1、 第 1 页（共 20 页） 2020 年安徽省高考数学（文科）模拟试卷（年安徽省高考数学（文科）模拟试卷（5） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x2x60，集合 Bx|x10，则（RA）B（ ） A （1，3） B （1，3 C3，+） D （3，+） 2 （5 分）若复数 = 1+ + 1为纯虚数，则实数 a（ ） A2 B1 C1 D2 3 （5 分）设 xR，则“2x1”是“x31”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）函数 f（x）s
2、in（x+）cos（x+） （0）的相邻的两个对称中心的距离为 1，且能在 x2 时取得最大值，则 的一个值是（ ） A 3 4 B 5 4 C7 4 D 2 5 （5 分）已知程序框图如图所示，则输出的 S（ ） A47 60 B 7 12 C37 60 D 5 12 6 （5 分）数列an中，a12，a23，nN+，an+2an+1an，则 a2020（ ） A1 B5 C2 D3 7 （5 分）已知( + 4) = 2，则(2 4)的值是（ ） 第 2 页（共 20 页） A 5 3 B72 10 C 3 3 D 25 5 8 （5 分）若直线2 + + = 0被圆 x2+y24 截得的
3、弦长为23，则 m（ ） A5 B5 C10 D25 9 （5 分）从某地区年龄在 2555 岁的人员中，随机抽出 100 人，了解他们对今年两会的 热点问题的看法，绘制出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A抽出的 100 人中，年龄在 4045 岁的人数大约为 20 B抽出的 100 人中，年龄在 3545 岁的人数大约为 30 C抽出的 100 人中，年龄在 4050 岁的人数大约为 40 D抽出的 100 人中，年龄在 3550 岁的人数大约为 50 10 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，A、B 为函数 y= 3 3 |x|图象上的两点，若线段 AB 的 中点 M
4、 恰好落在曲线 x23y2+30 上，则OAB 的面积为（ ） A2 B3 C 3 2 D 3 3 11 （5 分）在四面体 ABCD 中，ADDBACCB2，则当四面体 ABCD 的体积最大时， 其外接球表面积为（ ） A20 3 B14 3 C4 D8 12 （5 分）已知函数 f（x）x2+axlnx，若 m，n1，+） ，且();() ; 3恒成立， 则 a 的取值范围是（ ） A1，+） B3 22，+ ) C （2，+） D2，+） 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知圆 M：x2+y24，直线 l 过点
5、 P（1，1） ，且以 P 为中点，则直线 l 的方程 是 14 （5 分）已知函数 f（x）ln :1 1;为奇函数，则 a 第 3 页（共 20 页） 15 （5 分）已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中 AB2，AA13，O 为上底面中心设正四 棱柱ABCDA1B1C1D1与正四棱锥OA1B1C1D1的侧面积分别为S1， S2， 则2 1 = 16 （5 分）已知向量 =（x，2） ， =（x，6x） ，则 的最大值为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）随着时代的发展，A 城市的竞争力、影响力日益卓著，这
6、座创新引领型城市有 望踏上向“全球城市”发起“冲击”的新征程A 城市的活力与包容无不吸引着无数怀 揣梦想的年轻人前来发展，目前 A 城市的常住人口大约为 1300 万近日，某报社记者作 了有关“你来 A 城市发展的理由”的调查问卷，参与调查的对象年龄层次在 2544 岁之 间收集到的相关数据如表： 来 A 城市发展的理由 人数 合计 自然环境 1森林城市，空 气清新 200 300 2降水充足，气 候怡人 100 人文环境 3城市服务到位 150 700 4创业氛围好 300 5开放且包容 250 合计 1000 1000 （）根据以上数据，预测 400 万 2544 岁年龄的人中，选择“创业
