1、 第 1 页（共 21 页） 2020 年河南省高考数学（理科）模拟试卷（年河南省高考数学（理科）模拟试卷（8） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知 Ax|x210，By|yex，则 AB（ ） A （0，+） B （，1 C1，+） D （，11，+） 2 （5 分）已知复数 z 满足 z+2iR，z 的共轭复数为，则 z =（ ） A0 B4i C4i D4 3 （5 分）某公司从 A、B 两个部门中各选出 6 名员工参加本季度的笔试考核，他们取得的 成绩（满分 100 分）的茎叶图如图，其中 A 部门员工成绩
2、的中位数是 83，B 部门员工成 绩的平均数是 85，则 x+y 的值为（ ） A2 B3 C4 D5 4 （5 分）在平面直角坐标系中，ABC 的顶点 B，C 的坐标分别为（2，0） ， （2，0） ， 中线 AD 的长度是 4，则顶点 A 的坐标满足的方程是（ ） Ax2+y216（y0） Bx2+y216（x0） Cx2+y24（y0） Dx2+y24（x0） 5 （5 分）在正四面体 DABC（所有棱长均相等的三棱锥）中，点 E 在棱 AB 上，满足 AE 2EB，点 F 为线段 AC 上的动点设直线 DE 与平面 DBF 所成的角为 ，则（ ） A存在某个位置，使得 DEBF B存在
3、某个位置，使得FDB= 4 C存在某个位置，使得平面 DEF平面 DAC D存在某个位置，使得 = 6 6 （5 分）若 ( 2 ，)，且32 = 2( 4 )，则 cos2 的值为（ ） A 42 9 B42 9 C 7 9 D7 9 第 2 页（共 21 页） 7 （5 分）更相减损术出自九章算术 ，它原本是为约分而设计的，原文如下：可半者半 之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之如 图所示的程序框图的算法思路就源于“更相减损术” 若执行该程序框图，则输出的 a 的 值为（ ） A14 B12 C7 D6 8 （5 分）为了研究国民收人在国民之间的分配，避
4、免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨 提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示劳伦茨曲线为直线 OL 时，表示收人完全平等劳 伦茨曲线为折线 OKL 时， 表示收入完全不平等 记区域 A 为不平等区域， a 表示其面积， s 为OKL 的面积将 Gini= ，称为基尼系数对于下列说法： Gini 越小，则国民分配越公平； 设劳伦茨曲线对应的函数为 yf（x） ，则对x（0，1） ，均有() 1； 若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 yx2（x0，1） ，则 Gini= 1 4； 若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 yx3（x0，1） ，则 Gini= 1 2 其中不正确的是（ ） 第 3 页（共 21 页） A
5、 B C D 9 （5 分）将甲、乙、丙、丁四人分配到 A，B，C 三所学校任教，每所学校至少安排 1 人， 则甲不去 A 学校的不同分配方法有（ ） A18 种 B24 种 C32 种 D36 种 10（5分） 已知等差数列an与bn的前n项和为Sn与Tn， 且满足 = 5;2 3:4， 则 5 5 = （ ） A23 19 B5 3 C1 D43 31 11 （5 分）已知三棱锥 PABC 的顶点都在球 O 的球面上，若 PA平面 ABC，ABBC， PA2，ABBC4，则球 O 的表面积为（ ） A9 B12 C24 D36 12 （5 分）过双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）的
6、右焦点 F 作直线 y= x 的垂线，垂足 为 A，交双曲线左支于 B 点，若 =2 ，则该双曲线的离心率为（ ） A3 B2 C5 D7 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知 x15+x3xa0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a15（x+1）15则 a2+a3+a15 14 （5 分）已知函数 f（x）= 2+ 2， 0 ，0 （e2.718） ，若关于 x 的方程 f（x）a （a0）有 3 个不同的实数解 x1，x2，x3，则 x1+x2+x3的取值范围是 15 （5 分）已知三棱锥 ABCD 每条棱长都为
