1、 第 1 页（共 17 页） 2020 年北京高考数学模拟试卷年北京高考数学模拟试卷 2 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 50 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知复数 = 2 + 3+ 1+3，则复数 z 在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 （5 分）已知集合 Ax|3x4，Bx|4x6，则（RA）B（ ） Ax|4x6 Bx|4x3x|4x6 Cx|4x6 Dx|4x3x|4x6 3 （5 分）函数 = 2 5 + 4的单调递增区间是（ ） A5 2 ，+ ) B5 2 ，4) C4，+） D1， 5 2)
2、，4， + ) 4 （5 分）函数 y2 1 +1 的值域为（ ） A0，+） B1，+） C2，+） D2，+ ) 5 （5 分）在圆 M：x2+y24x4y10 中，过点 E（0，1）的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为（ ） A6 B12 C24 D36 6 （5 分）将函数 ysin2x 的图象向左平移 4个单位长度后得到曲线 C1，再将 C1 上所有点 的横坐标伸长到原来的 2 倍得到曲线 C2，则 C2的解析式为（ ） Aysinx Bycosx Cysin4x Dycos4x 7 （5 分）某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为 2 的
3、等腰直角三角形， 侧视图是边长为 2 的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（ ） A22 B4 C23 D26 第 2 页（共 17 页） 8 （5 分）已知函数() = 22，() = + 2， 0 2+ 2，0 ( )，若对任意 x11，+ ） ，总存在 x2R，使 f（x1）g（x2） ，则实数 a 的取值范围是（ ） A(， 1 2) B(， 1 4) 3 2 ，2 C(， 1 2) 1，2 D(1， 3 2 7 4，2 9（5 分） 设数列an的通项 ankn+b （k， bR， nN*） ， 则an为等差数列是 b0 的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件
4、 D既不充分也不必要条件 10 （5 分）为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师 对前三名进行了预测，于是有了以下对话： 老师甲： “7 班男生比较壮，7 班肯定得第一名” 老师乙： “我觉得 14 班比 15 班强，14 班名次会比 15 班靠前” 老师丙： “我觉得 7 班能赢 15 班” 最后老师丁去观看完了比赛，回来后说： “确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是 你们三人中只有一人预测准确” 那么，获得一、二、三名的班级依次为（ ） A7 班、14 班、15 班 B14 班、7 班、15 班 C14 班、15 班、7 班 D15 班、14 班、7 班
5、二填空题（共二填空题（共 5 小题，满分小题，满分 25 分，每小题分，每小题 5 分）分） 11 （5 分）已知双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的左、右焦点和点 P（2a，b）为某个 等腰三角形的三个顶点，则双曲线 C 的离心率为 12 （5 分）已知向量 = (2，3)， = (3，)，且 ，则 m 13 （5 分）如果抛物线 y22px 上一点 A（4，m）到准线的距离是 6，那么 m 14 （5 分）在四边形 ABCD 中，AB1，BC2，CD3，AD4，且ABC120，则 AC ，cosBCD 15 （5 分）设函数 f（x）ex+e x1 2+1，则使得 f（2x）f（x
6、+1）成立的 x 的取值范围 是 三解答题（共三解答题（共 6 小题，满分小题，满分 75 分）分） 16 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 为平行四边形，DAP 为直角三 第 3 页（共 17 页） 角形且 DADP，ABP 是等边三角形 （1）求证：PABD； （2）若 BABD2，求二面角 DPCB 的正弦值 17 （14 分）已知正项数列an满足 an+12an+1（an+1）an（2an+1）0，a11，数列bn 为等差数列，b5+1a4，b4+b7a5 （1）求证：an+1为等比数列，并求bn的通项公式； （2）求数列anbn的前 n 项和 18 （12
