1、圆锥曲线中的最值、范围问题1圆锥曲线中的范围问题(1)解决这类问题的基本思想是建立目标函数和不等关系(2)建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题；建立不等关系的关键是运用圆锥曲线的几何特征、判别式法或基本不等式等灵活处理 2圆锥曲线中的存在性问题 (1)所谓存在性问题，就是判断满足某个(某些)条件的点、直线、曲线(或参数)等几何元素是否存在的问题 (2)这类问题通常以开放性的设问方式给出，若存在符合条件的几何元素或参数值，就求出这些几何元素或参数值；若不存在，则要求说明理由 3 圆锥曲线中的证明问题 圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一类是证明点、直线、曲
2、线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；另一类是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)4 定点问题(1)解析几何中直线过定点或曲线过定点问题是指不论直线或曲线中的参数如何变化，直线或曲线都经过某一个定点(2)定点问题是在变化中所表现出来的不变的点，那么就可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变量所影响的某个点，就是要求的定点 5 定值问题 解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不随参数的变化而变化
3、，而始终是一个确定的值 6最值问题 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解 解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数不等式求最值、范围因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的
4、实际情况灵活处理 求圆锥曲线中最值的方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解 例例1 已知A、B、C是椭圆M：x2a2y2b21(ab0)上的三点，其中点A的坐标为(2 3，0)，BC过椭圆的中心，且OCA90，|BC|2|AC|.(1)求椭圆M的方程；(2)过点(0，t)的直线(斜率存在)与椭圆M交于P、Q两点，设D为 椭圆与y轴负半轴的交点，且|D
5、P|DQ|，求实数t的取值范围 师生共研(1)|BC|2|AC|且BC过点(0,0)，则|OC|AC|.OCA90，C(3，3)由题意知a23，则椭圆M的方程为x212y2b21，将点C的坐标代入得3123b21，解得b24.椭圆M的方程为x212y241.(2)由题意知 D(0，2)，设直线 l 的斜率为 k，当 k0 时，显然2t0 可得，t2412k2.设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，PQ的中点为 H(x0，y0)，则 x0 x1x223kt13k2，y0kx0t t13k2，H?3kt13k2，t13k2.|DP|DQ|，DHPQ，即 kDH1k.t13k223kt13k201
6、k，化简得 t13k2，由得，1t b0)的右焦点 F2与抛物线y24 x 的焦点重合，过 F2作与 x 轴垂直的直线 l1与椭圆交于 S，T两点，与抛物线交于 C，D 两点，且|CD|ST|2 2.(1)求椭圆 E的方程；(2)若过点 M(2,0)的直线 l 与椭圆 E相交于 A，B两点，设 P为椭圆 E上一点，且满足(O为坐标 原点)，当0，得k212.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1x28k212k2，x1x28k2212k2，y1y2k(x1x2)4k4k12k2，则1k2|x1x2|1k2816k212k214或k21314(舍去)由得14k212，又AB