7、 1，点 E，G 分别是 AB，DC 的中点，则 = 16 （5 分）已知函数 f（x）|x2+3x|，xR若方程 f（x）a|x1|0 恰有 3 个互异的实 第 4 页（共 21 页） 数根，则实数 a 的取值集合为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）等差数列an的前 n 项和为 Sn，a33，S410 （1）求an的通项公式； （2）设= 1 ，求数列bn的前 n 项和 Tn 18 （12 分）近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的 出行方式为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官
8、方 APP 中设置了用户评价反馈 系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价，现从评价系统中选出 300 条较为详细 的评价信息进行统计，车辆状况和优惠活动评价的 22 列联表如下： 对优惠活动好评 对优惠活动不满意 合计 对车辆状况好评 150 50 200 对车辆状况不满意 60 40 100 合计 210 90 300 （1）能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间 有关系？ （2）为了回馈用户，公司通过 APP 向用户随机派送每张的面额为 0 元，1 元，2 元的三 种骑行券，用户每次使用 APP 扫码用车后，都可获得一张骑行券，用户骑行一次获得
9、 1 元券，获得 2 元券的概率分别是1 2 ， 2 5，且各次获取骑行券的结果相互独立若某用户一 天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为 X，求随机变 量 X 的分布列和数学期望 附：下边的临界值表仅供参考： P（K2 k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式：2= ()2 (+)(+)(+)(+)，其中 na+b+c+d） 19 （12 分）如图，四边形 ABCD 是矩形，沿对角线 AC 将ACD 折起，使得点 D 在
10、平面 ABC 上的射影恰好落在边 AB 上 第 5 页（共 21 页） （1）求证：平面 ACD平面 BCD； （2）当 = 2时，求二面角 DACB 的余弦值 20 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 内，动点 A 到定点 F（3，0）的距离与 A 到定直线 x 4 距离之比为 3 2 （）求动点 A 的轨迹 C 的方程； （） 设点 M， N 是轨迹 C 上两个动点直线 OM， ON 与轨迹 C 的另一交点分别为 P， Q， 且直线 OM，ON 的斜率之积等于 1 4，问四边形 MNPQ 的面积 S 是否为定值？请说明理 由 21 （12 分）已知函数 f（x）（2x）ex，g（x）a（
11、x1）2 （1）求曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （2）若函数 f（x）和 g（x）的图象有两个交点，它们的横坐标分别为 x1，x2，求证：x1+x2 2 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 系，曲线 C 的极坐标方程为 2（1+8sin2）9，直线 l 的参数方程为 = 1 + 4 = 1 （t 为 参数） （1）求 C 与 l 的交点的直角坐标； （2）求 C 上的点到直线 l 的距离的最大值 五解答题（共五解
12、答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|xa|+|x+2| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）5 的解集； （2）x0R，f（x0）|2a+1|，求 a 的取值范围 第 6 页（共 21 页） 2020 年河南省高考数学（理科）模拟试卷（年河南省高考数学（理科）模拟试卷（8） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知 Ax|x210，By|yex，则 AB（ ） A （0，+） B （，1 C1，+） D （，11，+） 【解答】解：Ax|x1 或 x1，By|y0，
13、 AB1，+） 故选：C 2 （5 分）已知复数 z 满足 z+2iR，z 的共轭复数为，则 z =（ ） A0 B4i C4i D4 【解答】解：z+2iR，设 z+2iaR， 则 za2i， 则 z =a2i（a+2i）4i 故选：C 3 （5 分）某公司从 A、B 两个部门中各选出 6 名员工参加本季度的笔试考核，他们取得的 成绩（满分 100 分）的茎叶图如图，其中 A 部门员工成绩的中位数是 83，B 部门员工成 绩的平均数是 85，则 x+y 的值为（ ） A2 B3 C4 D5 【解答】解：由茎叶图知，A 成绩的中位数是1 2 （80+x+84）83，解得 x2； B 成绩的平均
