演示以及帮助公司产品的工具包、演示以及帮助信息。信息。（6 6）工作间管理窗口）工作间管理窗口（workspaceworkspace）:显示目前内存中所显示目前内存中所有的有的MATLABMATLAB变量的变量名、数学结变量的变量名、数学结构、字节数及其类型。构、字节数及其类型。命令窗口查询帮助：命令窗口查询帮助：help+help+函数名
6、，函数名，当用户知道函数名字，而不知道当用户知道函数名字，而不知道其用法时，用其用法时，用helphelp命令可以去了命令可以去了解此函数的用法。解此函数的用法。如：如：help invhelp invMATLABMATLAB标点的含义：标点的含义：（1 1）分号；）分号；区分行以及取消区分行以及取消运行显示等。例：运行显示等。例：A=1,2,3,4A=1,2,3,4与与A=1,2;3,4A=1,2;3,4；的区别。的区别。(2)(2)逗号，逗号，区分列及函数参区分列及函数参数分隔符等。例：数分隔符等。例：=1,2;3,4=1,2;3,4，B=1,4,3;3,2,1;4,5,6B=1,4,3;
7、3,2,1;4,5,6(3)(3)小括号（）：指定运算过程的小括号（）：指定运算过程的先后次序等。例：先后次序等。例：x=0.5;x=0.5;y=sin(x)/(2+cos(x)y=sin(x)/(2+cos(x)z=sin(x)/2+cos(x)z=sin(x)/2+cos(x)(4)(4)方括号方括号 ：矩阵定义标志等。：矩阵定义标志等。见上。见上。（5 5）续行号）续行号：例：例：y=sin(x)/(2+cos(x)y=sin(x)/(2+cos(x)也可写为也可写为 y=sin(xy=sin(x)/(2+cos(x)/(2+cos(x)(6)(6)百分号百分号%：注释标记，该行：注释标
8、记，该行%以以后的语句不执行。例后的语句不执行。例%线性规划程序线性规划程序%a=0.5;%a=0.5;b=sin(xb=sin(x);%);%正弦函数正弦函数 （6 6）等号）等号=：赋值标记。见上。：赋值标记。见上。（7 7）单引号）单引号 ：字符串表示：字符串表示符，单引号里面的内容为字符串。符，单引号里面的内容为字符串。单引号一定在英文状态下输入例：单引号一定在英文状态下输入例：a=xingtai college（8 8）冒号）冒号：有多种应用功：有多种应用功能，学习过程中注意。如：选取能，学习过程中注意。如：选取矩阵的所有行、列；矩阵定义矩阵的所有行、列；矩阵定义二、数值计算二、数值
9、计算变量：变量：MATLAB语言不需要对所使用语言不需要对所使用的变量进行事先声明，也不需要指定其的变量进行事先声明，也不需要指定其类型，它会自动根据所赋予变量的值或类型，它会自动根据所赋予变量的值或所进行的操作来确定变量的类型。如果所进行的操作来确定变量的类型。如果变量重新赋值将会用新值代替旧值。如：变量重新赋值将会用新值代替旧值。如：a=1 b=0.5 c=a*b c=3 变量命名的规则：变量命名的规则：（1 1）变量名区分大小写；）变量名区分大小写；（2 2）变量名长度不能超过）变量名长度不能超过3131位；位；（3 3）必须以字母开头，变量名中）必须以字母开头，变量名中可包含字母、数字
10、、下划线，但可包含字母、数字、下划线，但不能使用标点。不能使用标点。常量：常量：MATLAB中有些预定义的中有些预定义的变量，这些特殊的变量称为常量。变量，这些特殊的变量称为常量。常用到的有：常用到的有：i,j:虚数单位；虚数单位；pi:；NaN:表示不定值表示不定值,比如比如0/0；inf:无穷大（无穷大（infinit），比如），比如1/0。算术操作符：算术操作符：+、-：加，减；可以通用。：加，减；可以通用。*，,/：分别为矩阵乘，乘：分别为矩阵乘，乘方，左除，右除；方，左除，右除；.*,.,.,./：分别为数组乘，：分别为数组乘，乘方，左除，右除；此时向量的乘方，左除，右除；此时向量的