7、的中点N?4k212k2，2k12k2，得P8k2?12k2?t，4k?12k2?t，代入椭圆方程得32k4?12k2?2t216k2?12k2?2t21，即t232k416k2?12k2?216k212k2161k22，14k212，83t2b0)的离心率为32，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为2 33，O为坐标原点.(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当OPQ的面积最大时，求l的方程.解(1)设F(c，0)，由条件知2c2 33，得c 3.又ca32，所以a2，b2a2c21.故E的方程为x24y21.(2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，P(x1，y
8、1)，Q(x2，y2).将ykx2 代入x24y21，得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k234时，x1，28k 2 4k234k21.从而|PQ|k21|x1x2|4 k21 4k234k21.又点O到直线PQ的距离d2k21.所以OPQ的面积SOPQ12d|PQ|4 4k234k21.设 4k23t，则t0，SOPQ4tt244t4t.因为t4t4，当且仅当t2，即k72时等号成立，且满足 0.所以当OPQ的面积最大时，l的方程为y72x2 或y72x2.探究提高若一个函数式的分母中含有一次式或二次式、分子中含有一次式或二次式的二次根式，则可以通过换元的方法把其转化
9、为分母为二次式、分子为一次式的函数式，这样便于求解此函数式的最值.2、（济南市 2016 届高三上学期期末）届高三上学期期末）平面直角坐标系xoy中，中，已知椭圆已知椭圆?2222:1xyCabab?的左焦点为 F，离心率为22，过点，过点 F 且垂直于长轴的弦长为2.（I）求椭圆 C 的标准方程；（II）设点）设点 A，B 分别是椭圆的左、右顶点，若过点分别是椭圆的左、右顶点，若过点?2,0P?的直线与椭圆相交于不同两点M,N.（i）求证：）求证：AFMBFN?；（ii）求）求MNF?面积的最大值.解：解：（1）22?ace,又又222?ab,所以所以1,2?ba.所以椭圆的标准方程为122
10、2?yx（4 分）分）（i）由题知，直线 AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为：)2(?xky，设?1122,A x yB xy，联立?12)2(22yxxky，整理得0288)21(2222?kxkxk,则?016828214642224?kkkk，所以.2102?k?222122212128218kkxxkkxx，?121)2(1122112211?xxkxxkxyxykkNFMF)1)(1(4)(32212121?xxkxxkxkx 021482441642183212824)(32233322222121?kkkkkkkkkkkkkkxxkxkx 0?NFMFkk，即AFMBFN?（
11、9 分）（ii）,21)21(811222212kkkxxkMN?点F?0,1?到直线MN的距离为21kkd?，dMNSMNF?21=22221212122121kkkkk?222221212kkk?.令221kt?，则)2,1?t，?)(tu211231223)21)(2(2222?tttttttt 当且仅当431?t，即66?k（此时适合0 的条件）时，?161max?tu，即42)(max?MNFS?三角形MNF面积的最大值是24（14 分）3、（东营市、潍坊市 2016 届高三高三三模）如图所示，椭圆E的中心为坐标原点，焦点1F、2F在x轴上，且1F在抛物线24yx?的准线上，点P是椭
12、圆E上的一个动点，12PFF?面积的最大值为3（）求椭圆E的方程；（）过焦点1F、2F作两条平行直线分别交椭圆E于A、B、C、D四个点 （）试判断四边形ABCD能否为菱形，并说明理由；（）求四边形ABCD面积的最大值 解：（）设椭圆方程为?222210 xyabab?，焦点1F在抛物线24yx?的准线1x?上，1c?，1 分 当点P在短轴顶点时12PFF?面积最大，此时121232PF FSc b?，3b?，2224abc?，2a?，椭圆方程为：22143xy?4 分 （）（）由（）知?11,0F?，直线直线AB不能平行于不能平行于x轴，所以设直线轴，所以设直线AB方程为方程为1xmy?，设设
13、?1122,A x yB x y，联立联立221143xmyxy?，得?2234690mymy?，所以所以12122269,3434myyyymm?5 5 分分 连结连结,OAOB，若ABCDY为菱形，则为菱形，则OAOB?，即，即0OA OB?u uu r u uu r，所以所以12120 xxyy?6 6 分分 又又?212121212111x xmymymy ym yy?，所以有所以有?2121210my ym yy?，7 7 分分 所以所以22125034mm?，显然方程无实数解，显然方程无实数解，所以所以ABCDY不能为菱形8 8 分分 （）易知四边形）易知四边形ABCD为平行四边形
