2020高考数学（文科）全国二卷高考模拟试卷（2）.docx

1、 第 1 页（共 18 页） 2020 高考数学（文科）全国二卷高考模拟试卷高考数学（文科）全国二卷高考模拟试卷 2 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知全集 UR，Ax|x40，Bx|x2，则 A（UB）（ ） A2，+） B （2，+） C4，+） D （4，+） 2 （5 分）若复数; 1:为纯虚数，则实数 a 的值为（ ） Ai B0 C1 D1 3 （5 分）Sn为等差数列an的前 n 项和，若 S150，则 a8（ ） A1 B0 C1 D2 4 （5 分）已知 aR，直线 l：x+ay+a20，圆 M：

2、 （x1）2+（y1）21，则“a0” 是“直线 l 与圆 M 相切”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5 （5 分）已知四棱锥 PABCD 的五个顶点都在球 O 的球面上，ABADCD，BCAD， ABC60，PAB 是等边三角形，若四棱锥 PABCD 体积的最大值93，则球 O 的 表面积为（ ） A56 B54 C52 D50 6 （5 分）盒中有 5 个大小相同的球，其中白球 3 个，黑球 2 个，从中任意摸出 3 个（摸出 后不放回） ，则至少摸出一个黑球的概率为（ ） A 9 10 B 1 10 C 7 10 D 3 10 7 （5

3、分）已知曲线 f（x）= 1 3x 3+1 2x 25 在点（1，f（1） ）处的切线的倾斜角为 ，则 2 2:2 =（ ） A1 3 B 3 5 C2 D8 5 8 （5 分）已知函数() = 2(2+ 2)的两个零点是3 和 1，如果曲线|y|nx+2 与直线 yb 没有公共点，则 b 的取值范围是（ ） A 1 2， 1 2 B1，1 C2，2 D3，3 9 （5 分） 已知数列an满足 an+12anan+2（nN*） ， 若 a31， a74a3， 则 a4a5a6 （ ） A8 B8 C8 D16 第 2 页（共 18 页） 10 （5 分）已知三棱锥 PABC 满足 PA底面 A

4、BC，在ABC 中，AB6，AC8，AB AC，D 是线段 AC 上一点，且 AD3DC，球 O 为三棱锥 PABC 的外接球，过点 D 作 球O的截面， 若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为40， 则球O的表面积为 （ ） A72 B86 C112 D128 11 （5 分）已知点 A（0，1）是抛物线 x22py 的准线上一点，F 为抛物线的焦点，P 为 抛物线上的点，且|PF|m|PA|，若双曲线 C 中心在原点，F 是它的一个焦点，且过 P 点， 当 m 取最小值时，双曲线 C 的离心率为（ ） A2 B3 C2 + 1 D3 + 1 12（5分） 设奇函数f （x） 的定义域为

5、（ 2， 2） ， 且f （x） 的图象是连续不间断， x （ 2， 0） ， 有f （x）cosx+f（x）sinx0，若1 2f（m）f（ 3）cos（m） ，则 m 的取值范围是（ ） A （ 2， 3） B （0， 3） C （ 2， 3） D （ 3， 2） 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）设向量 =（2，2） ， =（m，1） ，若 与 共线，则 m 14 （5 分）学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中 的概率为 15（5 分） 若函数() = 2 32的图象向左平移 8个

6、单位得到函数 g （x） 的图象 则 g（x）在区间 8 ， 3 8 上的最小值为 16 （5 分）已知椭圆： 2 6 + 2 2 = 1的左右焦点分别为 F1，F2，如图 AB 是过 F1且垂直于 长轴的弦，则ABF2的内切圆方程是 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17（12 分） 某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试， 从中随机抽取了 20 人的分数 如 图茎叶图记录了他们的考试分数（以十位数字为茎，个位数字为叶） ： 第 3 页（共 18 页） 若分数不低于 95 分，则称该员工的成绩为“优秀” （）从这 20 人中成绩

