1、1第六章 单变量微分学郇中丹2006-2007学年第一学期2基本内容 0 微积分的创立 1 导数和微分的定义 2 求导规则 3 函数一点行为的导数刻划 4 区间上的可导函数(中值定理)5 不定式 6 Taylor公式 7 用导数研究函数 8 割线法和切线法(Newton方法)30 微积分的创立 Isaac Newton(1642-1727)Gotfried Wilhelm Leibniz(1646-1716)4Isaac Newton(1642-1727)1661.6(顺治18年)入剑桥三一学院(半公费(做仆人挣钱缴交学费的)学生),数学指导教师Isaac Barrow(1630-1677),
2、1664.1(康熙3年)获学士学位.1664-1666英国流行黑死病(鼠疫),1665-1666牛顿回家乡呆了18个月,其间发明了流数(Fluxion)法(变量为流,变化率为流数)、发现了万有引力定律、用实验证明了白光为各种颜色光合成.1665年11月发明“正流数法”(微分法)，1666年5月发明“反流数法”(积分法)，1666年10月总结文稿“流数简论”，建立了微积分基本定理。5Isaac Newton(II)1669接替Barrow的教授职位;1687(康熙26年)出版Mathematical Principles of Natural Philosophy.Newton有关流数的著作到他
3、身后才发表(1736).6Gotfried Wilhelm Leibniz(1646-1716)1661入Leipzig大学学法律,1663获学士,1666具备获法学博士的资格(出于嫉妒,该校教师拒绝授予),被另一所大学授予博士和请其为教授(他拒绝了后者).作为律师,他被雇主们支得在四处透风的马车中四处奔波,使得他具有在任何时间、任何地点和任何条件下工作的能力，他不停地读着、写着和思考着，他的手稿至今还成捆地放在图书馆里而没有被人们整理过。有趣地是他的头颅比一般人的都小。7Leibniz(II)1666其称作“中学生随笔”的组合艺术中立志要创造出“一般方法和普适语言，其中所有推理都简化为计算，
4、除了可能的事实错误外，只会有计算错误”，为此他创立了符号逻辑但未能完成,发明了能做四则运算和开方的计算机。由于其才能而被种种琐事困扰。1672-1673请求Huygens教授了他现代数学;在英国了解到了无穷级数方法。1675年发现了微积分基本定理，1677年7月11日将其发表，其方法主要经过James和John Bernoulli兄弟的发展而成为一种强有力而又容易运用的工具。8Leibniz(III)Leibniz建立微积分的基本记号和术语,包括微积分(Calculus,原意是鹅卵石,用于计数),微分(原意是差的,Differential),微分,求导和积分的符号.建立了四则运算的求导规则.1
5、673年引入函数的术语。提出：不能像卫道士那样：只有知识而没有判断。91.导数和微分的定义 微分和导数概念的意义 函数增量与微分和导数 连续与导数和导数的解释10微分和导数概念的意义(I)微分的概念源自试图刻划在一个“小”时间间隔或空间上的变化量。导数的概念源自刻划某种现象在一个时刻或位置的变化率，典型的例子有：在一个时刻的速度、曲线在一点的斜率、物质在一点的密度等等。如何理解导数始终是个有挑战性的问题。微分与导数的概念是密切联系着的，所涉及的范围和对其意义的理解是不断演化的。由时间到空间，由一维到高维，由有限维到无穷维。由近似到线性映射。11微分和导数概念的意义(II)导数的物理背景:随时间
6、或空间的变化率(rates of change),包括各种瞬时速度、各种密度、浓度或强度等等。导数的几何背景：切线的斜率、曲线的曲率、曲面切平面的确定和曲面的曲率等等。引入导数的简单模型：由路程函数确定速度函数和由函数图像确定图像切线。由方向导数到梯度再到一般意义上的导数。12函数增量与微分和导数 设在a的一个邻域上有定义.增量定义:称Dx=x-a为自变量x在a处的增量,D(x)=(x)-(a)为在a处的增量.微分定义:若cR使得D(x)cDx(Dx0),就称线性函数g(Dx)=cDx为D(x)(也叫在a处)的微分,记做d(x)或d.Dx也记做dx.此时称在a处可微.导数定义:若cR使得D(x
7、)/Dxc(Dx0),称c为在a处的导数,记做c=(a)或d/dx(a)=D(a).小结:若在a处可微,D(x)=d(x)+g(Dx)Dx(a(0)=0),d(x)(a)dx.d(x)也叫做函数增量D(x)的线性部分.13连续与导数和导数的解释 可微与连续:若在a处可微,则在a处连续.左导数和右导数:右导数(a+),左导数(a-).导数与左右导数:在a处有导数当且仅当在a处左右导数存在且相等.切线定义:曲线y=(x)在(a,(a)的切线定义为直线:y=(a)+(a)(x-a).导数(a)的几何解释:曲线y=(x)在(a,(a)的切线的斜率.导数(a)的物理解释:若(x)为物体在时间间隔t0,a
