1、动量定理的回顾动量定理的回顾动量定理：动量定理：质心运动定理：质心运动定理：第十二章第十二章 动动 量量 矩矩 定定 理理质点的动量对点O的矩vmrvmM)(0FrFM)(0rvm)(vmMo12-1 12-1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩1 1质点的动量矩质点的动量矩（矢矢 量）量）方向：方向：右手螺旋法则右手螺旋法则大小大小:12-1 12-1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩1 1质点的动量矩质点的动量矩对对 z z 轴的动量矩轴的动量矩（代数量代数量）结论结论:力对点之矩的矢量在某一轴上的力对点之矩的矢量在某一轴上的投影投影,等于这一力对该轴之矩等于这一力对该轴之矩
2、)()(FMFMzzo力对轴之矩与力对力对轴之矩与力对点之点之矩的关系矩的关系)()(vmMvmMzzo 单位单位:kgm2/sOvevrw wmxym1mnmim3m2 2.2.对定轴对定轴“z”的动量矩的动量矩:3.两者之间的关系：即即 2 2质点系的动量矩质点系的动量矩（1 1）刚体平移刚体平移.可将全部质量集中于质心可将全部质量集中于质心,作为一个质点来计算作为一个质点来计算.CmimiiiiizzrvmvmML)(2iiiiirmrrmww2iizrmJwzzJL（2 2）刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动 转动惯量转动惯量dd()()ddOMmvrmvttdd()ddrmvrmvtt 1
3、2-2 12-2 动量矩定理动量矩定理 1 1质点的动量矩定理质点的动量矩定理设设O为定点为定点,有有0vmvd()dmvFt其中其中:ddrvt（O为定点）为定点）d()()dxxMmvMFtd()()dyyMmvMFtd()()dzzMmvMFt投影式投影式:d()()dOOMmvMFt因此因此 称为称为质点的动量矩定理质点的动量矩定理:质点对某定点的动量矩对质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数时间的一阶导数,等于作用力对同一点的矩等于作用力对同一点的矩.常量常矢)()(vvMmMmxO ddd()()dddOOi iOi iLM mvM mvttt()d()deeOOiOLMFMt 得得
4、称为称为质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理:质点系对某定点质点系对某定点O的动量矩对时间的导数的动量矩对时间的导数,等于作用于质点系的等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和外力对于同一点的矩的矢量和.()()d()()()dieOiiOiOiMmvMFMFt()()d()()()dieOi iOiOiMmvMFMFt2.2.质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理 由于由于()()0iOiMF()d()deexxixLM FMt()d()dyeeyiyLMFMt 投影式投影式:()d()deezzizLMFMt 内力不能改变质点系的动量矩内力不能改变质点系的动量矩.2 2、守恒形式守恒形式
5、若若常量则常矢则xixOiOLFMLFM0)(0)(ee即：当质系所受合外力对某定点（或某定轴）的即：当质系所受合外力对某定点（或某定轴）的矩为零，则质系对该点（或该轴）的动量矩保持矩为零，则质系对该点（或该轴）的动量矩保持不变不变 质点系动量矩守恒定律。质点系动量矩守恒定律。RmgMMeOsin)(RmgMmvRJtwsindd22sinmRJmgRMRa 例例1 1 已知：已知：,小车不计摩擦小车不计摩擦.,MJRma求求:小车的加速度小车的加速度 .RvmJLOw解解:Rvwatvdd由由 ,，得得OABr1r2m1gm2gv2v1wFOmgOABr1r2wFOmgv2m2gv1m1g求
6、：剪断绳后求：剪断绳后,角时的角时的 .w例例3：两小球质量皆为：两小球质量皆为 ,初始角速度初始角速度m0w020221wwmaamaLzw2)sin(22lamLz时时,00 时时,202)sin(wwlaa由由 ,得得12zzLL解解：P 12-3 12-3 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程12,nF FF主动力主动力:12,NNFF约束力约束力:d()()()dizzizNJMFMFtw()ziMF d()dzziJMFtw 即即:()zzJMF 或或22d()dzzJMFt 或或转动转动微分微分方程方程1、当当 Mz(Fie)=常量常量，因为因为Jz z 不变不变,所
