1、1第 9 章 压杆稳定问题本章主要研究：压杆稳定概念 压杆临界载荷的确定 压杆稳定条件与合理设计2 1 稳定性概念 2 两端铰支细长压杆的临界载荷3 两端非铰支细长压杆的临界载荷4 中、小柔度杆的临界应力5 压杆稳定条件与合理设计31 稳定性概念 引言引言 稳定与不稳定平衡稳定与不稳定平衡 压杆稳定概念压杆稳定概念 其他形式的稳定问题其他形式的稳定问题4 引引 言言 轴向受压细长杆，当所受压力轴向受压细长杆，当所受压力 F 达到或超过一定数达到或超过一定数值时，杆将突然变弯，即产生值时，杆将突然变弯，即产生失稳失稳现象现象 杆件失稳往往产生显著弯曲变形，甚至导致系统局杆件失稳往往产生显著弯曲变
2、形，甚至导致系统局部或整体破坏。部或整体破坏。5 稳定与不稳定平衡稳定与不稳定平衡 系统微偏状态的受力分析 Fd dkd dl 即即 F kl 系统系统可在任意微偏状态保持平衡可在任意微偏状态保持平衡Fd d驱动力矩驱动力矩 kd dl恢复力矩恢复力矩刚杆弹簧系统分析 Fd d 使使竖杆更偏斜竖杆更偏斜 kd dl 使使竖杆回复初始位置竖杆回复初始位置Fcr kl考察系统微偏离时的力学行为考察系统微偏离时的力学行为 Fd d kd dl 即即 F kd dl 即即 F kl 系统更加偏离系统更加偏离初始平衡状态初始平衡状态 稳定与不稳定平衡稳定平衡稳定平衡不稳定平衡不稳定平衡临界状态临界状态6
3、 压杆稳定概念压杆稳定概念压杆稳定性演示点击画面（细长理想直杆轴向受压）（细长理想直杆轴向受压）播放状态下按此键可见动画使用说明7压杆稳定性概念F Fcr 不稳定平衡不稳定平衡F Fcr 临界状态临界状态临界载荷使压杆直线形式的平衡，开始由稳定转变为不稳定的轴向压力值临界状态特点压杆可在任意微弯状态保持平衡F Fcr 压杆微弯位置不能平衡压杆微弯位置不能平衡,要继续弯曲要继续弯曲F Fcr 压杆在任意微弯位置均可保持平衡压杆在任意微弯位置均可保持平衡8 其他形式的稳定问题其他形式的稳定问题crFF 92 两端铰支细长压杆的临界载荷 临界载荷的临界载荷的欧拉公式欧拉公式 小挠度理论与理想压杆小挠
4、度理论与理想压杆 模型的实际意义模型的实际意义 例题例题10 临界载荷的欧拉公式临界载荷的欧拉公式待定待定 FBA,EIxMxw)(dd22(a)cossinxEIFBxEIFAw 0dd22 wEIFxw时时且微弯微弯 ,pmax 注意：注意：M(x),w 设正法设正法Fcr使压杆在微弯条件下保持平衡的最小轴向压力方法：使压杆方法：使压杆微弯微弯,再求能再求能保持其保持其平衡平衡的最小轴向压力的最小轴向压力求解思路临界载荷公式FwxM )(11)1()a(与与由由0 B(b)sinxEIFAw )2()b(与与由由0sin lEIFA(2)0 (1)0 0 wlxwx处，处，处，处，位移边界
5、条件位移边界条件:0 A),2,1(,nnlEIF0sin lEIF222 lEInF 得得取取n=1于是得于是得欧拉公式(a)cossinxEIFBxEIFAw Fcr使压杆在微弯条件下保持平衡的最小轴向压力12xEIFAwsin 欧拉临界载荷 ,1 ,lEIFnnlEIF结论 压杆临界状态时的挠曲轴压杆临界状态时的挠曲轴 一一 正弦曲线 压杆临界状态时的平衡，是有条件的随遇平压杆临界状态时的平衡，是有条件的随遇平衡衡微弯程度可任意微弯程度可任意,但轴线形状必为但轴线形状必为正弦曲线正弦曲线22cr/lEIF 2crcr/1 ,lFEIF 临界状态挠曲轴方程13 小挠度理论与理想压杆模型的实
6、际意义小挠度理论与理想压杆模型的实际意义小挠度小挠度理论理论大挠度大挠度理论理论 按大挠度理论按大挠度理论,不存在随遇平衡不存在随遇平衡,但但曲线曲线 AB 在在 A 点附近极平坦点附近极平坦,可可用水平短直线代替用水平短直线代替 微弯平衡微弯平衡 两种理论的两种理论的 Fcr 解相同解相同,说明说明以以微弯平衡为特征并用挠曲轴近似微微弯平衡为特征并用挠曲轴近似微分方程求解分方程求解,既正确既正确,又简单实用又简单实用 当当 FFcr,实际压杆的实际压杆的 wmax 急剧急剧增大增大,说明说明Fcr同样导致同样导致实际实际压杆失压杆失效效,说明说明采用理想压杆作为分析模型采用理想压杆作为分析模