8、内运动的路程,(a)为在时刻a的瞬时速度.14习题十八(I)1.用定义计算下列函数在x=0点的导数:(1)(0)=0,若x0,(x)=x2 sin 1/x;(2)(0)=0,若x0,(x)=exp(-1/x2);(3)Dirichlet函数D(x);(4)xD(x);(5)x2D(x).2.证明:若(0)存在,则n(1/n)-(0)(0)(n).反过来成立吗？3.设(0)=0且(0)存在.计算数列:xn=(1/n2)+(2/n2)+(n/n2)的极限.计算数列极限:(1)xn=sin(1/n2)+sin(2/n2)+sin(n/n2);(2)yn=(1+1/n2)(1+2/n2)(1+n/n2
9、).15习题十八(II)4.设函数在x=0的一个邻域上有定义并且满足:xI,(x)(0).证明:如果(0)存在,则(0)=0.若 162 求导规则 复合函数求导的链式法则 反函数求导公式 一阶微分形式的不变性 求导运算的算术性质 初等函数求导公式 双曲函数及其求导公式17复合函数求导的链式法则 定理定理:设在a点可微,g在(a)点可微,则h=g在a点可微,并且h(a)=g(a)(a).证明证明:记a=(a),b=g(a).则(1)D(x)=a Dx+a1(Dx)Dx(a1(0)=0),(2)Dg(y)=b Dy+b1(Dy)Dy(b1(0)=0).因此,Dh(x)=bD(x)+b1(D(x)D
10、(x)=baDx+ba1(Dx)Dx+b1(a Dx+a1(Dx)Dx)(aDx+a1(Dx)Dx)=baDx+g(Dx)Dx,其中g(Dx)=ba1(Dx)+b1(a Dx+a1(Dx)Dx)(a+a1(Dx)满足g(0)=0.所以,h(a)=ba=g(a)(a).#18反函数求导公式 定理定理:设C(I),g是在(I)上的反函数,这里I是区间.若在a点可微且(a)0,则g在b=(a)可微,并且g(b)=1/(a)=1/(g(b).证明证明:由在(I)上有反函数,在I上严格单调,因此,gC(I).只要证明g(b)存在就够了.而这由(g(y)-g(b)/(y-b)=(g(y)-g(b)/(g(
11、y)-(g(b)和复合函数的极限性质就得到结论.#19一阶微分形式的不变性 这是复合函数求导的链式法则的另外一种说法:设的微分是d(x).若x=g(t)有微分dx=dg(t),则d(g(t)=(g(t)dg(t)=(x)dx=d(x).这看似空洞的公式,许多时候有意想不到作用,同类的公式在高阶导数时不再成立.20求导运算的算术性质 设何g在a点可微,cR.则+g,c,g在a点可微,若g(a)0,/g在a点也可微.并且(+g)(a)=(a)+g(a);(c)(a)=c(a);(g)(a)=(a)g(a)+(a)g(a);(/g)(a)=(a)g(a)-(a)g(a)/g(a)2.证明:极限性质和
12、导数定义的应用.#21初等函数求导公式 基本初等函数求导公式:(c)=0;(x)=1;由归纳法：(xn)=nxn-1;(exp x)=exp x;由链式法则,(ax)=ax ln a;反函数求导规则:(ln x)=1/x;(loga x)=(ln a)/x;(xa)=axa-1;以及(uv)=uv(vln u+vu/u).(sin x)=cos x;由求导运算的算术性质得到:(cos x)=-sin x;(tan x)=sec2 x;(cot x)=-csc2 x;(sec x)=tan x sec x;(csc x)=-cot x csc x.由反函数求导规则:(arcsin x)=1/sq
13、rt1-x2;(arccos x)=-1/sqrt1-x2;(arctan x)=1/(1+x2);(arccot x)=-1/(1+x2);(arcsec x)=1/(|x|sqrtx2-1);(arccsc x)=-1/(|x|sqrtx2-1).22双曲函数及其求导公式 双曲函数定义:sinh x,cosh x,tanh x,coth x,sech x,csch x.双曲函数求导公式:(sinh x)=cosh x;(cosh x)=sinh x;(tanh x)=sech2 x;(coth x)=-csch2 x;(sec x)=-tanh x sech x;(csch x)=-cot
14、h x csch x.反双曲函数求导公式:(arcsinh x)=1/sqrt1+x2;(arccosh x)=1/sqrtx2-1;(arctanh x)=1/(1-x2);(arccoth x)=1/(1-x2);(arcsech x)=1/(xsqrt1-x2);(arccsch x)=-1/(|x|sqrtx2+1).23 若 24 若 253 函数一点行为的导数刻划26 若 27 若 284 区间上的可导函数(中值定理)29 若 30 若 315 不定式32 若 33 若 346 Taylor公式35 若 36 若 377 用导数研究函数38 若 39 若 408 割线法和切线法(Newton方法)41 若 42 若 43习题十八 1.计算下列极限 若 44 若 45 若 46 若