14、，则为平行四边形，则4ABCDAOBSS?Y，而而11212AOBSOFyy?，又因为又因为11OF?，所以，所以?21121212224ABCDSOFyyyyyy?Y，9 9 分分 由（）知12122269,3434myyy ymm?，所以所以?2222222223636 341122424134349161ABCDmmmSmmmm?Y，令令21mt?，则，则1t?，12 分分 令令?19,1f tttt?，则，则1t?时，?22219190tfttt?，?f t是增函数，当当1t?时，?f t取最小值，且最小值为取最小值，且最小值为 10，13 分分 所以所以ABCDSY的最大值是 6 6
15、，此时，此时211m?，即0m?14 分分 4、（枣庄市（枣庄市 2016 届高三上学期期末）已知椭圆届高三上学期期末）已知椭圆?222210 xyabab?上一点与它的左、右两个焦点上一点与它的左、右两个焦点12,F F的距离之和为2 2，且它的离心率与双曲线，且它的离心率与双曲线222xy?的离心率互为倒数.（1 1）求椭圆的方程；）求椭圆的方程；（2 2）如图，点）如图，点 A A 为椭圆上一动点（非长轴端点）为椭圆上一动点（非长轴端点），1AF的延长线与椭圆交于 B B 点，点，AO 的延长线与椭圆交于C C 点点.(i)当直线 AB 的斜率存在时，求证：直线的斜率存在时，求证：直线
16、AB 与与 BC 的斜率之积为定值；的斜率之积为定值；(ii)求ABC 面积的最大值，并求此时直线 AB 的方程.解：（1）设椭圆的半焦距为.c因为双曲线222xy?的离心率为2，所以椭圆的离心率为22，即22ca?.1 分 由题意，得22 2a?.解得2.a?2 分 于是1c?，222211bac?.故椭圆的方程为2212xy?.3 分 （2）（i）设1122(,),(,)A x yB xy，则2222112222,22xyxy?.由于点A与点C关于原点对称，所以11(,)Cxy?.4分222222212121212122222221212121121.2(2 2)(2 2)2()AB BC
17、yy yyyyyyyykkxx xxxxyyyy?故直线AB与BC的斜率之积为定值12?.6分（ii）设直线AB的方程为1xty?.设1122(,),(,)A x yB xy由221,22xtyxy?消去x并整理，得22(2)210.tyty?7分因为直线AB与椭圆交于,A B两点，所以12122221,.22tyyy ytt?8分法一：222121|()()ABxxyy?2221(1)()tyy?222112(1)()4tyyy y?222222212 2(1)(1)()4.222tttttt?9分点O到直线AB的距离为211dt?.10分因为O是线段AC的中点，所以点C到直线AB的距离为2
18、.d2222212 2(1)12 21|22221ABCttSABdttt?.11分令21tu?，则1u.22 22 22 2=21112ABCuSuuuuu?，12分当且仅当1uu?，即1u?，亦即0t?时，ABC面积的最大值为2.来此时直线AB的方程为1x?.13分法二：由题意，5、（枣庄市2016高三3月模拟）已知椭圆?2222:10 xyCa bab?的长轴长为4，离心率为12.(1)求椭圆C的方程；(2)已知点?,0,Aao Bb，直线l交椭圆C于,P Q两点（点,A B位于直线l的两侧）（i）若直线l过坐标原点O，设直线、AP AQ BP BQ的斜率分别为1234,k k k k，
19、求证：1234k kk k?为定值；(ii)若直线l的斜率为32，求四边形APBQ的面积的最大值.5、解：（1）由题意，2224,1.2aaba?2分解得224,3.ab?所以椭圆C的方程为221.43xy?3分(2)(i)点A、B的坐标分别为(2,0)、03（，）.设点P的坐标为,)m n（，由对称性知点Q的坐标为,)mn?（-.所以12nkm?，22nkm?.所以2122.224nnnk kmmm?4分又因为点P在椭圆22:143xyC?上，所以22143mn?，即22443mn?.5分所以21223.443nk kn?6分同理：343.4k k?所以3=-212343344k kk k?
