1、三角形的面积【教材解读】教学内容：人教版五年级上册P91-92教材分析：三角形的面积这个内容之前，教材在三年级下册安排了长方形、正方形的面积，在四年级下册安排了认识三角形（包括三角形的特性、三角形的分类等），这些内容为学习三角形的面积奠定了基础，而本册在三角形面积之前的平行四边形面积，它的推导方法和计算方法是三角形面积的直接经验基础和知识起点。认知心理学把知识分为陈述性知识、程序性知识和策略性知识。分析三角形的面积这节课，学生要获得的陈述性知识是什么呢？就是三角形面积的计算方法；而为什么要这样算呢、道理何在？这就是程序性知识，简单说就是我们常说的“知其然更要知其所以然”。那学生要获得的策略性知
2、识又是什么呢？那就是我们要帮助学生在新旧知识联系的动态过程中，获得三角形面积与已学过图形面积之间的联系，使学生亲身感受把新知识变成旧知识从而解决新问题的策略。本节课的教学，我们就重在教给学生一种策略，有策略一切都不是问题，没策略学生知道了怎么计算三角形的面积又有多大的意义呢？我们知道推导三角形的面积主要有两种策略：一种是将两个完全一样的三角形拼成平行四边形（简称扩拼法）；另一种是将单个三角形通过等积变形的方法转化为平行四边形，简称割拼法，平行四边形面积的推导正是用了割拼法。那么对于这两种策略性知识，我们这节课该如何取舍？或者都取不舍？横向看，我们查阅了人教版、苏教版、北师大版、浙教版教材中关于
3、“三角形面积”的编排，发现人教版和苏教版的教材把三角形面积公式推导的重点放在了这里（扩拼法），把“割拼法”以补充内容“你知道吗”的形式呈现，而另外两个版本的教材则呈现了两种策略。纵向看，从图形面积单元的教材编排体系来看，前面学习了把平行四边形割拼成长方形从而推导出平行四边形的面积计算公式，后面则要学生自主用学过的方法推导梯形的面积计算，可以用两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形、将一个梯形分割成两个三角形或一个平行四边形一个三角形，还可以把一个梯形割拼成一个平行四边形等。基于以上对教材横向、纵向的分析，我们认为，对“扩拼法”的理解应该是这节课的重点。如果两种策略并举，从学生的实际情况和课堂实施
4、来看，会显得有点顾此失彼，尤其对后进生，更显得无所适从。学情分析：学生已经掌握了平行四边形面积的计算方法，经历了平行四边形面积公式推导的过程。学生对于“转化”这种方法是能够接受的。然而，他们是不容易想到扩拼的，他们不容易想到这次需要两个完全一样的三角形了，因为在这之前的学习中是没有这样的经验的。基于以上对教材、对学生的分析，我们确定了以下教学目标。教学目标：1.知识与技能：理解三角形的面积计算和平行四边形的面积计算之间的关系，理解并掌握三角形的面积公式，并会运用面积公式计算面积。2.过程与方法：通过观察、猜想、操作、对比、讨论等课堂活动，经历三角形面积公式推导的全过程，领悟转化思想，学习探究策
5、略。3.情感与态度：体会数学知识是相互联系的，学会用联系的眼光看待数学问题。教学重点：理解、掌握三角形的面积计算方法，并会正确灵活地运用。教学难点：1、对于探究方法着力于从“怎么想不到”到“怎么能想到”。2、组织学生自主进行三角形面积公式推导的全过程，理解“扩拼” 后原三角形与平行四边形的联系和区别。教学准备：探究题单、三角形若干教学过程：课前活动：看图猜谜一、情境引入、揭示课题1.产生三角形师：看，这是一个什么图形？（长方形） 你能在长方形里画一条线段，产生一个三角形吗？想一想，有哪些画法？伸出手，画一画。谁上来为我们画一画？还有不同的吗？请看！（抽生上台指一指，师随学生画法ppt出示、闪烁
6、）2.揭示课题师：产生出了这些三角形，这节课我们一起来探究三角形的面积。（板课题）二、操作探究、发现方法（一）探究直角三角形的面积计算方法1.能直接计算的师：看一看，这三个三角形按角分都是什么三角形？那么哪个三角形的面积你会算？为什么？（预设，生：图一中的三角形面积会算，因为它的面积等于长方形面积的一半）师：谁再来说说，为什么？要计算这个三角形的面积，需要知道哪些条件？预设，生：长方形的长和宽（随学生回答ppt测量长6、宽4）师：谁来列式计算？（抽生口答，ppt出示算式）2.不能直接算的师：这两个三角形的面积呢，也是长方形面积的一半吗？那怎么办？想一想，你能不能在图中画一画，创造一个长方形，使