11、运算不会满足矩阵的运算法则。运算不会满足矩阵的运算法则。注意矩阵的加点运算结果。注意矩阵的加点运算结果。如：如：a1=2;a2=1,2,3,4;b2=4,3,2,1;a1+a2a1-a2a2-a1a1*a2a1./a2%a1/a2是错误的写法是错误的写法a1.a2 a2-b2a2+b2a2.*b2%a2*b2是错误的写法是错误的写法a2./b2b2./a2a2.b2例例 已知水的黏度随温度的变化公式已知水的黏度随温度的变化公式为为=0/（1+at+bt2）其中）其中0 0=1.785=1.7851010-3-3，a=0.03368,b=0.000221,a=0.03368,b=0.000221
12、,求水在求水在0 0，2020，4040，8080时的黏度。时的黏度。程序如下：程序如下：miu0=1.785e-3;a=0.03368;b=0.000221;t=0:20:80 miu=miu0./(1+a*t+b*t.2)运行后的结果为运行后的结果为：miu=0.0018 0.0010 0.0007 0.0005 0.0003 字符串：字符串：字符串的约定（字符串的约定（1）字符串用单引）字符串用单引号括起来；（号括起来；（2）字符串的每个）字符串的每个每个字符（包括空格）都是字符每个字符（包括空格）都是字符数组的一个元素数组的一个元素.例例 s=xingtai college f=sin
13、(x)是字符串（是字符串（char array）向量的生成：向量的生成：（1）直接输入：如）直接输入：如a=1,2,5,3 (2)利用冒号表达式生成：如：利用冒号表达式生成：如：b=2:2:10,此时此时 可省略，步长可省略，步长为为1时，步长可省略。第一个数为时，步长可省略。第一个数为首元素的值，第首元素的值，第2个数为步长或差个数为步长或差值，第三个数为尾元素的限值，不值，第三个数为尾元素的限值，不能超过这个值。如能超过这个值。如b=2;2:11等价于等价于b=2:2:10（3）线性等份向量生成：）线性等份向量生成：y=linspace(x1,x2,n),生成生成n维向维向量，使得量，使得
14、y(1)=x1,y(n)=x2。如：。如：y=linspace(1,100,6)。l向量的基本运算向量的基本运算（1）向量的加减：用）向量的加减：用+、-。同维向。同维向量才可以加、减。相应元素加减量才可以加、减。相应元素加减（2 2）向量与数可以加、减。用）向量与数可以加、减。用+、-。数与向量的每个元素进行作用。数与向量的每个元素进行作用。（3 3）向量与数可以相乘。用）向量与数可以相乘。用*。(4)(4)向量与数可以相除。向量向量与数可以相除。向量/数，数，数数././向量。向量。（5 5）两个向量点积。必须是同维）两个向量点积。必须是同维向量。用向量。用dot(a,bdot(a,b)。
15、（6 6）两个向量叉积。）两个向量叉积。cross(a,b),a,bcross(a,b),a,b必须有是必须有是3 3维且次维且次序不能颠倒序不能颠倒,。（7 7）混合积。由以上两个函数实现。）混合积。由以上两个函数实现。dot(a,cross(b,cdot(a,cross(b,c)矩阵的生成：矩阵的生成：(1)直接输入直接输入:如如:a=1,3,4;4,3,2.(2)(2)创建创建M M文件输入大矩阵文件输入大矩阵:当矩阵当矩阵很大时很大时,直接输入显得很笨直接输入显得很笨,出错出错不易修改不易修改.我们可以编写一个我们可以编写一个M M文文件件,M,M文件的扩展名必须是文件的扩展名必须是m
16、.m.例例 编写一个名为编写一个名为matrix.mmatrix.m(名字名字自己随便起自己随便起)的的M M文件如下文件如下:%matrix.m%matrix.mmat=1,2,3,3;3,4,5,1;3,2,1,4;8,mat=1,2,3,3;3,4,5,1;3,2,1,4;8,9,7,59,7,5 在命令窗口中输入在命令窗口中输入matrix,matrix,就就会运行该文件会运行该文件.查看矩阵的结构可查看矩阵的结构可用用size(matsize(mat).).矩阵运算矩阵运算:(1)+(1)+、-、*：加、减、乘运算。：加、减、乘运算。（2 2）矩阵的除法有两种形式）矩阵的除法有两种形
