1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年吉林省高考数学（文科）模拟试卷（年吉林省高考数学（文科）模拟试卷（1） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知 AxN*|x3，Bx|x24x0，则 AB（ ） A1，2，3 B1，2 C （0，3 D （3，4 2 （5 分）若复数 z，则|z|（ ） A1 B C5 D5 3 （5 分）下列说法中，正确的有（ ） 函数 y的定义域为x|x1； 函数 yx2+x+1 在（0，+）上是增函数； 函数 f（x）x3+1（xR） ，若 f（a）2，则 f（a）2； 已知 f（x）是
2、 R 上的增函数，若 a+b0，则有 f（a）+f（b）f（a）+f（b） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 4 （5 分） 记 Sn为等差数列an的前 n 项和， 且 a40， S99， 则数列an的公差是 （ ） A2 B1 C1 D2 5 （5 分）已知夹角为 的向量 ， 满足 （ + ）2，且| |2| |2，则向量 ， 的 关系是（ ） A互相垂直 B方向相同 C方向相反 D成 120角 6 （5 分）某地某高中 2018 年的高考考生人数是 2015 年高考考生人数的 1.5 倍为了更好 地对比该校考生的升学情况，统计了该校 2015 和 2018 年高考情况，得到如下饼图：
3、 2018 年与 2015 年比较，下列结论正确的是（ ） A一本达线人数减少 B二本达线人数增加了 0.5 倍 C艺体达线人数相同 第 2 页（共 19 页） D不上线的人数有所增加 7 （5 分） 关于命题 p： 若 0， 则 与 的夹角为锐角； 命题 q： 存在 xR， 使得 sinx+cosx 下列说法中正确的是（ ） A “pq”是真命题 B “pq”是假命题 Cp 为假命题 Dq 为假命题 8 （5 分）设函数 f（x），若函数 y|3f（x）m|4 有 5 个零点， 则实数 m 的取值范围为（ ） A B C D 9 （5 分）设 0，则（ ） A B C D 10 （5 分）
4、双曲线的离心率为， 圆 C 的圆心坐标为 （2， 0） ，且圆 C 与双曲线 C1的渐近线相切，则圆 C 的半径为（ ） A B C1 D 11 （5 分）已知数列an中，a11，a22，an+12an+3an1（n2） ，数列an的前 99 项 和 S99（ ） A B C D 12 （5 分）在棱长均相等的正三棱柱 ABCA1B1C1中，D 为 BB1的中点，F 在 AC1上，且 DFAC1，则下述结论： AC1BC；AFFC1；平面 DAC1平面 ACC1A1；异面直线 AC1与 CD 所成 角为 60 其中正确命题的个数为（ ） 第 3 页（共 19 页） A1 B2 C3 D4 二填
5、空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）若 x，y 满足 ，则 2x+y 的最大值为 14（5 分） 已知函数 f （x） lnx+x2， 则曲线 yf （x） 在点 （1， f （1） ） 处的切线方程为 15 （5 分） 周髀算经是中国最古老的天文学和数学著作，是算经十书之一，书中不仅记 载了“天圆如张盖，地方如棋局”一说，更是记载了借助“外圆内方”的钱币及用统计 概率得到圆周率 的近似值的方法具体做法如下：现有“外圆内方”的钱币（如图） ， 测得钱币“外圆”半径（即圆的半径）为 2cm， “内方” （即钱币中间的正方形孔）
6、的边 长为 1cm，在圆内随机取点，若统计得到此点取“内方”之外部分的概率是 p，则圆周率 的近似值为 16 （5 分）如图，在棱长为 1 的正方体 AC1中，点 E、F 是棱 BC、CC1的中点，P 是底面 ABCD 上（含边界）一动点，满足 A1PEF，则线段 A1P 长度的取值范围是 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知ABC 外接圆半径为 R，其内角 A，B，C 的对边长分别为 a，b，c，设 2R（sin2Asin2B）（ac）sinC （）求角 B； （）若 b12，c8，求 sinA 的值 18 （