7、以所以 =常量常量 刚体作匀变速转动刚体作匀变速转动2、当当 Mz(Fie)=0，因为因为Jz z 不变不变，所以所以 =0 刚体作匀速转动刚体作匀速转动3、当当 Mz(Fie)=常量常量，Jz z 、；反之；反之Jz 、。表明表明J Jz z的大小，反映了刚体转动状态改变的的大小，反映了刚体转动状态改变的难易程度。因此，难易程度。因此，J Jz z是度量转动刚体惯性大小的是度量转动刚体惯性大小的物理量。物理量。注意注意：由于由于 Mz z(Fie)和和 （w w 、）都是代数量，）都是代数量，解题时要注意其正、负号。解题时要注意其正、负号。求：制动所需时间求：制动所需时间 .t 例例4：已知
8、：已知：，动滑动摩擦系数，动滑动摩擦系数 ，RFJNO,0wf000ddtONJfF R tww0ONJtfF RwddONJFRf F Rtw解解：应用小结应用小结质点系动量矩定理质点系动量矩定理：)(ddeizzFMtL定轴转动微分方程：定轴转动微分方程：)(eizzFMJ 21iinizrmJ12-4 12-4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量 单位：单位：kgm2 1.1.简单形状物体的转动惯量计算简单形状物体的转动惯量计算(1)(1)均质细直杆对一端的转动惯量均质细直杆对一端的转动惯量 3d320lxxJlllz231mlJzlml由由 ，得，得42)d2(402RrrrJARA
9、O222mRmRRmJiiz（2 2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量）均质薄圆环对中心轴的转动惯量Aiiirrmd2（3 3）均质圆板对中心轴的转动惯量）均质圆板对中心轴的转动惯量2RmA式中式中：221mRJO 或或2 2.回转半径（惯性半径）回转半径（惯性半径）mJzz2zzmJ或或2CzzJJmd3 3平行轴定理平行轴定理Czdzz 式中式中 轴为过质心且与轴为过质心且与 轴平行的轴，轴平行的轴，为为Cz与与 轴之间的距离。轴之间的距离。即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量质心并与该轴平行
10、的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积与两轴间距离平方的乘积.2211()CziJm xy)(222yxmrmJiiz)(2121dyxmiiiimdymdyxm2121212)(01iiCmymy证明证明：因为因为2CzzJJmd01ymi有有 ，得，得231mlJzlm,例例6：均质细直杆，已知：均质细直杆，已知 .Cz求：对过质心且垂直于杆的求：对过质心且垂直于杆的 轴的转动惯量。轴的转动惯量。要求记住三个转动惯量要求记住三个转动惯量22mR（1）均质圆盘对盘心轴的均质圆盘对盘心轴的转动惯量转动惯量32ml（2）均质细直杆对一端的均质细直杆对一端的转动惯量转动惯量122ml
11、（3）均质细直杆对中心轴均质细直杆对中心轴的转动惯量的转动惯量12)2(22mllmJJzzC则则z 对一端的对一端的 轴，有轴，有解：解：21JJJz2222112121RmRm)(214241RRlJz 解解：lRm222lRm211其中其中mRRl)(2221由由 ，得得)(212221RRmJz)(2122212221RRRRl21,RRm 例例7：已知：已知：，zJ 求求 .4 4组合法组合法5 5实验法实验法O例：求对例：求对 轴的转动惯量轴的转动惯量.将曲柄悬挂在轴将曲柄悬挂在轴 O上，作微幅摆动上，作微幅摆动.mglJT2由由lm,TJ其中其中 已知已知,可测得，从而求得可测得
12、，从而求得 .解解：6.6.查表查表法法均质物体的转动惯量均质物体的转动惯量薄壁圆薄壁圆筒筒细直杆细直杆体积体积惯性半径惯性半径转动惯量转动惯量简简 图图物体的物体的形状形状212lmJCz23lmJz32lCz3lz2mRJzRzRlh2薄壁空薄壁空心球心球空心圆空心圆柱柱圆柱圆柱)3(1221222lRmJJmRJyxZ)3(121222lRRyxzlR2)(222rRmJz)(2122rRz)(22rRl232mRJzRz32Rh23圆环圆环圆锥体圆锥体实心球实心球252mRJZRz52343R)4(803103222lrmJJmrJyxZ)4(80310322lrryxzlr23)43(22rRmJZ2243rRzRr222矩形薄矩形薄板板长方体长方体椭圆形椭圆形薄板薄板222244)(4bmJamJbamJyyZ222122babayxzabh)(12)(12)(12222222cbmJcamJbamJyyZ)(121)(121)(121222222cbcabayxzabc22221212)(12bmJamJbamJyyZbabayxz289.0289.0)(12122abh