17、式:左除左除“”和右除和右除/./.右除是先计算右除是先计算逆再做乘法逆再做乘法;而左除不计算逆直接而左除不计算逆直接进行除法运算进行除法运算,这样可避免奇异矩这样可避免奇异矩阵无法求逆带来的麻烦阵无法求逆带来的麻烦.如如:A=1,2,3,2;3,2,:A=1,2,3,2;3,2,4,1;3,1,5,6;2,5,3,2,4,1;3,1,5,6;2,5,3,2,b=1;3;2;1,b=1;3;2;1,求方程组求方程组Ax=bAx=b的解的解.由于由于rank(A)=rank(Brank(A)=rank(B)=4(B)=4(B为增为增广矩阵广矩阵),),所以有唯一解所以有唯一解,x=Ab,x=Ab
18、,或或x=inv(Ax=inv(A)*b.b.又如又如:A=361,625,961,1444,1936;1,1,1,A=361,625,961,1444,1936;1,1,1,1,1,b=1;1,1,1,b=1;1,求方程组求方程组Ax=bAx=b的的解解.由于由于rank(A)=rank(Brank(A)=rank(B)=2(B)=2(B为增为增广矩阵广矩阵),),所以有无穷多个所以有无穷多个解解,MATLAB,MATLAB中用除法解方程组时所中用除法解方程组时所得到的解是所有解中范数最小的一得到的解是所有解中范数最小的一个个x=Abx=Ab。（3 3）矩阵与常数间的运算）矩阵与常数间的运算
19、:+:+、-、*运算是数与矩阵的每个元素进行运算是数与矩阵的每个元素进行运算，除法运算，只能常数做除运算，除法运算，只能常数做除数。数。（4 4）矩阵求逆：）矩阵求逆：inv(Ainv(A)为为A A的逆的逆(inverse).(inverse).（5 5）求转置矩阵）求转置矩阵:A.:A.（6 6）求矩阵的行列）求矩阵的行列式式:det(A:det(A),(determinant),(determinant是行是行列式列式)。（7 7）矩阵幂运算：用）矩阵幂运算：用.如如A3,A3,表示表示A A*A A*A A。（8 8）矩阵指数运算：）矩阵指数运算：expm(A),Aexpm(A),A为
20、为方阵。方阵。（9 9）矩阵对数运算）矩阵对数运算:logm(A),A:logm(A),A为为方阵。方阵。如：如：a=rand(3)a=rand(3)；%成生一个成生一个3 3阶阶随机矩阵随机矩阵 b=expm(ab=expm(a)c=logm(b c=logm(b)（1010）矩阵开方：）矩阵开方：sqrtm(asqrtm(a).).(11)(11)求矩阵呢的秩：求矩阵呢的秩：rank(arank(a).).特殊矩阵的生成：特殊矩阵的生成：（1 1）zeros(nzeros(n):):生成生成 n nn n阶阶0 0矩阵。矩阵。（2 2）zeros(m,nzeros(m,n):):生成生成
21、m mn n阶阶0 0矩矩阵。阵。（3 3）zeros(size(azeros(size(a):):生成与生成与a a阶数阶数相同的相同的0 0矩阵。矩阵。（4 4）eye(neye(n):):生成生成 n n阶单位矩阵。阶单位矩阵。（5 5）eye(m,neye(m,n):):生成生成 m mn n阶单位阶单位矩阵。矩阵。（6 6）eye(size(aeye(size(a):):生成与生成与a a阶数阶数相同的单位矩阵。相同的单位矩阵。（7 7）ones(nones(n):):生成生成 n n阶全阶全1 1矩阵。矩阵。（8 8）ones(m,nones(m,n):):生成生成 m mn n阶
22、全阶全1 1矩阵。矩阵。（9 9）ones(size(aones(size(a):):生成与生成与a a阶数阶数相同的全相同的全1 1矩阵。矩阵。（1010）rand(nrand(n):):生成生成 n nn n阶随机矩阶随机矩阵，其元素值在阵，其元素值在0 0和和1 1之间。之间。（1111）rand(m,nrand(m,n):):生成生成 m mn n阶随机阶随机矩阵。矩阵。（1212）randrand：生成一个随机数。：生成一个随机数。（1313）rand(size(arand(size(a):):生成与生成与a a阶阶数相同的随机矩阵。数相同的随机矩阵。l矩阵的特殊操作：矩阵的特殊操作
