1、 全国全国 100 所名校最新高考模拟示范卷所名校最新高考模拟示范卷 数学卷（数学卷（一一） （120 分钟 150 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1已知集合 | 24,AxxxZ剟，|2 , k Bx xkZ，则AB （ ） A2,4 B1,2,4 C0,1,2 D0,1,2,4 2设复数=2zai，若zz，则实数a（ ） A0 B2 1 D2 3若 1，a，4，b，c成等比数列，则b（ ） A4 2 B8 C8 D4 2 4下图统计了截止到 2019 年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，
2、关于这 5 次统计，下 列说法正确的是（ ） A私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是 2018 年 B公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是 25.7 万台 C公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为 23.12 万台 D从 2017 年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过 50% 5 科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线， 一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到， 任画一条线段， 然后把它分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变 成了 4 条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到 16 条更 小的线段
3、构成的折线，称为“二次构造”，如此进行“n次构造”，就可以得到一条科赫曲线若要在构造过程 中使得到的折线的长度达到初始线段的 1000 倍，则至少需要通过构造的次数是（取30.4771lg ， 20.3010lg） （ ） A16 B17 C24 D25 6执行如图所示的程序框图，若输入的a的值为 4，则输出的a的值为（ ） A5 B6 C7 D8 7 22 2 coscos 105 （ ） A 1 2 B2 C1 D 3 2 8 已知圆锥SC的底面半径、 高、 体积分别为2r、 1 h、V， 圆柱OM的底面半径、 高、 体积分别为r、 2 h、 V，则 1 2 h h （ ） A 3 4 B
4、 4 3 C 1 2 D2 9若 10210 01210 (21),xaa xa xa xxR，则 31012 0 2310 3333 aaaa a （ ） A 10 7 B 10 5 3 C 10 7 3 D1 10关于函数( )sinf xxx，, x ，有下列三个结论： ( )f x为偶函数：( )f x有 3 个零点； 43 ff 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 11已知抛物线 2 :2(0)C xpy p的焦点为F，C的准线与对称轴交于点H，直线3 2 p yx与C交 于A，B两点，若 4 3 | 3 AH ，则|AF （ ） A3 B 8 3 C2 D4 12已知函
5、数 1 ln ln1,0 ( ) 1 2,0 2 x x xx x f x x ，则满足方程 () 1 2 ( ( ) 12 f m f f m 的实数m的取值范围是 （ ） A(, 1(0,1 B(,1 C 1 , e D 1 (, 1,1 e 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上 13曲线 1 ( ) x f xe x 在1x 处的切线斜率为_ 14如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为DE的中点，若 1 = 2 AFABnAD，则n _ 15已知正项数列 n a满足
6、 22 1 2 nn aa ， 1 2a ，则数列 1 1 nn aa 的前 8 项和 8 S _ 16已知双曲线 22 2 :1(0) 4 xy Cb b 的左、右顶点分别为A、B，点P在双曲线C上，若 2 PBAPAB ，则双曲线C的焦距为_ 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 1721 题为必考题，每个试题考生题为必考题，每个试题考生 都必须作答，第都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17已知ABC的内角