7、12 分）根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击中靶环数（环数为整数）的频率分 布情况如图所示 第 4 页（共 19 页） 假设每名队员每次射击相互独立 （）求图中 a 的值； （）队员甲进行 2 次射击用频率估计概率，求甲恰有 1 次中靶环数大于 7 的概率； （）在队员甲、乙中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论无需证明） 19 （12 分）如图，四棱锥 SABCD 的底面是直角梯形，ABCD，BADADC90， SD平面 ABCD，M 是 SA 的中点，ADSDCD2AB2 （1）证明：DM平面 SAB； （2）求点 D 到平面 SCB 的距离 20（12 分） 已知椭圆的左、 右焦点分
8、别为 F1， F2， 离心率为， 过椭圆 C 焦点且与长轴垂直的直线被椭圆 C 截得的弦长为 4 （）求椭圆 C 的标准方程； （）过椭圆左顶点 A 的直线 l 与椭圆的另一个交点为 M，与 y 轴交点为 P，若点 Q（ 8，0） ，且 OMPQ，求直线 l 的方程 第 5 页（共 19 页） 21 （12 分）航天飞机发射后的一段时间内，第 ts 时的高度 h（t）5t3+30t2+45t+4，其中 h 的单位为 m，t 的单位为 s （1）h（0） ，h（1）分别表示什么？ （2）求第 1s 内的平均速度； （3）求第 1s 末的瞬时速度； （4）经过多长时间，飞机的速度达到 75m/s？
9、 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线（t 为参数） ，曲线 （ 为参数） （1）设 l 与 C1相交于 A，B 两点，求|AB|； （2）若 Q 是曲线（ 为参数）上的一个动点，设点 P 是曲线 C1上 的一个动点，求|PQ|的最大值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|2x+a|x|2 （1）若 a1，求不等式 f（x）0 的解集； （2）若xR，使得 f（x）|x|+a24，求实数 a 的取值范围 第 6 页（共 19 页） 2020 年吉林
10、省高考数学（文科）模拟试卷（年吉林省高考数学（文科）模拟试卷（1） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题小题，满分，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知 AxN*|x3，Bx|x24x0，则 AB（ ） A1，2，3 B1，2 C （0，3 D （3，4 【解答】解：由题意得：AxN*|x31，2，3，Bx|x24x0x|0x4， 所以 AB1，2，3， 故选：A 2 （5 分）若复数 z，则|z|（ ） A1 B C5 D5 【解答】解：复数 z2+i； |z|； 故选：B 3 （5 分）下列说法中，正确的有（ ） 函数 y
11、的定义域为x|x1； 函数 yx2+x+1 在（0，+）上是增函数； 函数 f（x）x3+1（xR） ，若 f（a）2，则 f（a）2； 已知 f（x）是 R 上的增函数，若 a+b0，则有 f（a）+f（b）f（a）+f（b） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【解答】解：逐一考查四个说法： 函数有意义，则 x10，结合 x1，则函数的定义域为x|x1，原说法错误； 函数 yx2+x+1 开口向上，对称轴为 ，则函数在（0，+）上是增函数，原说 法正确； 函数 f（x）x3+1（xR） ，若 f（a）2，则 a3+12，a31，f（a）a3+10， 原说法错误； f（x）是 R 上的增
12、函数，若 a+b0，则有 ab，ba， 则：f（a）f（b） ，f（b）f（a） ， 第 7 页（共 19 页） 结合不等式的性质可得：f（a）+f（b）f（a）+f（b） 原说法正确； 综上可得：所给说法中，正确的有 2 个 故选：C 4 （5 分） 记 Sn为等差数列an的前 n 项和， 且 a40， S99， 则数列an的公差是 （ ） A2 B1 C1 D2 【解答】解：设数列an的公差为 d，a40，S99， a1+3d0，9a1+36d9 解得 d1 故选：C 5 （5 分）已知夹角为 的向量 ， 满足 （ + ）2，且| |2| |2，则向量 ， 的 关系是（ ） A互相垂直 B