7、它的面积是这个三角形的2倍？把你的想法完成在练习卷上。学生动手操作、收集学生作品并展示。师：（第一个）创造了这样一个长方形（指屏幕），量出长和宽，算出面积：542，同意？ （第二个）创造的长方形在哪儿？比划以下，列式为：322。师：再来看看其他同学的，和他们方法一样的请举手！3.小结师：（ppt出示三图）老师把孩子们的想法请到屏幕上来。我们用长方形的面积找到了这些直角三角形的面积，请大家仔细观察，这些三角形和对应的长方形之间有哪些联系呢？预设，生：三角形的底是长方形的长，三角形的高是长方形的宽，三角形的面积是长方形面积的一半。（抽2人说）师：（指图一）这个三角形的面积是多少？这个呢？它俩有什么
8、关系？（预设：相等）形状呢？（预设：一样/相同）有什么办法可以验证？（抽生说，ppt演示重合，师：可以说它俩完全一样。）那它俩呢？它俩？（ppt演示重合）通过刚才的探究，现在你知道直角三角形的面积计算方法了吗？（随生口述，板：直角三角形的面积=底高2）师：回想一下，我们是怎样找到这种三角形的面积计算方法的？（抽2人说）小结：我们把还不会计算面积的两个完全一样的直角三角形拼成了已经会计算面积的图形，从而找到了方法。那是不是任意三角形的面积都这样算呢？老师还为孩子们准备了锐角三角形、钝角三角形。（二）从特殊到一般1.选师：（ppt出示6个三角形）仔细比一比，你准备选哪两个三角形来探究？为什么选它俩
9、？（抽生说，问：为什么？再抽生说）2.拼师：现在，老师为每个小组准备了一套学具，请小组合作，选择三角形拼成会计算面积的图形。巡视、抽生上台展示师：看一看，这个拼成了什么图形？这个呢？这个？拼法不同，可是都拼成了什么图形？ 已经拼成平行四边形的请举手！ 请没有拼成的快速调整。 师：刚才，我们用两个完全一样的三角形拼成了一个平行四边形。（指“动动手”，看一看）把你的想法在组内交流。温馨提示：（1）动动手：你能把三角形转化成学过的哪种图形？（2）看一看：三角形和转化后的图形之间哪些联系？（3）说一说：你认为怎样计算三角形的面积？3.汇报交流师：哪个同学来代表你们小组汇报？（请你指着说）师：你们组用两
10、个预设，生：我们组用两个完全一样的锐角三角形，拼成了一个平行四边形。我们发现三角形的底和拼成平行四边形的底相等，三角形的高和拼成平行四边形的高相等，三角形的面积是拼成平行四边形面积的一半。师：赞同他们的就掌声送给他们。师：那这一组呢？（钝角）请你像他那样说一说。（预设，我们组是用两个完全一样的钝角三角形拼成了一个平行四边形，我们发现）和他们发现相同的请举手，真是爱动脑筋的孩子。同桌互说请选择一组你喜欢的，边比划边说给同桌听一听。4.归纳方法师：通过刚才的合作探究，我们发现这两种三角形面积的计算方法也是？预设，生：也是底高2。师：那底高算出的是什么？为什么2？师：可见，不管是直角三角形、还是锐角
11、、钝角三角形它们的面积都应该？预设，生：底高2（师划掉直角二字）师：如果用S表示三角形的面积，用a和h分别表示三角形的底和高，那么三角形的面积公式可以怎样写？（师板）师：刚才咱们通过“拼”把三角形变成了已经会计算面积的图形（ppt出示），把新知识变成了旧知识，找到了三角形面积计算的方法。三、巩固应用，促使内化1.基本练习师：要计算它的面积，你需要知道哪些条件？（出示红领巾）10033算出的是什么？为什么2？师：想象一下，10033算的是什么样的图形的面积？闭上眼睛，想象，比划比划。谁来说一说？看看，可以是这样，也可以，还可以（ppt出示）小结：知道底和高就可以算出三角形的面积。2.提高练习师：