7、 分）某学校有 1200 名学生，随机抽出 300 名进行调查研究，调查者设计了一个随 机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全相同的 10 个红球，10 个绿球和 10 个白 球的袋子调查中有两个问题： 问题 1：你的阳历生日月份是不是奇数？ 问题 2：你是否抽烟？ 每个被调查者随机从袋中摸出 1 个球（摸出后再放回袋中） 若摸到红球就如实回答第一 个问题，若摸到绿球，则不回答任何问题；若摸到白球，则如实回答第二个问题所有 回答“是”的调查者只需往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的被调查者什么也不 用做最后收集回来 53 个小石子，估计该学校吸烟的人数有多少？ 19 （12 分）已知函数
8、 f（x）ln（ex）+ 1 2 2+（a+1）x（e 为自然对数的底数） （1）当 a1 时，求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （2）讨论 f（x）的单调性； （3）当 a0 时，证明 f（x） 3 2 1 20 （12 分）椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)的离心率为 2 2 ，它的四个顶点构成的四边形面 积为22 （I）求椭圆 C 的方程： 第 4 页（共 17 页） （II） 设 P 是直线 xa2上任意一点， 过点 P 作圆 x2+y2a2的两条切线， 切点分别为 M， N，求证：直线 MN 恒过一个定点 21 （13 分）已知等差数列an的前 n 项
9、和为 Sn，且满足 a2+a4a5，S105a620 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bnq ，qN*，且存在 tN*，使得 3bt+24bt+1是数列bn中的项 求 q 的值； 若存在 m，k，rN*，mkr，使得 +1 +1 ， +1 +1 ， +1 +1 等差数列，求 k 的最小值 第 5 页（共 17 页） 2020 年北京高考数学模拟试卷年北京高考数学模拟试卷 2 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 50 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知复数 = 2 + 3+ 1+3，则复数 z 在复平面内对应的点
10、在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】 解： 复数 = 2 + 3+ 1+3 =2+ (1+3) 1+3 =2+i， 则复数 z 在复平面内对应的点 （2， 1） 在第一象限 故选：A 2 （5 分）已知集合 Ax|3x4，Bx|4x6，则（RA）B（ ） Ax|4x6 Bx|4x3x|4x6 Cx|4x6 Dx|4x3x|4x6 【解答】解：根据题意，集合 Ax|3x4，则（RA）x|x3 或 x4， 又由 Bx|4x6，则（RA）Bx|4x3 或 4x6x|4x3 x|4x6； 故选：D 3 （5 分）函数 = 2 5 + 4的单调递增区间是（ ） A5 2 ，
11、+ ) B5 2 ，4) C4，+） D1， 5 2)，4， + ) 【解答】解：令 x25x+40， 解得：x4 或 x1， 而函数 yx25x+4 的对称轴是：x= 5 2， 由复合函数同增异减的原则， 故函数 = 2 5 + 4的单调递增区间是4，+） ， 故选：C 4 （5 分）函数 y2 1 +1 的值域为（ ） A0，+） B1，+） C2，+） D2，+ ) 【解答】解： 1 0，21 1， 第 6 页（共 17 页） 则 y2 1 +12 函数 y2 1 +1 的值域为2，+） 故选：C 5 （5 分）在圆 M：x2+y24x4y10 中，过点 E（0，1）的最长弦和最短弦分别
12、为 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为（ ） A6 B12 C24 D36 【解答】解：根据题意，圆 M：x2+y24x4y10 即（x2）2+（y2）29，其圆 心为（2，2） ，半径 r3， 过点 E（0，1）的最长弦 AC 为圆 M 的直径，则|AC|6， 最短的弦为过 E 与直径 AC 垂直的弦，且|ME|= (2 0)2+ (2 1)2= 5 则有|BD|2 2 |2=4， 又由 ACBD， 则四边形 ABCD 的面积 S2SABC2（1 2 ACBE）12； 故选：B 6 （5 分）将函数 ysin2x 的图象向左平移 4个单位长度后得到曲线 C1，再将 C1 上所有点