7、氛围好”来 A 城市 发展的有多少人； （）从所抽取选择“自然环境”作为来 A 城市发展的理由的 300 人中，利用分层抽样 的方法抽取 6 人，从这 6 人中再选取 3 人发放纪念品求选出的 3 人中至少有 2 人选择 “森林城市，空气清新”的概率； （）在选择“自然环境”作为来 A 城市发展的理由的 300 人中有 100 名男性；在选择 “人文环境”作为来 A 城市发展的理由的 700 人中有 400 名男性；请填写下面 22 列联 表，并判断是否有 99.9%的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”的选择有关？ 自然环境 人文环境 合计 第 4 页（共 20 页） 男 女 合计 附：
8、K2= ()2 (+)(+)(+)(+)，na+b+c+d P（K2k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 18 （12 分）在等差数列an和正项等比数列bn中，a11，b12，且 b1，a2，b2成等差 数列，数列bn的前 n 项和为 Sn，且 S314 （1）求数列an，bn的通项公式； （2）令= ， （1）ndnncn+n，求数列dn的前项和为 Tn 19 （12 分） 如图所示的几何体中， ABCA1B1C1为三棱柱， 且 AA1平面 ABC， AA1AC， 四边形 ABCD 为平行四边形，AD2CD，ADC60 （1）求证：AB平面 AC
9、C1A1； （2）若 CD2，求四棱锥 C1A1B1CD 的体积 20 （12 分）在平面直角坐标系中，已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的离心率为1 2，点 (3， 3 2 )在椭圆 C 上， R （x0， y0） 是椭圆 C 上的一点， 从原点 O 向圆：( 0)2+ ( 0)2= 12 7 作两条切线，分别交椭圆于 P，Q （1）求椭圆 C 的方程； （2）若直线 OP，OQ 的斜率存在，并记为 k1，k2，求 k1k2的值； （3）试问|OP|2+|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由 21 （12 分）已知 f（x）2ex 1 3 3 1，() = ( +
10、)2 （1）若 f（x）g（x） ，求 a 的所有可能整数值； 第 5 页（共 20 页） （2）证明：f（x）存在唯一极小值点 xt 且1t0.85； （3）记函数 R（b）等于直线 ykx+b（k 是常数）与 f（x） ，g（x）的交点个数之和，若 当 a1 时 R（b）的值域是0，2，4，求 k 的全体可能值 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C 的参数方程为 = 3 = 2 （ 为参数， R） 以 坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐
11、标方程为 （cos sin）3 （1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （2）若曲线 C 与 y 轴的上下两个交点分别为 P，Q，M 为 l 上一动点，求|MP|+|MQ|的最 小值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知 x，y 都是正数，且 xy，求证： （1） + 2； （2）2 : 第 6 页（共 20 页） 2020 年安徽省高考数学（文科）模拟试卷（年安徽省高考数学（文科）模拟试卷（5） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|
12、x2x60，集合 Bx|x10，则（RA）B（ ） A （1，3） B （1，3 C3，+） D （3，+） 【解答】解：Ax|2x3，RAx|x2 或 x3， （RA）Bx|x33，+） 故选：C 2 （5 分）若复数 = 1+ + 1为纯虚数，则实数 a（ ） A2 B1 C1 D2 【解答】解：复数 = 1+ + 1 = (1) (1+)(1) +1= (1) 2 +1= 2 +1 2i， 由于复数 = 1+ + 1为纯虚数， 2 +10，且 2 0， a2， 故选：A 3 （5 分）设 xR，则“2x1”是“x31”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也
