1、正弦函数、余弦函数的图象正弦函数、余弦函数的图象 三角函数三角函数三角函数线三角函数线正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数正切函数正切函数正切线正切线AT1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象正弦函数、余弦函数的图象yx xO-1xPMA(1,0)Tsinx=MPcosx=OMtanx=AT注意：注意：三角三角函数线是函数线是有有向线段向线段！正弦线正弦线MP余弦线余弦线OMy=sin x x 0,2 的图象的几何作法的图象的几何作法O1 O yx33234352-11描图：用光滑曲线描图：用光滑曲线 将这些正弦线的将这些正弦线的终点终点连结起来连结起来AB作法作法：（1）等分）等分（2）作正弦线）
2、作正弦线（3）平移）平移（4）连线）连线新课讲授如何作出如何作出y=sin x，xR的图象？的图象？因 为 终 边 相 同 的 角 有 相 同 的 三 角 函 数 值，即因 为 终 边 相 同 的 角 有 相 同 的 三 角 函 数 值，即sin(x+2k)=sinx，kz所以函数所以函数y=sinx，x2k，2(k+1)），），kz且且k0的图象与函数的图象与函数y=sinx，x0,2）的图象的形状完全一致，我们只要将函数的图象的形状完全一致，我们只要将函数y=sin x，x0,2）的图象向左，向右平行移动（每次）的图象向左，向右平行移动（每次2个单位个单位长度），就可以得到正弦函数长度），
3、就可以得到正弦函数y=sinx，xR的图象，即的图象，即正弦曲线。正弦曲线。x6yo-12345-2-3-41正弦曲正弦曲线线探究：探究：你能根据诱导公式，以正弦函数的图象为基你能根据诱导公式，以正弦函数的图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数础，通过适当的图形变换得到余弦函数y=cos x的的图象吗？图象吗？提示：提示：由诱导公式六，我们有由诱导公式六，我们有y=cos x=sin(+x)，xR，即，即y=cos x的图象就是的图象就是y=sin(+x)的图象，的图象，那么那么y=sin x与与y=sin(+x)的图象又有什么区别？的图象又有什么区别？222x6yo-12345-2-3-
4、41余弦函数余弦函数的图象的图象 正弦函数正弦函数的图象的图象 x6yo-12345-2-3-41y=cosx=sin(x+),xR2 余弦曲线余弦曲线正弦曲线正弦曲线形状完全一样形状完全一样只是位置不同只是位置不同正弦曲线、余弦曲线的特征：正弦曲线、余弦曲线的特征：（1）图象为光滑的曲线，形如横）图象为光滑的曲线，形如横“S”型的连接型的连接（2）图象每隔）图象每隔2都会重复出现都会重复出现（3）图象是夹在）图象是夹在y=1与与y=-1之间的曲线之间的曲线yxo1-122322在作出正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？在作出正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？(0,0)(,1)2(,0)(,
5、-1)23(2,0)五点画图法五点画图法简图作法：简图作法：（1）列表（列出对图象形状起关键作用的五点坐标）列表（列出对图象形状起关键作用的五点坐标）（2）描点（定出五个关键点）描点（定出五个关键点）（3）连线（用光滑的曲线顺次连接五个点）连线（用光滑的曲线顺次连接五个点）yxo1-122322 找出余弦函数找出余弦函数y=cosx，x【0，2】图象的图象的五个关键点？五个关键点？(0,1)(,0)2(,-1)(,0)23(2,1)五点法五点法(0,1)(,0)2(,-1)(,0)23(2,1)探究：探究：例例1 画出函数画出函数y=1+sinx，x 0,2 的简图：的简图：x sinx 1+
6、sinx2 23 0 2 010-101 o1yx22322-12y=sinx，x 0,2 y=1+sinx，x 0,2 步骤：步骤：1.列表列表2.描点描点3.连线连线解：按五个关键点列表：解：按五个关键点列表：描点并将它们用光滑曲线连接起来：描点并将它们用光滑曲线连接起来：1 210练习练习1：画出：画出y=1-sinx，x0，2的简图的简图 x sinx 1-sinx2 23 0 2 010-10 1 0 1 2 1 o1yx22322-12y=sinx，x 0,2 y=1-sinx，x 0,2 解：按五个关键点列表：解：按五个关键点列表：描点并将它们用光滑曲线连接起来：描点并将它们用光
