1、中中 职职 专专 业业 建建 设设 与与 中中 高高 职职 衔衔 接接 分分 项项 目目 职业教育环境监测与治理技术专业教学资源库环境工程识图与制图 点、直线的投影 第第1节节 点的投影点的投影第第2节节 直线的投影直线的投影2主要内容主要内容 P Pb A AP P采用多面投影采用多面投影。过空间点过空间点A的投射线与投影面的投射线与投影面P的交点即为点的交点即为点A在在P面上的投影。面上的投影。B B3 3B B2 2B B1 1 点在一个投影面上的投影不能点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置确定点的空间位置。一、点在一个投影面上的投影一、点在一个投影面上的投影a 第第1 1节节 点
2、的投影点的投影解决办法？解决办法？3二、点在三投影面体系第一分角中的投影二、点在三投影面体系第一分角中的投影 1.三投影面体系的建立HVW4H HW WV V2.点的三面投影投影面投影面正面投影面（简称正正面投影面（简称正 面或面或V V面）面）水平投影面（简称水水平投影面（简称水 平面或平面或H H面）面）侧面投影面（简称侧侧面投影面（简称侧 面或面或W W面）面）投影轴投影轴O OX XZ ZOXOX轴轴 V V面与面与H H面的交线面的交线OZOZ轴轴 V V面与面与W W面的交线面的交线OYOY轴轴 H H面与面与W W面的交线面的交线三个投影面三个投影面互相垂直互相垂直Y Y5W W
3、H HV VO OX XZ ZY Y空间点空间点A A在三个投影面上的投影在三个投影面上的投影a 点点A A的正面投影的正面投影a点点A A的水平投影的水平投影a 点点A A的侧面投影的侧面投影注意：注意：空间点用大写字母空间点用大写字母表示，点的投影用表示，点的投影用小写字母表示。小写字母表示。a aa A A6X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazay向右翻向右翻向下翻向下翻不动不动投影面展开投影面展开W WV VH HaaxazZ Zaa yayaX XY Y Y YO O 7X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a 点的投影规律点的投影规律:
4、a aOXOX轴轴 aax=a ax=aay=xaa azayY YZ Z aza X XY YayO Oaaxaya a a OZOZ轴轴=y=A Aa（A A到到V V面的距离）面的距离）a az=x=A Aa（A A到到W W面的距离面的距离）a ay=z=A Aa（A A到到H H面的距离面的距离）a az8a aax例：已知点的两个投影，求第三投影。例：已知点的两个投影，求第三投影。a a aaxazaz解法一解法一:通过作通过作45线线使使a az=aax解法二解法二:用圆规直接量用圆规直接量取取a az=aaxa 93.3.两点的相对位两点的相对位置置 两点的相对位置指两点在空间
5、的两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右上下、前后、左右位置关系。位置关系。判断方法：判断方法：x x 坐标大的在左坐标大的在左 y y 坐标大的在前坐标大的在前 z z 坐标大的在上坐标大的在上B点在点在A点之前、点之前、之右、之下。之右、之下。b aa a b bX XY YY YZ Zo o10()a cc 重影点：重影点：空间两点在某一投影面空间两点在某一投影面上的上的投影重合为一点投影重合为一点时，则称时，则称此两点为此两点为该投影面该投影面的重影点。的重影点。a a c 被挡住的投被挡住的投影加影加()A、C为哪个投为哪个投影面的重影点影面的重影点呢？呢？A、C为为H面的重影
6、点面的重影点11aa a b b b第第2 2节节 直线的投影直线的投影 两点确定一条直线，将两点的两点确定一条直线，将两点的同名投影同名投影用直线连接，就得到直线的用直线连接，就得到直线的同名投影。同名投影。直线对一个投影面的投影特性直线对一个投影面的投影特性一、直线的投影特性一、直线的投影特性 B BA Aab直线垂直于投影面直线垂直于投影面投影重合为一点投影重合为一点 积聚性积聚性直线平行于投影面直线平行于投影面投影反映线段实长投影反映线段实长 ab=ABAB直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面投影比空间线段短投影比空间线段短ab=ABAB.cos A AB Bab A AM MB Babm