13、不必要条件 【解答】解： “2x1”x0 “x31”x1 “2x1”是“x31”的充分不必要条件 故选：A 4 （5 分）函数 f（x）sin（x+）cos（x+） （0）的相邻的两个对称中心的距离为 1，且能在 x2 时取得最大值，则 的一个值是（ ） A 3 4 B 5 4 C7 4 D 2 【解答】解：函数 f（x）sin（x+）cos（x+）= 1 2sin2（x+）= 1 2sin（2x+2） （0）的相邻的两个对称中心的距离为 1， 1 2 2 2 =1，解得 = 2 第 7 页（共 20 页） 再根据 x2 时取得最大值，可得 2 2 2 + 2 =2k+ 2，kz， 解得 k
14、3 4 ，kz， 故选：A 5 （5 分）已知程序框图如图所示，则输出的 S（ ） A47 60 B 7 12 C37 60 D 5 12 【解答】解：a1，n1，S0； S1，a1，n2； S= 1 1 2，a1，n3； S= 1 1 2 + 1 3，a1，n4； S= 1 1 2 + 1 3 1 4 = 7 12，a1，n5； 跳出循环，输出结果 S= 7 12 故选：B 6 （5 分）数列an中，a12，a23，nN+，an+2an+1an，则 a2020（ ） A1 B5 C2 D3 【解答】解：因为数列an中，a12，a23，nN+，an+2an+1an， a3a2a11； a4a3
15、a22； 第 8 页（共 20 页） a5a4a33； a6a5a41； a7a6a52a1； a8a7a63a2； 数列an是周期为 6 的数列； 20206336+4； a2020a42； 故选：C 7 （5 分）已知( + 4) = 2，则(2 4)的值是（ ） A 5 3 B72 10 C 3 3 D 25 5 【解答】解：( + 4) = 2 = 1+ 1，tan3 则(2 4) = 2 2 sin2 2 2 cos2= 2 2（sin2cos2） = 2 2 2; 2:2 2:2 = 2 2 2;1: 2 2:1 = 2 2 6;1:9 9:1 = 72 10 ， 故选：B 8 （
16、5 分）若直线2 + + = 0被圆 x2+y24 截得的弦长为23，则 m（ ） A5 B5 C10 D25 【解答】解：因为圆的圆心坐标为（0，0） ，半径 r2， 由直线被圆截得的弦长为23， 可得圆心到直线的距离为 d=22 (2 3 2 )2= 5 = 1， 则 m5 故选：B 9 （5 分）从某地区年龄在 2555 岁的人员中，随机抽出 100 人，了解他们对今年两会的 热点问题的看法，绘制出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） 第 9 页（共 20 页） A抽出的 100 人中，年龄在 4045 岁的人数大约为 20 B抽出的 100 人中，年龄在 3545 岁的人数
17、大约为 30 C抽出的 100 人中，年龄在 4050 岁的人数大约为 40 D抽出的 100 人中，年龄在 3550 岁的人数大约为 50 【解答】解：年龄在 4045 岁的频率为： 1（0.01+0.05+0.06+0.02+0.02）50.2， 抽出的 100 人中，年龄在 4045 岁的人数大约为：1000.220 人， 年龄在 3545 岁频率为： 1（0.01+0.05+0.02+0.02）50.5， 抽出的 100 人中，年龄在 3545 岁的人数大约为 1000.550 人， 故 A 正确，B，C，D 均错误 故选：A 10 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，A、B 为函