23、：（1 1）变维操作）变维操作reshape(a,m,nreshape(a,m,n):):把把矩阵矩阵a a变成变成n nn n阶矩阵。如阶矩阵。如 a=1:12,reshape(a,2,6),a=1:12,reshape(a,2,6),reshape(a,3,4)reshape(a,3,4)。注意变维操作。注意变维操作要保证元素个数一致。要保证元素个数一致。例例s=1:12;s=1:12;c=zeros(3,4);c=zeros(3,4);c(:)=s(:);%c(:)=s(:);%符号符号“:”:”表示表示变维操作，这两个矩阵必须预先变维操作，这两个矩阵必须预先定义维数，结果定义维数，结果
24、c c取的是取的是s s的元素。的元素。（2 2）对角元素抽取）对角元素抽取diag(a,kdiag(a,k)（注：（注：diagonaldiagonal为对角线的意思）：抽为对角线的意思）：抽取矩阵取矩阵a a的第的第k k条对角线的元素作条对角线的元素作为向量，为向量，k=0 k=0 时为主对角线，时为主对角线，k k为为正值时为上方第正值时为上方第k k条对角线，条对角线，k k为为负值时为下方第负值时为下方第k k条对角线。条对角线。diag(adiag(a)相当于相当于diag(a,0).diag(a,0).例例 a=rand(3);v=diag(aa=rand(3);v=diag(
25、a)说明：如果说明：如果b b是一个向量，则是一个向量，则diag(bdiag(b)为对角矩阵，其对角线元素为为对角矩阵，其对角线元素为b b的的元素。如：元素。如：b=1:3,diag(b).b=1:3,diag(b).（3 3）tril(atril(a)()(注：注：triangle triangle low):low):提取矩提取矩a a的主下三角。的主下三角。（4 4）tril(atril(a，k):k):提取矩提取矩a a的第的第k k条条对角线下面部分。对角线下面部分。k=0 k=0 时为主对时为主对角线，角线，k k为正值时为上方第为正值时为上方第k k条对条对角线，角线，k k
26、为负值时为下方第为负值时为下方第k k条对条对角线。角线。（5 5）triu(atriu(a，k)(k)(注：注：triangle triangle up):up):提取矩提取矩a a的第的第k k条对角线上面条对角线上面部分。部分。逻辑运算符：逻辑运算符：（1 1）=：等于。：等于。（2 2）=：不等于。：不等于。（3 3）：小于。）：小于。（4 4）：大于。）：大于。（5 5）=：小于等于。：小于等于。（6 6）=：大于等于。：大于等于。（7 7）&:&:逻辑与。逻辑与。（8 8）|：逻辑或。：逻辑或。（9 9）：逻辑非。：逻辑非。说明：说明：在关系比较中，若双方为同在关系比较中，若双方为
27、同维数组（矩阵），则比较的结果维数组（矩阵），则比较的结果也是同维数组（矩阵）。它们的也是同维数组（矩阵）。它们的元素有元素有0 0和和1 1组成。对应位置上的组成。对应位置上的元素满足比较关系时为元素满足比较关系时为1 1，否则为，否则为0 0。当常数与数组（矩阵）比较时，。当常数与数组（矩阵）比较时，结果与数组（矩阵）同维，其值结果与数组（矩阵）同维，其值依次为常数与数组元素依次比较依次为常数与数组元素依次比较的结果。例：的结果。例：a=1:3;4:6;7:9x=5y=x=a运行结果y=0 0 0 0 1 1 1 1 1逻辑运算的意义是：与：当运算双方的对应元素值都为非0时，结果为1，否则