13、方向相同 C方向相反 D成 120角 【解答】解：由 （ + ）2，可得+ 2， 即+| | |cos2， 即 22+21cos2， 所以 cos1，即 ， 所以 、 方向相反 故选：C 6 （5 分）某地某高中 2018 年的高考考生人数是 2015 年高考考生人数的 1.5 倍为了更好 地对比该校考生的升学情况，统计了该校 2015 和 2018 年高考情况，得到如下饼图： 2018 年与 2015 年比较，下列结论正确的是（ ） A一本达线人数减少 第 8 页（共 19 页） B二本达线人数增加了 0.5 倍 C艺体达线人数相同 D不上线的人数有所增加 【解答】解：不妨设 2015 年的
14、高考人数为 n，则 2018 年的高考人数为 1.5n， 2015 年一本达线人数为 0.28n， 2018 年一本达线人数为 0.36n， 可见一本达线人数增加 了，故选项 A 错误； 2015 年二本达线人数为 0.32n， 2018 年二本达线人数为 0.6n， 显然 2018 年二本达线人 数增加量超过了 0.5 倍，故选项 B 错误； 2015 年艺体达线比例没变，但是 2018 年高考人数增加了，故 2018 年高考艺体达线人 数多些故选项 C 错误； 2015 年不上线人数为 0.32n，2018 年不上线人数为 0.42n，故不上线人数有所增加，故 选项 D 正确 故选：D 7
15、 （5 分） 关于命题 p： 若 0， 则 与 的夹角为锐角； 命题 q： 存在 xR， 使得 sinx+cosx 下列说法中正确的是（ ） A “pq”是真命题 B “pq”是假命题 Cp 为假命题 Dq 为假命题 【解答】解：命题 p：若 0，则 与 的夹角为锐角，是假命题， 命题 q：存在 xR，使得 sinx+cosx是假命题 “pq”是假命题 故选：B 8 （5 分）设函数 f（x），若函数 y|3f（x）m|4 有 5 个零点， 则实数 m 的取值范围为（ ） A B C D 【解答】解：作出函数 f（x）的图象如右所示， 令|3f（x）m|40， 第 9 页（共 19 页） 解得
16、，则，解得 4m， 故选：A 9 （5 分）设 0，则（ ） A B C D 【解答】解：由题意知，tan（）+tan， 即+， 等式两边同乘以 cos（）cos， 得 sin（）cos+cos（）sincos（） ， 所以 sincos（） ， 即 cos（）cos（） ； 又 0， 所以（0，） ， 0， 所以， 所以 2 故选：B 10 （5 分） 双曲线的离心率为， 圆 C 的圆心坐标为 （2， 0） ，且圆 C 与双曲线 C1的渐近线相切，则圆 C 的半径为（ ） A B C1 D 第 10 页（共 19 页） 【解答】解：双曲线的离心率为， 可得，可得 b，所以双曲线的渐近线方程为
17、：， 设圆的半径为 r，由题意可得， 所以 r 故选：A 11 （5 分）已知数列an中，a11，a22，an+12an+3an1（n2） ，数列an的前 99 项 和 S99（ ） A B C D 【解答】解：由题意，递推式 an+12an+3an1两边同时加上 an，可得 an+1+an2an+3an1+an3（an+an1） a1+a23， 数列an+1+an是以 3 为首项，公比为 3 的等比数列， 由题意，设，则 S99a1+a2+a99 a1+（a2+a3）+（a4+a5）+（a98+a99） a1+c2+c4+c98 1+32+34+398 1+ 故选：B 12 （5 分）在棱长
18、均相等的正三棱柱 ABCA1B1C1中，D 为 BB1的中点，F 在 AC1上，且 DFAC1，则下述结论： AC1BC；AFFC1；平面 DAC1平面 ACC1A1；异面直线 AC1与 CD 所成 角为 60 第 11 页（共 19 页） 其中正确命题的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【解答】解：不妨设棱长为：2，对于连结 AB1，则 AB1AC12，AC1B190 即 AC1与 B1C1不垂直，又 BCB1C1，不正确； 对于，连结 AD，DC1，在ADC1 中，ADDC1，而 DFAC1，F 是 AC1的中点， AFFC1；正确； 对于由可知，在ADC1中，DF，连结 CF，易知