7、滑曲线连接起来：例例2 画出函数画出函数y=-cosx，x 0,2 的简图：的简图：x cosx-cosx2 23 0 2 10-101-1 yxo1-122322y=-cosx，x 0,2 y=cosx，x 0,2 解：按五个关键点列表：解：按五个关键点列表：描点并将它们用光滑曲线连接起来：描点并将它们用光滑曲线连接起来：-1010 x sinx2 23 0 2 10-101 练习练习2：在同一坐标系内，用五点法分别画出函数：在同一坐标系内，用五点法分别画出函数 y=sinx，x 0,2 和和 y=cosx，x ,的简图：的简图：2 23 o1yx22322-12y=sinx，x 0,2 y
8、=cosx，x ,2 23 向左平移向左平移 个单位长度个单位长度2 x cosx100-102 23 0 2 解：按五个关键点列表：解：按五个关键点列表：描点并将它们用光滑曲线连接起来：描点并将它们用光滑曲线连接起来：小小结结1.正弦曲线、余弦曲线正弦曲线、余弦曲线几何画法几何画法 五点法五点法2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系yxo1-122322y=sinx，x 0,2 y=cosx，x 0,2 作业：课本作业：课本46页，第页，第1题题举例：举例：生活中生活中“周而复始周而复始”的变化规律。的变化规律。日出日出 日落日落 、白天、白天 黑夜
9、黑夜 、四季更替、四季更替 问题：问题：三角函数值是否具有三角函数值是否具有“周而复始周而复始”的变化规律的变化规律？公式公式(一一)sin(2)sin(),cos(2)cos(),tan(2)tan().kkZkkZkkZ 诱导公式诱导公式sin(x+2sin(x+2)=)=sinxsinx,的几何意义的几何意义xyoXX+2XX+2正弦函数值是按照一定规律正弦函数值是按照一定规律不断重复地不断重复地出现的出现的 能不能从正弦、余弦函数周期性归纳出一般函能不能从正弦、余弦函数周期性归纳出一般函数的规律性？数的规律性？正弦曲线正弦曲线xyo1-1-2-2 3 4-2-o 2 3 x-11y余弦
10、曲线余弦曲线R Rx x ,cosxcosxy yR Rx x ,sinxsinxy y如何用数学语言刻画周期性对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的每一个值时，都有 ，那么函数 就叫做周期函数，非零常数 叫做这个函数的周期。()f xTx()()f xTf x()f xT1 1、周期的定义、周期的定义正弦函数和余弦函数的周期都是 2k2k1sinx，cosx 的周期是的周期是2 4 6 -2-4-62k.2如果如果T是函数是函数f(x)的周期，那么的周期，那么2T 3T kT也是函数也是函数f(x)的周期的周期.3 对周期函数定义中的对周期函数定义中的“定义域中的定义域中的
11、每一个每一个值值x”的要求，而不是某一个值的要求，而不是某一个值.思考：一个周期函数的周期有多少个？思考：一个周期函数的周期有多少个？:1.,()()().sin()sin,424f xTf xTyf xxx 例例定定义义是是对对定定义义域域中中的的值值来来说说的的只只有有注注意意:每每一一个个个个别别的的满满足足不不能能说说值值:是是的的周周期期如如sin()sin.323 但但是是练习：练习：判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确（1）时，时，则则 一定不是一定不是 的周期的周期 3x2sin()sin3xx23sinyx（）（2）时，时，则则 一定是一定是 的周期的周期 76x2sin
12、()sin3xx23sinyx（）2、最小正周期的定义、最小正周期的定义对于一个周期函数对于一个周期函数 如果在它所如果在它所有的周期中存在一个有的周期中存在一个最小的正数最小的正数，那么这个最小的正数就叫做那么这个最小的正数就叫做 的的最小正周期最小正周期。()f x()f x说明：说明：我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别说明，一般都我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指的是指的最小正周期最小正周期；2.()(),(2)2()(2),(2)(2).22,()f xTf xfxTfxxTyf xTfxTfxxTf 等等式式,强强调调：自自变变量量才才是是周周期期例例如如