12、告诉它的底和高，请算面积。（不对应：底6cm，高：5cm）（口答、争议）师：那你想知道什么？还可以知道什么？（ppt出示）有几种方法？选择你喜欢的方法算给同桌听一听。师：计算三角形的面积，必须找到怎样的底和高？小结：对应的底高2才能算出三角形的面积。3.变式练习师：看，这个三角形的面积是多少呢？（没数据），你需要什么？ 告诉你平行四边形的面积是30平方厘米。（ppt出示）预设，生：三角形的面积是302=15平方厘米。师:为什么？预设，生：这个三角形的面积是平行四边形面积的一半。/预设，生：这个三角形和平行四边形的底相等，高也相等，平行四边形的面积=底高，三角形的面积=底高2,所以三角形的面积=
13、302=15平方厘米。师：谁再来说说？师：这儿还有一个三角形，它的面积呢？（PPT出示）预设，生：还是15平方厘米。师：为什么？预设，生：因为它和前面的三角形等底等高。师：底在哪儿？比划一下。 那它的高呢？谁来画一画！师：你还能画出和它们面积相等的三角形吗？（抽生画） 能画多少个？这么多三角形的面积为什么都相等呢？小结：等底等高的三角形面积相等，但形状不一定相同。四、不同方法、拓宽思维师：孩子们对新知识掌握得这么好，真了不起。其实，你们知道吗？关于三角形的面积计算，早在两千多年以前的九章算术中就有记载了，而且现在呀还有许多不同的方法。（ppt呈现）五、总结全课、反思体验师：孩子们，今天这堂课你
14、们都有哪些收获？（随学生回答，小结：今天，我们是把新知识变成旧知识来解决，这种方法叫做“转化”。补充板书转化）【教学反思】初接任务，我们多多少少会觉得“三角形面积”这个内容在教材中的位置有些尴尬，不新不旧，不前不后。要想搞多少新意、创意不容易，你说“转化”思想吧，前面平行四边形面积的推导不是刚刚体会了吗？你说你不整“转化”吧，你还能搞出什么名堂？三角形的面积计算方法又怎么得出来？我们停留在表面的研究难免会让我们感觉这节课好上，不就转化成平行四边形吗？不就去发现联系吗？不就找到方法了吗？但是，如果我们再对学生多一点了解，对教材多一些研究，那我们就会发现，这么“好上”其实是那么“不好上”。围绕着“
15、把新知识转化为旧知识”这一核心，我们这节课主要抓住了两个关键点：一、 从“想不到”到“怎么能想到”分析学生已有的知识和经验基础，在平行性四边形面积的推导中，学生已经具备了“割拼法”这一策略。对于“三角形面积”的探究，绝大多数学生受前面平行四边形推导经验的影响，是不容易想到要用两个完全一样的三角形去拼成平行四边形的。他们也许更有可能会想到利用一个三角形来剪拼，但是学生又缺乏“中位线”这一知识背景，所以“割拼法”在教材中是以“你知道吗”的形式呈现，在我们的课堂中则是以“看一看”的形式来拓展学生的思维。那么学生想不到“拼”该怎么办呢？直接给他们准备几组完全一样的三角形，让他们听老师的指令去拼吗？我们
16、没有这样做，而是让学生在一个长方形中画一条线段产生三角形的方法，使他们很快地进入对直角三角形面积的探究。从图一中直角三角形的面积就是这个长方形面积的一半，学生思维在本节课得到第一次重要的启发，然后去把后两个直角三角形通过“画一画”的方式扩拼成一个长方形。完成了从“想不到”到“怎么能想到”的思维过程。二、 从“一类”到“几类”学生发现三角形面积计算公式的过程，是通过对特例的观察，从而发现一般规律的过程，即由特殊到一般的归纳过程。在小学数学中运用的归纳方法大多是不完全归纳法。三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。探究出了这三类三角形的面积计算也就探究完了所有三角形面积的计算方法
17、。所以，在教学中，我们换了一个角度，先研究一类三角形，也就是直角三角形，得到直角三角形面积的计算方法，再研究其他两类的三角形是否也适用这个计算方法，从一类三角形到几类三角形的研究过程中，既渗透分类思想，又体现学法迁移，还启发学生用数学方法表达一般规律的方法。最后，一点疑惑：我们对这堂课的研究一直在思考“如何让学生自己想到三角形面积计算的推导策略”，而不是我们告诉他们策略是什么。我们在想如何从学生的实际出发，更好地让他们经历有价值的活动过程。我们也在追求自主发现的过程中哪一种素材和方法既给学生暗示因素少一些，又能促使学生主动有效地进行探究，只有这样，学生才有可能获得更有价值的数学活动经验。那么能否有更好的教学策略可以实现这个过程呢？我们还会继续实践研究，也欢迎在座的老师们指教。