19、CF，而在 RtCBD 中，CD ，DF2+CF2CD2， 即 DFCF，又 DFAC1，DF面 ACC1A1，平面 DAC1平面 ACC1A1，正确； 以 A1为坐标原点，平面 A1B1C1上过 A1点垂直于 A1C1的直线为 x 轴，A1C1所在的直线 为 y 轴，A1A 所在的直线为 z 轴，建立如图所示的直角坐标系； A1（0，0，0） ，B1（，1，0） ，C1（0，2，0） ，A（0，0，2） ，C（0，2，2） ，D（， 1，1） ； （0，2，2） ，（，1，1） ； 异面直线 AC1与 CD 所成角为 ，cos0，故 90不正确 故选：B 二填二填空题（共空题（共 4 小题，
20、满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 第 12 页（共 19 页） 13 （5 分）若 x，y 满足 ，则 2x+y 的最大值为 4 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： （阴影部分） 设 z2x+y 得 y2x+z， 平移直线 y2x+z， 由图象可知当直线 y2x+z 经过点 A 时，直线 y2x+z 的截距最大， 此时 z 最大 由，解得，即 A（1，2） ， 代入目标函数 z2x+y 得 z12+24 即目标函数 z2x+y 的最大值为 4 故答案为：4 14 （5 分）已知函数 f（x）lnx+x2，则曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为
21、3x y20 【解答】解：易知 f（1）1，故切点为（1，1） ， ， 故 f（1）3， 所以切线方程为 y13（x1） ， 即 3xy20 即为所求 故答案为：3xy20 15 （5 分） 周髀算经是中国最古老的天文学和数学著作，是算经十书之一，书中不仅记 载了“天圆如张盖，地方如棋局”一说，更是记载了借助“外圆内方”的钱币及用统计 第 13 页（共 19 页） 概率得到圆周率 的近似值的方法具体做法如下：现有“外圆内方”的钱币（如图） ， 测得钱币“外圆”半径（即圆的半径）为 2cm， “内方” （即钱币中间的正方形孔）的边 长为 1cm，在圆内随机取点，若统计得到此点取“内方”之外部分的
22、概率是 p，则圆周率 的近似值为 【解答】解：由题意可知，外圆的面积 S4，内方的面积为 1， 在圆内随机取点，若统计得到此点取“内方”之外部分的概率 p1， 则 故答案为： 16 （5 分）如图，在棱长为 1 的正方体 AC1中，点 E、F 是棱 BC、CC1的中点，P 是底面 ABCD 上 （含边界） 一动点， 满足 A1PEF， 则线段 A1P 长度的取值范围是 【解答】解：因为 CD平面 B1C1CB，EF平面 B1C1CB， 所以 CDEF， 又 EFBC1，BC1B1C， 所以 EFB1C， 所以 EF平面 A1B1CD， 当点 P 在线段 CD 上时，总有 A1PEF， 所以 A
23、1P 的最大值为 A1C，A1P 的最小值为 A1D， 可知线段 A1P 长度的取值范围是 第 14 页（共 19 页） 故答案为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知ABC 外接圆半径为 R，其内角 A，B，C 的对边长分别为 a，b，c，设 2R（sin2Asin2B）（ac）sinC （）求角 B； （）若 b12，c8，求 sinA 的值 【解答】解： （ I）2R（sin2Asin2B）（ac）sinC， 2R2R（sin2Asin2B）（ac）sinC2R， 即：a2+c2b2ac， 因为 0B，所以
24、， （ II）若 b12，c8， 由正弦定理， 由 bc，故C 为锐角， 18 （12 分）根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击中靶环数（环数为整数）的频率分 布情况如图所示 假设每名队员每次射击相互独立 （）求图中 a 的值； （）队员甲进行 2 次射击用频率估计概率，求甲恰有 1 次中靶环数大于 7 的概率； （）在队员甲、乙中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论无需证明） 【解答】解： （）由图可得 0.01+a+0.19+0.29+0.451， 第 15 页（共 19 页） 所以 a0.06 （）设事件 A 为“队员甲进行 1 次射击，中靶环数大于 7” 则事件 A 包含三个两两互斥