18、数 y= 3 3 |x|图象上的两点，若线段 AB 的 中点 M 恰好落在曲线 x23y2+30 上，则OAB 的面积为（ ） A2 B3 C 3 2 D 3 3 【解答】解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，线段 AB 的中点 M（x，y） ， 由题意不妨设：x10，x20， = 1+2 2 = 1+2 2 ，y1:2 2 = 3 3 2;1 2 ， 所以 x23y2x1x2， x1x23， OA= 12+ 12= 23 3 x1， OB= 23 3 x2， AOB= 2 3 ， SAOB= 1 2OAOBsinAOB= 3 3 x1x2= 3 故选：B 11 （5 分）在四面体
19、ABCD 中，ADDBACCB2，则当四面体 ABCD 的体积最大时， 第 10 页（共 20 页） 其外接球表面积为（ ） A20 3 B14 3 C4 D8 【解答】解：取 AB 的中点 E，连接 DE，CE，ADDBACCB2，所以 CEAB， DEAB，DECEE，AB面 CED， 设 AB2x，x（0，2） ，所以 BEAEx， 则 CEDE= 4 2， 所以当面 ABC面 ABD 时，四面体的体积最大，面 ABC面 ABDAB，CE 在面 ABC， 所以 CE面 ABD， V= 1 3SCEDAB= 1 3 1 2 2x 4 2 4 2sinCED= 1 3x （4x 2）sinC
20、ED 1 3 3+ 4 3x，令 f（x）= 1 3 3+ 4 3，x（0，2） ， f（x）x2+ 4 3，令 f（x）0，则 x= 23 3 ， x（0，23 3 ） ，f（x）0，f（x）单调递增；x (2 3 3 ，+ )，f（x）0，f（x）单调 递减， 所以当 x= 23 3 ，f（x）最大，即四面体的体积最大， 即 AEBE= 23 3 ，DECE=4 (2 3 3 )2= 26 3 ， 设底面 ABD， 侧面 ABC 的外接圆圆心分别为 M， N， 则 MDCN 为外接圆的半径， 过 M， N 分别做外接圆的垂线交于 O，则 O 为外接球的球心，连接 OD，则 OD 为外接球的
21、半径 R， 由题意可得 sinEDB= = 23 3 2 = 3 3 ， cosEDB= 6 3 ， 所以 sinADB2sinEDBcos EDB= 22 3 ， 所以2MD= = 22 3 3 22 3 ， 所以MD= 6 2 ， EMENOMDEMD= 26 3 6 2 = 6 6 ， 在ODM 中，R2DO2DM2+MO2（ 6 4 ）2+（ 6 6 ）2= 5 3， 所以外接球的表面积 S4R2= 20 3 第 11 页（共 20 页） 故选：A 12 （5 分）已知函数 f（x）x2+axlnx，若 m，n1，+） ，且();() ; 3恒成立， 则 a 的取值范围是（ ） A1，
22、+） B3 22，+ ) C （2，+） D2，+） 【解答】解：若 mn，由();() ; 3， 得 f（m）3mf（n）3n 若 mn，由();() ; 3， 得 f（m）3mf（n）3n， 令 g（x）f（x）3xx2+（a3）xlnx， g（x）2x+a3 1 = 22+(3)1 ， （x0） g（x）在1，+）上单调递增， 1 3 4 且 g（1）0，解得 a2 故选：D 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知圆 M：x2+y24，直线 l 过点 P（1，1） ，且以 P 为中点，则直线 l 的方程 是 yx
23、+2 【解答】解： ，直线与圆相交，且以 P 为中点，圆心为（0，0） ， 设圆 M 的圆心为 O，则 OP 直线的斜率为 k= 10 10 =1，直线 l 的斜率为1， 又直线过点 P（1，1） ，直线 l 的方程为 y1（x1） ，即 yx+2 故答案为：yx+2 第 12 页（共 20 页） 14 （5 分）已知函数 f（x）ln :1 1;为奇函数，则 a 1 或1 【解答】解：因为 f（x）ln :1 1;为奇函数， 所求 f（x）+f（x）ln（ 1; 1: 1: 1;）0， 故 1;2 1;()2 =1， 所以 a1 或 a1， 当 a1 时，f（x）0 符合题意， 当 a1 时