7、A、B、C的对边分别为abc、 、， 2 1 3sinsincos 22 AAA （1）求角A的大小； （2）若ABC的面积为 3 4 a，周长为3a，求a的值 18如图，在四棱锥MABCD中，,2ABAD ABAMAD，2 2MBMD （1）证明：AM 平面ABCD （2）若E是BM的中点，CDAB，2CDAB，求平面ECD与平面ABM所成锐二面角的余弦值 19小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为 4 的倍数，则由原 投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是 4 的倍数，则由对方接着投掷规定第一次从小明开始 （1）求前 4 次投掷中小明恰好投掷 2 次的概率；
8、 （2）设游戏的前 4 次中，小芳投掷的次数为X，求随机变量X的分布列与期望 20已知直线l与椭圆 22 :1 62 xy C交于不同的两点,A B （1）若线段AB的中点为 1 1, 2 ，求直线l的方程； （2）若l的斜率为k，且l过椭圆C的左焦点F，AB的垂直平分线与x轴交于点N，求证： | | FN AB 为定 值 21已知函数 2 ( )2 ln x ea f xax xx （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）若函数( )f x只有一个零点，求实数a的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选两题中任选一一题作答题作答如
9、果多做，则按所做的第如果多做，则按所做的第一一题计分题计分 22选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为 1 cos2 1cos2 2tan x y （为参数） ，以坐标原点为极点，x轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2 sin30 6 （1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程； （2）射线 6 与曲线C交于点A（异于原点） 、与直线l交于点B，求|AB的值 23选修 4-5：不等式选讲 已知函数( ) |2|(0)f xxaxa，( )8 |3|g xx （1）当5a时，求不等式( ) 11f x 的解集； （2）若关于x的不等式( )(
10、 )f xg x的解集包含 2, 1，求实数a的取值范围 2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟测试参考答案数学模拟测试参考答案 1B 本题考查集合的交集运算由题可知1,2,4AB 2A 本题考查复数的概念因为zz，所以22aiai，解得0a 3C 本题考查等比中项 2 4 =1,=16,4 168ccb 4D 本题考查统计图表与用样本估计总体私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是 2016 年， 这 5 次统计的公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是 21.4 万台，因为 4.9 14.1 21.43044.7 23.02 5 ，故 A、B、C
11、项错误，D 项正确 5D 本题考查对数的运算与估算记初始线段长度为a， “一次构造”后的折线的长度为 4 3 a ， “二次构 造”后的折线的长度为 2 4 3 a ， “n次构造”后的折线的长度为 4 3 n a ，则要使得到的折线的长度达到 原来的 1000 倍，应满足 4 1000 3 n aa ， 4 1000 3 n ，两边同时取对数得 4 lglg10003 3 n，得 (2lg2lg3) 3n ， 3 2lg2lg3 n 代入数据得 3 24.02 0.60200.4771 n ，故至少需要通过构造 的次数为 25 【失分陷阱】 考生不能由复杂的背景抽象出数学模型列出不等式， 考
12、生的数学运算素养不够导致计算错误， 最后一步得出结论时四舍五入导致错误解答本题错误的原因主要是抽象概括能力不够与数学运算素养不 扎实 【满分秘籍】正确地由实际问题抽象出数学模型，平时训练扎实的数学运算素养 6B 本题考查程序框图第一次循环，14M ，4,5Na； 第二次循环，19M ，=20N，6a 此时MN不成立，输出6a 7C 本题考在三角恒等变 换 222222 2 coscoscoscoscossin01 105102101010 8A 本题考查圆锥、圆柱的体积由题可知 22 12 1 (2 ) 3 rhr h， 1 2 3 4 h h 9B 本题考查二项式定理取 1 3 x ，可得