7、为“优秀”的员工中任取 2 人，求恰有 1 人的分数为 96 的概率； （）根据这 20 人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图，并根据频率分布直 方图估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 组别 分组 频数 频率 频率 组距 1 60，70） 2 70，80） 3 80，90） 4 90，100） 18 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a2bcosC （1）若 cosB= 1 3，求 sinA 的值； （2）若 a4，ABC 的面积为 82，AC 的中点为 D，求 BD 的长 19 （12 分）点 P（1，t） （t0

8、）是抛物线 C：y24x 上一点，F 为 C 的焦点 （）若直线 OP 与抛物线的准线 l 交于点 Q，求QFP 的面积； （）过点 P 作两条倾斜角互补的直线分别与 C 交于 M，N 两点证明：直线 MN 的斜 率是定值 20 （12 分）如图，在直角AOB 中，OAOB2AOC 通过AOB 以直线 OA 为轴顺 时针旋转 120得到（BOC120） 点 M 为线段 BC 上一点，且 MB= 43 3 （）证明：MO平面 AOB； （）若 D 是线段 AB 的中点，求四棱锥 OACMD 的体积 第 4 页（共 18 页） 21 （12 分）已知函数 f（x）lnx+ (+)2 2 （aR）

9、（）若函数 h（x）f（x）x（a+1）lnx，讨论 h（x）的单调性； （） 若函数 f （x） 的导数 f （x） 的两个零点从小到大依次为 x1， x2， 证明： f （x2） 1+2 2 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 = 1 3 2 = 3 + 1 2 （t 为参数） 以 坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系曲线 C 的极坐标方程为 23sin （1）求直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程； （2）设点(1， 3)，直线

10、l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求 2 | + 2 |的值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|x+1|x2| （1）解不等式 f（x）1； （2） 记函数f （x） 的最大值为s， 若 + + =s （a， b， c0） ， 证明： + + 3 第 5 页（共 18 页） 2020 高考数学（文科）全国二卷高考模拟试卷高考数学（文科）全国二卷高考模拟试卷 2 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知全集 UR，Ax|x40，Bx|x2，则 A（

11、UB）（ ） A2，+） B （2，+） C4，+） D （4，+） 【解答】解：因为 UR，Bx|x2，所以UBx|x2， 又 Ax|x4， 所以：A（UB）x|x2， 故选：A 2 （5 分）若复数; 1:为纯虚数，则实数 a 的值为（ ） Ai B0 C1 D1 【解答】解：复数; 1: = (;)(1;) (1:)(1;) = ;1 2 (:1) 2 i 为纯虚数， ;1 2 =0， +1 2 0， 解得 a1 故选：C 3 （5 分）Sn为等差数列an的前 n 项和，若 S150，则 a8（ ） A1 B0 C1 D2 【解答】解：Sn为等差数列an的前 n 项和，S15= 15(1

12、+15) 2 =15a80， 则 a80， 故选：B 4 （5 分）已知 aR，直线 l：x+ay+a20，圆 M： （x1）2+（y1）21，则“a0” 是“直线 l 与圆 M 相切”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】 解： 直线 l 与圆 M 相切|1:;2| 1:2 =1， 化为： 3a24a0， 解得 a0 或 a= 4 3 “a0”是“直线 l 与圆 M 相切”的充分不必要条件 故选：A 5 （5 分）已知四棱锥 PABCD 的五个顶点都在球 O 的球面上，ABADCD，BCAD， 第 6 页（共 18 页） ABC60，PAB

13、 是等边三角形，若四棱锥 PABCD 体积的最大值93，则球 O 的 表面积为（ ） A56 B54 C52 D50 【解答】解：四棱锥 PABCD 的五个顶点都在球 O 的球面上，如图：四棱锥 PABCD 体积的最大值93，只有平面 PAB 与底面 ABCD 垂直，并且底面 ABCD 面积取得最大值 时，几何体的体积最大，因为 ABADCD，BCAD，ABC60，可得 ABCD 是 正六边形的一半，设 ABADCDa， 则四棱锥的体积的最大值为：1 3 3 2 3 2 3 2 =93， 解得 a23 此时，底面 ABCD 的外心为 E，外接球的球心为 O，外接球的半径为 R， 所以 R=(1