7、12 直线在三个投影面中的投影特性直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧平线（平行于面）水平线（平行于面）水平线（平行于面）正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）一般一般位置位置直线直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊统称特殊位置位置直线直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面 其投影特性取决于直线与三个投影面间的其投影特性取决于直线与三个投
8、影面间的相对位置。相对位置。13 投影面平行线投影面平行线14b a aba b b aa b ba 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面的真实倾角。直线与另两投影面的真实倾角。另两个投影面上的投影缩短另两个投影面上的投影缩短,且平行于相应的投影轴且平行于相应的投影轴.水平线水平线侧平线侧平线正平线正平线投投 影影 特特 性：性：与与H面的夹角面的夹角:与与V面的夹角面的夹角:与与W面的夹角面的夹角:实长实长实长实长实长实长ba aa b b 判断下列直线是什么位置的直线？判断下列直线是什么位置的直线？侧平线侧平线正平线正平线
9、与与H面的夹角面的夹角:与与V面的角面的角:与与W面的夹角面的夹角:实长实长 实长实长 b a aba b b aa b ba 直线与投影面夹角的表示法：直线与投影面夹角的表示法：15 投影面垂直线投影面垂直线16 反映线段实长反映线段实长,且垂直于相应的且垂直于相应的投影轴。投影轴。铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线 另外两个投影，另外两个投影，在其垂直的投影面上，在其垂直的投影面上，投影有积聚性。投影有积聚性。投影特性投影特性:c(d)cdd c a b a(b)a b e f efe(f)一般位置直线一般位置直线Z Z Y YaO OX XabbaY Yb 三个投影都倾斜于投影轴，其与
10、投影轴的夹角三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。的实长。投影特性投影特性H HaaAb V VBbW Wa b 17cacX XabcY YY YbO OaZ ZbcAH HacaV VbBabcCbW W二、直线与点的相对位置二、直线与点的相对位置 若点在直线上若点在直线上,则点的投影必在直线的则点的投影必在直线的同名投同名投影影上。上。点的投影将线段的同名投影分割成与空间线点的投影将线段的同名投影分割成与
11、空间线段相同的比例。即：段相同的比例。即：AC:CB=ac:cb=a c :c b=a c :c b 定比定理定比定理18例例1：判断点：判断点C是否在线段是否在线段AB上。上。c abca b abca b c 在在不在不在a b c aa b c bc不在不在应用定比定理应用定比定理另一判断法另一判断法?19例例2：已知点：已知点K在线段在线段AB上，求点上，求点K正面投影。正面投影。解法一：解法一：（应用第三投影）（应用第三投影）解法二：解法二：（应用定比定理）（应用定比定理）aa b bka bkk aa b bkk 20三、两直线的相对位置三、两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为
12、：空间两直线的相对位置分为：平行平行、相交相交、交叉（异面）交叉（异面）。两直线平行两直线平行 空间两直线平行，则其各空间两直线平行，则其各同名投影同名投影必必相互平行，相互平行，反之亦然反之亦然。bcdH HAdaCcV VaDbBacdbcdabO OX X21例：判断图中两条直线是否平行。例：判断图中两条直线是否平行。对于一般位置直线，对于一般位置直线，只要有两组同名投影互只要有两组同名投影互相平行，空间两直线就相平行，空间两直线就平行。平行。AB与与CD平行。平行。AB与与CD不平行。不平行。对于特殊位置直线，对于特殊位置直线，只有两组同名投影互相只有两组同名投影互相平行，空间直线不一