20、，为定值.7分（ii）由题意，(2,0)A，(0,3).B设3:.2lyxt?由点(2,0)A，(0,3)B位于直线l的两侧，得33(20)(03)0.22tt?解得33.t?8分OlyxBAPQ由2232143yxtxy?消去y并整理得226434120.xtxt?9分由判别式22(43)46(412)0tt?，得26.t?当33t?时，显然，判别式0.?设1122(,),(,).P xyQ xy由韦达定理，12xx?2 33t?，12x x?226.3t?10分?222122123724)4326|1()(2233xxx xttPQ?271833.t?11分点(2,0)A到直线3:2lyx
21、t?的距离13|20|2|3|2(3)2.37714tttd?点(0,3)B到直线3:2lyxt?的距离23|03|2|3|2(3)2.37714tttd?12分因此，四边形APBQ的面积=+APQBPQAPBQSSS四边形!121=|()2PQdd?2172(3)2(3)=1832377ttt?2=26t?13分因为33t?，显然，当0t?时，max=26.APBQS四边形14分(2015山东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，左、右焦点分别是F1，F2.以F1为圆心，以3 为半径的圆与以F2为圆心以 1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.(1
22、)求椭圆C的方程；(2)设椭圆E：x24a2y24b21，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线ykxm交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.()求|OQ|OP|的值；()求ABQ面积的最大值.解(1)由题意知 2a4，则a2，又ca32，a2c2b2，可得b1，所以椭圆C的方程为x24y21.(2)由(1)知椭圆E的方程为x216y241.()设P(x0，y0)，|OQ|OP|，由题意知Q(x0，y0).因为x204y201，又（x0）216（y0）241，即24?x204y201，所以2，即|OQ|OP|2.()设A(x1，y1)，B(x2，y2).将ykxm代入椭圆E的方程，可得(1
23、4k2)x28kmx4m2160，由0，可得m2416k2，则有x1x28km14k2，x1x24m21614k2.所以|x1x2|4 16k24m214k2.因为直线ykxm与y轴交点的坐标为(0，m)，所以OAB的面积S12|m|x1x2|2 16k24m2|m|14k2 2（16k24m2）m214k2 2?4m214k2m214k2.设m214k2t，将ykxm代入椭圆C的方程，可得(14k2)x28kmx4m240，由0，可得m214k2.由可知 0t1，因此S2（4t）t2 t24t，故S2 3，当且仅当t1，即m214k2时取得最大值 2 3.由()知，ABQ面积为 3S，所在A
24、BQ面积的最大值为 6 3.(2015高考浙江卷)已知椭圆x22y21上两个不同的点A，B关于直线ymx12对称(1)求实数m的取值范围；(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点)解：解：(1)由题意知由题意知m0，可设直线可设直线AB的方程为的方程为y1mxb.由由?x22y21，y1mxb消去消去y，得，得?121m2x22 bmxb210.因为直线因为直线y1mxb与椭圆与椭圆x22y21有两个不同的交点，有两个不同的交点，所以所以2 b224m20.将线段将线段AB中点M?2 mbm22，m2bm22代入直线方程代入直线方程ymx12解得解得bm222 m2.由得由得m 63.(2)令
25、t1m?62，0?0，62，则|AB|t212 t42 t232t212，且O到直线AB的距离为dt212t21.设AOB的面积为S(t)，所以 S(t)12|AB|d12 2?t2122222，当且仅当t212时，等号成立 故AOB面积的最大值为22.解决圆锥曲线中范围问题的方法 一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化 求解圆锥曲线中的范围问题的关键是选取合适的变量建立目标函数和不等关系.该
26、问题主要有以下三种情况：(1)距离型：若涉及焦点，则可以考虑将圆锥曲线定义和平面几何性质结合起来求解；若是圆锥曲线上的点到直线的距离，则可设出与已知直线平行的直线方程，再代入圆锥曲线方程中，用判别式等于零求得切点坐标，这个切点就是距离取得最值的点，若是在圆或椭圆上，则可将点的坐标以参数形式设出，转化为三角函数的最值求解.(2)斜率、截距型：一般解法是将直线方程代入圆锥曲线方程中，利用判别式列出对应的不等式，解出参数的范围，如果给出的只是圆锥曲线的一部分，则需要结合图形具体分析，得出相应的不等关系.(3)面积型：求面积型的最值，即求两个量的乘积的范围，可以考虑能否使用不等式求解，或者消元转化为某