24、，f（x）ln1: 1;符合题意 综上可得，a1 或 a1 故答案为：1 或1 15 （5 分）已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中 AB2，AA13，O 为上底面中心设正四 棱柱ABCDA1B1C1D1与正四棱锥OA1B1C1D1的侧面积分别为S1， S2， 则2 1 = 10 6 【解答】解：如图， 正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA13， 则正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的侧面积分别为 S142324； 正四棱锥 OA1B1C1D1的斜高为12+ 32= 10 正四棱锥 OA1B1C1D1的侧面积 S2= 4 1 2 2 10 = 410 2 1 = 410 24
25、 = 10 6 故答案为： 10 6 16 （5 分）已知向量 =（x，2） ， =（x，6x） ，则 的最大值为 13 【解答】解：向量 =（x，2） ， =（x，6x） ， 第 13 页（共 20 页） = x2+122x（x+1）2+13， 当 x1 时， 的最大值为 13 故答案为：13 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）随着时代的发展，A 城市的竞争力、影响力日益卓著，这座创新引领型城市有 望踏上向“全球城市”发起“冲击”的新征程A 城市的活力与包容无不吸引着无数怀 揣梦想的年轻人前来发展，目前 A 城市
26、的常住人口大约为 1300 万近日，某报社记者作 了有关“你来 A 城市发展的理由”的调查问卷，参与调查的对象年龄层次在 2544 岁之 间收集到的相关数据如表： 来 A 城市发展的理由 人数 合计 自然环境 1森林城市，空 气清新 200 300 2降水充足，气 候怡人 100 人文环境 3城市服务到位 150 700 4创业氛围好 300 5开放且包容 250 合计 1000 1000 （）根据以上数据，预测 400 万 2544 岁年龄的人中，选择“创业氛围好”来 A 城市 发展的有多少人； （）从所抽取选择“自然环境”作为来 A 城市发展的理由的 300 人中，利用分层抽样 的方法抽取
27、 6 人，从这 6 人中再选取 3 人发放纪念品求选出的 3 人中至少有 2 人选择 “森林城市，空气清新”的概率； （）在选择“自然环境”作为来 A 城市发展的理由的 300 人中有 100 名男性；在选择 “人文环境”作为来 A 城市发展的理由的 700 人中有 400 名男性；请填写下面 22 列联 表，并判断是否有 99.9%的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”的选择有关？ 自然环境 人文环境 合计 第 14 页（共 20 页） 男 女 合计 附：K2= ()2 (+)(+)(+)(+)，na+b+c+d P（K2k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.63
28、5 10.828 【解答】解： （）400 300 1000 = 120（万） （）从所抽取选择“自然环境”作为来 A 城市发展理由的 300 人中，利用分层抽样的 方法抽取 6 人，其中 4 人是选择“森林城市，空气清新” ，2 人是选择“降水充足，气候 怡人” 记事件 A 为选出的 3 人中至少有 2 人选择“森林城市，空气清新” ，则 () = 4 2 2 1+ 3 4 6 3 = 4 5 （）22 列联表如下 自然环境 人文环境 合计 男 100 400 500 女 200 300 500 合计 300 700 1000 2= 1000(100300200400)2 300700500
29、500 = 1000 21 47.61910.828， 所以有 99.9%的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”的选择有关 18 （12 分）在等差数列an和正项等比数列bn中，a11，b12，且 b1，a2，b2成等差 数列，数列bn的前 n 项和为 Sn，且 S314 （1）求数列an，bn的通项公式； （2）令= ， （1）ndnncn+n，求数列dn的前项和为 Tn 【解答】解： （1）等差数列an的公差设为 d，正项等比数列bn的公比设为 q，q0， a11，b12，且 b1，a2，b2成等差数列， 可得 2a2b1+b2，即 2（1+d）2+2q，即 dq， 数列bn的前 n