13、的横坐标伸长到原来的 2 倍得到曲线 C2，则 C2的解析式为（ ） Aysinx Bycosx Cysin4x Dycos4x 【解答】解：将函数 ysin2x 的图象向左平移 4个单位长度后得到曲线 C1，C1 的解析式 为 = 2( + 4) = 2， 再将 C1上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍得到曲线 C2，C2的解析式为 = 2 2 = 故选：B 7 （5 分）某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为 2 的等腰直角三角形， 侧视图是边长为 2 的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（ ） 第 7 页（共 17 页） A22 B4 C23 D26 【解答】解：由三视
14、图知该几何体为棱锥 SABD，其中 SC平面 ABCD；四面体 S ABD 的四个面中 SBD 面的面积最大，三角形 SBD 是边长为 22的等边三角形， 所以此四面体的四个面中面积最大的为 3 4 8 =23 故选：C 8 （5 分）已知函数() = 22，() = + 2， 0 2+ 2，0 ( )，若对任意 x11，+ ） ，总存在 x2R，使 f（x1）g（x2） ，则实数 a 的取值范围是（ ） A(， 1 2) B(， 1 4) 3 2 ，2 C(， 1 2) 1，2 D(1， 3 2 7 4，2 【解答】解：对任意 x1，+） ，f（x）2x 221=1 2，即函数 f（x）的值
15、域为 1 2，+ ） ， 若对任意 x11，+） ，总存在 x2R，使 f（x1）g（x2） ， 设函数 g（x）的值域为 A，则满足1 2，+）A 即可 第 8 页（共 17 页） 当 x0 时，函数 g（x）x2+2a 为减函数，则此时 g（x）2a， 当 x0 时，g（x）asinx+22|a|，2+|a|， 当 2a1 时，即 a 1 2时，要使 1 2，+）A 成立， 则此时 2a 1 2，所以 a 1 4； 当 a 1 2时，此时 2a1，要使 1 2，+）A 成立， 则此时当 x0 时，g（x）asinx+22a，2+a， 此时满足2 1 2 2 2 + ，即 3 2 2 ，得3
16、 2 a2， 综上 a 1 4或 3 2 a2， 故选：B 9（5 分） 设数列an的通项 ankn+b （k， bR， nN*） ， 则an为等差数列是 b0 的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：设数列an的通项 ankn+b（k，bR，nN*） ， 若an为等差数列；则有：an+1an常数 k，即：an+1ank（n+1）+b（kn+b） k；则：bR； 故：an为等差数列推不出 b0；an为等差数列是 b0 不充分条件； 若“b0”时，则有：通项 ankn，an+1ank（n+1）（kn）k 常数； 由等差数列的定义可得：an为
17、等差数列； 故：b0 能推出an为等差数；an为等差数列是 b0 的必要条件； 由充要条件定义可得：数列an的通项 ankn+b（k，bR，nN*） ，则an为等差数列 是 b0 的必要不充分条件； 故选：B 10 （5 分）为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师 对前三名进行了预测，于是有了以下对话： 老师甲： “7 班男生比较壮，7 班肯定得第一名” 老师乙： “我觉得 14 班比 15 班强，14 班名次会比 15 班靠前” 老师丙： “我觉得 7 班能赢 15 班” 最后老师丁去观看完了比赛，回来后说： “确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是 第 9
18、页（共 17 页） 你们三人中只有一人预测准确” 那么，获得一、二、三名的班级依次为（ ） A7 班、14 班、15 班 B14 班、7 班、15 班 C14 班、15 班、7 班 D15 班、14 班、7 班 【解答】解：假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误， 14 班名次比 15 班靠后，7 班没能赢 15 班，故甲预测错误； 假设乙预测准确，则甲和乙都预测错误， 7 班不是第一名，14 班名次比 15 班靠前，7 班没能赢 15 班， 则获得一、二、三名的班级依次为 14 班，15 班，7 班； 假设丙预测准确，则甲和乙都预测错误， 7 班不是第一名，14 班名次比 15 班靠后，7 班能