13、10 31011 0 2310 5 33333 aaaa a 10D 本题考查函数的性质()sin()sin( )fxxxxxf x，正确；令( )0f x ，得0x 或 sin =0x，解得0x 或xx ，正确；因为 2233 42483236 ff ，所 以正确 11C 本题考查抛物线的性质连接AF，如图，过A作准线的垂线，垂足为M，易知0, 2 p F ， 0, 2 p H 易知直线3 2 p yx过点H，则tan3AHM， 3 AHM ，则 3 2 AM AH ， | 2AM ，由抛物线的定义可得| | 2AFAM 12A 本题考查函数与方程的综合由 () 1 2 ( ( ) 12 f
14、 m f f m ，可得 () 1 ( ( )2 2 f m f f m，则 ( )0f m 当0m时，由 1 ( )20 2 m f m ，解得1m； 当0m时， 1 ln ( )ln1 m f mm m ， 2 ln ( ) mm fm m 令( )lng mmm， 11 ( )1 m g m mm ，当01m时，( )0g m，( )g m单调递减； 当1m时，( )0g m，( )g m单调递增，则( )g m的最小值为(1)1g 故 2 ln ( )0,( ) mm fmf m m 单调递增，又(1)0f，故当01m时，( )0f m 综上可知，当(, 1(0,1m 时，( ) 0f
15、 m ，满足 () 1 2 ( ( ) 12 f m f f m 【解题方法】本题首先应将条件化简，得出 () 1 ( ( )2 2 f m f f m，其次，判断( )0f m 时，此方程无解， 得出( ) 0f m 的结论，最后分段解出m的范围在解0m，( )0f m 时，注意特殊值(1)0f，再结合 函数与导数考虑( )f x的单调性 131e 本题考查导数的几何意义 2 1 ( ) x fxe x ，(1)1fe由导数的几何意义知曲线 1 ( ) x f xe x 在1x 处的切线斜率为1e 14 3 4 本题考查平面向量的基本定理连接 11113 ,() 22224 AE AFADA
16、EADABADABAD ，则 3 4 n 152 本题考查数列的递推公式与数列求和由题知数列 2 n a是公差为 2 的等差数列， 22 1 2(1)2 n aann，令 1 1 n nn b aa ，则 1 11222 2222 nn n nn b aann ， 8 2642 822 83 22 22 4 2 22 S 164 2 本题考查双曲线的性质 2 PBAPAB ，1 PAPB kk设 00 ,P x y，则 2 00 2 000 1 224 yyy xxx 点P在双曲线C上， 22 00 2 1 4 xy b ， 22 0 2 0 44 yb x ， 2 1 4 b ，2b，焦 距
17、为2 444 2 17解：本题考查解三角形 （1）因为 2 1 3sinsincos 22 AAA ，所以sin 21 6 A 因为(0, )A，所以 11 2, 666 x A ，所以2 62 A ， 3 A （2） 133 sin 244 ABC SbcAbca ，abc 又 222222 2 cos()3 3 abcbbcbcbcbc ，3abca ，2bca ， 22 43aaa， 解得1a 或0a （舍） ，故1a 18解：本题考查线面垂直的证明与二面角 （1）因为 222 8ABAMBM，所以ABAM，同理可得ADAM 因为ADABA，所以AM 平面ABCD （2）因为ABAD，所
18、以AD、AM、AB两两垂直，以A为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因为2ABAMAD，所以(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0), (0,0,2)ADMB， 因为E是BM的中点，所以(0,1,1)E， 因为CDAB，2CDAB，所以(2,0,1)C 所以( 2,1,0)CE ，(0,0,1)DC ， 设平面ECD的一个法向量为 111 ,mx y z， 由 111 111 ,(0,0,1)0 ,( 2,1,0)0 m DCx y z m CEx y z ，得 1 11 0 20 z xy ， 取 1 1x ，得(1,2,0)m 易知平面ABM的一个法向量为(2,0,0)nA
19、D， 设平面ECD与平面ABM所成锐二面角的平面角为， 所以 22 |(1,2,0) (2,0,0)5 cos 5| | 122 m n mn ， 所以平面ECD与平面ABM所成锐二面角的余弦值为 5 5 19解：本题考查随机变量的分布列与期望 （1）一人投掷两颗骰子向上的点数之和为 4 的倍数的概率为 91 364 因为第一次从小明开始，所以前 4 次投掷中小明恰好投掷 2 次的概率 13133331339 44444444464 P （2）设游戏的前 4 次中，小芳投掷的次数为X，依题意X可取 0，1，2，3， 所以 1111 (0) 44464 P X ， 33113311321 (1)