28、为0；或：当运算双方的对应元素值有一非0时，结果为1，否则为0；非：当运算数组（矩阵）的对应位置上的元素值为0时，结果为1，否则为0。例a=1,2;3,2;b=0,1;3,0;d=a&b e=a|b f=b算术运算、比较运算、逻辑与或算术运算、比较运算、逻辑与或非运算的优先级：先算术运算、非运算的优先级：先算术运算、再比较运算、最后逻辑与或非运再比较运算、最后逻辑与或非运算。算。常用的一些函数常用的一些函数(直接调用直接调用):sin(x):正弦函数正弦函数(sine);例例:x=-pi:0.1:pi;y=sin(x);plot(x,y)asin(x):反正弦函数反正弦函数(anti-sine
29、);cos(x):余弦函数余弦函数(cosine);acos(x):反反余弦函数余弦函数(anti-cosine);tan(x):正切函数正切函数(tangent);atan(x):反正切函数反正切函数(anti-tangent);cot(x):余切函数余切函数(cotangent);acot(x):反反余切函数余切函数(anti-cotangent);sec(x):正割函数正割函数(secant);asec(x):反正割函数反正割函数(anti-secant);csc(x):余割函数余割函数(cosecant);acsc(x):反余割函数反余割函数(anti-cosecant);sinh(x
30、):双曲正弦双曲正弦(hyperbolic sine);asinh(x):反双曲正弦反双曲正弦(anti-hyperbolic sine);cosh(x):双曲余弦双曲余弦(hyperbolic cosine);acosh(x):反双曲余弦反双曲余弦(anti-hyperbolic cosine);tanh(x):双曲正切函数双曲正切函数(hyperbolic tangent);atanh(x):反双曲正切函数反双曲正切函数(anti-hyperbolic tangent);coth(x):双曲余切函数双曲余切函数(hyperbolic cotangent);acoth(x):反双曲余切函数反
31、双曲余切函数(anti-hyperbolic cotangent);exp(x):e指数函数指数函数(exponent);log(x):自然对数函数自然对数函数(logarithm);log10(x):以以10为底的对数为底的对数;log2(x):以以2为底的对数为底的对数;sqrt(x):平方根函数平方根函数(square root);abs(x):求模函数求模函数(absolute)Inline(f的表达式的表达式)：自定义函数。函数的自变量为函数中：自定义函数。函数的自变量为函数中出现的变量。自变量顺序安字母表顺序。出现的变量。自变量顺序安字母表顺序。Inline(f的表达式的表达式，变
32、量变量1，变量变量2，变量变量3，)：与上面的区别是它安变量表的给出的顺序规定函数的变量与上面的区别是它安变量表的给出的顺序规定函数的变量顺序。如：顺序。如：g=inline(sin(2*x*y+z)，表示：表示：g(x,y,z)=sin(2*x*y+z)g=inline(sin(2*x*y+z),x,z,y)表示：表示：g(x,z,y)=sin(2*x*y+z)；g1(1,2,3)与与g2(1,2,3)的意义不同。的意义不同。factorial(n):求求n的阶乘。的阶乘。多项式表示方法：多项式表示方法：在在MATLAB中多项式中多项式p(x)=anxn+an-1xn-1+a0是以向量是以向
33、量p=an,an-1,a0的形式储存的的形式储存的.(1)系数向量直接输入系数向量直接输入:例输入多项式例输入多项式x3-5x2+6x-33.p=1,-5,6,-33;poly2sym(p)%polynomial多项多项式式,将系数向量表示成符号多项式将系数向量表示成符号多项式(2)(2)矩阵的特征多项式输入矩阵的特征多项式输入:例例 a=1,2,3;2,3,4;3,4,5;a=1,2,3;2,3,4;3,4,5;p=poly(a p=poly(a);%);%求求a a的特征多项式系数的特征多项式系数向量向量 p1=poly2sym(p);%p1=poly2sym(p);%即为即为a a的特征