13、定平行，空间直线不一定平行。平行。a b c d cbadd b a c b d c a abcdc c a b d 2223 两直线相交两直线相交 若空间两直线相交，若空间两直线相交，则其同名投影必则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性影特性。交点是两直交点是两直线的共有点线的共有点acV VX XbH HDacdkCAkKdbO OBcabd b a c d kk 24cd k kd例例1 1：过：过C C点点作水平线作水平线CDCD与与ABAB相交。相交。先作正面投影先作正面投影abb a c 25dacboYWYHzXaacddcb
14、b 例例2：判断两直线的相对位置判断两直线的相对位置方法方法126baacddcbXkkdkck例例2：判断两直线的相对位置：判断两直线的相对位置方法方法227 两直线交叉两直线交叉为什么？为什么？两直线相交吗？两直线相交吗？不相交！不相交！交点不符合一个交点不符合一个点的投影规律！点的投影规律！cacabddbO OX XaccAaCV VbH HddDBb28accAaCV VbH HddDBbcacabddbO OX X1(2)1(2)2 21 1两直线交叉投影特性两直线交叉投影特性：同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但 “交点交点”不符合空间一不符合空间一 个点的投影规律个点的投影
15、规律。“交点交点”是两直线上的一是两直线上的一 对对重影点的投影重影点的投影，用其，用其 可帮助判断两直线的空间位置。可帮助判断两直线的空间位置。2 21 11(2)1(2)4 43(4)3(4)3 33(4)3(4)3 34 4 29 两直线垂直相交（或垂直交叉）两直线垂直相交（或垂直交叉）若两直线垂直，其中有一直线与投影面平行，若两直线垂直，其中有一直线与投影面平行，则此二直线在该投影面上的投影也互相垂直。则此二直线在该投影面上的投影也互相垂直。反之，当两直线在某投影面上的投影为直角，反之，当两直线在某投影面上的投影为直角，且其中一条边是该投影面的平行线时，则两直线在且其中一条边是该投影面
16、的平行线时，则两直线在空间也一定垂直。空间也一定垂直。垂直交叉的投影特性垂直交叉的投影特性：3031dabcabc d例：过例：过C点作直线与点作直线与AB垂直相交。垂直相交。AB为正平线,正面投影反映直角。.五五.直角三角形法求一般位置直线的实长和倾角直角三角形法求一般位置直线的实长和倾角aabbABzB-zA作图要领：作图要领：用线段在某一投影面上的投影长作为一条直角边，再以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角边，所作直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影之间的夹角即为线段与该投影面的夹角。ABB1abABzB-zA32ABbbaaCXO（1 1）求直线的实长及对水平面的夹
17、角求直线的实长及对水平面的夹角 角角|zA-zB|XaabbABab|zA-zB|AB|zA-zB|ab|zA-zB|AB33ABbbaaCXO（2 2）求直线的实长及对正面投影面的夹角求直线的实长及对正面投影面的夹角 角角|yA-yB|aXabbabABABab|yA-yB|yA-yB|AB|yA-yB|34XZYO（3 3）求直线的实长及对侧面投影面的夹角求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角角ABbbabaaZXaaaOYH YWbbb|xA-xB|xA-xB|35一、直角三角形的四个要素：一、直角三角形的四个要素：实长、投影长、坐标差及直线对投影面的倾角。实长、投影长、坐标差及直线对投影面的倾角。已知四要素中的已知四要素中的任意两个任意两个，便可确定另外两个。，便可确定另外两个。二、解题时，直角三角形画在任何位置，都不影响二、解题时，直角三角形画在任何位置，都不影响解题结果，但用哪个长度来作直角边不能搞错。解题结果，但用哪个长度来作直角边不能搞错。说明：说明：36ab例：已知点A的两面投影a和a，并知AB的实长，及=30、=45，由A至B的方向为向右、向后、向下、求 作AB的两面投影。bXabABa|zA-zB|ab|yA-yB|ab|zA-zB|yA-yB|3738