13、:不不是是周周期期 而而应应写写成成本本身身加加的的常常数数才才是是函函数数此此的的周周期期时时例 求下列函数的周期：(1)y=3cosx,xR;1(3)2sin(),26yxxR (2)y=sin2x,xR;cos(2)cos,xx解解:(1)cosx是以是以2为周期的周期函数为周期的周期函数.3cos,yx xR 的的周周期期为为2 23cos(2)3cos,xx这里的周期指的这里的周期指的是是最小正周期最小正周期!sin(2)sin(22)xxsin(2)sin 2()xxsin2yx 的周期为的周期为.(3)112sin()2sin(2)2626xx 12sin()26yx 的周期为的
14、周期为112sin()2sin(4)2626xx 例例 求下列函数的周期：求下列函数的周期：1(3)2sin(),26yxxR (2)y=sin2x,xR;R;(1)y=3cosx,xR;R;解解:(2)若若 则则 归纳总结归纳总结一般地，函数一般地，函数 及及 （其中（其中 为常数，且为常数，且 ）的周期是）的周期是cos()yAx,A 0,0Asin()yAx2T02T(1)()sin(2)5f xx1(2)()cos()232xf x(1)求下列函数的最小正周期求下列函数的最小正周期练习：练习：P36 P36 练习练习 1,21222T422|2T1.1.周期函数、最小正周期的定义周期函
15、数、最小正周期的定义；2.2.小结：小结：cos()yAxsin()yAx和和型函数的周期的求法。型函数的周期的求法。函数函数 y=tan x是周期函数吗？是周期函数吗？如果是，那么它的最小正周期是如果是，那么它的最小正周期是多少？多少？课后思考课后思考正弦函数、余弦函数的性正弦函数、余弦函数的性质（二）质（二）y=sin x (x R)y=cos x (x R)定义域定义域周期性周期性RT=2 复习引入复习引入:正弦、余弦函数的图象正弦、余弦函数的图象-1y12432xo34-1y12432xo34-1y12432xo34y=sin x (x R)奇偶性-1y12432xo34y=sin x
16、 (x R)奇偶性 y=cos x (x R)-1y12432xo34y=sin x (x R)-1y12432xo34-1y12432xo34y=sin x (x R)y0 x2231-12单调性 x sin x2 2 23 0 -1 0 1 0-1 正弦函数正弦函数 y=sin x 在区间在区间 上是增函数，在上是增函数，在区间区间 上是减函数上是减函数 2,223,2单调性 正弦函数正弦函数 在每一个闭区间在每一个闭区间 上都是增函数，其值从上都是增函数，其值从-1-1增大到增大到1 1；)Z(22,22kkk)Z(223,22kkk-1y12432xo34 y=sin x (x R)在
17、每一个闭区间在每一个闭区间 上都是减函数，其值从上都是减函数，其值从1 1减小到减小到-1-1-1y12xo2232325272527x cos x2 2 -0 -1 0 1 0-1 y=cos x (x R)-1y12432xo34单调性0,0y0 x21-12cosyx 余弦函数余弦函数 在区间上在区间上 是增函数，是增函数，在区间上在区间上 是减函数是减函数)(2,2Zkkk)(,2,2Zkkk y=cos x (x R)-1y12432xo34单调性余弦函数在每一个闭区间余弦函数在每一个闭区间 上都是增函数，其值从上都是增函数，其值从 -1-1增大到增大到1 1；在每一个闭区间在每一个
18、闭区间 上都上都是减函数，其值从是减函数，其值从1 1减小到减小到-1-1例例1.利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：解解：（：（1）因为）因为正弦函数正弦函数 在区间在区间sinyx,02上是增函数，所以上是增函数，所以018102.)10sin()18sin(例题例题.)10sin()18sin(1与）（.)417(cos)523cos(2与）（解：解：23233cos()coscos5551717cos()coscos444即即因为因为 ，且函数，且函数 是减函是减函数，数，所以所以cos,0,yx x534053cos4cos例题例题
19、.)417(cos)523cos(2与）（.)417(cos)523cos(练习1 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：；与914cos815cos(2)；与）（sin260sin2501.914cos815cos(2)；）（sin260sin2501答案：)(22Zkkx正弦函数当且仅当正弦函数当且仅当 时取得最大值时取得最大值1 1，)(22Zkkx当且仅当当且仅当 时取得最小值时取得最小值-1 1；y=sin x (x R)-1y12xo2232325272527最大值与最小值)(2Zkkx余弦函数当且仅当余弦函数当且仅当 时取得最大值