14、 3 3 2 23)2+ (23)2= 13， 所以外接球的表面积为：4 (13)2=52 故选：C 6 （5 分）盒中有 5 个大小相同的球，其中白球 3 个，黑球 2 个，从中任意摸出 3 个（摸出 后不放回） ，则至少摸出一个黑球的概率为（ ） A 9 10 B 1 10 C 7 10 D 3 10 【解答】解：盒中有 5 个大小相同的球，其中白球 3 个，黑球 2 个，从中任意摸出 3 个 （摸出后不放回） ， 基本事件总数 n= 5 3 =10， 至少摸出一个黑球包含的基本事件个数 m= 3 122 + 3 221 =9， 至少摸出一个黑球的概率为 p= = 9 10 故选：A 第

15、7 页（共 18 页） 7 （5 分）已知曲线 f（x）= 1 3x 3+1 2x 25 在点（1，f（1） ）处的切线的倾斜角为 ，则 2 2:2 =（ ） A1 3 B 3 5 C2 D8 5 【解答】解：由 f（x）= 1 3x 3+1 2x 25，得 f（x）x2+x， 则 f（x）在点（1，f（1） ）处的切线斜率 tanf（1）2 2 2:2 = 2;2 2:2 = 12 2+1 = 3 5 故选：B 8 （5 分）已知函数() = 2(2+ 2)的两个零点是3 和 1，如果曲线|y|nx+2 与直线 yb 没有公共点，则 b 的取值范围是（ ） A 1 2， 1 2 B1，1 C

16、2，2 D3，3 【解答】解：由题意得，3，1 是方程 mx2+nx21，即 mx2+nx30 的两根， 所以：31= 3 ，3+1= ，解得：m1，n2，所以|y|2 x+2，如图所示： 如果曲线|y|2x+2 与直线 yb 没有公共点，则 b2，2， 故选：C 9 （5 分） 已知数列an满足 an+12anan+2（nN*） ， 若 a31， a74a3， 则 a4a5a6 （ ） A8 B8 C8 D16 【解答】解：数列an满足 an+12anan+2（nN*） ， an是等比数列，a3，a5，a7同号， 第 8 页（共 18 页） a31，a74a3， 5= 37=2， a4a5a

17、6= 53=8 故选：C 10 （5 分）已知三棱锥 PABC 满足 PA底面 ABC，在ABC 中，AB6，AC8，AB AC，D 是线段 AC 上一点，且 AD3DC，球 O 为三棱锥 PABC 的外接球，过点 D 作 球O的截面， 若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为40， 则球O的表面积为 （ ） A72 B86 C112 D128 【解答】解：将三棱锥补成知三棱柱，且三棱锥的外接球与三棱柱的外接球都是球 O设 三角形 ABC 的中心为 O，设外接球的半径为 R，球心 O 到平面 ABC 的距离为 x，即 OO x，连接 OA，则 OA5，R2r2+25， 在三角形 ABC 中，取

18、 AC 的中点 E，连接 OD，OE，则 OE= 1 2 =3，DE= 1 4AC2， OD= 13， 在 RtOOD 中，OD= 2+ 13，由题意得当截面与直线 OD 垂直时，截面面积最小， 设此时截面半径为 r，则 r2R2OD2x2+25（x2+13）12， 所以截面圆的面积为 r212， 当截面过球心时，截面圆的面积最大为 R2，12+R240， 所以 R228， 所以表面积 S4R2112， 故选：C 11 （5 分）已知点 A（0，1）是抛物线 x22py 的准线上一点，F 为抛物线的焦点，P 为 抛物线上的点，且|PF|m|PA|，若双曲线 C 中心在原点，F 是它的一个焦点，

19、且过 P 点， 当 m 取最小值时，双曲线 C 的离心率为（ ） 第 9 页（共 18 页） A2 B3 C2 + 1 D3 + 1 【解答】解：点 A（0，1）是抛物线 C：x22py（p0）准线上的一点，可得 p2， 抛物线的标准方程为 x24y， 则抛物线的焦点为 F（0，1） ，准线方程为 y1， 过 P 作准线的垂线，垂足为 N， 则由抛物线的定义可得|PN|PF|， |PF|m|PA|，|PN|m|PA|，则| | =m， 设 PA 的倾斜角为 ，则 sinm， 当 m 取得最小值时，sin 最小，此时直线 PA 与抛物线相切， 设直线 PA 的方程为 ykx1，代入 x24y，