25、的事件：中靶环数为 8，9，10， 所以 P（A）0.45+0.29+0.010.75 设事件 Ai为“队员甲第 i 次射击，中靶环数大于 7” ，其中 i1，2， 则 P（A1）P（A2）0.75 设事件 B 为“队员甲进行 2 次射击，恰有 1 次中靶环数大于 7” 则，A1，A2独立 所以 所以，甲恰有 1 次中靶环数大于 7 的概率为 （）队员甲的射击成绩更稳定 19 （12 分）如图，四棱锥 SABCD 的底面是直角梯形，ABCD，BADADC90， SD平面 ABCD，M 是 SA 的中点，ADSDCD2AB2 （1）证明：DM平面 SAB； （2）求点 D 到平面 SCB 的距离
26、 【解答】解： （1）证明：由 SD平面 ABCD，AB平面 ABCD， 可得 SDAB，又 ABAD，可得 AB平面 SAD， 而 DM平面 SAD，可得 DMAB， 又 SDAD，SMAM，可得 DMSA，又 ABSAA， 可得 DM平面 SAB； （2）在直角三角形 BAD 中，BD， 第 16 页（共 19 页） 由 SDDB，可得 SB3， BC，由 SDDC，可得 SC2， 可得 cosBSC， 即有 SSBCSBSCsinBSC323， SDBC222， 设点 D 到平面 SCB 的距离为 h， 由 VDSCBVSBCD，可得hSSBCSDSDBC， 即有h322，解得 h， 则
27、点 D 到平面 SCB 的距离为 20（12 分） 已知椭圆的左、 右焦点分别为 F1， F2， 离心率为， 过椭圆 C 焦点且与长轴垂直的直线被椭圆 C 截得的弦长为 4 （）求椭圆 C 的标准方程； （）过椭圆左顶点 A 的直线 l 与椭圆的另一个交点为 M，与 y 轴交点为 P，若点 Q（ 8，0） ，且 OMPQ，求直线 l 的方程 第 17 页（共 19 页） 【解答】解： （1）由题意得， 椭圆 C 的标准方程为：； （2）设直线 l 的方程为：yk（x+3） ， 令 x0 得，y3k，P（0，3k） ，代入得， （2+3k2）x2+18k2x+27k2180， ， OMPQ， k
28、2，k， 直线 l 的方程为：y（x+3） ，即：2x， 即直线 l 的方程为：2x， 21 （12 分）航天飞机发射后的一段时间内，第 ts 时的高度 h（t）5t3+30t2+45t+4，其中 h 的单位为 m，t 的单位为 s （1）h（0） ，h（1）分别表示什么？ （2）求第 1s 内的平均速度； （3）求第 1s 末的瞬时速度； （4）经过多长时间，飞机的速度达到 75m/s？ 【解答】解： （1）h（0）4，表示初始位置时航天飞机的高度为 4m h（1）74，表示航天飞机发射 1s 时的高度为 74m 第 18 页（共 19 页） （2）第 1s 内的平均速度70m/s； （3）
29、h（t）15t2+60t+45， 第 1s 末的瞬时速度为 h（1）15+60+45120m/s； （4）令 15t2+60t+4575，解得：t2， 经过（2）s，飞机的速度达到 75m/s 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线（t 为参数） ，曲线 （ 为参数） （1）设 l 与 C1相交于 A，B 两点，求|AB|； （2）若 Q 是曲线（ 为参数）上的一个动点，设点 P 是曲线 C1上 的一个动点，求|PQ|的最大值 【解答】解： （1）由曲线（ 为参数） ，消去参数 ，
30、可得普通方程 为 把直线 l 的参数方程代入为，得 7t2+4t40 则， |AB|； （2）设点 P（x，y）是曲线 C1上的一个动点，化曲线（ 为参数） 为 x2+（y3）21 |PC2|， 1y1， |PC2|的最大值为 4， 则|PQ|的最大值为 5 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|2x+a|x|2 （1）若 a1，求不等式 f（x）0 的解集； 第 19 页（共 19 页） （2）若xR，使得 f（x）|x|+a24，求实数 a 的取值范围 【解答】解： （1）a1，f（x）0 即|2x+1|x|2， 当 x0 时，2x+1x2，即 x1，则 x1； 当 x时，2x1+x2，即 x3，则 x3； 当x0 时，2x+1+x2，即 x，则 x 综上可得 f（x）0 的解集为（，31，+） ； （2）若xR，使得 f（x）|x|+a24， 即|2x+a|2x|a22 有解， 由|2x+a|2x|2x+a2x|a|， 可得|2x+a|2x|a|， 则 a22|a|，即（|a|+2） （|a|1）0， 可得|a|1，解得 a1 或 a1