14、数是1 6 （78+82+83+84+90+y+93）85，解得 y0； 所以 x+y2 故选：A 4 （5 分）在平面直角坐标系中，ABC 的顶点 B，C 的坐标分别为（2，0） ， （2，0） ， 第 7 页（共 21 页） 中线 AD 的长度是 4，则顶点 A 的坐标满足的方程是（ ） Ax2+y216（y0） Bx2+y216（x0） Cx2+y24（y0） Dx2+y24（x0） 【解答】解：设 A 的坐标： （x，y） ，由题意可得 B，C 的中点坐标为： （0，0） ，y0 再由椭圆可得：x2+y216， （y0） ； 故选：A 5 （5 分）在正四面体 DABC（所有棱长均相等
15、的三棱锥）中，点 E 在棱 AB 上，满足 AE 2EB，点 F 为线段 AC 上的动点设直线 DE 与平面 DBF 所成的角为 ，则（ ） A存在某个位置，使得 DEBF B存在某个位置，使得FDB= 4 C存在某个位置，使得平面 DEF平面 DAC D存在某个位置，使得 = 6 【解答】解：如图， 设正四面体 DABC 的底面中心为 O，连接 DO，则 DO平面 ABC， 以 O 为坐标原点，以 OB，OD 所在直线分别为 x，z 轴建立如图所示空间直角坐标系， 设正四面体的棱长为 2， 则 A（ 3 3 ，1，0） ，C（ 3 3 ，1，0） ，B（23 3 ，0，0） ， E（ 3 3
16、 ， 1 3，0） ，D（0，0， 26 3 ） 设 F（ 3 3 ，0） （11） ， 若存在某个位置，使得 DEBF，则 = ( 3 3 ， 1 3 ， 26 3 ) (3，0) =0， 即 3，不合题意，故 A 错误； 若存在某个位置，使得FDB= 4，即 cos ， = | | | = 2 2 ， (; 3 3 ，;26 3 )(23 3 ，0，;26 3 ) 2:32 = 2 2 ，此方程误解，故 B 错误； = ( 3 3 ， 1， 26 3 )， = ( 3 3 ，1， 26 3 )， 设平面 DAC 的一个法向量为 = (，)， 第 8 页（共 21 页） 则 = 3 3 26
17、 3 = 0 = 3 3 + 26 3 = 0 ，取 z1，得 = (22，0， 1) 设平面 DEF 的一个法向量为 = (，)， 则 = 3 3 1 3 26 3 = 0 = 3 3 + 26 3 = 0 ，取 z1，得 = (6 2+22 31 ， 46 31 ，1)， 若存在某个位置，使得平面 DEF平面 DAC，则22 62+22 31 1 = 0，解得 = 9 211，1 故 C 正确； 设平面 DBF 的一个法向量为 = (，)， 则 = 23 3 26 3 = 0 = 3 3 + 26 3 = 0 ，取 x= 2，得 = (2， 6 ，1)， 若存在某个位置，使得 = 6，则
18、sin 6 = 1 2 =|cos ， | | | | |= |6 3 6 3 26 3 | 27 3 3+ 6 2 ， 整理得：5212+360，此方程无解，故 D 错误 故选：C 6 （5 分）若 ( 2 ，)，且32 = 2( 4 )，则 cos2 的值为（ ） A 42 9 B42 9 C 7 9 D7 9 【解答】解： ( 2 ，)，且32 = 2( 4 )， 3（cos2sin2）= 2（cossin） ， 3（cossin） （cos+sin）= 2（cossin） ， 第 9 页（共 21 页） cos+sin= 2 3 ，或 cossin0， （舍去） ， 两边平方，可得：1
19、+sin2= 2 9，解得：sin2= 7 9， cossin= ( )2= 1 2 = 1 ( 7 9) = 4 3， 由+可得：cos= 24 6 ，可得：cos22cos212（2;4 6 ）21= 42 9 故选：A 7 （5 分）更相减损术出自九章算术 ，它原本是为约分而设计的，原文如下：可半者半 之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之如 图所示的程序框图的算法思路就源于“更相减损术” 若执行该程序框图，则输出的 a 的 值为（ ） A14 B12 C7 D6 【解答】解：i1，a196，b126，a，b 均为偶数； a98，b63，i2，b 不为偶
20、数； ab，ab，a35，b63，i2； ab，ab，b28，a35，i2； ab，ab，a7，b28，i2； ab，ab，b14，a7，i2； ab，ab，b7，a7，i2； ab，a14， 输出 a14， 故选：A 第 10 页（共 21 页） 8 （5 分）为了研究国民收人在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨 提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示劳伦茨曲线为直线 OL 时，表示收人完全平等劳 伦茨曲线为折线 OKL 时， 表示收入完全不平等 记区域 A 为不平等区域， a 表示其面积， s 为OKL 的面积将 Gini= ，称为基尼系数对于下列说法： Gini 越小，则国民