20、可得 x24（kx1） ， 即 x24kx+40， 16k2160，k1， P（2，1） ， 双曲线的实轴长为|PA|PF|2（2 1） ， 双曲线的离心率为 2 2(2;1) =2 +1 故选：C 12（5分） 设奇函数f （x） 的定义域为 （ 2， 2） ， 且f （x） 的图象是连续不间断， x （ 2， 0） ， 有f （x）cosx+f（x）sinx0，若1 2f（m）f（ 3）cos（m） ，则 m 的取值范围是（ ） A （ 2， 3） B （0， 3） C （ 2， 3） D （ 3， 2） 第 10 页（共 18 页） 【解答】解：令 g（x）= () ，x（ 2， 2）

21、， f（x）为奇函数，ycosx 为偶函数， g（x）= () ，x（ 2， 2）为奇函数 x（ 2，0） ，有 f（x）cosx+f（x）sinx0， g（x）= ()+() 2 0， g（x）在区间（ 2，0）上单调递增，又 g（x）为奇函数， g（x）在区间（ 2， 2）上单调递增， 当 x（ 2， 2） ，cosx0， 1 2f（m）f（ 3）cos（m） () (;) = () ( 3) 3 ， 2 m 3 故选：C 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）设向量 =（2，2） ， =（m，1） ，若 与 共线，则

22、 m 2 【解答】解：向量 =（2，2） ， =（m，1） ， 与 共线， ; 2 = 1 2 ，解得 m= 2 故答案为：2 14 （5 分）学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中 的概率为 2 3 【解答】解：学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查， 基本事件总数 n= 3 2 =3， 甲被选中包含的基本事件个数 m= 1 121 =2， 则甲被选中的概率为 P= = 2 3 故答案为：2 3 15（5 分） 若函数() = 2 32的图象向左平移 8个单位得到函数 g （x） 的图象 则 第 11 页（共 18 页） g（x）在区间 8 ，

23、 3 8 上的最小值为 3 【解答】解：() = 2(1 22 3 2 2) = 2(2 3)， 函数 f（x）向左平移 8个单位得到函数() = 22( + 8) 3 = 2(2 12)， 8 ， 3 8 ， 2 12 3 ， 2 3 ， 2(2 12) 3，2，即 g（x）在区间 8 ， 3 8 上的最小值为3 故答案为：3 16 （5 分）已知椭圆： 2 6 + 2 2 = 1的左右焦点分别为 F1，F2，如图 AB 是过 F1且垂直于 长轴的弦，则ABF2的内切圆方程是 ( + 4 3) 2 + 2= 4 9 【解答】解：设ABF2内切圆的半径为 r， 椭圆的方程为 2 6 + 2 2

24、 = 1， 其中 a= 6，b= 2，c= 2 2= 2，则|F1F2|2c4， AB 与 x 轴垂直， 则有|AF2|2|AF1|216，|AF1|+|AF2|2a= 26， 解得：|AF1|= 6 3 ，|AF2|= 56 3 ， ABF2的周长 l|AF2|+|BF2|+|AB|= 106 3 + 26 3 = 46， 其面积 S= 1 2 |AB|F1F2|= 1 2 26 3 4 = 46 3 ， 由内切圆的性质可知，有1 2r 46 = 46 3 ，解得 r= 2 3 圆心横坐标为2+ 2 3 = 4 3，即圆心坐标为（ 4 3，0） ， 第 12 页（共 18 页） 则ABF2的

25、内切圆方程是( + 4 3) 2 + 2= 4 9， 故答案为：( + 4 3) 2 + 2= 4 9 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17（12 分） 某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试， 从中随机抽取了 20 人的分数 如 图茎叶图记录了他们的考试分数（以十位数字为茎，个位数字为叶） ： 若分数不低于 95 分，则称该员工的成绩为“优秀” （）从这 20 人中成绩为“优秀”的员工中任取 2 人，求恰有 1 人的分数为 96 的概率； （）根据这 20 人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图，并根据频率分布直 方图估