19、赢 15 班，不合题意 综上，得一、二、三名的班级依次为 14 班，15 班，7 班 故选：C 二填空题（共二填空题（共 5 小题，满分小题，满分 25 分，每小题分，每小题 5 分）分） 11 （5 分）已知双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的左、右焦点和点 P（2a，b）为某个 等腰三角形的三个顶点，则双曲线 C 的离心率为 2+10 2 【解答】解：由题意可得左右焦点分别为：F1（c，0） ，F2（c，0） ， 因为 P 在 y 轴的右侧，所以相等的两边为 PF1F1F2或 PF2F1F2 由题意可得： （2a+c） 2+b24c2 整理可得：2c24ac3a20，即 2e24e
20、30，e1， 解得 e= 2+10 2 ， 或（2ac）2+b24c2可得：2e2+4e30，e1，解得 e= 2+10 2 1，不符合双曲线 的条件； 综上所述，离心率 e= 2+10 2 ， 故答案为：2+10 2 12 （5 分）已知向量 = (2，3)， = (3，)，且 ，则 m 9 2 【解答】解：因为 ， 由两个向量平行的条件得2m90，故 m= 9 2 第 10 页（共 17 页） 故答案为： 9 2 13 （5 分）如果抛物线 y22px 上一点 A（4，m）到准线的距离是 6，那么 m 42 【解答】解：抛物线 y22px 的准线方程为 x= 2， 由题意得 4+ 2 =
21、6，解得 p4 点 A（4，m）在抛物线 y22px 上， m2244， = 42， 故答案为：42， 14 （5 分）在四边形 ABCD 中，AB1，BC2，CD3，AD4，且ABC120，则 AC 7 ，cosBCD 21 14 【解答】解：如图所示， 四边形 ABCD 中，AB1，BC2，CD3，AD4，且ABC120， 则 AC212+22212cos1207， 所以 AC= 7； 又 AC2+CD27+916AD2， 所以ACD90； 由 = ， sinACB= 1120 7 = 3 27 = 21 14 ， cosBCDcos（ACB+90）sinACB= 21 14 故答案为：7
22、， 21 14 15 （5 分）设函数 f（x）ex+e x1 2+1，则使得 f（2x）f（x+1）成立的 x 的取值范围 是 (， 1 3) (1， + ) 【解答】解：f（x）ex+e x1 2+1， 第 11 页（共 17 页） f（x）f（x） ，f（x）是偶函数， 由 f（x）= 21 + 2 (2+1)2 0， 故 f（x）在（0，+）上递增， 所以 f（2x）f（x+1） ， 得|2x|x+1|，解得：x1 或 x 1 3， 故答案为： （， 1 3）（1，+） 三解答题（共三解答题（共 6 小题，满分小题，满分 75 分）分） 16 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中
23、，四边形 ABCD 为平行四边形，DAP 为直角三 角形且 DADP，ABP 是等边三角形 （1）求证：PABD； （2）若 BABD2，求二面角 DPCB 的正弦值 【解答】 （1）证明：取 AP 中点 M，连 DM，BM， DADP，ABP 为等边三角形， PADM，PABM，又 DMBMM， PA平面 DMB，又BD平面 DMB，PABD （2）解：BABD2，M 为 AP 中点，结合题设条件可得 = 1， = 3， BD2MB2+MD2，MDMB 如图，以 MP，MB，MD 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 则(1，0，0)，(0， 3 ，0)，(1，0，0)，(0，
24、0，1)， 得 = (1，0， 1) ， = = (1， 3 ，0) ， = (1， 3，0) ， = = (1，0，1) 设平面 DPC 的一个法向量1 = (1，1，1)， 第 12 页（共 17 页） 则1 = 0 1 = 0 即1 1= 0 1+ 31= 0，1 = (3，1， 3) 设平面 PCB 的一个法向量2 = (2，2，2)， 由2 = 0 2 = 0 即2 + 2= 0 2 32= 0，2 = (3，1， 3) 1 ，2 = 1 2 |1 |2 | = 1 7 设二面角 DPCB 的平面角为 ，则由图可知 sin0， =1 21 ，2 = 43 7 17 （14 分）已知正