7、型确定确定Fcr,具有实际意义具有实际意义 曲线曲线 AB 在在A 点附近极平坦点附近极平坦,当当F 略超过略超过 Fcr 时时,压杆变形急剧增大压杆变形急剧增大,说明失稳极危险说明失稳极危险实际压杆实际压杆EIxMx)()(1 xdd EIxMxw)(dd22 14 例例 题题例 2-1 图示细长压杆，图示细长压杆，l=0.8 m,d=20 mm,E=200 GPa,s=235 MPa，求，求Fcr=?解：kN 2.2464422cr dlEFkN 8.7342ss dF 细长杆的承压能力，是由稳定性要求确定的细长杆的承压能力，是由稳定性要求确定的22crlEIF 153 两端非铰支细长压杆
8、的临界载荷 类比法确定临界载荷类比法确定临界载荷 相当长度与长度因数相当长度与长度因数 例题例题16 类比法确定临界载荷类比法确定临界载荷2cr)2(lEIF 2cr2 lEIF17 相当长度与长度因数相当长度与长度因数2crlEIF 2cr2/lEIF 2cr)7.0(lEIF 2cr)2(lEIF m m l-相当长度相当长度相当的两相当的两端铰支细长压杆的长度端铰支细长压杆的长度（欧拉公式一般表达式）（欧拉公式一般表达式）m m-长度因数长度因数代表支持代表支持方式对临界载荷的影响方式对临界载荷的影响1 m m2 m m21 m m7.0 m m18 例例 题题例3-1 等截面细长杆，用
9、类比法求等截面细长杆，用类比法求 Fcr解：1.失稳形式判断失稳形式判断存在对称与反对称两类微弯平衡形式存在对称与反对称两类微弯平衡形式2.临界载荷计算临界载荷计算ll7.0eq,1 22cr,1)7.0(lEIF 22cr,2lEIF ll eq,222cr,2cr lEIFF 19)()(RxlFFwxM )(ddR22xlFFwxwEI )(ddR22xlEIFwEIFxw )(cossin2RxlEIkFkxBkxAw )/(2EIFk 0 ,0 0,0 ,0 wlxwxwx0cossin002R2R klBklAEIkFAkEIklFB关于关于 A,B,FR 的的线性齐次方程组线性齐
10、次方程组例 3-2 试确定图示试确定图示细细长压杆的临界载荷长压杆的临界载荷)(dd22xMxwEI 解：微弯平衡,最小轴向压力20非零解的条件：非零解的条件：0 0cossin1010 22 klklEIkkEIklklkl tan493.4)(akl493.4 lEIFkly 2klytan1)/(2EIFk 0cossin002R2R klBklAEIkFAkEIklFB214 中、小柔度杆的临界应力 临界应力与柔度临界应力与柔度 欧拉公式适用范围欧拉公式适用范围 临界应力经验公式临界应力经验公式 例题例题22 临界应力与柔度临界应力与柔度AIlEAlEI 2222cr)()(m mm
11、m AIi 截面惯性半径截面惯性半径22cr ilEm m ilm m 柔度柔度或或细长比细长比AFcrcr 临界应力临界应力压杆处于临界状态时压杆处于临界状态时横截面上的平均应力横截面上的平均应力22cr)(lEIFm m 欧拉公式欧拉公式综合反映杆长、支持综合反映杆长、支持方式与截面几何性质方式与截面几何性质对临界应力的影响对临界应力的影响细长压杆的临界应力细长压杆的临界应力,与柔度的平与柔度的平方成反比方成反比,柔度愈大柔度愈大,临界应力愈低临界应力愈低23 欧拉公式适用范围欧拉公式适用范围欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围：p22crE pE pp E 令令p 的压杆的压杆大柔度杆大