21、分配越公平； 设劳伦茨曲线对应的函数为 yf（x） ，则对x（0，1） ，均有() 1； 若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 yx2（x0，1） ，则 Gini= 1 4； 若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 yx3（x0，1） ，则 Gini= 1 2 其中不正确的是（ ） A B C D 【解答】 解： ： 由题意知 A 为不平等区域， a 表示其面积， s 为OKL 的面积 当 Gini= ，则 a 越小，不平等区域越小，越公平，对， ：由图可知 f（x）x，则对x（0，1） ，均有() 1，错； ：若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 yx2（x0，1） ，a= 1 0 ( 2) = (1 2 2
22、1 3 3)|01 = 1 6，Gini= 1 6 1 2 = 1 3，错， ：若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 yx3（x0，1） ，a= 1 0 ( 3) = (1 2 2 1 4 4)|01 = 1 4，Gini= 1 4 1 2 = 1 2，对， 故选：B 9 （5 分）将甲、乙、丙、丁四人分配到 A，B，C 三所学校任教，每所学校至少安排 1 人， 则甲不去 A 学校的不同分配方法有（ ） 第 11 页（共 21 页） A18 种 B24 种 C32 种 D36 种 【解答】解：根据题意，分两种情况讨论， 其他三人中有一个人与甲在同一个学校，有 C31A21A2212 种情况， 没有人
23、与甲在同一个学校，则有 C21C32A2212 种情况； 则若甲要求不到 A 学校，则不同的分配方案有 12+1224 种； 故选：B 10（5分） 已知等差数列an与bn的前n项和为Sn与Tn， 且满足 = 5;2 3:4， 则 5 5 = （ ） A23 19 B5 3 C1 D43 31 【解答】解：等差数列an与bn的前 n 项和为 Sn与 Tn，且满足 = 5;2 3:4， 5 5 = 25 25 = 1:9 1:9 = 9 2(1:9) 9 2(1:9) = 9 9 = 592 39+4 = 43 31 故选：D 11 （5 分）已知三棱锥 PABC 的顶点都在球 O 的球面上，若
24、 PA平面 ABC，ABBC， PA2，ABBC4，则球 O 的表面积为（ ） A9 B12 C24 D36 【解答】解：把三棱锥 PABC 补成一个长方体，如图所示： 长方体的外接球即是三棱锥 PABC 的外接球， PA2，ABBC4， 长方体的外接球的半径为：1 2 42+ 42+ 22=3， 球 O 的表面积为：43236， 故选：D 第 12 页（共 21 页） 12 （5 分）过双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）的右焦点 F 作直线 y= x 的垂线，垂足 为 A，交双曲线左支于 B 点，若 =2 ，则该双曲线的离心率为（ ） A3 B2 C5 D7 【解答】 解： 设F （
25、c， 0） ， 则直线AB的方程为 y= （xc） 代入双曲线渐近线方程 y= x 得 A（ 2 ， ） ， 由 =2 ，可得 B（ 2+22 3 ， 2 3 ） ， 把 B 点坐标代入双曲线方程 2 2 2 2 =1， 即( 2:22)2 922 42 92 =1，整理可得 c= 5a， 即离心率 e= = 5 故选：C 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知 x15+x3xa0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a15（x+1）15则 a2+a3+a15 16 【解答】解：令 x1，得 a011+11， 令 x0，
26、得 a0+a1+a2+a3+a150， 令 tx+1，则 xt1， 则方程等价为（t1）15+（t1）3（t1）a0+a1t+a2t2+a15t15 即 a1是 t 的系数， 则 a1= 15 1 （1）14+3 1（1）2115+3117， 则 a2+a3+a150a0a111716， 故答案为：16 14 （5 分）已知函数 f（x）= 2+ 2， 0 ，0 （e2.718） ，若关于 x 的方程 f（x）a （a0）有 3 个不同的实数解 x1，x2，x3，则 x1+x2+x3的取值范围是 (2+ 1 ， 1 【解答】解：当 x0 时，f（x）= ，则 f（x）= 1 2 ， 所以当 x
27、（0，e）时，f（x）0，f（x）单调递增， 第 13 页（共 21 页） 当 x（e，+）时，f（x）0，f（x）单调递减； 当 x0 时，f（x）ex2+2exe（x+1）2e，对称轴为 x1， 画出函数 f（x）的图象如图， 由图，根据二次函数对称性得 x1+x22，二次函数的最低点处 f（1）e， 又因为(1 ) = 1 1 = e，f（1）0，所以3 (1 ，1， 所以 x1+x2+x3(2 + 1 ， 1 故答案为：(2 + 1 ， 1 15（5 分） 已知三棱锥 ABCD 每条棱长都为 1， 点 E， G 分别是 AB， DC 的中点， 则 = 1 2 【解答】解：如图， = +