25、项数列an满足 an+12an+1（an+1）an（2an+1）0，a11，数列bn 为等差数列，b5+1a4，b4+b7a5 （1）求证：an+1为等比数列，并求bn的通项公式； （2）求数列anbn的前 n 项和 【解答】解： （1）证明：正项数列an满足 an+12an+1（an+1）an（2an+1）0， 可得（an+1+an） （an+12an1）0， （an0） ， 则 an+12an+1，即有 an+1+12（an+1） ， 可得an+1为首项为 2，公比为 2 的等比数列； 则 an+12n，即 an2n1， 数列bn为等差数列，b5+1a415，即 b514，b1+4d14，
26、 b4+b7a531，即 2b1+9d31， 解得 b12，d3， 可得 bn2+3（n1）3n1； 第 13 页（共 17 页） （2）anbn（3n1） （2n1）（3n1） 2n（3n1） ， 数列anbn的前 n 项和 Tn22+54+88+（3n1） 2n（2+5+8+3n1） ， 可设 Sn22+54+88+（3n1） 2n， 2Sn24+58+816+（3n1） 2n+1， 相减可得Sn4+3（4+8+2n）（3n1） 2n+1 4+34(12 1) 12 （3n1） 2n+1， 化为 Sn8+（3n4） 2n+1， 则数列anbn的前 n 项和 Tn8+（3n4） 2n+1 (
27、3+1) 2 18 （12 分）某学校有 1200 名学生，随机抽出 300 名进行调查研究，调查者设计了一个随 机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全相同的 10 个红球，10 个绿球和 10 个白 球的袋子调查中有两个问题： 问题 1：你的阳历生日月份是不是奇数？ 问题 2：你是否抽烟？ 每个被调查者随机从袋中摸出 1 个球（摸出后再放回袋中） 若摸到红球就如实回答第一 个问题，若摸到绿球，则不回答任何问题；若摸到白球，则如实回答第二个问题所有 回答“是”的调查者只需往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的被调查者什么也不 用做最后收集回来 53 个小石子，估计该学校吸烟的人数有多少？
28、【解答】解：由题意可知，每个学生从口袋中摸出 1 个红球，绿球，白球的概率都是1 3 即我们期望大约有300 1 3 = 100人回答了第一个问题， 300 1 3 = 100人回答了第二个问题，300 1 3 = 100人回答了第三个问题 在回答阳历生日月份是奇数的概率是1 2 因而回答第一个问题的 100 人中，大约有 50 人回答了“是” 所以我们能推出，在回答第三个问题的 100 人中，大约有 3 人回答了“是” 即估计该学校大约有 3%的学生抽烟，也就是全校大约有 36 人抽烟 19 （12 分）已知函数 f（x）ln（ex）+ 1 2 2+（a+1）x（e 为自然对数的底数） （1
29、）当 a1 时，求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （2）讨论 f（x）的单调性； 第 14 页（共 17 页） （3）当 a0 时，证明 f（x） 3 2 1 【解答】解： （1）当 a1 时，() = () + 1 2 2+ 2 所以() = 1 + + 2， 所以 = (1) = 1 1 + 1 + 2 = 4，又(1) = 7 2， 所以曲线在点（1，f（1） ）处的切线方程为 7 2 = 4( 1)， 即 8x2y10 （2）易得() = 1 + + + 1 = 2+(+1)+1 = (+1)(+1) （x0） 当 a0 时，f（x）0，此时 f（x）在（0，+）
30、上单调递增； 当 a0 时，令 f（x）0，得 = 1 则当0 1 时，f（x）0，此时 f（x）在(0， 1 )上单调递增； 当 1 时，f（x）0，此时 f（x）在( 1 ， + )上单调递减 综上所述，当 a0 时，函数 f（x）在区间（0，+）上单调递增； 当 a0 时，函数 f（x）在区间(0， 1 )上单调递增，在区间( 1 ， + )上单调递减 （3）由（2）知，当 a0 时，f（x）在 = 1 处取得最大值， 即()= ( 1 ) = ( ) + 2 1 2 + ( + 1)( 1 ) = ( 1 ) 1 2， 则() 3 2 1等价于() 3 2 1，即( 1 ) 1 2 3
31、 2 1， 即( 1 ) + 1 + 1 0 （） 令 = 1 ，则 t0不妨设 g（t）lntt+1（t0） ， 所以() = 1 1 = 1 （t0） 从而，当 t（0，1）时，g（t）0；当 t（1，+）时，g（t）0， 所以函数 g（t）在区间（0，1）上单调递增；在区间（1，+）上单调递减， 故当 t1 时 g（t）maxg（1）0 所以当 t0 时，总有 g（t）g（t）max0， 即当 a0 时，不等式（）总成立， 第 15 页（共 17 页） 故当 a0 时，() 3 2 1成立 20 （12 分）椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)的离心率为 2 2 ，它的四个顶点构