34、多的特征多项式项式(3)由根创建多项式由根创建多项式:例例 root=-5,-3+4i,-3-4i;%是某个多是某个多项式的根项式的根 p=poly(root)%求相应的多项式求相应的多项式的系数向量的系数向量P1=poly2sym(p)%将多项式系数将多项式系数向量表示成符号多项式向量表示成符号多项式 多项式运算多项式运算:(1)求多项式的值求多项式的值:例例 p=1,11,55,125;a=1.2 b=1,2;2,3 polyval(p,a)%polynomial value 求多项式在求多项式在1.2的值的值polyvalm(p,b)%多项式在多项式在b的值的值(2)(2)求多项式的根求
35、多项式的根:例求多项式例求多项式 2x4-5x3+6x2-x+9=02x4-5x3+6x2-x+9=0的所有根的所有根.p=2,-5,6,-1,9 p=2,-5,6,-1,9 roots(p roots(p)%)%得到多项式的根得到多项式的根(3)factor:(3)factor:因式分解。例因式分解。例 symssyms x xfactor(x9-1)factor(x9-1)结果：结果：ans=(x-1)*(x2+x+1)*(x6+x3+1)factor(sym(100)%把整数进把整数进行素数分解行素数分解.结果：结果：(2)2*(5)2（4）expand(s):多项式展开多项式展开,s可
36、为多可为多项式、多项式向量和矩阵。例项式、多项式向量和矩阵。例 expand(sym(x+1)3)结果：结果：ans=x3+3*x2+3*x+1 expand(sym(sin(x+y)结果：结果：ans=sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y)（5 5）collect(scollect(s):):对默认的变量合并同对默认的变量合并同类项。类项。collect(s,vcollect(s,v):):对变量对变量v v合并同类合并同类项。项。s s可为符号多项式、多项式向量和矩阵可为符号多项式、多项式向量和矩阵例例 collect(sym(x2*y+y*x-x2-2*y*x)colle
37、ct(sym(x2*y+y*x-x2-2*y*x),x)collect(sym(x2*y+y*x-x2-2*y*x),y)(6)simple(s):符号表达式简化，符号表达式简化，s可为可为符号多项式、多项式向量和矩阵。符号多项式、多项式向量和矩阵。例例f=simple(sym(sin(x)2+cos(x)2)结果：结果：f=g=simple(sym(x3+3*x2+3*x+1)结果：结果：g=(x+1)3(7)多项式乘除运算分别用多项式乘除运算分别用conv和和deconv:(convolution,deconvolution)例例 p1=2,-5,6,-1,9;p2=3,-90,18;p=
38、conv(p1,p2)%为为p1和和p2所相应所相应的多项式的乘积多项式的系数向量的多项式的乘积多项式的系数向量 p3=deconv(p,p1)%p3=deconv(p,p1)%为为p2p2 p4=deconv(p,p2)%p4=deconv(p,p2)%为为p1p1 poly2sym(p1)poly2sym(p1)；poly2sym(p2)poly2sym(p2)；poly2sym(p)poly2sym(p)poly2sym(p3)poly2sym(p3)poly2sym(p4)%poly2sym(p4)%观看这几个多项观看这几个多项式式polyfit(x,y,npolyfit(x,y,n)
39、其中其中x,yx,y为拟合数为拟合数据，据，n n为拟合多项式的阶数。例为拟合多项式的阶数。例 用最小二乘法拟合数据用最小二乘法拟合数据 x:0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 x:0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 y:1.75 2.45 3.81 y:1.75 2.45 3.81 4.80 8.00 8.604.80 8.00 8.60 x=0.5,1,1.5,2,2.5,3 x=0.5,1,1.5,2,2.5,3 y=1.75,2.45,3.81,4.80,8.00,8.60y=1.75,2.45,3.81,4.80,8.00,8.60 a