30、项和为 Sn，且 S314，可得 2+2q+2q214，解得 q2，d2， 则 an2n1，bn2n； 第 15 页（共 20 页） （2）= =2n+11， （1）ndnncn+nn2n+1， 则 dn2n （2）n， 前项和为 Tn2 （2）+44+6 （8）+2n （2）n， 2Tn24+4 （8）+616+2n （2）n+1， 相减可得 3Tn4+2（4+（8）+（2）n）2n （2）n+1 4+24(1;(;2) 1) 1;(;2) 2n （2）n+1， 化简可得 Tn= 4 9 6+2 9 （2）n+1 19 （12 分） 如图所示的几何体中， ABCA1B1C1为三棱柱， 且 A
31、A1平面 ABC， AA1AC， 四边形 ABCD 为平行四边形，AD2CD，ADC60 （1）求证：AB平面 ACC1A1； （2）若 CD2，求四棱锥 C1A1B1CD 的体积 【解答】解： （1）证明：四边形 ABCD 为平行四边形，AD2CD，ADC60 ACDBAC90，ABAC， 几何体中，ABCA1B1C1为三棱柱，且 AA1平面 ABC， ABAA1， ACAA1A，AB平面 ACC1A1 （2）解：连结 A1C，AB平面 ACC1A1，CDAB， CD平面 CC1A1， 四棱锥 C1A1B1CD 的体积： V= ;11+ ;111 = 1 3 11+ 1 3 1 111 =
32、1 3 2 1 2 23 23 + 1 3 23 1 2 2 23 第 16 页（共 20 页） 8 20 （12 分）在平面直角坐标系中，已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的离心率为1 2，点 (3， 3 2 )在椭圆 C 上， R （x0， y0） 是椭圆 C 上的一点， 从原点 O 向圆：( 0)2+ ( 0)2= 12 7 作两条切线，分别交椭圆于 P，Q （1）求椭圆 C 的方程； （2）若直线 OP，OQ 的斜率存在，并记为 k1，k2，求 k1k2的值； （3）试问|OP|2+|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由 【解答】解： （1）因为离心率为1 2
33、，所以 2 2 = 2;2 2 = 1 4，所以 2 = 3 4 2， 椭圆方程可化为 2 2 + 2 3 4 2 = 1，代入点(3， 3 2 )得 a24， 所以椭圆方程为 2 4 + 2 3 = 1 （2）因为直线 OP：yk1x 和 OQ：yk2x 都与圆 R 相切， 所以|10;0| 1:1 2 = 84 7 ，|20;0| 1:2 2 = 84 7 ， 所以 k1，k2是方程2(0 2 12 7 ) 200+ 0 2 12 7 = 0的两根， 所以1 2= 0 212 7 0 212 7 ， 因为点 R（x0，y0）在椭圆上所以0 2 = 3 3 4 0 2， 所以1 2= 0 2
34、12 7 0 212 7 = 3 4(0 212 7) 0 212 7 = 3 4 （3）当直线 OP、OQ 不落在坐标轴上时，设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） 联立 = 32+ 42= 12得1 2 = 12 3+41 2，1 2 = 121 2 3+41 2， 第 17 页（共 20 页） 所以1 2 + 1 2 = 12(1+1 2) 3+41 2 ，同理2 2 + 2 2 = 12(1+2 2) 3+42 2 因为1 2= 3 4 所以2 2 + 2 2 = 12(1+2 2) 3+42 2 = 161 2+9 3+41 2 ， 所以|2+ |2= 1 2 + 1 2 + 2
35、2 + 2 2 = 7(3+41 2) 3+41 2 = 7， 当直线 OP、OQ 落在坐标轴上时，显然有|OP|2+|OQ|27 综上，|OP|2+|OQ|27 21 （12 分）已知 f（x）2ex 1 3 3 1，() = ( + )2 （1）若 f（x）g（x） ，求 a 的所有可能整数值； （2）证明：f（x）存在唯一极小值点 xt 且1t0.85； （3）记函数 R（b）等于直线 ykx+b（k 是常数）与 f（x） ，g（x）的交点个数之和，若 当 a1 时 R（b）的值域是0，2，4，求 k 的全体可能值 【解答】解： （1）令() = () () = 2 1 3 3 1 (