28、 + = 1 2 + 1 2 = 1 2 1 2 + 1 2 = 1 2 1 2 1 2 ， =（1 2 1 2 1 2 ） = 1 2 1 2 2 + 1 2 = 1 2 2 = 1 2 故答案为： 1 2 第 14 页（共 21 页） 16 （5 分）已知函数 f（x）|x2+3x|，xR若方程 f（x）a|x1|0 恰有 3 个互异的实 数根，则实数 a 的取值集合为 1，9 【解答】解：由 yf（x）a|x1|0 得 f（x）a|x1|， 作出函数 yf（x） ，yg（x）a|x1|的图象， 当 a0，两个函数的图象不可能有 3 个交点，不满足条件， 则 a0，此时 g（x）a|x1|
29、= ( 1)， 1 ( 1)，1， 当3x0 时，f（x）x23x，g（x）a（x1） ， 当直线和抛物线相切时，有三个零点， 此时x23xa（x1） ， 即 x2+（3a）x+a0， 则由（3a）24a0，即 a210a+90，解得 a1 或 a9， 故答案为：1，9 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 第 15 页（共 21 页） 17 （12 分）等差数列an的前 n 项和为 Sn，a33，S410 （1）求an的通项公式； （2）设= 1 ，求数列bn的前 n 项和 Tn 【解答】解： （1）由题意，设等差数列an的公差为 d
30、，则 3= 1+ 2 = 3 4= 41+ 43 2 = 10， 整理，得1 + 2 = 3 21+ 3 = 5， 解得1 = 1 = 1 an1+（n1） 1n，nN* （2）由（1）知，Sn= (+1) 2 ， = 1 = 2 (+1) =2（1 1 :1） Tnb1+b2+bn 2（1 1 2）+2（ 1 2 1 3）+2（ 1 1 :1） 2（1 1 2 + 1 2 1 3 + + 1 1 +1） 2（1 1 +1） = 2 +1 18 （12 分）近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的 出行方式为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方 APP 中设置了
31、用户评价反馈 系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价，现从评价系统中选出 300 条较为详细 的评价信息进行统计，车辆状况和优惠活动评价的 22 列联表如下： 对优惠活动好评 对优惠活动不满意 合计 对车辆状况好评 150 50 200 对车辆状况不满意 60 40 100 合计 210 90 300 （1）能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间 有关系？ 第 16 页（共 21 页） （2）为了回馈用户，公司通过 APP 向用户随机派送每张的面额为 0 元，1 元，2 元的三 种骑行券，用户每次使用 APP 扫码用车后，都可获得一张骑行券，用户骑
32、行一次获得 1 元券，获得 2 元券的概率分别是1 2 ， 2 5，且各次获取骑行券的结果相互独立若某用户一 天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为 X，求随机变 量 X 的分布列和数学期望 附：下边的临界值表仅供参考： P（K2 k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式：2= ()2 (+)(+)(+)(+)，其中 na+b+c+d） 【解答】 解：（1） 2= ()2 (+)(+)(+)(+) = 300(150406
33、050)2 21090200100 7.142910.828， 不在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关 系 （2）公司通过 APP 向用户随机派送每张的面额为 0 元，1 元，2 元的三种骑行券， 用户每次使用 APP 扫码用车后，都可获得一张骑行券， 用户骑行一次获得 1 元券，获得 2 元券的概率分别是1 2 ， 2 5，且各次获取骑行券的结果相 互独立 某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为 X， 则 X 的可能取值为 0，1，2，3，4， 用户骑行一次获得 0 元券的概率 p1 1 2 2 5 = 1 10，
34、 P（X0）（ 1 10） 2=1 100， P（X1）= 1 10 1 2 + 1 2 1 10 = 1 10， P（X2）= 1 10 2 5 + 2 5 1 10 + 1 2 1 2 = 33 100， P（X3）= 1 2 2 5 + 2 5 1 2 = 2 5， P（X4）= 2 5 2 5 = 4 25， 随机变量 X 的分布列为： 第 17 页（共 21 页） X 0 1 2 3 4 P 1 100 1 10 33 100 2 5 4 25 数学期望 E（X）= 0 1 100 + 1 1 10 + 2 33 100 + 3 2 5 + 4 4 25 =2.6 19 （12 分）