20、 44444444464 P X ， 39 (2) 64 P X ， 3113 (3) 44464 P X 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 64 21 64 39 64 3 64 所以 12139327 ()0123 6464646416 E X 20解：本题考查直线与椭圆的位置关系 （1）设 1122 ,A x yB x y，则 22 11 22 22 1 62 1 62 xy xy ，两式相减得 2222 1212 0 62 xxyy ， 则 12 12 1212 22 22 66 13 AB xxyy k xxyy ，故直线l的方程为 12 (1) 23 yx ， 即467
21、0xy （2）由题知( 2,0)F ，故可设直线l的方程为(2)yk x 当直线l的斜率0k 时，| 2 6AB ，| 2FN ，此时 |6 |6 FN AB 直线l的斜率k不为 0 时，联立 22 1 62 (2) xy yk x ，可得 2222 1 3121260kxk xk， 设 1122 ,A x yB x y，由韦达定理知 2 12 2 12 1 3 k xx k ， 2 12 2 126 1 3 k x x k ， 则 2 2 22 2 22 1212 222 2 6 1 12126 |1414 1 31 31 3 k kk ABkxxx xk kkk 设AB的中点为 00 ,M
22、 xy，则 2 12 0 2 6 21 3 xxk x k ，又 00 2 2 2 1 3 k yk x k ， 故直线MN的方程为 2 22 216 1 31 3 kk yx kkk ，令0y ，得 2 2 4 1 3 N k x k ， 则 2 2 22 21 4 |2 1 31 3 k k FN kk ，所以 |6 |6 FN AB 综上所述， | | FN AB 为定值 21解：本题考查函数的单调性与零点 （1）( )f x定义域为(0,)， 2 2(1) ( ) x eax fx x 当 1 2 a 时，20 x ea，( )f x的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)；
23、 当 1 22 e a时，0ln21a，( )f x的单调递增区间为(0,ln2 )a，(1,)， 单调递减区间为(ln2 ,1)a； 当 2 e a 时，( ) 0fx，( )f x的单调递增区间为(0,)； 当 2 a e 时，ln21a，( )f x的单调递增区间为(0,1)，(ln2 ,)a ，单调递减区间为(1,ln2 )a （2）由（1）知，当 1 2 a时，( )f x的最小值为(1)20fea ，不合题意； 当 1 22 e a时， 2 22ln e ( ) aaxx f x x ，(1)20fea， 且当0x时，ln0,( )xxf x，此时符合题意 当 2 e a 时，(
24、)eln x ee f xx xx ，(1)0fee，符合题意； 当 2 e a 时，ln21a，则( )f x在(0,1)，(ln2 ,)a 上单调递增，( )f x在(1,ln2 )a上单调递减 22ln ( ) x eaaxx f x x ，(1)20fea，且当x 时，( )1f x ，此时符合题意； 综上所述，实数a的取值范围为 1 , 2 【解后反思】导数背景下的函数零点个数问题，应该根据单调性和零点存在定理来说明由函数零点个数 求参数范围常用方法有分离参数，借助函数的单调性考虑函数的图象与极值求解，或讨论函数的单调性， 结合函数的极值和区间端点处的函数的正负求解含参数的不等式的有
25、解问题，可转化为恒成立问题来处 理，后者以导数为工具讨论函数的单调性从而得到函数的最值，最后由最值的正负得到不等式成立 22解：本题考查参数方程与极坐标方程的转化、直线参数方程的几何意义 （1） 2 2 2 1 cos22sin tan 1 cos22cos ， 2 4yx 因为1 cos20，所以, 2 kx kZ ，所以yR， 故曲线C的普通方程为 2 4yx 由2 sin30 6 ，可得330xy （2）将曲线 2 :4C yx化为极坐标方程，可得 2 sin4cos，将 6 代入可得 2 sin4cos 66 A ，解得8 3 A ，同理可得1 B ， 所以| | 8 3 1 AB A
26、B 23解：本题考查绝对值不等式的解与恒成立问题 （1）当5a时， 23,2 ( ) |5|2|7, 25 23,5 xx f xxxx xx ， 当2x时，( )2311f xx ，解得4x ，此时42x ； 当25x 时，( )7 11f x ，此时25x ； 当5x时，( )2311f xx ，解得7x，此时57x； 综上所述，不等式( ) 11f x 的解集为 4,7 （2） 关于x的不等式( )( )f xg x的解集包含 2, 1|2| 8 |3|xaxx 在 2, 1x 上恒成 立 因为0a，所以当 2, 1x 时，不等式25xaxx 恒成立， 即3ax 在 2, 1上恒成立，即4a ，又0a，所以40a ， 故a的取值范围是 4,0)