40、=polyfit(x,y,2)%用2次多项式拟合上组数据，a为拟合多项式的系数向量 x1=0.5:0.05:3x1=0.5:0.05:3 y1=a(1)y1=a(1)*x1.2+a(2)x1.2+a(2)*x1+a(3)x1+a(3)plot(x1,y1)%plot(x1,y1)%画出拟合曲线的图画出拟合曲线的图形形 hold on%hold on%保留上面的图形和坐保留上面的图形和坐标，可在该坐标系中继续作图标，可在该坐标系中继续作图 plot(x,yplot(x,y,*)%)%用用*号的形式号的形式画出被拟合的数据图形画出被拟合的数据图形l求矩阵的特征值（求矩阵的特征值（eigenvalu
41、e:）和）和特征向量特征向量(eigenvector)例例 a=7,3,-2;3,4,-1;-2,-1,3;x,y=eig(a)%所得结果所得结果x为为a的特征的特征向量矩阵，向量矩阵，y为特征值矩阵为特征值矩阵说明：说明：a必须是方阵，此时必须是方阵，此时a*x=x*y，三、符号运算三、符号运算MATLABMATLAB进行符号运算的主要功能：进行符号运算的主要功能：符号表达式和符号矩阵的基本操作、符号表达式和符号矩阵的基本操作、符号矩阵的基本运算、符号微积分符号矩阵的基本运算、符号微积分运算、符号线性方程求解、符号微运算、符号线性方程求解、符号微分方程求解、特殊数学符号函数、分方程求解、特殊
42、数学符号函数、符号函数图形等。符号函数图形等。符号表达式的生成符号表达式的生成创建符号函数：如创建符号函数：如f=log(x)创建符号方程：如创建符号方程：如 g=a*x2+b*y2+c=0创建微分方程：如创建微分方程：如q=Dy-y=x或者：或者：f=sym(log(x)、g=sym(a*x2+b*y2+c=0)、q=sym(Dy-y=x)说明：符号函数也可以用另一方说明：符号函数也可以用另一方法创建法创建(该方法不能创建方程该方法不能创建方程)：syms x%用用symssyms可以定义多个变量，变量间用空格分开可以定义多个变量，变量间用空格分开f=log(x)w=sin(x)+cos(x
43、)符号与数值之间的转换符号与数值之间的转换(1)Vpa(1)Vpa函数：如函数：如 digits(25)digits(25)设置有效数字设置有效数字的精度为的精度为2525位有效数字位有效数字 vpa(pi+1)vpa(pi+1)显示在上述显示在上述digitsdigits函数设置下的精度的数值函数设置下的精度的数值 或者或者vpa(pi+1,25)vpa(pi+1,25)注注vpa:variable precision arithmetic(2)numeric函数：如函数：如 numeric(pi+2),a=1,numeric(a)(把把a变为变为double型，相当于型，相当于str2nu
44、m(a)(3)double函数函数:如如 double(pi+2),a=1,double(a)(把把a变为变为double型代码型代码)例例 求函数求函数f(x)=x-cos(x)在在x=2的值。的值。解解 symssyms x x f=x-cos(x f=x-cos(x););f1=subs(f,2,x)%f1=subs(f,2,x)%字符替代，字符替代，在在 符号函数符号函数f f中用中用2 2代替代替x x f1=subs(f,x,1)%f1=subs(f,x,1)%给出给出f f在在x=1x=1处处的值。的值。digits(20)digits(20)vpa(f1)vpa(f1)nume