32、成的四边形面 积为22 （I）求椭圆 C 的方程： （II） 设 P 是直线 xa2上任意一点， 过点 P 作圆 x2+y2a2的两条切线， 切点分别为 M， N，求证：直线 MN 恒过一个定点 【解答】解： （I）由题意可知， 1 2 2 2 = 22 = = 2 2 2= 2+ 2 ，解得 = 2，bc1， 所以椭圆的标准方程 2 2 + 2= 1； （II）证明：方法一：设点 P（2，y0） ，M（x1，y1） ，N（x2，y2） 其中1 2 + 1 2 = 2，2 2 + 2 2 = 2，由 PMOM，PNON， 10 12 1 1 = 1， 20 22 2 2 = 1，即1 2 +
33、1 2 21 10= 0，2 2 + 2 2 22 20= 0， 注意到1 2 + 1 2 = 2，2 2 + 2 2 = 2，于是，22x1y1y00，22x2y2y00， 所以，M，N 满足 22xyy00， 由 y0的任意性可知，x1，y0，即直线 MN 恒过一个定点（1，0） 方法二：设点 P（2，y0） ，过点 P 且与圆 x2+y22 相切的直线 PM，PN，切点分别为 M， N，由圆的知识可知，M，N 是圆以 OP 为直径的圆( 1)2+ ( 0 2 )2= 1 + (0 2 )2和圆 x2+y22 的两个交点， 由 2+ 2= 2 ( 1)2+ ( 0 2 )2= 12+ (0
34、 2 )2，消去二次项得直线 MN 方程为 22xyy00， 由 y0的任意性可知，x1，y0，即直线 MN 恒过一个定点（1，0） 方法三：由圆的极点极线可知，已知 M（x0，y0）为圆 C： （xa）2+（yb）2R2外一 点， 由点 M 引圆 C 的两条切线 MA，MB，其中 A，B 为切点，则直线 AB 的方程为 (0 )( ) + (0 )( ) = 2， 特殊地， 知 M （x0， y0） 为圆 C： x2+y2R2外一点， 由点 M 引圆 C 的两条切线 MA， MB， 第 16 页（共 17 页） 其中 A，B 为切点，则直线 AB 的方程为0+ 0= 2 设点 P（2，y0）
35、 ，由极点与极线可知，直线 MN 的方程 2x+yy02，即 2x+yy020， 由 y0的任意性可知，x1，y0，即直线 MN 恒过一个定点（1，0） 所以直线 MN 恒过一个定点（1，0） 21 （13 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 a2+a4a5，S105a620 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bnq ，qN*，且存在 tN*，使得 3bt+24bt+1是数列bn中的项 求 q 的值； 若存在 m，k，rN*，mkr，使得 +1 +1 ， +1 +1 ， +1 +1 等差数列，求 k 的最小值 【解答】解： （1）等差数列an满足 a2+a4a5，S105
36、a620 所以 2a1+4da1+4d，10a1+ 109 2 5（a1+5d）20， 化简得，a10，5a1+20d20， 解得 d1， 所以数列an的通项公式 ana1+（n1）dn1 （2）bnqn 1，qN*， 3bt+24bt+13qt+14qtqt （3q4） ，tN*， 若 3bt+24bt+1是数列bn中的项 则存在 mN*，使得 3q4qm， （qN*） ， 当 m1 时，3q4q，解得 q2， 当 m2 时，3q4q2，不存在 qN*，使得 3q4q2， 当 m3 时，3q4q2q3，不存在 qN*，使得 3q4q2， 所以 q2， 检验：当 q2 时，bn2n 1， 所以
37、 3bt+24bt+13qt+14qtqt （3q4）2t+1，tN*， 所以存在 tN*，使得 3bt+24bt+1是数列bn中的项 所以 bn2n 1， 第 17 页（共 17 页） +1 +1 = 22 2 = 2，同理得 +1 +1 = 2， +1 +1 = 2， 若存在 m，k，rN*，mkr，使得 +1 +1 ， +1 +1 ， +1 +1 等差数列， 则 2 +1 +1 = +1 +1 + +1 +1 ， （m，k，rN*，mkr， ） 即 2 2 = 2 + 2， （m，k，rN*，mkr， ） 当 k2 时，m1，r3， 左边2 2 22 =1，右边= 1 2 + 3 23 = 7 8，不符合题意， 当 k3 时， m1，r4， 左边2 3 23 = 3 4，右边= 1 2 + 2 左边右边，不合题意 m2，r4 左边2 3 23 = 3 4，右边= 2 22 + 4 24 = 3 4， 所以 k 的最小值为 3