26、计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 组别 分组 频数 频率 频率 组距 1 60，70） 2 70，80） 3 80，90） 4 90，100） 【解答】解： （）设分数分别为 95，96，98 的四人为 a，b，c，d， 从成绩为优秀的员工中任取 2 人，包含（a，b） ， （a，c） ， （b，d） ， （c，d）共 6 个基本 事件， 设从成绩为优秀的员工中随机抽取 2 人，恰有一人的分数为 96 是事件 A， 第 13 页（共 18 页） 则事件 A 包含的基本事件有： （a，b） ， （a，c） ， （b，d） ， （c，d） ，共 4 个， P（A）=

27、4 6 = 2 3 （）完成频率分布直方图如下： 组别 分组 频数 频率 频率 组距 1 60，70） 2 1 10 0.01 2 70，80） 6 3 10 0.03 3 80，90） 8 2 5 0.04 4 90，100 4 1 5 0.02 作出频率分布直方图得： 根据频率分布直方图估计所有员工的平均分数为： = 60 1 10 +75 3 10 +85 4 10 +95 2 10 =82 18 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a2bcosC （1）若 cosB= 1 3，求 sinA 的值； （2）若 a4，ABC 的面积为 82，AC 的中

28、点为 D，求 BD 的长 【解答】解： （1）a2bcosC， sinA2sinBcosC， 即 sin（B+C）2sinBcosC， sinBcosC+sinCcosB2sinBcosC， sin（CB）0，B，C 为三角形的内角， 所以 BC， cosB= 1 3， 第 14 页（共 18 页） sinB= 22 3 ， sinAsin（B+C）2sinBcosB2 1 3 22 3 = 42 9 ， （2）由已知结合（1）可知 BC， 故 bc，设 BC 边上的高 h， sABC= 1 2 4 =82， h42， 此时 tanBtanC= 42 2 =22， 则 cosBcosC= 1

29、3， bc6 BDC 中，由余弦定理可知，BD=16 + 9 2 3 4 1 3 = 17 19 （12 分）点 P（1，t） （t0）是抛物线 C：y24x 上一点，F 为 C 的焦点 （）若直线 OP 与抛物线的准线 l 交于点 Q，求QFP 的面积； （）过点 P 作两条倾斜角互补的直线分别与 C 交于 M，N 两点证明：直线 MN 的斜 率是定值 【解答】解： （）将 P（1，t）代入 y24x 得 t2， 点 P（1，2） ，直线 OP 的方程为：y2x， 又准线方程为：x1， 点 Q（1，2） ， SQFP= 1 2 | | | = 1 2 1 4 = 2； （）设 M（x1，y1

30、） ，N（x2，y2） ， 直线 PM 与直线 PN 的倾斜角互补， kPM+kPN0， 1;2 1;1 + 2;2 2;1 = 0， 又1= 12 4 ，2= 22 4 ， 1;2 12 4 ;1 + 2;2 22 4 ;1 = 0， 第 15 页（共 18 页） 整理得： 4 1:2 + 4 2:2 = 0， y1+2（y2+2） ， y1+y24， 直线 MN 的斜率= 12 12 = 12 12 4 2 2 4 = 4 1+2 = 1， 故直线 MN 的斜率为定值1 20 （12 分）如图，在直角AOB 中，OAOB2AOC 通过AOB 以直线 OA 为轴顺 时针旋转 120得到（BO

31、C120） 点 M 为线段 BC 上一点，且 MB= 43 3 （）证明：MO平面 AOB； （）若 D 是线段 AB 的中点，求四棱锥 OACMD 的体积 【解答】解： （）证明：在MOB 中，由余弦定理得 OM= 23 3 ， OM2+OB2MB2，OMOB， 由题意得 OAOB，OAOC， OBOCO，OA平面 COB， OM平面 COB，OAOM， OAOBO，MO平面 AOB （）解：D 是线段 AB 的中点， VABDC= 1 3 1 2 2 2 3 2 2 = 23 3 ， VMCDBVDCMB= 1 3 1 2 2 23 3 1 = 23 9 ， 四棱锥 OACMD 的体积为：