45、ric(f1),double(f1)numeric(f1),double(f1)例求方程例求方程3x2-ex=0的精确解和各种的精确解和各种精度的近似解。精度的近似解。解解 s=solve(3*x2-exp(x)=0)vpa(s)%显示显示32位有效数字位有效数字 vpa(s,6)显示显示6位有效数字位有效数字 syms x ezplot(3*x2-exp(x)注：注：W=LAMBERTW(X)是是w*exp(w)=x的解的解 符号函数运算符号函数运算复合函数运算：设复合函数运算：设z=g(y),y=f(x)compose(g,f)%即为即为g(f(x),自自变量的符号取为变量的符号取为f函数
46、的自变量符函数的自变量符号。号。compose(g,f,t)%即为即为g(f(x),自变量的符号取自变量的符号取t。反函数运算：反函数运算：finverse例例 syms x;syms y;syms t;%或者或者syms x y t g=sin(y);f=1/x compose(g,f)compose(g,f,t)finverse(g)finverse(f)符号矩阵创立符号矩阵创立 使用sym函数直接创建符号矩阵：例 a=sym(1/sin(x),cos(x)2;2*x,1+x2)或 syms x a=1/sin(x),cos(x)2;2*x,1+x2 用创建子矩阵的办法创建符号矩阵（该方法
47、不推荐）：例 a=1/sin(x),cos(x)2;2*x ,1+x2 同列元素的位数必须一样，可用空可空格来补。例b=a,;1 ,x2 将数值矩阵转化为符号矩阵将数值矩阵转化为符号矩阵a=2/3,sqrt(2);0.222,log(3)%a为为数值矩阵数值矩阵b=sym(a)把把a转化为符号矩阵转化为符号矩阵b。符号矩阵索引和修改符号矩阵索引和修改b(2,2)%矩阵的索引矩阵的索引,显示矩阵显示矩阵b的的第第2行第行第2列元素。列元素。符号矩阵的修改符号矩阵的修改 b(2,2)=log(9)%矩阵的修改，矩阵的修改，b(2,2)修改为修改为log(9)。符号矩阵的运算符号矩阵的运算（1）、）
48、、*、/运算运算（2）矩阵转置（）矩阵转置（）：）：a (3)行列式运算：行列式运算：det(a)%determinant的的简写计算符号矩阵简写计算符号矩阵的行列式。的行列式。（4）求逆）求逆inv(a):求矩阵求矩阵a的逆。的逆。（5）求矩阵的秩）求矩阵的秩rank(a):求矩阵求矩阵a的秩。的秩。符号函数极限（只限于符号函数极限（只限于sym型函数）型函数）limit(f,x,a):求表达式求表达式f在在xa时的极限。时的极限。limit(f):求求f在在x0时的极限时的极限.imit(f,x,a,left):求表达式求表达式f在在xa时的左时的左极限。极限。limit(f,x,a,ri
49、ght):求表达式求表达式f在在xa时的时的右极限。例右极限。例 syms x limit(sin(x)/x,x,1)limit(sin(x)/x)limit(1+1/x)(1/x),x,inf)f=atan(1/(1-x)y=limit(f,x,1)%没极限没极限 y1=limit(f,x,1,left)y2=limit(f,x,1,right)f=1/x,y1=limit(f,x,0,left)y2=limit(f,x,0,right)符号积分符号积分(适于适于sym型、型、char型型)（1）int(f,x):计算符号表达式计算符号表达式f,自由变自由变量为量为x的不定积分的不定积分（2
50、）int(f,x,a,b):计算符号表达式计算符号表达式f,自自由变量为由变量为x,从从a到到b的定积分的定积分说明：符号表达式可以是符号函数，说明：符号表达式可以是符号函数，也可是符号矩阵。也可是符号矩阵。例例 syms x int(sin(x),x)int(sin(x),x,0,1)int(sin(x),x,0,1）说明：变量说明：变量x省略时默认对省略时默认对x积分。积分。a=sym(1/sin(x),cos(x)2;2*x,1+x2)int(a,x)符号函数求导符号函数求导(适于适于sym型和型和char型型)(1)diff(f,x)%求表达式求表达式f,自由变量为自由变量为x的导数。