36、+ )2，则 h（x）2ex x22x2a，h（x）2ex2x22（exx1） ， h（x）2（ex1） ，令 h（x）0，解得 x0， 当 x0 时，h（x）0，此时函数 yh（x）单调递减；当 x0 时，h（x）0，此 时函数 yh（x）单调递增 所以 h（x）minh（0）0，则 h（x）0，所以，函数 yh（x）在 R 上单调递增， 当 x时，h（x），当 x+时，h（x）+， 所以存在 x0R，使得(0) = 20 02 20 2 = 0，则0+ = 0 02 2 ， 且当 xx0时，h（x）0，函数 yh（x）单调递减；当 xx0时，h（x）0，函 数 yh（x）单调递增 所以()
37、= (0) = 20 1 3 03 1 (0+ )2= 20 1 30 3 1 (0 02 2 )2， 构造函数1() = 2 1 3 3 1 ( 2 2 )2， f1（0） 0， 则1() = 2 2 2( 2 2 )2( ) = （2exx2） （exx1） ，易知 exx10（x0） ， 令2() = 2 2，则2() = 2( ) 2( + 1 ) = 20， 所以函数 yf2（x）在 R 上单调递增，当 x0 时，f2（x）f2（0）20， 第 18 页（共 20 页） 此时，f1（x）0，即函数 yf1（x）在0，+）上单调递减，则 f1（x）f1（0）0； 2(1) = 2 10
38、，2(0) = 20， 由零点存在定理知，存在 x1（1，0） ，使得2(1) = 21 12= 0， 且当 xx1时，f2（x）0，则 f1（x）0，此时函数 yf1（x）单调递增； 当 x1x0 时，f2（x）0，则 f1（x）0，此时，函数 yf1（x）单调递减 当 x0 时，f1（x）maxf1（x1）f1（0）0， 1(2) = 6 2 1 4 7 3 0， 存在 x3（2，1）使得 f1（x3）0， 则不等式 h（x0）0 的解集为x3，0，即 x0x3，0（2，0 又 = 0 02 2 0，构造函数3() = 2 2 ，则3() = 1 0， 所以函数 yf3（x）在 R 上单调
39、递增， x0（2，0， 1 2 1， 因此，a 的所有可能整数值为 1； （2）证明：() = 2 1 3 3 1，则 f（x）2exx2，函数 yf（x）在 R 上单 调递增， 由（1）知，当 x0 时，f（x）0， 当 x0 时，(1) = 2 10，(0.85) = 2 0.85 (0.85)20， 由零点存在定理知，存在 t（1，0.85） ，使得 f（t）0， 当 xt 时，f（x）0；当 xt 时，f（x）0， 所以函数 yf（x）存在唯一极小值点 xt 且1t0.85； （3）当 a1 时，由（1）知，f（x）g（x）恒成立，当且仅当 x0 时等号成立， 如图所示， 第 19 页
40、（共 20 页） 若 k0，当直线 ykx+b 过点（0，1）时，则 R（b）3，不合乎题意； 考查直线 ykx+b 与两个函数同时相切于点（0，1）时，则 kf（0）g（0）2， 此时，R（b）1，不合乎题意； 若 0k2，当 b1 时，直线 ykx+b 过点（0，1） ，直线 ykx+b 在 y 轴左侧必然会与 两个函数的图象各有一个交点， 此时 R（b）3，不合乎题意； 若 k2 时，当 b1 时，直线 ykx+b 过点（0，1） ，直线 ykx+b 在 y 轴右侧必然会与 两个函数的图象各有一个交点， 此时 R（b）3，不合乎题意 综上所述，符合条件的实数 k 不存在 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C 的参数方程为 = 3 = 2 （ 为参数， R） 以 坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （cos sin）3 （1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （2）若曲线 C 与 y 轴的上下两个交点分别为 P，Q，M 为 l 上一动点，求|MP|+|MQ|的最 小值 【解答】解： （1）曲线 C 的参数方程为 = 3 = 2（ 为参数，R） 可得直角坐标