32、 VOACMDVABDCVMCBD= 43 9 第 16 页（共 18 页） 21 （12 分）已知函数 f（x）lnx+ (+)2 2 （aR） （）若函数 h（x）f（x）x（a+1）lnx，讨论 h（x）的单调性； （） 若函数 f （x） 的导数 f （x） 的两个零点从小到大依次为 x1， x2， 证明： f （x2） 1+2 2 【解答】解： （I）h（x）= (+)2 2 xalnx，x0， () = (1)(+) ， 当 a0 时，由 h（x）0 可得 x1，由 h（x）0 可得 0x1， 故 h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增， 当1a0 时，由 h（x）

33、0 可得 x1 或 0x1，由 h（x）0 可得ax1， 故 h（x）在（a，1）上单调递减，在（1，+） ， （0，a）上单调递增， 当 a1 时，由 h（x）0 可得 xa 或 0x1，由 h（x）0 可得 1xa， 故 h（x）在（1，a）上单调递减，在（a，+） ， （0，1）上单调递增， 当 a1 时，h（x）0 恒成立，故 h（x）在（0，+）上单调递增， 综上当 a0 时，h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增， 当1a0 时，h（x）在（a，1）上单调递减，在（1，+） ， （0，a）上单调递 增， 当 a1 时，h（x）在（1，a）上单调递减，在（a，+） ，

34、 （0，1）上单调递增， 当 a1 时，故 h（x）在（0，+）上单调递增， （II）证明：() = 2+1 ，x0，且导数 f（x）的两个零点从小到大依次为 x1， x2， x1，x2，是 x2+ax+10 的两根， 所以1 + 2= 12= 1 ， 第 17 页（共 18 页） x2x10， 所以 0x11x2， 要证明：f（x2） 1+2 2 ， 只要证(:2) 2 + 2 1:2 2 ， 只需证1 2 12+ 1 1 1 2 (1+ 1 1)， 令 g（x）= 1 2 2 1 2 1 2，0x1， 则() = (21)(21) 22 ， 易得当 0x 1 2时，g（x）0，当 x 1

35、2时 g（x）0， 所以 g（x）在（0，1 2）上单调递增，在（ 1 2 ，1）上单调递减， 故 g（x）g（1 2）0 即 f（x2） 1+2 2 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 = 1 3 2 = 3 + 1 2 （t 为参数） 以 坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系曲线 C 的极坐标方程为 23sin （1）求直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程； （2）设点(1， 3)，直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求 2

36、 | + 2 |的值 【解答】解： （1）消去参数 t 得直线 l 的普通方程为 + 3 + 2 = 0； 因为 = 23，所以2= 23， 因为 xcos，ysin， 所以曲线 C 的直角坐标方程为2+ 2+ 23 = 0 （2）由题意判断点(1， 3)是直线 l 上的点， 设 A，B 两点所对应的参数分别为 t1，t2， 将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程，得2 3 2 = 0 其中= (3)2 4 (2) = 110，1+ 2= 3，t1t22 第 18 页（共 18 页） 于是 2 | + 2 | = 2 |1| + 2 |2| = 2|1;2| |12| = 2(1:

37、2)2;412 |12| =11 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|x+1|x2| （1）解不等式 f（x）1； （2） 记函数f （x） 的最大值为s， 若 + + =s （a， b， c0） ， 证明： + + 3 【解答】解： （1）() = 3， 1 2 1， 12 3， 2 ， 当 x1 时，31 恒成立，所以 x1； 当1x2 时，2x11，即 x1，所以1x1； 当 x2 时，31 显然不成立，所以不合题意； 综上，不等式的解集为（，1 （2）证明：由（1）知 f（x）max3s， 于是 + + = 3， 所以 + + + + + 2 + 2 + 2 =6，当且仅当 abc1 时取等号， 所以 + + 3