35、如图，四边形 ABCD 是矩形，沿对角线 AC 将ACD 折起，使得点 D 在平面 ABC 上的射影恰好落在边 AB 上 （1）求证：平面 ACD平面 BCD； （2）当 = 2时，求二面角 DACB 的余弦值 【解答】证明： （1）设点 D 在平面 ABC 上的射影为点 E，连结 DE， 则 DE平面 ABC，DEBC， 四边形 ABCD 是矩形， ABBC， BC平面 ABD，BCAD， 又 ADCD，AD平面 BCD， 而 AD平面 ACD，平面 ACD平面 BCD 解： （2）在矩形 ABCD 中，过点 D 作 AC 的垂线，垂足为 M，连结 ME， DE平面 ABC，DEAC， 又
36、DMDED，AC平面 DME，EMAC， DMC 是二面角 DACB 的平面角， 设 ADa，则 AB2a， 在ADC 中，由题意得 AM= 5 5 ，DM= 25 5 a， 在AEM 中， = = 1 2， 解得 EM= 5 10a， cosDME= = 1 4 第 18 页（共 21 页） 二面角 DACB 的余弦值为1 4 20 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 内，动点 A 到定点 F（3，0）的距离与 A 到定直线 x 4 距离之比为 3 2 （）求动点 A 的轨迹 C 的方程； （） 设点 M， N 是轨迹 C 上两个动点直线 OM， ON 与轨迹 C 的另一交点分别为 P，
37、Q， 且直线 OM，ON 的斜率之积等于 1 4，问四边形 MNPQ 的面积 S 是否为定值？请说明理 由 【解答】解（I）设 A（x，y） ，由题意，(;3) 2:2 |;4| = 3 2 ， 化简得 x2+4y212， 所以，动点 A 的轨迹 C 的方程为 2 12 + 2 3 = 1， （）解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则由斜率之积，得1 2 12 = 1 4， | = (1 2)2+ (1 2)2，因为点 M，N 在椭圆 C 上， 所以1 2 = 3 1 2 4 ，2 2 = 3 2 2 4 所以(12)2= 16(12)2=（3 12 4 ） （3 22 4 ） ，
38、 化简得1 2 + 2 2 = 12 直线 AB 的方程为（y2y1）x（x2x1）y+x2y1x1y20， 原点 O 到直线 MN 的距离为 = |1221| (21)2+(21)2 所以，MON 的面积= 1 2 | = 1 2 |12 21|， 根据椭圆的对称性，四边形 MNPQ 的面积 S2|x1y2x2y1|， 所以，2= 4(12 21)2= 4(1 222 21212+ 2 212)， 412(3 22 4 ) + 22(3 12 4 ) + 1 2(12) 2， = 12(1 2 + 2 2) = 144，所以 S12 所以，四边形 MNPQ 的面积为定值 12 第 19 页（
39、共 21 页） 21 （12 分）已知函数 f（x）（2x）ex，g（x）a（x1）2 （1）求曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （2）若函数 f（x）和 g（x）的图象有两个交点，它们的横坐标分别为 x1，x2，求证：x1+x2 2 【解答】解： （1）f（x）ex+（2x）ex（1x）ex， f（0）1，f（0）2， 曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程 yx+2 即 xy+20， （2）令 F（x）f（x）g（x） ，由题意可得 F（x）有 2 个零点， 则 F（x）（x1） （ex+2a） ， 当 a0 时，F（x）（x2）ex，F（x）只有一个零点，
40、 当 a0 时，由 F（x）（x1） （ex+2a）0 可得 x1，或 xln（2a） ， 若 a 1 2，则 ln（2a）1， 当 x（1，+）时，F（x）0，F（x）单调递增，又当 x1 时，F（x）0，故函 数 F（x）不存在两个零点， 若 a 1 2 时， 若 a 1 2，则 ln（2a）1， 故当 x（1，ln（2a） ） ，F（x）0，F（x）单调递减，x（ln（2a） ，+） ，F （x）0，F（x）单调递增， 又当 x1 时，F（x）0，故函数 F（x）不存在两个零点， 当 a0 时，则当 x（，1）时，F（x）0，F（x）单调递增，当 x（1，+） 时，F（x）0，F（x）单调递增， 又 F （1）e，F（2）a，取 b 满足 b0 且 bln1 2 ， 则 F（b） 1 2 ( 2) + ( 1)2=a（2 3 2 ）0， 故 F（x）存在两个零点， 不妨设 x1x2，结合可知，x11，x21，2x21， F（x）在（，1）上单调递减， 故 x1+x22 等价于 F（x1）F（2x2） ， 即 F（2x2）0， 第 20 页（共 21 页） 由于 F（2x2）=