20、时取得最大值1 1，)(12Zkkx）（当且仅当当且仅当 时取得最小值时取得最小值-1-1最大值与最小值-1y12432xo34 y=cos x (x R)例例2.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量值时的自变量 x 的集合，并说出最大、最小值分别是什么的集合，并说出最大、最小值分别是什么.cos1,3sin2,.yxxRyx xR(1);(2)解：解：这两个函数都有最大值、最小值这两个函数都有最大值、最小值.（1）使函数）使函数 取得最大值的取得最大值的 x 的集合，的集合，就是使函数就是使函数 取得最大值的取得
21、最大值的 x 的集合的集合cos1,yxxRcos,yx xR|2,x xkkZ 使函数使函数 取得最小值的取得最小值的 x 的集合，就的集合，就是使函数是使函数 取得最小值的取得最小值的 x 的集合的集合cos1,yxxRcos,yx xR|(21),x xkkZ 函数函数 的最大值是的最大值是1+1=2；最小值是；最小值是-1+1=0.cos1,yxxR例题例题解：解：因此使函数因此使函数 取最大值的取最大值的 x 的集合的集合是是3sin 2,yx xR|,4x xkkZ 同理，使函数同理，使函数 取最小值的取最小值的 x 的集合是的集合是3sin2,yx xR|,4x xkkZ函数函数
22、 取最大值是取最大值是 3，最小值是，最小值是-3.3sin2,yx xR 令令 z=2x，使函数，使函数 取最大值的取最大值的 z 的集合是的集合是 Rzzy,sin3.22|Zkkzz，kzx222由由.4kx得得例题例题xy2sin32）（对于形如 的函数，一般通过变量代换（如设 ）化归为 的形式，然后求解方法总结：BxAy)sin(xzBzAysincos1,3sin2,.yxxRyx xR(1);(2)练习Rxxy,3cos2)2(求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x的集合，并写出最大值、最小值各是多少（1）y=2sin x，x R 答案：(1）当 时，函数取得最大值2.Zkkx
23、xx,22|Zkkxxx,22|当 时，函数取得最小值-2.Zkkxxx,36|（2）当 时，函数取得最大值3.Zkkxxx,6|当 时，函数取得最小值1.例例3.求函数求函数 的单调递增区间的单调递增区间.1sin(),2,2 23yxx，ZkkxkxB,43435|321xz.22,22kk 解：令 函数y=sin z的单调递增区间是，kxk2232122由 Zkkxk,43435得 ，2,2A 设 例题例题.3,35BA 易知2,2),321sin(xxy.3,35所以函数 的单调递增区间是求函数求函数 的单调递减区的单调递减区间间,0),42sin(3xxy练习3答案：Zkkk,85,
24、8 求函数求函数 的单调递增区间的单调递增区间.2,2),321sin(xxy思考课堂小结：课堂小结：最大值与最小值单调性奇偶性.3.2.1-1y12432xo34-1y12432xo34 y=cos x (x R)y=sin x (x R)奇偶性正弦函数是奇函数正弦函数是奇函数.正弦函数是奇函数正弦函数是奇函数.余弦函数是偶函数余弦函数是偶函数.单调性 正弦函数正弦函数 在每一个闭区间在每一个闭区间 上都是增函数，其值从上都是增函数，其值从-1-1增大到增大到1 1；)Z(22,22kkk 在每一个闭区间在每一个闭区间 上都是减函数，其值从上都是减函数，其值从1 1减小到减小到-1-1)Z(223,22kkk)(2,2Zkkk 余弦函数在每一个闭区间余弦函数在每一个闭区间 上都是增函数，其值从上都是增函数，其值从 -1-1增大到增大到1 1；)(,2,2Zkkk在每一个闭区间在每一个闭区间 上都上都是减函数，其值从是减函数，其值从1 1减小到减小到-1-1最大值与最小值)(22Zkkx正弦函数当且仅当正弦函数当且仅当 时取得最大值时取得最大值1 1，)(22Zkkx当且仅当当且仅当 时取得最小值时取得最小值-1 1；)(2Zkkx余弦函数当且仅当余弦函数当且仅当 时取得最大值时取得最大值1 1，)(12Zkkx）（当且仅当当且仅当 时取得最小值时取得最小值-1-1