12、柔度杆或或细长杆细长杆例如，例如，Q235钢，钢，E200 GPa,p=196 MPa100p 24 临界应力经脸公式临界应力经脸公式 适用于合金钢、铝适用于合金钢、铝合金、铸铁与松木等合金、铸铁与松木等p 的压杆的压杆非细长杆，非细长杆，属于非弹性稳定问题属于非弹性稳定问题1.直线型经验公式直线型经验公式)(p0cr ba a,b 值与材料有关值与材料有关bacu0 得得 临界应力总图临界应力总图0cu ba 根据 小柔度杆小柔度杆 中柔度杆中柔度杆大柔度杆大柔度杆25 适用于结构钢与低合金结构钢等适用于结构钢与低合金结构钢等2.抛物线型经验公式抛物线型经验公式)0(p211cr 22cr)
13、(lEIFm m 大柔度杆大柔度杆446424ddd m 100.12 64)(422dlE m mkN 1.65 27例 4-2 求图示铬钼钢连杆求图示铬钼钢连杆Fcr。A=70 mm2,Iz=6.5104 mm4,Iy=3.8104 mm4,中柔度压杆的临界应力为中柔度压杆的临界应力为)550()MPa 29.5(MPa 980cr 解：在在x-y平面失稳平面失稳1 zm m6.52)(AIlzzzm m zyyyAIl m m 2.48)(7.0 ym m在在x-z平面失稳平面失稳kN 505 6.52)MPa 29.5(MPa 980cr AF z55,中柔度压杆中柔度压杆,并在并在x
14、-y平面失稳平面失稳285 压杆稳定条件与合理设计 压杆稳定条件压杆稳定条件 折减系数法折减系数法 压杆合理设计压杆合理设计 例题例题29 压杆压杆稳定条件稳定条件ststcrFnFF 用载荷表示的稳定条件用载荷表示的稳定条件 用应力表示的稳定条件用应力表示的稳定条件nst稳定安全因数稳定安全因数Fst稳定许用压力稳定许用压力 ststcr n st稳定许用应力稳定许用应力 计算计算Fcr与与 cr时时,不必考虑压杆局部削弱的影响不必考虑压杆局部削弱的影响30 折减系数法折减系数法 st),(材料材料 折减系数折减系数或或稳定系数稳定系数 许用压应力许用压应力 压杆稳定条件压杆稳定条件 稳定许
15、用应力稳定许用应力31 压杆合理设计压杆合理设计 合理选用材料合理选用材料对于大柔度压杆对于大柔度压杆 E 较高的材料，较高的材料，cr 也高也高GPa 220)(200 E钢钢与与合合金金钢钢：注意：注意：各种钢材（或各种铝合金）的各种钢材（或各种铝合金）的 E 基本相同基本相同GPa 72)(70 E金金：合合铝铝对于中柔度压杆对于中柔度压杆 强度强度 较高的材料，较高的材料，cr 也高也高对于小柔度压杆对于小柔度压杆 按强度按强度 要求选择材料要求选择材料32 合理选择截面合理选择截面IAlilm mm m 对于细长与中柔度压杆对于细长与中柔度压杆,愈小愈小,cr 愈高愈高 选择惯性矩较
16、大的横截面形状选择惯性矩较大的横截面形状 计及失稳的方向性计及失稳的方向性 yyyIAlm m zzzIAlm m 33 合理安排压杆约束与杆长合理安排压杆约束与杆长22crilE 22cr)(lEIF 2cr,1lEIF cr,12cr,244FlEIF 34 例例 题题例 5-1 校核斜撑杆的稳定性。校核斜撑杆的稳定性。F=12 kN,杆外经杆外经D=45 mm,杆内径杆内径d=36 mm,nst=2.5,低碳钢低碳钢Q235制成制成解：kN 30.9 ,0N FMAFN cr=235 MPa-(0.00669 MPa)p=10035AIi ilm m kN 116.8 MPa)(0.00669MPa 2354)(222cr dDFkN 41.4 stcrcrnFFcrN kN 30.9 FFkN 30.9 N F)(464)(2244dDdD m 0144.0422 dD 1.98m 0144.0)m 2(1p crcr AF 36本章结束！本章结束！