27、个参数的函数关系，用函数方法求解.圆锥曲线中的范围问题 1.(2016南昌调研测试)已知椭圆C：y2a2x2b21(ab0)的焦距为4且过点(2，2)(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆焦点的直线l与椭圆C分别交于点E，F，求OEOF的取值范围 解：(1)椭圆C：y2a2x2b21(ab0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，2)，(0，2)，2 a202（22）24 2，所以a2 2，b2，即椭圆C的方程是y28x241 (2)若直线若直线l垂直于垂直于x轴，则点轴，则点E(0，2 2)，F(0，2 2)，OEOF8.若直线若直线l不垂直于不垂直于x轴，不妨设轴，不妨设l过该椭圆的上焦点，则过该椭
28、圆的上焦点，则l的方程为的方程为ykx2，设点，设点E(x1，y1)，F(x2，y2)，将直线，将直线l的方程代入椭圆的方程代入椭圆C的方程得到的方程得到(2k2)x24 kx40，则则x1x24 k2k2，x1x242k2，所以所以OEOFx1x2y1y2(1k2)x1x22 k(x1x2)444 k22k28 k22k24202k28，因为因为0202k210，所以，所以8OEOF2，4 4、（青岛市2015届高三二模）已知抛物线届高三二模）已知抛物线C1：y2=2px（p0）的焦点为F，抛物线上存在一点G到焦点的距离为到焦点的距离为3，且点G在圆C：x2+y2=9上（）求抛物线）求抛物线
29、C1的方程；（）已知椭圆C2：=1（mn0）的一个焦点与抛物线）的一个焦点与抛物线C1的焦点重合，且离的焦点重合，且离心率为直线l：y=kx4交椭圆C2于于A、B两个不同的点，若原点两个不同的点，若原点O在以线段AB为直径的圆的外部，求为直径的圆的外部，求k的取值范围 解：解：（）设点）设点G的坐标为（x0，y0），由题意可知（2分）解得：，所以抛物线所以抛物线C1的方程为：y2=8x（4分）（）由（）得抛物线C1的焦点F（2，0），椭圆C2的一个焦点与抛物线C1的焦点重合椭圆C2半焦距c=2，m2n2=c2=4，椭圆C2的离心率为，椭圆C2的方程为：（6分）设A（x1，y1）、B（x2，y2
30、），由得（4k2+3）x232kx+16=0 由韦达定理得：，（8分）由0?（32k）24 16（4k2+3）0或（10分）原点 O 在以线段 AB 为直径的圆的外部，则，=由、得实数 k 的范围是或（13 分）2、（临沂市2016届高三上学期期末）已知椭圆?222210 xyabab?的离心率22e?，直线1yx?经过椭圆C的左焦点.（1）求椭圆C的方程；（2）若过点?2 0M，的 直线与椭 圆C交 于A,B两点，设P为椭圆上一 点，须满足OA OBtOP?uu ruu u ruu u r（其中O为坐标原点），求实数t的取值范围.解：（I）直线1?xy与x轴交点为)0,1(?,1?c1分 2
31、2cea?，1,2?ba3分 故椭圆C的方程为1222?yx 4分 （）由题意知直线AB的斜率存在.设AB：(2)yk x?，由22(2),1.2ykxxy?得2222(12)8820kxk xk?.422644(21)(82)0kkk?，212k?.设11(,)A xy，22(,)B xy，(,)P x y，2122812kxxk?，21228212kxxk?7分OAOBtOP?uuu ruuu ruuu r，1212(,)(,)xxyyt x y?，21228(12)xxkxttk?，1212214()4(12)yykyk xxktttk?.点P在椭圆上，222222222(8)(4)22
32、(12)(12)kktktk?，22216(12)ktk?11分2222161616422112222kttkk?，则-，t的取值范围为)2,2(?.13分3 3、已知中心在坐标原点、已知中心在坐标原点,焦点在 轴上的椭圆过点轴上的椭圆过点,且它的离心率离心率.(1)求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程;(2)与圆与圆相切的直线相切的直线交椭圆于交椭圆于两点,若椭圆上一点若椭圆上一点 满足,求实数 的取值范围的取值范围.(2)(2)因为直线因为直线:与圆相切 所以,代入整理得整理得:7 7 分分 设设,则有则有 因为,所以所以,又因为点在椭圆上,所以所以,因为所以 所以,所以的取值范围为的取值范围为 5、（济宁市2015届高三一模）已知椭圆届高三一模）已知椭圆的离心率为，椭圆中心到直线，椭圆中心到直线的距离为.（I）求椭圆C的标准方程；的标准方程；（II）设过椭圆）设过椭圆C的右焦点F且倾斜角为45的直线l和椭圆和椭圆C交于交于A，B两点，对于椭圆C上任一点M，若（O为坐标原点）为坐标原点），求的最大值.
